Bài giảng xác suất thống kê đậu xuân thoan

ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê Chương 1. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 1. Phép thử, khái niệm về biến cố, quan hệ giữa các biến cố 1.1 Phép thử, khái niệm về biến cố: - Quan sát đồng tiền có hai mặt, ký hiệu là S, N. Tung đồng tiền lên và cho rơi xuống mặt phẳng (nền nhà gạch men chẳng hạn), hiện tượng gì xẩy ra? Hiện tượng: + Đồng tiền nằm trên mặt phẳng, mặt ngửa N lên trên. + Đồng tiền nằm trên mặt phẳng, mặt sấp S lên trên. + Không xẩy ra trường hợp đồng tiền nằm nghiêng. Việc tung đồng tiền, ta nói đã thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Hai mặt N, S xuất hiện lên trên ta nói “Xuất hiện biến cố N”, “Xuất hiện biến cố S”. Khi thực hiện phép thử (tung đồng tiền) xuất hiện một trong 2 khả năng N hoặc S, ngoài ra không còn khả năng nào khác. - Bây giờ tung cùng lúc 2 đồng tiền, gọi đồng một (Đ 1 ) và đồng hai (Đ 2 ), sẽ có hiện tượng gì xẩy ra? Hiện tượng: + Xuất hiện hai mặt ngửa (N 1 , N 2 ) lên trên. + Xuất hiện hai mặt sấp (S 1 , S 2 ) lên trên. + Xuất hiện sấp đồng 1 và ngửa đồng 2 là (S 1 , N 2 ) lên trên. + Xuất hiện ngửa đồng 1 và sấp đồng 2 là (N 1 , S 2 ) lên trên. + Ngoài 4 khả năng trên, không còn khả năng nào khác. Việc tung 2 đông tiền cùng một lúc, ta nói đã thực hiện một phép thử ngẫu nhiên. Bốn khả năng (N 1 , N 2 ), (S 1 , S 2 ), (S 1 , N 2 ), (N 1 , S 2 ) gọi là các biến cố khi phép thử thực hiện. Phép thử thực hiện một lần chỉ có 1 trong 4 khả năng đó xẩy ra. Qua hai trường hợp trên, ta hình thành khái niệm: Phép thử ngẫu nhiên là sự thực hiện một nhóm các điều kiện xác định trước, cho ta nhìn thấy rõ kết quả, mà trước đó ta không đoán được có xẩy ra hay không. Mỗi kết quả đã xuất hiện sau khi thực hiện phép thử, gọi là một biến cố ngẫu nhiên. Để cho thuận lợi ta dùng các chữ A, B, C, X, Y, … chỉ tên gọi biến cố ngẫu nhiên. Chú ý: Trong cùng một điều kiện, phép thử có thể lặp đi lặp lại nhiều lần. Khi phép thử thực hiện một lần, chỉ có một kết quả xuất hiện, còn lại kết quả khác nằm ở dạng tiềm năng có thể xuất hiện ở lần thử khác. Biến cố không bao giờ xẩy ra cho dù bất cứ điều kiện nào, gọi là biến cố bất khả (hay biến cố rỗng, hay biến cố trống), ký hiệu riêng là Φ . Biến cố luôn luôn xẩy ra trong bất cứ điều kiện nào, gọi là biến cố tất nhiên (hay biến cố chắc chắn) thường ký hiệu riêng bằng chữ E. Ta chia làm 3 loại biên cố: Biến cố ngẫu nhiên – Biến cố tất nhiên – Biến cố bất khả. Tập hợp các biến cố của một phép thử có hữu hạn các biến cố, hoặc vô hạn các biến cố. 1.2 Quan hệ, phép toán giữa các biến cố: Khi phép thử thực hiện, ta có tập hợp các biến cố tương ứng với phép thử. Giữa những biến cố của một phép thử, có thể xẩy ra các quan hệ với nhau: - Biến cố A gọi là thuận lợi cho biến cố B, viết ký hiệu là A ⇒ B (hay A ⊂ B), nếu như khi A xuất hiện thì B cũng xuất hiện. - Hai biến cố A, B gọi là xung khắc nhau, nếu như chúng không cùng xuất hiện trong một lần phép thử được thực hiện. Ngược lại khi phép thử thực hiện hai biến cố C, D cùng lúc có thể xẩy ra, ta nói hai biến cố C, D là tương thích với nhau. 1 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê - Biến cố A gọi là đối lập với biến cố B, nếu như A xẩy ra khi và chỉ khi B không xẩy ra, viết ký hiệu A, A chỉ hai biến cố đối lập nhau. - Hai biến cố A, B gọi là tương đương (hay bằng nhau) ký hiệu A = B, nếu có (A ⇒ B) và (A ⇒ B). Tức là hai biến cố này thuận lợi cho nhau. - Tổng hai biến cố A, B là một biến cố C, ký hiệu C = A + B (hay C = A ∪ B), biến cố C xuất hiện khi ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xuất hiện. - Tích hai biến cố A, B là biến cố C, ký hiệu C = A.B (hay C = A ∩ B), biến cố C xuất hiện khi đồng thời hai biến cố A và B xuất hiện. - Hiệu biến cố A và biến cố B là biến cố C, ký hiệu C = A - B (hay C = A\ B), biến cố C xuất hiện khi và chỉ khi A xuất hiện nhưng B không xuất hiện. - Tập hợp tất cả các biến cố của một phép thử (khi đã thực hiện xong) gọi là một không gian các biến cố, thường ký hiệu bằng chữ Ω - Xét riêng một bộ phận các biến cố E = {e 1 , e 2 ,…, e n , …} cuả không gian biến cố Ω (E ⊂ Ω ), nếu E thỏa mãn hai điều: i/ Các biến cố e i xung khắc từng đôi một, tức là e i . e j = Φ với i ≠ j . ii/ Bất kỳ một biến cố nào của Ω luôn biểu thị tuyến tính qua hệ thống các biến cố của E, tức là ∀ A ∈ Ω ta có A = A 1 .e 1 + A 2 .e 2 + … + A n .e n + … trong đó A i ∈ Ω , i = 1, 2, 3,… Thì ta gọi E là không gian các biến cố sơ cấp của phép thử, mỗi biến cố e i / i =1, 2, 3,… là một biến cố sơ cấp. Chú ý: - Cả không gian biến cố sơ cấp E được coi như là một biến cố tất nhiên, gọi luôn là E. - Không gian các biến cố Ω chứa các biến cố sơ cấp e i , chứa biến cố Φ , chứa biến cố tất nhiên E, chứa các biến cố khác nữa chẳng hạn A, B, X, Y, H, …. Không gian các biến cố Ω = { Φ , E, e 1 , e 2 , … , e n , … , A, B, X, Y, G, H, … }. Ví dụ 1: Tung cùng một lúc hai đông tiền, ta có không gian biến cố sơ cấp là E = {(N 1 , N 2 ), (S 1 , S 2 ), (S 1 , N 2 ), (N 1 , S 2 )} có 4 biến cố sơ cấp. Với biến cố A = (có ít nhất một mặt sấp), ta có A = (S 1 , S 2 ) + (S 1 , N 2 ) + (N 1 , S 2 ) Với biên cố B = (hai đồng cùng sấp hoặc cùng ngửa), ta có B = (N 1 , N 2 ) + (S 1 , S 2 ) Với biến cố C = (có một sấp, một ngửa), ta có C = (S 1 , N 2 ) + (N 1 , S 2 ) Biến cố (N 1 , S 2 ) thuận lợi cho C. Biến cố (N 1 , S 2 ) thuận lợi cho A. Hai biến cố B và C là xung khắc nhau. Hai biến cố A và C là tương thích. Ví dụ 2: Tập thể lớp 6A có 40 học sinh, chọn tùy ý 3 học sinh để lập ban cán sự lớp. Không gian biến cố sơ cấp E, có tổ hợp chập 3 của 40 biến cố, tức là C 3 40 = )!340(!3 !40 − = = 3.2.1 40.39.38 = 19.13.40 = 9880 biến cố.Tức là có 9880 cách chọn 3 học sinh vào ban cán sự (B C S) lớp. Nếu có thêm điều kiện trong lớp có 25 học sinh nam và đòi hỏi 3 cán sự đều la nam, thì khả năng chọn ban cán sự sẽ ít đi, cụ thể chỉ có C 3 25 = 3.2.1 25.24.23 )!325(!3 !25 = − = =23.4.25 = 2300 biến cố. Tức có 2300 cách chọn 3 học sinh là nam vào trong BCS lớp. Một số tính chất về quan hệ, phép toán giữa các biến cố Tc 1/ Tính chất giao hoán: A.B = B.A, A+B = B+A / ∀ A, B ∈ Ω . Tc 2/ Tính chất kết hợp: (A.B).C = A.(B.C), (A+B)+C = A+(B+C) / ∀ A,B,C ∈ Ω . Tc3/ Tính phân phối giữa tổng và tích: A+(B.C) = (A+B).(A+C) và A.(B+C) = (A.B)+(A.C) / ∀ A,B,C ∈ Ω . Tc 4/ A.E = A, A + E = E, A + Φ = A, A. Φ = Φ / ∀ A ∈ Ω . Tc 5/ Tính chất lũy đẳng A +A = A, A .A = A / ∀ A ∈ Ω . 2 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê Tc 6/ A + A = E, A . A = Φ / ∀ A ∈ Ω Tc 7/ Nếu A, B xung khắc nhau thì A.B = Φ . 2. Xác suất của biến cố: Các định nghĩa về xác suất, tính chất. 2.1 Định nghĩa xác suất cổ điển: Giả sử phép thử được thực hiện, không gian biến cố sơ cấp E có n biến cố, trong đó có k biến cố thuận lợi cho biến cố A, khi đó ta gọi tỉ số n k là xác suất của biến cố A. Ký hiệu P(A) = n k . Ví dụ 3: Lấy lại ví du 1, tung cùng một lúc 2 đồng tiền, tính xác suất các biến cố sau: A = (có ít nhất một mặt sấp), B = (hai đồng cùng sấp hoặc cùng ngửa), C = (có một sấp, một ngửa), Giải: Không gian biến cố sơ cấp E = {(N 1 , N 2 ), (S 1 , S 2 ), (S 1 , N 2 ), (N 1 , S 2 )} có 4 biến cố. Số biến cố thuận lợi cho A là (S 1 , S 2 ), (S 1 , N 2 ), (N 1 , S 2 ) có 3 biến cố, vậy xác suất biến cố A là P(A) = 4 3 . Số biến cố thuận lợi cho biến cố B là (N 1 , N 2 ), (S 1 , S 2 ) có 2 biến cố, vậy xác suất biến cố B là P(B) = 2 1 4 2 = . Số biến cố thuận lợi cho biến cố C là (S 1 , N 2 ), (N 1 , S 2 ) có 2 biến cố, vậy xác suất biến cố C là P(C) = 2 1 4 2 = . Ví dụ 4: Lớp 6A có 40 học sinh, trong đó có 25 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để lập ban cán sự lớp, tính xác suất các biến cố sau: A = (Cả 3 học sinh đều là nam), B = (Có 1 nam và 2 nữ), C = (Có ít nhất 2 nữ) D = (Có ít nhất 2 nam), E = (Có 1 nữ và 2 nam), F = (Không có nam nào) Giải: - Không gian các biến cố sơ cấp có C 3 40 = 988040.13.19 3.2.1 40.39.38 )!340(!3 !40 === − biến cố. - Số khả năng chọn được 3 học sinh đều nam là C 3 25 = 2300 biến cố, vậy xác suất của biến cố A là P(A) = 23279,0 9880 2300 = - Số khả năng chọn 1 nam trong 25 nam là C 1 25 = 25 biến cố, chọn 2 nữ trong 15 nữ là C 2 15 = 10515.7 2.1 15.14 )!215(!2 !15 === − biến cố, mỗi khả năng 1 nam sắp với 2 nữ được nhóm 3 học sinh nên số khả năng chọn 1nam và 2 nữ là C 1 25 . C 2 15 = 25.105 = 2625 biến cố, vậy xác suất của biến cố B là P(B) = 9880 2625 9880 105.25. 40 3 15 2 25 1 == C CC = 0,26568… - Biến cố C = (Có ít nhất 2 nữ) = (Có đúng 2 nữ) + (Có đúng 3 nữ) = (Có 2 nữ và 1 nam)+ + (Có 3 nữ và không có nam nào), vì vậy xác suất biến cố C là: P(C) = 31174,0 9880 3080 9880 455 9880 2625. 40 3 15 3 40 3 25 1 15 2 ==+=+ C C C CC … - Biến cố D = (Có ít nhất 2 nam) = (Có đúng 2 nam) + ( Có đúng 3 nam ) = (Có 2 nam và 1 nữ) + (Có 3 nam và không có nữ nào), vì vậy xác suất của biến cố D là: 3 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê P(D) = 68825,0 9880 6800 9880 23004500 9880 2300 9880 15.300. 40 3 25 3 40 3 15 1 25 2 == + =+=+ C C C CC - Số khả năng chọn 1 nữ trong 15 nữ có C 1 15 = 15, chọn 2 nam trong 25 nam có C 2 25 = 300 biến cố, mỗi khả năng 1 nữ sắp với 2 nam được nhóm 3 học sinh nên số khả năng chọn 1 nữ và 2 nam là C 1 15 . C 2 25 = 15. 300 = 4500 biến cố, vậy xác suất của biến cố E là: P(E) = 45546,0 9880 4500. 40 3 25 2 15 1 == C CC - Biến cố F = (Không có nam nào) = (Cả 3 đều là nữ), vậy xác suất của biến cố F là: P (F) = 04605,0 9880 455 40 3 15 3 == C C Ví dụ 5: Một nhóm học sinh 12 em, sắp xếp thành vòng tròn (như vòng số đồng hồ từ số 1 đến số 12 ), trong đó có em Hòa và em Ngọc. Tính xác suất các biến cố: A = (Em Hòa ngồi số 5 và Ngọc ngồi số 7), C = (Hai em Hòa, Ngọc ngồi đối diện nhau) B = (Em Ngọc ngồi số 10), D = (Hai em Hòa và Ngọc ngồi kế bên nhau). Giải: - Tổng số 12 em ngồi xếp thành vòng tròn, mỗi em một số trong các số từ 1 đến 12. Mỗi cách xếp như vậy là một hoán vị của 12 phần tử, nên tổng số cách xếp có được là 12! = 1.2.3.4…12 cách. Tức không gian biến cố sơ cấp có 12! =1.2.3…12 phần tử. - Xét biến cố A: Em Hòa ngồi số 5 và em Ngọc ngồi số 7, còn lại 10 em xếp vào 10 số (sau khi xếp cho Hòa và Ngọc), mỗi cách xếp 10 em là một hoán vị của 10 phần tử, ta có 10!=1.2.3…10 cách xếp.Vậy xác suất của A là P(A) = 132 1 12.11 1 12.11.10 3.2.1 10 3.2.1 !12 !10 === - Xét biến cố B: Em Ngọc ngồi số 10, còn lại 11 em ngồi vào 11 số, ta có 11! = 1.2.3… 11 cách xếp. Vậy xác suất của B là P (B) = 12 1 12.11 3.2.1 11 3.2.1 !12 !11 == - Xét biến cố C: Hòa và Ngọc ngồi đối diện nhau có 6 trường hợp đó là (1,7), (2,8), (3,9), (4,10), (5,11), (6,12), mỗi trương hợp 2 em có thể đổi chỗ cho nhau, nên ta có 6.2 = 12 cách xếp cho 2 em. Còn lại 10 em xếp vào 10 số (sau khi đã xếp cho Hòa và Ngọc) có 10! = 1.2.3…10 cách. Ta có tổng số cách xếp là 12.10! = 12. 1.2.3…10 cách. Vậy xác suất của C là P ( C ) = 11 1 12.11.10 3.2.1 10 3.2.1.12 !12 !10.12 == - Xét biến cố D: Hòa và Ngọc ngồi kế bên nhau có 12 trường hợp đó là (1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7), (7,8), (8,9), (9,10), (10,11), (11,12), (12,1), mỗi trường hợp 2 em có thể đổi chỗ cho nhau, nên ta có 12.2 = 24 cách xêp cho 2 em. Còn lại 10 em xếp vao 10 số (sau khi đã xếp cho Hòa và Ngọc) có 10! = 1.2.3…10 cách. Ta có tổng số cách xếp là 24.10! = 24.1.2.3…10 cách. Vậy xác suất của biến cố D là P(D) = 11 2 12.11 .24 !12 !10.24 == Ví dụ 6: Trong hộp đựng 10 thẻ, mỗi thẻ ghi 1 trong10 số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Ta rút ngẫu nhiên ra ngoài 4 thẻ và xếp thành dãy.Tìm xác suất để số xếp được là một số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5. Giải: - Gọi A = (số xếp ra có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5). - Trong 10 số lấy ra 4 số khác nhau, dãy 4 số khác nhau được lấy ra là một chỉnh hợp không lặp chập 4 của 10 phần tử, nên không gian biến cố sơ cấp có n = A 4 10 = 10.9.8.7 = 5040 biến cố sơ cấp. - Số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5 có dạng 0abc hoặc 5abc với a ≠ 0. 4 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê Số có dạng 0abc với 3 chữ số a,b,c được chọn trong 9 số từ 1 đến 9, nên có A 3 9 = 9.8.7 = 504 khả năng. Số có dạng 5abc với chữ số a có 8 cách chọn (trừ số 0 và số 5), chữ số b có 8 cách chọn (trừ số 5, a đã chọn), chữ số c có 7 cách chọn (trừ số 5, a và b đã chọn), trường hợp này có 8.8.7 = 448 khả năng. Như vậy tổng số khả năng thuận lợi cho biến cố A là 504 + 448 = 952 khả năng. - Xác suất của biến cố A là P(A) = 19,0 18888,0 5040 952 ≈= . Ví dụ 7: Đội tuyển thi đấu thể thao của trường CĐSP Kiên Giang có 20 sinh viên, trong đó có 11 sinh viên môn cầu lông và 9 sinh viên môn bóng chuyền. Gọi ngẫu nhiên 2 sinh viên, tính xác suất để các biến cố: A = (hai sinh viên thi đấu 2 môn khác nhau), B = (hai sinh viên thi đấu bóng chuyền). Giải: - Trong 20 sinh viên, gọi ra 2 sinh viên sẽ có C 2 20 = 190 2.1 20.19 )!220(!2 !20 == − khả năng. - Xét biến cố A: Trong 2 sinh viên thi 2 môn khác nhau, có 1 sinh viên cầu lông và 1 sinh viên bóng chuyền, số khả năng thuận lợi cho A là 11.9 = 99 khả năng. Vậy xác suất biến cố A là P(A) = 52105,0 190 99 = - Xét biến cố B: Hai sinh viên cùng thi bóng chuyền, nên số khả năng thuận lợi cho biến cố B là C 2 9 = 369.4 2.1 9.8 )!29(!2 !9 === − khả năng. Vậy xác suất biến cố B là P(B) = 190 36 = 0,18947… 2.2. Định nghĩa xác suất theo thống kê. - Tần suất của một biến cố: Giả sử phép thử được thực hiện, không gian biến cố sơ cấp E có các biến cố A, B, C,… tức là E = {A, B, C, … }. Giả thiết điều kiện thực hiện phép thử là không thay đổi, ta cho phép thử lặp đi lặp lại n lần, trong n lần thử đó biến cố A xuất hiện k lần. Ta gọi tỷ số T(A) = n k là tần suất của biến cố A. - Khi số lần thử n tăng rất lớn (có thể tăng đến vô hạn), khi đó số lần xuất hiện biến cố A là k cũng thay đổi tăng theo, nhưng tỷ số n k dao động quanh một số p (sai khác với p không đáng kể). Ta gọi số p là xác suất thống kê của biến cố A, ký hiệu P (A) = p. Sử dụng ký hiệu giới hạn ta viết P(A) = )(AT Lim n ∞→ = n k Lim n ∞→ = p. Ví dụ 8: Các nhà toán học Button (đọc là Búp phông) và Pearson (đọc là Piếc sơn), đã tiến hành gieo đồng tiền cân đối và đồng chất, hàng chục ngàn lần để tìm ra quy luật, số liệu bảng sau: Người gieo Số lần gieo Số lần mặt bóng N Tần suất T(N) Button Pearson (đợt 1) Pearson (đợt 2) 4 040 12 000 24 000 2 048 6 019 12 012 0,50693… 0,50158… 0,5005. Số tổng 40 040 20 079 0, 50147… Như vậy, xác suất xuất hiện mặt bóng N là P(N) = 0,5. Ví dụ 9: a/ Thông kê tỷ lệ (tần số) sinh con trai ở một số nước, ở một số thời điểm được ghi lại số liệu như bảng sau: 5 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê Người thông kê Nơi thông kê Tần số: con trai/ tổng số lần sinh Người Trung hoa cổ đại Trung Quốc 2 1 = 0,5 Laplace Luân đôn, Pêtecbua, Beclin 43 22 = 0,51162… Dar non Pháp = 0,511… Crame Thụy điển 88073 45682 = 0,51868… Tổng cục thống kê Việt Nam Việt Nam = 0.508… b/ Thông kê tỷ lệ(tần số) sinh con gái ở Thụy Điển năm 1935 số liệu như sau: Tháng 01 02 03 04 05 06 Con gái Tần số 3537 0,486 3467 0,489 3866 0,490 3911 0,471 3775 0,487 3865 0,482 Tháng 07 08 09 10 11 12 Con gái Tần số 3821 0,482 3596 0,484 3491 0,485 3391 0,491 3160 0,482 3371 0,470 Qua hai bảng a/ và b/ ở trên ta nhận thấy: Khi số lần thông kê tăng lên, tỷ lệ sinh con trai và con gái dao động quanh số 2 1 = 0,5. Vì vậy ta chọn luôn xác suất sinh con trai (T) xấp xỉ xác suất sinh con gái (G) và bằng 2 1 = 0,5. Tức là P(T) = P(G) = 2 1 = 0,5. 2.3. Định nghĩa xác suất hình học. - Trong trường hợp: Không gian biến cố sơ cấp E của phép thử có vô hạn biến cố, tập hợp E lấp đầy một miền đóng D nào đó của không gian R n / n=1, 2, 3. (D ⊂ R n ). - Tập hợp các biến cố thuận lợi cho biến cố A đang xét, lấp đầy một miền con D 0 của D (D 0 ⊂ D). Việc xét xác suất của biến cố A không thực hiện được theo như các định nghĩa ở trên, đòi hỏi phải xây dựng cách tính xác suất có sử dụng đến số đo hình học. - Ta gọi số đo hình học miền D là m(D), số đo hình học của miền D 0 là m(D 0 ), tỷ số )( )( 0 Dm Dm được gọi là xác suất hình học của biến cố A, tức là P(A) = )( )( 0 Dm Dm . Nếu D là đoạn thẳng thì m(D) là số đo độ dài đoạn thẳng, nếu D là miền phẳng thì m(D) là số đo diện tích miền phẳng, nếu D là miền trong không gian thì m(D) là số đo thể tích. Ví dụ 10: Một tấm bia hình chữ nhật (0,6 mét x 0,8 mét), một hình tròn C bán kính r = = 0,2 mét có tâm là giao điểm hai đường chéo của bia. Bắn một phát súng vào tấm bia, tính xác suất để viên đạn trúng vào vòng tròn C. Giải: - Bắn vào bia tức là bắn vào một điểm của bia, không gian biến cố sơ cấp E là tập hợp điểm trên bia. Số đo miền E là m(E) = 0,6 x 0,8 = 0, 48 đơn vị diện tích (ĐVDT). - Bắn vào một điểm trong vòng tròn C, ta được một biến cố thuận lợi cho biến cố gọi là T = (Bắn trúng vào vòng tròn C), số đo hình tròn C là π r 2 = 3,14 x 0,2 x 0,2 = 0,1256 (ĐVDT). Vậy xác suất của biến cố T là P(T) = 48,0 1256,0 = 0,26166 6 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê Ví dụ 11: Cho phương trình bậc hai một ẩn x 2 + p x + q = 0 với p, q ∈ [ - 1, 1 ], biệt số ∆ = p 2 – 4q. Tính xác suất biến cố V = (phương trình vô nghiệm) Giải: - Không gian biến cố sơ cấp E là tập hợp điểm trên mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng p = - 1, p = 1, q = - 1, q = 1. Số đo miền E là m(E) = 2x2= 4 (ĐVDT) - Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ∆ = p 2 – 4q < 0, hay q > 4 1 p 2 Tính diện tích m(V) = S ABCD = 2 – 2. dpp 2 1 0 4 1 ∫ = 2 – 2 . 12 1 p 3 / 0 1 = 2 – 2 . 12 1 = 6 11 . Vậy xác suất của V là P(V) = 6 11 : 4 = 24 11 . 2.4. Định nghĩa xác suất có điều kiện - Khi phép thử được thực hiện, không gian biến cố sơ cấp có n biến cố e 1 , e 2 , e 3 , … , e n , tức là E = {e 1 , e 2 , e 3 , … , e n }. Trong E có m biến cố thuận lợi cho biến cố A ta đặt tên cho m biến cố đó là e 11 , e 12 , e 13 ,…, e 1m , tức là A = e 11 + e 12 + e 13 + … + e 1m . Nếu trong m biến cố {e 11 , e 12 , e 13 ,… , e 1m } có k biến cố thuận lợi cho biến cố B, ta lập tỷ số m k . Ta gọi tỷ số m k là xác suất có điều kiện của biến cố B trong điều kiện biến cố A đã xuất hiện rồi, ký hiệu là P (B / A) = m k , hay còn ký hiệu là P A (B) = m k . - Cách tính: Ta có P (B / A) = m k = )( )( n m n k = P(A) ) .( BAP , hay là P (B / A) = P(A) ) .( BAP , Ví dụ 12: Tung một lúc 3 đồng tiền, gọi A = (xuất hiện ít nhất 2 mặt sấp), B = (xuất hiện đúng 2 mặt sấp). Tính xác suất của biến cố (B / A), tức tính P( B / A) Giải: Khi phép thử thực hiện, không gian biến cố sơ cấp E = {(SSS), (SSN), (SNS), (NSS), (NNN), (NNS), (NSN), (SNN)}, có 8 biến cố sơ cấp. Khi đó A = (SSS) + (SSN) + (SNS) + (NSS), có 4 biến cố thuận lợi cho A, nên có P(A) = 8 4 = 2 1 . Biến cố A.B = (SSN) + (SNS) + (NSS), có 3 biến cố thuận lợi cho A.B, nên P(A.B)= 8 3 . Vậy xác suất của biến cố (B / A) là P(B / A) = 8 3 : 2 1 = 4 3 . Ý nghĩa: Trong 4 biến cố thuận lợi cho biến cố A, có 3 biến cố thuận lợi cho biến cố B. Ví dụ 13: Bộ bài tú lơ khơ có 52 con, trong đó có 4 con At. Rút 2 lần mỗi lần một con bài ra ngoài, không hoàn trả lại. Tính xác suất để cả 2 lần rút là 2 con At. Giải: Gọi A = (Rút lần nhất được con At), B = (Rút lần hai được con At), khi đó ta có biến cố tích A.B = (Cả 2 lần rút là 2 con At). Ta có P(A) = 52 4 = 13 1 , P(B / A) = 51 3 = 17 1 ( vì khi đã xẩy ra A, số còn lại 51 con bài, trong đó chỉ còn 3 con At thôi). Theo xác suất có điều kiện suy ra P(A.B) = P (A). P(B / A) = 13 1 . 17 1 = 221 1 . 7 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê 2.5. Tính chất của xác suất: Tc1/ P ( Φ ) = 0, P (E) = 1 Tc2 / 0 ≤ P (A) ≤ 1, ∀ A ∈ Ω . Tc3 / Nếu (A ⇒ B) thì P(A) ≤ P(B) Tc4 / Nếu A và B xung khắc nhau, thì P(A + B) = P(A) + P(B) Tc5 / Nếu (A ⇒ B) thì P (B – A) = P (B) – P (A) Tc6 / Hai biến cố A, A đối lập nhau, ta có P ( A ) = 1 – P ( A ). 3. Công thức tính xác suất. Khi phép thử được thực hiện, ta có không gian các biến cố: Ω = { Φ , E, e 1 , e 2 ,…, e n , … , A, B, X, Y, G, H, …}. 3.1. Công thức cộng xác suất: Với hai biến cố tùy ý A, B ∈ Ω ta có công thức P (A+B) = P(A) + P(B) – P(A.B) và có công thức P (A\ B) = P(A) – P(A.B) Ví dụ 14: Tung cùng một lúc 2 con xúc xắc đã đánh số mặt từ 1 đến 6. Tính xác suất biến cố A = (xuất hiện ít nhất 1 con xúc xắc có mặt số không lớn hơn 2). Giải: Gọi A 1 = (xuất hiện mặt số không lớn hơn 2 ở con xúc xắc 1) A 2 = (xuất hiện mặt số không lớn hơn 2 ở con xúc xắc 2) Ta có A = A 1 + A 2 Biến cố tích A 1 .A 2 = (Cả 2 xúc xắc có mặt số không lớn hơn 2). Khi phép thử được thực hiện, không gian biến cố sơ cấp là E = {e i j / i, j = 1,2,3,4,5,6} có tất cả 6.6 = 36 biến cố sơ cấp. Biến cố A 1 = { e i j / i = 1,2 và j = 1,2,3,4,5,6} có 2.6 = 12 biến cố sơ cấp. Biến cố A 2 = {e i j / i = 1,2,3,4,5,6 và j = 1, 2} có 6.2 = 12 biến cố sơ cấp. Biến cố A 1 .A 2 = {e i j / i = 1, 2 và j = 1, 2} có 2.2 = 4 biến cố sơ cấp. Xác suất của các biến cố : P(A 1 ) = 36 12 = 3 1 , P(A 2 ) = 36 12 = 3 1 , P(A 1 . A 2 ) = 36 4 = 9 1 . Áp dụng công thức cộng P(A) = P(A 1 ) + P(A 2 ) – P(A 1 . A 2 ) ta có xác suất của A là P(A) = 3 1 + 3 1 - 9 1 = 9 5 .(i là chỉ số thứ nhất chỉ xúc xắc 1và j là chỉ số thứ hai chỉ xúc xắc 2). 3.2. Công thức nhân xác suất: Từ cách tính xác suất có điều kiện, ta có công thức nhân xác suất, chú ý vai trò các biến cố A, B như nhau, P (A.B) = P (A).P (B / A) = P ( B ) . P (A / B) Định nghĩa: a/ Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau, nếu co P(A.B) = P(A). P(B). Phát biểu khác: Hai biến cố A và B độc lập với nhau khi và chỉ khi P(A / B) = P(A) Hai biến cố A và B độc lập với nhau khi và chỉ khi P(B / A) = P(B) (Việc xẩy ra biến cố này trước không ảnh hưởng gì đến xác suất xuất hiện biến cố kia) b/ Hệ n biến cố A 1 , A 2 , A 3 , … , A n của một phép thử gọi là độc lập trong toàn thể, nếu thỏa mãn: Với k biến cố tùy ý A n1 , A n2 , A n3 , … , A n k / 1 ≤ k ≤ n lấy ra từ họ đó, ta có đẳng thức P (A n1 . A n2 .A n3 … . A n k ) = P (A n1 ). P (A n2 ). P (A n3 )…. P (A n k ). (Xác suất của tích các biến cố bằng tích các xác suất của các biến cố đó ) Ví dụ 15: Hai khẩu cao xạ cùng bắn vào một chiếc máy bay một cách độc lập nhau. Xác suất bắn trúng đích của khẩu thứ nhất K 1 là 0,75 và của khẩu thứ hai K 2 là 0,65. Máy bay bị bắn rơi, nếu cả hai khẩu đều bắn trúng. Tìm xác suất máy bay bị bắn rơi. Giải: Theo bài ra P (K 1 )= 0,75 và P(K 2 ) = 0,65. Gọi R= (Máy bay bị bắn rơi) thì R = K 1 . K 2 nên có P (R) = P (K 1 .K 2 ) = P(K 1 ). P(K 2 )= 0,75.0,65 = 0,4785 8 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê 3.3. Công thức Bayes - Định nghĩa: Hệ n biến cố A 1 , A 2 , A 3 ,… , A n của một phép thử gọi là một nhóm đầy đủ các biến cố, nếu hệ đó thỏa mãn: i/ Các biến cố trong hệ xung khắc tưng đôi một, tức là A i . A j = Φ với i ≠ j / i, j = = 1, 2,…, n ii/ Khi phép thử được thực hiện, tồn tại một và chỉ một biến cố A I / i = 1, 2, 3, …, n trong hệ đó, nhất định xuất hiện, tức là EA n i i = ∑ =1 - Công thức Bayes: Nếu hệ n biến cố của phép thử {A 1 , A 2 , A 3 ,…, A n } lập thành một nhóm đầy đủ các biến cố, với biến cố H tùy ý, ta có công thức Bayes P(A i / H ) = ∑ = n i ii ii AHPAP AHPAP 1 )/().( )/().( Ta gọi công thức 1 ( ) ( ). ( / ) n i i i P H P A P H A = = ∑ là công thức xác suất toàn phần. Ví dụ 16: Có 9 hộp giống nhau đưng những viên bi giống nhau. Nhóm 1 có 2 hộp, mỗi hộp đựng 10 bi, với 6 bi trắng và 4 bi đen. Nhóm 2 có 3 hộp, mỗi hộp đựng 10 bi, với 7 bi trắng và 3 bi đen. Nhóm 3 có 4 hộp, mỗi hộp đưng 10 bi, với 8 bi trắng và 2 bi đen. Rút ngẫu nhiên ra ngoài 1 hộp, rồi từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra 1 bi, thấy bi màu đen. Tính xác suât để viên bi lấy ra thuộc hộp nhóm 2. Giải: Gọi H 1 = (Hộp được lấy ra thuộc nhóm 1), H 2 = (Hộp được lấy ra thuộc nhóm 2) H 3 = (Hộp được lấy ra thuộc nhóm 3), A = (Viên bi được lấy ra màu đen). Theo bài ra ta có P(H 1 ) = 9 2 (có 2 hộp trong tổng số 9 hộp) P(H 2 ) = 3 1 9 3 = (có 3 hộp trong tổng số 9 hộp) P(H 3 ) = 9 4 (có 4 hộp trong tổng số 9 hộp) Xác suất có điều kiện của biến cố A, trong từng trường hợp H i / i = 1, 2, 3 xẩy ra là: P(A/H 1 ) = 5 2 10 4 = (hộp H 1 có 6 trắng 4 đen), P(A/H 2 ) = 10 3 (hộp H 2 có 7 trắng 3 đen), P(A/H 3 ) = 5 1 10 2 = (hộp H 3 có 8 trắng 2 đen). Yêu cầu bài ra phải tính P (H 2 /A) =? Ap dụng công thức Bayes ta có P(H 2 /A) = ∑ = 3 1 22 )/().( )/().( i ii HAPHP HAPHP , ta tính riêng từng phần ∑ = 3 1 )/().( i ii HAPHP = P(H 1 ).P(A/H 1 ) + P(H 2 ).P(A/H 2 ) + P(H 3 ).P(A/H 3 ) = = 9 2 . 10 4 + 9 3 . 10 3 + 9 4 . 10 2 = 90 25 = 18 5 P(H 2 ).P(A/H 2 ) = 9 3 . 10 3 = 10 1 . Vậy P(H 2 /A) = 10 1 : 18 5 = 25 9 50 18 = (Xác suất để bi màu đen đã lấy ra ngoài thuộc hộp nhóm1 là 25 9 50 18 = ) Tương tự như trên, bạn đọc tự tìm xác suất để bi màu đen lấy ra thuộc hộp nhóm 2,3. 9 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê 3.4. Công thức Bernoulli (đọc là Becnuly) - Giả thiết khi phép thử được thực hiện, không gian biến cố sơ cấp E có 2 biến cố e 1 , e 2 . Vì hai biến cố này vừa xung khắc nhau vừa đối lập nhau, ta dùng ký hiệu khác là A, A . Người ta còn dùng ký hiệu 0, 1 để chỉ hai biến cố vừa xung khắc nhau vừa đối lập nhau. Bây giờ ta dùng ký hiệu A, A , khi phép thử thực hiện 1 lần xác suất của mỗi biến cố là P(A) = p va P( A ) = 1 – P(A) = 1– p . - Trong cùng một điều kiện, ta cho phép thử lặp đi lặp lại n lần độc lập nhau, mỗi lần chỉ có 2 kết quả ký hiệu A, A . Xác suất các biến cố A, A không thay đổi trong các lần thử khác nhau. Dãy n phép thử như trên ta gọi là dãy phép thử Bernoulli. Đặt A k = (Biến cố A xuất hiện đúng k lần trong dãy n lần thử Bernoulli) với 0 ≤ k ≤ n Xác suất của biến cố A k được tính theo công thức Bernoulli sau đây P (A k ) = C k n . p k . (1 – p ) n – k / 0 ≤ k ≤ n . Ví dụ 17: Điểm kiểm tra được tính số tròn 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10, điểm đạt từ 8 trở lên gọi là điểm giỏi hoặc xuất sắc. Một sinh viên dự kiểm tra 5 lần, tính xác suất để sinh viên đó đạt được 2 lần loại giỏi trở lên. Giải: Một lần kiểm tra chia 2 loại: Loại giỏi trở lên có các điểm 8, 9, 10. (có ba số điểm) Loại dưới giỏi có các điểm 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7(có tám số điểm) Gọi A = (Đạt điểm giỏi trở lên) thì xác suất của A là P(A) = 11 3 , suy ra 1 – P(A) = 11 8 . Đặt A 3 = (Điểm đạt 3 lần loại giỏi trở lên), áp dụng Bernoulli có xác suất là P(A 3 )=C 3 5 .( 11 3 ) 3 .( 11 8 ) 5-3 = )!35(!3 !5 − .( 11 3 ) 3 .( 11 8 ) 2 =10. 11.11.11.11.11 64.27 = 161051 17280 =0,107295… (Quy đổi 0,107295… ≈ 10,73 % ) Ví dụ 18: Tung 3 lần con xúc xắc đã đánh số mặt từ 1 đến 6, tính xác suất để có 2 lần xuất hiện mặt số nguyên tố. Giải: Tung một lần, chia 2 loại: Mặt số nguyên tố là 2,3,5. Mặt số không nguyên tố là1, 4, 6. Gọi A = (xuất hiện mặt số nguyên tố), ta có P(A) = 6 3 = 2 1 , suy ra 1- P(A) = 2 1 . Tung đến 3 lần, gọi A 2 = (xuất hiện 2 lần mặt số nguyên tố), áp dụng Bermoulli tính được P(A 2 ) = C 2 3 . ( 2 1 ) 2 .( 2 1 ) 1 = 3. ( 2 1 ) 3 = 8 3 . …………………………………………………………………………………………… …… “ Năm 1973, khi tổng kết phong trào CCGD trên thế giới, UNESCO đã khẳng định rằng xác suất là một trong 9 quan điểm chủ chốt để xây dựng học vấn trên phạm vi toàn thế giới.” Thuật ngữ Xác suất là số đo phần chắc chắn của một biến cố ngẫu nhiên 10 [...]... tức là Y=aX+b có xác suất 1 hoặc X=aY+b có xác suất 1, hệ số a ≠ 0 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 – BIẾN NGẪU NHIÊN 22 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê 1 Kiểm tra 2 học sinh, gọi X = (số học sinh thuộc bài học), biết xác suất để mỗi học sinh thuộc bài là 1 Hãy : 2 a/ Lập bảng phân phối xác suất của X b/ Tìm hàm phân phối F (x) c/ Tính kỳ vọng và phương sai d/ Tính xác suất biến cố X ≤... đúng không ? b/ Tìm xác suất để 5 quả sút có 4 quả thủng lưới ĐS: a/ Không đúng Hết chương 1 12 b/ ≈ 0,41 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê Chương 2 BIẾN NGẪU NHIÊN 1 Khái niệm về biến ngẫu nhiên 1.1 Định nghĩa: - Trong chương 1 chúng ta đã nghiên cứu biến cố và xác suất của biến cố, nay ta nghiên cứu tiếp một khái niệm quan trọng của lý thuyết xác suất, đó là biến ngẫu... thể bằng nhau Tổng tất cả các số xác suất pi bằng 1, tức là có ∑p i =1 i = 1 / i = 1, 2, 3,…, n, … Ta gọi bảng (*) là bảng phân phối (hay còn nói dãy phân phối) xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X Ví dụ 11: (Từ ví dụ 7) Ta có bảng phân phối xác suất của Y là: Y=i 1 2 3 4 5 6 P(Y=i) 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 16 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê 0 1  6 1 1 1  + = 6 6... 0,25 b/ 0,78 10 Bắn ba viên đạn độc lập vào một cái bia Xác suất trúng đích của viên đầu, viên thứ hai, viên thứ ba tương ứng là 0,4; 0,5; 0,7 a/ Tìm xác suất sao cho trong ba viên đạn có đúng một viên đạn trúng đích b/ Tìm xác suất để có ít nhất một viên đạn trúng đích ĐS: a/ 0,36 b/ 0,91 11 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê 11 Một máy bay có 3 bộ phận có tầm quan trọng khác...ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê BÀI TẬP CHƯƠNG 1 - BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT 1 Một lô hàng có 52 sản phẩm, trong đó có 13 phế phẩm còn lại là tốt Lấy ngẫu nhiên ra 10 sản phẩm Tính xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có: a/ Đúng 8 sản phẩm tốt b/ Đúng 5 phế phẩm c/ Không ít hơn 8... thì xác suất lấy được mỗi phần tử bằng 1 N b/ Chọn ngẫu nhiên đơn giản không hoàn lại: Cách chọn bằng hộp thăm như trường hợp trên, chỉ khác một điều là khi bốc được thăm nào ta bỏ ra ngoài luôn chứ không trả lại hộp nữa Chú ý rằng nếu N phần tử của 24 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê X đồng khả năng thì xác suất lấy được mỗi phần tử khác nhau, phần tử thứ nhất có xác 1... 0 < x ≤ 4 4  1 khi x > 4 a/ Tìm hàm mật độ b/ Tính kỳ vọng và phương sai của X c/ Tính xác suất P ( - 1 ≤ X ≤ 2) Hết chương 2 CẦN TĂNG CƯỜNG TỰ HỌC VÀ TỰ NGHIÊN CỨU, MỚI HY VỌNG LÀM GIÀU KIẾN THỨC TOÁN HỌC CHO BẢN THÂN MÌNH Chương 3 THỐNG KÊ TOÁN 23 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê 1 Mẫu ngẫu nhiên 1.1 Khái niệm về mẫu ngẫu nhiên: Giả sử ta cần xem xét một đặc điểm hay... 20: Cho phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X (Từ ví dụ 17) X 0 1 1 2 P 1 2 Tính DX, D(2X+3) ? Giải: Ta có EX = 1 , 2 DX = E (X2 ) – ( EX )2 = (02 D(2X+3) = 4.DX + 0 = 4 1 1 1 1 1 1 + 12 ) – ( )2 = – ( )2 = 2 2 2 2 2 4 1 =1 4 Ví dụ 21: Tính DY, biết bảng phân phối xác suất của Y là: Y=i 1 2 3 4 20 5 6 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT 0918 024 778 P(Y= i) 1 6 1 6 Bài giảng Xác suất thống kê 1 6 1 6 1 6 1 6... Bảng tần số là 26 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT 0918 024 778 Các giá trị xi Tần số ni 1 2 2 1 3 4 Bảng tần suất là Giá trị khác nhau 1 Tần số 2 2 4 1 1 3 4 Tần suất 1 3 6 5 7 2 8 1 9 1 Tổng 5 3 2 = 0,1000 20 1 = 0, 0500 20 4 = 0,2000 20 1 = 0, 0500 20 3 = 0,1500 20 5 = 0,2500 20 2 = 0,1000 20 1 = 0, 0500 20 1 = 0, 0500 20 4 5 Bài giảng Xác suất thống kê n = 20 6 5 7 2 8 1 9 1 Tổng dồn tần suất 0,1000 0,1500... dạng khoảng (hay phân lớp) 30 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê Khoảng li = xi+1 - xi i = 1,2,3,… , n Tần số ni (số giá trị xi trong khoảng) Tần suất Wi= ni/n Tổng dồn tần suất xMin - x1 x1 - x2 x2 - x3 ………… xn-1 - xn n1 n2 n3 ………… nn W1 W2 W3 ………… Wn W1 W1 + W 2 W1 + W2 + W3 …………… ∑W i n ∑W i =1 Tổng ∑t i =1 =1 1 n n= i i Giá trị xMod được xác định: xMod = AMo + h nM o − . con bài, trong đó chỉ còn 3 con At thôi). Theo xác suất có điều kiện suy ra P(A.B) = P (A). P(B / A) = 13 1 . 17 1 = 221 1 . 7 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê 2.5 / ∀ A ∈ Ω . 2 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê Tc 6/ A + A = E, A . A = Φ / ∀ A ∈ Ω Tc 7/ Nếu A, B xung khắc nhau thì A.B = Φ . 2. Xác suất của biến cố:. nam và 1 nữ) + (Có 3 nam và không có nữ nào), vì vậy xác suất của biến cố D là: 3 ĐẬU XUÂN THOAN – ĐT. 0918 024 778 Bài giảng Xác suất thống kê P(D) = 68825,0 9880 6800 9880 23004500 9880 2300 9880 15.300. 40 3 25 3 40 3 15 1 25 2 == + =+=+ C C C CC -