Bài giảng xác suất thống kê giảng viên phan trung hiếu đại học sài gòn

Định nghĩa xác suất: 31 Xác suất của một biến cố là một con số đặc trưng cho khả năng xảy ra khách quan của |A|:số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra.. Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất l

Bài giảng XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

Lưu hành nội bộ

9/2015

Trang

CHƯƠNG 0 ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP.……… …………1

I Tập hợp……… 2

II Các phép toán tập hợp……… … 4

III Các tính chất……… 5

IV Các quy tắc đếm……….……… 5

V Giải tích tổ hợp……… 6

VI Một vài ví dụ tổng hợp……… … 7

CHƯƠNG 1 ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT……… …….…9

I Hiện tương ngẫu nhiên……… …9

II Phép toán trên các biến cố……… ………… ………… …………10

III Quan hệ giữa các biến cố……… ……… ………… …11

IV Các tính chất của biến cố ……… ……… ……… …13

V Nhóm đầy đủ các biến cố……… ……… ……….13

VI Định nghĩa xác suất……….….14

VII Các công thức tính xác suất……… ……….……19

CHƯƠNG 2 BIẾN NGẪU NHIÊN……….……24

I Định nghĩa……….………… ……….24

II Biến ngẫu nhiên rời rạc……… …… ……… 24

III Biến ngẫu nhiên liên tục……… ……… ….25

IV Hàm phân phối (tích lũy)……… ……… ……… 27

V Các tham số đặc trưng……… ……… … 28

VI Định nghĩa biến ngẫu nhiên n chiều……….……32

VII Biến ngẫu nhiên 2 chiều rời rạc……… ……… ………33

VIII Biến ngẫu nhiên 2 chiều liên tục……….……….36

IX Hàm của các biến ngẫu nhiên……… ……… …….36

X Các tham số đặc trưng khác……… ……… ……….38

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ QUY LUẬT PHÂN PHỐI XÁC SUẤT…….…… …39

I Phân phối nhị thức B(n,p)……… 39

II Phân phối siêu bội H(N,M,n)……… ………… ……… …41

III Liên hệ giữa B(n,p) và H(N,M,n)……… ……… ………… 42

IV Phân phối Poisson P(  )……… ……… ……… 43

V Liên hệ giữa B(n,p) và P(  ) ……… …… …….44

VI Phân phối chuẩn N( 2 ,   )……… ……… ….45

VII Liên hệ giữa B(n,p) và N( 2 ,   )……….………….……….………46

I Tổng thể và mẫu……….……… 50

II Các đặc trưng của tổng thể……… …… 50

III Các đặc trưng của mẫu……… ……… ….50

IV Lý thuyết ước lượng……… ……… ……… 53

V Ước lượng điểm……… ……… … 53

VI Ước lượng khoảng……… ……53

VII Ước lượng trung bình của tổng thể……… ……… ……54

VIII Ước lượng tỉ lệ của tổng thể……….……… …….55

IX Ước lượng phương sai của tổng thể……… ……….….57

X Các bài toán liên quan đến ước lượng trung bình……… …….….57

XI Các bài toán liên quan đến ước lượng tỉ lệ……… ………… ….57

CHƯƠNG 5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ……… ……59

I Các khái niệm……….……… …… 59

II Các loại sai lầm trong kiểm định……… …… 60

III Kiểm định tham số……… ……… ….60

IV So sánh trung bình với một số……… ……… ……… 61

V So sánh tỉ lệ với một số……… ……… 63

VI So sánh hai trung bình………64

VII So sánh hai tỉ lệ……… ………65

DẠNG BÀI THỐNG KÊ.……… ……… ………… ……67

BÀI TẬP CHƯƠNG 1.……… ……… ……… ……76

BÀI TẬP CHƯƠNG 2.……… ……… ……… ……85

BÀI TẬP CHƯƠNG 3.……… ……… ……… ……98

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 VÀ CHƯƠNG 5.……… ……….106

CÁC BẢNG SỐ THÔNG DỤNG.……… ……… … …109

TÀI LIỆU THAM KHẢO.……… ………… ……… … …122

LOG O

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):

Tự luận, không được sử dụng tài liệu.

-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):

Tự luận, không được sử dụng tài liệu.

2

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

3

-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:

1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1

câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không

trừ điểm)

Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

4

-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:

Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm

bài: -0,5 điểm/lần.

Khi không có SV xung phong lên làm thì GV

sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ trên xuống:

-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5 điểm/lần.

Trang web môn học:

5

https://sites.google.com/site/sgupth

SV download tài liệu, xem điểm cộng, trừ hàng

tuần, điểm quá trình trên trang web sau:

6

Nội dung:

Chương 0: Đại cương về Giải tích tổ hợp.

Chương 1: Đại cương về Xác suất.

Chương 2: Biến ngẫu nhiên.

Chương 3: Một số phân phối xác suất quan

Tài liệu học tập:

[1] Bài giảng trên lớp.

[2] Lê Sĩ Đồng, Xác suất thống kê và ứng

dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.

[3] Lê Sĩ Đồng, Bài tập Xác suất-thống kê

ứng dụng, NXB GD Việt Nam, 2011.

[4] Phạm Hoàng Quân-Đinh Ngọc Thanh,

Xác suất thống kê, NXB GD Việt Nam,2011.

Các tài liệu tham khảo khác.

Chương 0:

ĐẠI CƯƠNG VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

Ví dụ: Tập hợp các sinh viên đang học trong

giờ môn XSTK tại phòng A…

 Liệt kê: dùng khi số phần tử là hữu hạn

(đếm được, thấy được cụ thể)

Chú ý:Phương pháp liệt kê

- Không quan tâm thứ tự liệt kê

- Mỗi phần tử chỉ được liệt kê 1 lần, không

Ví dụ 2: Một tổ 10 người sẽ được chơi hai

môn thể thao là cầu lông và bóng bàn Có 5bạn đăng ký chơi cầu lông, 4 bạn đăng kýchơi bóng bàn, 2 bạn đăng ký chơi cả haimôn Hỏi có bao nhiêu bạn đăng ký chơi thểthao? Bao nhiêu bạn không đăng ký chơi thểthao

A là tập con của B, ký hiệu:

A chứa trong B B chứa A

1.5 Tập hợp rỗng: 

-Là tập hợp không chứa một phần tử nào.

Ví dụ 1:

A = { x | x là sinh viên đang học trong phòng

A… mà có số tuổi lớn hơn 80}  A  

Ví dụ 2: Có 10 quyển sách Toán khác nhau, 8

quyển sách Lý khác nhau, 6 quyển sách Hóakhác nhau Một học sinh được chọn 1 quyển

Hỏi có bao nhiêu cách chọn

10 + 8 + 6 = 24 cách

Ví dụ 1: Có 4 quần Jean khác nhau và 3 áo sơ

mi khác nhau Hỏi có mấy cách chọn 1 bộ đồ đểmặc?

Giải

chọn 1 bộ đồ

Bước 1: Chọn 1 quần Jean từ 4 quần Jean:

Bước 2: Chọn 1 áo sơ mi từ 3 áo sơ mi:

Ví dụ 2: Một trường phổ thông có 12 học sinh

chuyên Tin và 18 học sinh chuyên Toán Nhà

trường muốn thành lập một đoàn gồm 2 người

dự hội nghị sao cho có 1 học sinh chuyên Tin và

1 học sinh chuyên Toán Hỏi có bao nhiêu cách

lập một đoàn như trên?

12 18 216 cách

34

Tóm lại:

-Khi thực hiện một công việc có nhiềuphương

án, mỗi phương án ta đều thực hiện được xongcông việc Khi đó, ta dùngquy tắc cộng

-Khi thực hiện một công việc mà phải trải qua

nhiều bước mới xong công việc, thì ta dùng

n C

k n k cách.

Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người Có bao nhiêu cách chọn ra 3 người để cử đi họp

Xếp có lặp lại, có hoàn lại

n k (0cách.kn k n; ,  )

Nhận xét: A n k C k n k !

k n

A

38

Ví dụ 1: Một lớp học có 40 người Có baonhiêu cách lập một ban cán sự lớp gồm: Lớptrưởng, lớp phó học tập, lớp phó phong tràonếu:

a) 1 ứng cử viên có thể phụ trách cùng lúcnhiều chức danh?

b) 1 ứng cử viên chỉ được phép phụ trách 1 chứcdanh?

Ví dụ 2: Có mấy cách chọn ngẫu nhiên 2

người, một người lau bảng, một người quét lớp

cho một buổi trực nhật từ một tổ có 5 người?

a) Lấy ra 3 bức để treo lên tường?

b) Lấy ra 3 bức và treo lên 3 vị trí định sẵn trên

tường?

3 5

C cách

VI Một vài ví dụ tổng hợp:

40

Ví dụ 1: Xếp ngẫu nhiên 5 sinh viên A, B, C, D, E vào 1

chiếc ghế dài có 5 chỗ Có bao nhiêu cách xếp:

a) Năm người vào ghế?

b) Sao cho C ngồi chính giữa?

c) Sao cho A, B ngồi hai đầu ghế?

c) B1: Xếp A, B ngồi hai đầu ghế:

B2: Xếp 3 SV còn lại vào 3 chỗ còn lại: 3! cách.

Vậy có: 2! 3! cách.

41

Ví dụ 2: Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác

nhau trong đó có 4 sách Văn, 2 sách Toán, 6 sách Anh

văn Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các cuốn sách lên

một kệ dài nếu các cuốn cùng môn được sắp kề nhau.

Giải

Hoán vị 4 sách Văn với nhau: 4!cách.

Hoán vị 2 sách Toán với nhau: 2! cách.

Hoán vị 6 sách Anh văn với nhau: 6!cách.

Hoán vị 3 nhóm sách của 3 môn với nhau: 3! cách.

Vậy có: 4! 2! 6! 3!   cách.

42

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia 10 người thành

3 nhóm: nhóm 1 có 4 người, nhóm 2 có 3 người,nhóm 3 có 3 người?

C cách

3 6

C cách

3 3

C cách

Vậy có: C104.C63.C33cách

63

Ví dụ 7: Cần xếp 3 nam và 2 nữ vào một chiếc

ghế dài có 6 chỗ sao cho 2 chỗ đầu tiên phải là

nam Hỏi có mấy cách?

A cách

Vậy có: A32.A43cách

Ví dụ 8: Một lớp học có 30 sinh viên trong đó có

20 nam Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán

sự lớp gồm: 1 lớp trưởng, 1 lớp phó, 1 ủy viênhọc tập, 1 ủy viên đời sống nếu:

A cách

3 29

10.A cách

3 10

20.C 4! cách

4 10

A cách

30 10

A A cách

LOG O

Chương 1:

ĐẠI CƯƠNG VỀ XÁC SUẤT

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

2

Hiện tượng tất định:

I Hiện tượng ngẫu nhiên:

Hiện tượng ngẫu nhiên:

là những hiện tượng

mà khi thực hiệntrong cùng mộtđiều kiện như nhau sẽcho kết quả như nhau

là những hiện tượng mà

dù được thực hiện trongcùng một điều kiện như nhau vẫn có thể chonhiều kết quả khác nhau

biết trước kết quả

sẽ xảy ra

không biết trước đượckết quả sẽ xảy ra

3

- Hiện tượng ngẫu nhiênlà đối tượng khảo sát

của lý thuyết xác suất

-Mỗi lần cho xuất hiện một hiện tượng ngẫu

nhiên được gọi là“thực hiện một phép thử”

1.1 Phép thử (T ):

sáthiện tượng nào đó mà kết quả của nó không

thể dự đoán trước được

thí nghiệm, phép đo, sự quan

Ví dụ: T: tung một con súc sắc

T: mua 1 tờ vé số

T: quan sát tình trạng hoạt động của một máy

4

kết quả có thể xảy ra của phép thử.

1.2 Không gian mẫu ( ):

Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi

T: Lấy ngẫu nhiên ra 2 bi từ 10 bi

1.3 Biến cố: là tập con của không gian mẫu

Thường được ký hiệu là A, B, C,…

Nếu kết quả của phép thử là một phần tử của

biến cố A thì ta nói biến cố A xảy ra.

{1, 2, 3, 4, 5, 6}.

 :biến cố chắc chắn (luôn luôn xảy ra).

 : biến cố không thể (không bao giờ xảy

 A xảy ra thì suy ra B xảy ra

: biến cố A kéo theo biến cố B

ngày”

“Không có con gà nào đẻ trứng trong một ngày”

0:

D

Trong các biến cố trên, biến cố

nào kéo theo biến cố B?



A: “3 bi lấy ra có màu giống nhau” A T Đ.

Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK

A: “Sinh viên A đậu”

B: “Sinh viên B đậu”

C: “Có ít nhất một sinh viên đậu” C A B  

Ví dụ 2: Một người dự thi lấy bằng lái xe máy.

A: “Người đó thi đậu vòng thi lý thuyết”

Ví dụ 1: Sinh viên A, B cùng dự thi môn XSTK

A: “Sinh viên A đậu”

B: “Sinh viên B đậu”

C: “SV A và SV B đều đậu” C AB 

B: “Người đó thi đậu vòng thi thực hành”

C: “Người đó lấy được bằng lái xe máy”

A và B được gọi là đối lậpnhau

 luôn luôn có đúng 1biến cố xảy ra

 A và B đều không xảy ra

đều xảy ra không đối nhau.A và B

 đối nhau xung khắc

S “Sinh viên i thi đậu” (i=1,2)

Hãy biểu diễn các biến cố sau theo

a) A: “Cả 2 sinh viên đều thi đậu”

:

i S

1 2

AS S

b) B: “Không có ai thi đậu” BS S1 2

e) E: “Chỉ có sinh viên 1 thi đậu” ES S1 2

f) F: “Chỉ có 1 sinh viên thi đậu” FS S1 2S S1 2

d) D: “Có sinh viên 1 thi đậu” DS S1 2S S1 2

g) G: “Có sinh viên thi đậu” GS1S2

h) H: “Có nhiều nhất 1 sinh viên thi đậu”

T: “Lấy được viên trắng”

Đ: “Lấy được viên đỏ”

X: “Lấy được viên xanh”

{T, Đ, X} là một nhóm đầy đủ

VI Định nghĩa xác suất:

31

Xác suất của một biến cố là một con số đặc

trưng cho khả năng xảy ra khách quan của

|A|:số các kết quả thuận lợi cho A xảy ra

||:số các kết quả có thể xảy ra của phép thử

nữ Chọn ngẫu nhiên 1 người trực lớp Tính xác

suất để người được chọn là nam

Giải

T: chọn ngẫu nhiên 1 người từ 30 người

| |

  A: “Người được chọn là nam”  | A |  C120  20.

a) 4 quả cầu lấy ra cùng màu đen.

b) 4 quả cầu lấy ra có 3 quả màuđỏ.c) 4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màuđỏ.d) 4 quả cầu lấy ra đều cùng màu

e) 4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu

C  7980

c) C: “4 quả cầu lấy ra có ít nhất một quả màu đỏ”

: “4 quả cầu lấy ra không có quả đỏ”

| |

 C 

| | ( )



e) E: “4 quả cầu lấy ra đều không cùng màu”

: “4 quả cầu lấy ra đều cùng màu”

Chú ý (Điều kiện của định nghĩa cổ điển):

 Các kết quả trong không gian mẫu phải đồng khả năng xảy ra

 Không gian mẫu phải hữu hạn





39

6.2 Định nghĩa theo thống kê:

-Thực hiện phép thử n lần, thấy biến cố A xuất

Ví dụ 1: Khảo sát ngẫu nhiên 100 người hút

thuốc lá, thấy có 91 người bị viêm phổi

Khi đó, có thể nói rằng nếu bạn hút thuốc lá thìxác suất bạn bị viêm phổi sẽ khoảng:

91 0,91

Số lần ngửa

Tần suất Buffon 4040 2048 0,5069

Pearson 12000 6019 0,5016

Pearson 24000 12012 0,5005

0, 5 0,5

Xét điểm M rơi ngẫu nhiên vào miền 

A: điểm M thuộc miềnS  

( )

độ đo của 

Ví dụ: Tìm xác suất của điểm M rơi vào hình

tròn nội tiếp tam giác đều có cạnh 2cm

6.4 Nguyên lý xác suất nhỏ, xác suất lớn:

-Nguyên lý xác suất nhỏ: Một biến cố có xác

suất rất nhỏ (gần 0) thì có thể cho rằng trongthực tế nó không xảy ra trong một phép thử

-Nguyên lý xác suất lớn: Một biến cố có xác

suất rất lớn (gần 1) thì có thể cho rằng trongthực tế nó nhất định xảy ra trong một phép thử

Ví dụ 1: Một nhóm có 10 học sinh, trong đó

có 5 bạn giỏi Toán, 4 bạn giỏi Văn, 2 bạn

giỏi cả hai môn Chọn ngẫu nhiên 1 bạn

Tính xác suất:

a) chọn được bạn giỏi Toán

b) chọn được bạn chỉ giỏi Toán

c) chọn được bạn giỏi ít nhất một môn

d) chọn được bạn không giỏi môn nào

e) chọn được bạn giỏi Văn, biết rằng đã chọn

được bạn giỏi Toán?

Ví dụ 3: Một chùm chìa khóa gồm 10 chìa,

trong đó chỉ có 1 chìa mở được khóa Một

người mở khóa bằng cách thử lần lượt các chìa

khóa cho đến khi nào mở được mới dừng

a) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần

đầu tiên

b) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần

thứ 2 biết lần thứ nhất không mở được khóa

c) Tính xác suất người đó mở được khóa ở lần

thứ 3 biết lần thứ nhất và lần thứ hai đều

không mở được khóa

Hai biến cố được gọi làđộc lậpnếu sự xảy

ra hay không xảy ra của biến cố này không

làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia

Ví dụ 3: Cho một hộp đựng 10 bi, trong đó có 2

bi đỏvà 8 bi xanh Lấy lần lượt 2 bi

a) Tính xác suất để lần thứ 1 lấy được bi đỏ?

b) Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏ?

58

Giải Lấy mẫu

có hoàn lại

Lấy mẫu không hoàn lại

Lần 1 lấy ra quan sátrồibỏ trở lạivào hộp,sau đó lấy tiếp lần 2

Lần 1 lấy ra quansát rồi để ra ngoài luôn, sau đó lấy tiếplần 2

Lấy mẫu

có hoàn lại

Lấy mẫu không hoàn lại a) Đ1: “Lần thứ 1 lấy được bi đỏ”

Kết quả độc lập nhau không độc lập nhau Kết quả

Nhận xét:

VII Các công thức tính xác suất:

61

7.1 Công thức cộng xác suất:

 Đặc biệt: Nếu A, B xung khắc thì

Tổng quát: Nếu A1,A2,…,Anđôi một xung

Ví dụ 1: Một chiếc máy có 2 động cơ I và II

hoạt động độc lập với nhau Xác suất để động

cơ I và động cơ II chạy tốt lần lượt là 0,8 và 0,7

Tính xác suất để:

a) Cả 2 động cơ đều chạy tốt

b) Cả 2 động cơ đều không chạy tốt

I là 0,2; từ hộp II là 0,3 Lấy ngẫu nhiên từ mỗihộp ra 1 sản phẩm Tính xác suất để:

a) Lấy được 2chính phẩm.b) Lấy được 1 bichính phẩmvà 1phế phẩm

Giải

C1: “Lấy được 1chính phẩmtừ hộp I”

C2: “Lấy được 1 chính phẩmtừ hộp II”

1( ) 0, 2

P C 2( ) 0, 3

55% và cả hai loại là 30% Chọn ngẫu nhiên 1

khách hàng của ngân hàng Tính xác suất người

đó:

a) Có sử dụng thẻ thanh toán của ngân hàng.

b) Chỉ sử dụng loại thẻ M.

c) Chỉ sử dụng 1 loại thẻ của ngân hàng.

d) Không sử dụng thẻ của ngân hàng.

A1: “Lần thứ 1 lấy được sản phẩm xấu”

A2: “Lần thứ 2 lấy được sản phẩm xấu”

C C

Chú ý:

 Lấy liên tiếp lần lượt k vật, mỗi lần 1 vật

và không hoàn lại Lấy cùng lúc k vật.

VI Các công thức tính xác suất:

Công thức xác suất Bayes cho biết xác suất của

các biến cố trong nhóm đầy đủ thay đổi như thế

nào khi một biến cố đã xảy ra.

80

Ví dụ 1: Một nhà máy có 3 phân xưởng cùng

sản xuất ra một loại sản phẩm Sản phẩm củaphân xưởng I chiếm 40% sản lượng của nhàmáy Sản phẩm của phân xưởng II chiếm 10%

Sản phẩm của phân xưởng III chiếm 50% Tỷ lệphế phẩm của từng phân xưởng tương ứng là5%, 4% và 10% Lấy 1 sản phẩm của nhà máy

a) Tính xác suất để nhận được phế phẩm?

b) Giả sử lấy được 1 phế phẩm Tính xác suất để

nó do phân xưởng II sản xuất?

(phế phẩm)

82

A: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng I”

B: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng II”

C: “Lấy được sản phẩm từ phân xưởng III”

H: “Lấy được phế phẩm”

P(A) =0,4 P(B) =0,1 P(C) =0,5

P(H|A) = 0,05 P(H|B) = 0,04 P(H|C) = 0,1

a) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 1 bi Tính xác suất lấy được bi đỏ

b) Lấy ngẫu nhiên 1 hộp, từ đó lấy ngẫu nhiên

ra 2 bi Tính xác suất trong 2 bi lấy ra có 1 biđỏ

8 11

C

C 

1 10 1 14

10 14

C

C 

1 2

24

55

C C

1 2

1 1

10 4 2 14

40

91

C C

24 1 40 1

55 2 91 2 2192

0, 4379.

5005

   

LOG O

Chương 2:

BIẾN NGẪU NHIÊN

Giảng viên: Phan Trung Hiếu

2

Biến ngẫu nhiên là một đại lượng thay đổi với xác suất lấy các giá trị thay đổi tùy theo kết quả của phép thử.

I Định nghĩa:

Ký hiệu:

 X, Y, Z, : Biến ngẫu nhiên

 x, y, z, : Giá trị của biến ngẫu nhiên.

Ví dụ: Tung một con xúc xắc Gọi X là số

chấm xuất hiện trên mặt con xúc xắc

X =

 {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3

II Biến ngẫu nhiên rời rạc:

Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của

nó là hữu hạn hoặc vô hạn đếm được (có thể

liệt kê được các giá trị của nó)

 Tung 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt sấp thì

ngưng Gọi X là số lần tungX =

2.1 Bảng phân phối xác suất:

bi lấy ra

a) Lập bảng phân phối xác suất của X

b) Tínhc) Tính

2 4

1

2.15

C

C 

2 10

1 6

1

4 8.15

C C

C 

2 10

2

.3

151

3

0 khi 0,1, 2

x x x x

15 x 8

khi 1

15 x 1

III Biến ngẫu nhiên liên tục:

Là BNN mà các giá trị có thể nhận được của nó

có thể lấp kín cả một khoảng trên trục số(không thể liệt kê các giá trị của nó)

Ví dụ:

 Nhiệt độ trong ngày ở TP.HCM

 Thời gian chờ xe buýt tại trạm

 Lượng mưa trong 1 năm ở TP.HCM

Nhận xét:

 Khi X là BNN liên tục thì X có thể lấy vô số

giá trị nên ta không thể lập bảng phân phối xác

suất cho nó

 Thay cho việc liệt kê các giá trị của X, ta chỉ

ra đoạn [a;b] mà X nhận giá trị ở đoạn đó.

 Thay cho các xác suất, ta đưa ra khái niệm

sau:

14

Hàm mật độ (xác suất):

f(x) là hàm mật độ của BNN liên tục X nếu nó

thỏa 2 điều kiện sau:

2

2 2 1

2

k x x k

k k

( )

 f x dx

3/ 2 2 1

2

  dx x

2.3

2

  dx x

2.3

2

  dx x

1.3

Hàm phân phối của BNN X, ký hiệu là F(x),

là hàm được xác định như sau

Ví dụ 2: Tuổi thọ X (giờ) của một thiết bị có hàm

mật độ xác suất

a) Tìm hàm phân phối

b) Thiết bị được gọi là loại A nếu tuổi thọ của

nó kéo dài ít nhất 400 giờ Tính tỉ lệ thiết bị

100

x

dt t

1 khi 100

x

F x

x x

5.1 Mode (Giá trị tin chắc nhất): Mod(X) là

giá trị của X mà tại đó xác suất lớn nhất

f x  x x

3( ) (1 )2

f x x

5.2 Median (Trung vị): là điểm chia đôi

phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên

Chú ý: Med(X) có thể nhận nhiều giá trị khácnhau

X rời rạc X liên tục

1

1 Med(X) ( ) ( )

Giải

2

khi 0 115

x

x x

 Nếu thì

1

( )E(Y)

( ) ( )

n

i i i

Ý nghĩa của kì vọng:

- E(X) là giá trị trung bình (theo xác suất) mà

X nhận được, nó phản ánh giá trị trung tâm của

phân phối xác suất của X

-Trong thực tế sản xuất hay kinh doanh nếu cần

chọn phương án cho năng suất hay lợi nhuận

cao, người ta chọn phương án sao cho năng

suất kì vọng hay lợi nhuận kì vọng cao.

38

Ví dụ 1: Một hộp đựng 10 quả cầu giống nhau nhưng

khác nhau về trọng lượng: 5 quả nặng 1kg, 2 quả nặng 2kg, 3 quả nặng 3kg Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 quả.

Tìm trọng lượng trung bình của một quả cầu.

10

   2 P(X 2) 0, 2.

10

   3 P(X 3) 0, 3.

10

  

X 1 2 3

P 0,5 0,2 0,3E(X) 1.0, 5 2.0, 2 3.0, 3

thắng, 99 số thua Thắng thì được 70 lần tiền đặt cọc.

Thua thì mất tiền đặt cọc Người chơi chọn 1 số đề Có

nên chơi trò này nhiều lần không ?

Vậy, không nên chơi nhiều lần

Ví dụ 3: Gọi X(năm) là tuổi thọ của một thiết

2E(X) xf x dx( ) dx 2 ln | |x 2 ln 2

Var(X)E(X ) E(X)

  nên phương sai là trung bình của

bình phương độ lệch giữa giá trị X so với E(X)

-Dùng để đo mức độ phân tán quanh kỳ vọng Nghĩa là:

phương sai nhỏ thì độ phân tán nhỏ nên độ tập trung lớn

Ví dụ 1: Năng suất của 2 máy tương ứng là các

biến ngẫu nhiên X, Y (sản phẩm/phút) có phân phối xác suất

Nếu phải chọn mua một trong hai máy này, tanên chọn mua máy nào?

  , nghĩa là năng suất của X ổn định

hơn của Y Vậy, chọn máy X 48

Ví dụ 2: Trọng lượng X(kg) của một loại sản

phẩm là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ:

Tính trọng lượng trung bình và độ lệch tiêuchuẩn của X

Giải

3 2 2

Biến ngẫu nhiên n chiều là một bộ gồm n biến

ngẫu nhiên

Ký hiệu: V  (X ,X ,X , ,X )1 2 3 ntrong đó là các BNN

X ,X ,X , ,Xn

Ví dụ 1:

V = (X,Y): biến ngẫu nhiên 2 chiều

V = (X, Y, Z): biến ngẫu nhiên 3 chiều

Ví dụ 2: Một máy sản xuất một loại sản phẩm.

Nếu kích thước của sản phẩm được đo bằng

chiều dài X và chiều rộng Y, thì ta có biến

ngẫu nhiên 2 chiều: V = (X, Y) Nếu tính thêm

cả chiều caoZ nữa thì ta có biến ngẫu nhiên 3

chiều: W = (X, Y, Z)

Ví dụ 3: Xét một công ty tư nhân với hai chỉ

tiêu là doanh thu và chi phí quảng cáo Gọi

X làdoanh thuvà Y làchi phí quảng cáothì

V = (X, Y) tạo nên một biến ngẫu nhiên 2

VII BNN 2 chiều rời rạc:

7.1 Bảng phân phối xác suất của V = (X,Y)

(Bảng phân phối xác suất đồng thời của X

7.2 Hàm mật độ đồng thời của V=(X,Y):

Cho bảng phân phối xác suất đồng thời củaV=(X,Y) Khi đó, hàm mật độ đồng thời là:

Ví dụ 1: Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập có

bảng phân phối xác suất như sau

X 1 2 3

P 1/4 1/3 5/12

Y -2 -1

P 1/3 2/3a) Hãy lập bảng phân phối đồng thời của X và Y

1 2 3

P 1/3 2/3

1 2 3 -2 -1

1 1 1 P(X 1).P(Y 2)

4 3 12

     

1 2 1 P(X 1).P(Y 1)

4 3 6

     

1 1 1 P(X 2).P(Y 2)

3 3 9

     

5 1 5 P(X 3).P(Y 2)

12 3 36

     

5 2 5 P(X 3).P(Y 1)

=1/9 + 5/36 + 5/18

=19/36.

P(X=2,Y=-2) + P(X=3,Y=-2) + P(X=3,Y=-1)

7.3 Bảng phân phối lề (phân phối biên) của X,

của Y:

Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của

V=(X,Y) Khi đó, để lâp bảng phân phối của

X, của Y như sau:

Bước 1: Nhìn vào bảng phân phối của V, ta sẽ

biết được các giá trị mà X, Y nhận được

Bước 2: Tính các xác suất tương ứng.

+ +

+

| |

| | | | | | | | +

Ví dụ 2: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời

của V=(X,Y) như sau

Y

X 0 1-1 0,1 0,06

0 0,3 0,18

1 0,2 0,16a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của X, của Y?

7.4 Phân phối có điều kiện:

P(X | Y):Xác suất để X xảy ra khi biết Y đã xảy ra

P(X |Y=y j ) P(X=x1|Y=y j ) … P(X=x m|Y=y j)

Bảng phân phối có điều kiện của Y khi X=x i:

P(Y | X=x i ) P(Y=y1|X=x i) … P(Y=y n|X=x i)

72

Ví dụ 3: Cho bảng phân phối xác suất đồng thời

của X và Y như sau

 



 P(X 2, Y 0) P(Y 0)

 



 P(X 3, Y 0) P(Y 0)

 





0,15 1/ 2 0,3 0,1

1 / 3 0,30,05 1/ 6 0,3 0,15 0,1 0, 05    0, 3

P(X | Y=0) 1/2 1/3 1/6

Vậy, bảng PP có điều kiện của X khi Y = 0 là

VIII BNN 2 chiều liên tục:

Sinh viên tự nghiên cứu

Bảng phân phối xác suất của Y = f(X):

Cho bảng phân phối xác suất của X

X x1 x2 … x n

P p1 p2 … p n Cần tìm bảng phân phối xác suất của Y = f(X)?

Ví dụ 1:Cho biến ngẫu nhiên X có bảng phân

phối xác suất như sau

X -1 0 1 2

P 0,1 0,2 0,3 0,4Hãy lập bảng phân phối xác suất của

2

YX - 2X 3.

Giải

X -1 0 1 22

YX - 2X 3

P(Y  2) 

P(X  0) P(X   2) P(X   1) 

P(X  1)  P(Y  3) 

biến ngẫu nhiên X và Y.

Bảng phân phối xác suất của Z = f(X,Y):

Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X và Y

Cần tìm bảng phân phối xác suất của Z= f(X,Y)?

80

Bước 1: Tìm các giá trị cho Z:

Bước 2: Tính xác suất tương ứng cho Z:

2 1 0

3 2 1

P(Z0)P(Z 1) P(Z2)

84

Ví dụ 3: Cho X và Y là hai biến ngẫu nhiên

độc lập có bảng phân phối xác suất sau

Lập bảng phân phối xác suất của Z=X.Y