skkn cm bdt trong tam giac

Lời mở đầu Trong chơng trình toán trung học phổ thông việc phân nội dung giảng dạy thành ba bộ môn Giải tích, Lợng giác và Hình học chỉ mang tính tơng đối.. Bởi vậy kĩ năng nhuần nhuyễn

Lời mở đầu

Trong chơng trình toán trung học phổ thông việc phân nội dung giảng dạy thành ba bộ môn Giải tích, Lợng giác và Hình học chỉ mang tính tơng đối Thật ra ba bộ môn đều đợc xây dựng trên một cơ sở toán học và lôgic suy diễn thống nhất, các kiến thức phần này bổ trợ cho phần kia Bởi vậy kĩ năng nhuần nhuyễn kết hợp ba môn học là đòi hỏi nghiêm ngặt đối với các Thầy, Cô dạy toán, tạo cho học sinh năng lực giải quyết các bài toán theo nhiều góc độ khác nhau, qua đó phát huy trí thông minh và kích thích tính sáng tạo của ngời học

Đơn cử: Chú ý rằng nếu hai véc tơ u, v có độ dài đều bằng 1 và góc giữa

2 sin(

) cos(

cos v= α =− π −α = α −π

minh các bất đẳng thức, đẳng thức lợng giác có thể chuyển về các bất đẳng thức giữa các véc tơ với tích vô hớng của chúng Nh vậy có thể cải tiến hoặc phát hiện cách chứng minh bất đẳng thức lợng giác bằng phơng pháp véc tơ,

đều ít thấy trong các tài liệu giáo khoa

Trong phạm vi của bài viết này Tôi chỉ đơn cử một vài ví dụ hy vọng thông qua đó ngời học làm quen với việc sử dụng tích vô hớng của 2 véc tơ để chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác, trong hình tứ diện

I, Lý thuyết: Các kiến thức về véc tơ, tích vô hớng của 2 véc tơ.

* Định nghĩa: Tích vô hớng của 2 véc tơ là một số thực đợc xác định bởi công

4

1

* Tính chất: + a.b= a.bcos(a.b)

+a.b=b.a

+k(a.b) = (k a)b

+a(b+c) =a.b+b.c

* a⊥b⇔a.b= 0

*a.a =a2 = a2

II, Bài tập:

Bài toán 1: Chứng minh rằng với tam giác ABC bất kì luôn có: cosA +cosB

+cos C

2

3

≤ (1)

Nhận xét: Dễ thấy bđt (1)

8

1 2

sin 2

sin 2

Tồn tại nhiều cách chứng minh (1) hoặc (2) nh áp dụng định lí hàm số côsin,

đa về dạng tổng bình phơng hoặc trên bất đẳng thức hàm lồi Lời giải sau dựa vào tích vô hớng của các véc tơ

Từ điểm E bất kỳ trong mặt phẳng (ABC) dựng 3 véc tơ v1,v2,v3 có độ dài đơn vị lần lợt vuông góc với các cạnh BC, AC ,AB

A v2

v3

E

B C

v1

Theo tính chất của tích vô hớng

0 ( ) 2 12. 22. 32 2 ( 1. 2 2. 3 1. 3)

3

2

1v v v v v v v v v v v

Để ý, theo giả thiết v12 =v22 =v32 = 1 ; v1.v2 = cos(v1,v2) = − cosC;

; cos )

, cos(

v = = − v1.v3 = cos(v1,v3) = − cosB;

nên ta có: 0 ≤ 3- 2 (cosA + cosB +cosC) Từ đó: cosA +cosB +cos C

2

3

≤

Bài toán 2: Chứng minh rằng với tam giác ABC bất kì luôn có:

2

3 2

sin 2

sin

2

sin A+ B+ C ≤ (3)

2

3 2

cos 2

cos 2

cosB+C + A+C + A+B ≤ nghĩa

là bài toán 2 đợc đa về bài toán 1

Cách khác:

Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC Gọi u1,u2,u3 theo thứ tự là các

véc tơ đơn vị cùng hớng với các véc tơ IA,IB,IC. Dễ thấy rằng:

2 2

)

,

(u1 u2 = π +C;

2 2 ) , (u1 u3 = π + B;

2 2 ) , (u3 u2 = π + A

Ta có: A 0

)

( 2 )

3

2

2

sin 2

sin 2

B A

C

+ + B I C

BĐT này tơng đơng với BĐT (2)

Bài toán 3:Chứng minh rằng với tam giác ABC bất kì và ba số thực x,y,z tuỳ ý,

luôn có: x2 +y2 + z2 ≥2xycosC + 2xz cosB + 2 yz cosA (4)

Giải: Lại chọn các véc tơ v1,v2,v3 nh bài toán 1, sử dụng tích vô hớng của

từng cặp véc tơ v1, v2,z v3 Ta có:

3 2

≤ v v z v x y z (xycosC + xz cosB + yz cosA)

từ đó có ngay bất đẳng thức (4)

Bài toán 4: Chứng minh rằng với tam giác ABC bất kì và ba số dơng m,n,p tuỳ

2

2

sin 2

sin 2

p n m

p n m C p

B n

A

Giải: *Cách 1:Ta thấy bài toán 4 có vẻ thách thức hơn.Thế nhng sau khi rút

gọn vế phải của (5) ta đa BĐT (4) về dạng tơng đơng:

m2n2 + n2p2 + m2p2 )

2

sin 2

sin 2

sin (

Đặt mn = x; mp = y; np =z,

2

, 2

, 2

B A C

A C

trở thành x2 +y2 + z2 ≥2xycosα + 2xz cosβ + 2 yz cosγ Nh vậy bài toán 4

đã đa về bài toán 3

*Cách 2: Lấy các véc tơ u1,u2,u3 nh trong bài toán 2, sử dụng tích vô hớng của từng cặp véc tơ 1 2 3

1 ,

1 ,

1

u p

u n

u

0 (1 1 1 ) 2 12 12 12 2 ( 1 1. 2 1 2. 3 1 1. 3)

3 2

mp u u np u u mn p

n m

u p

u

n

u

2 sin

1 2 sin

1 2 sin

1 ( 2 1 1

1

2 2

2

B mp

A np

C mn p

n

Bài toán 5: chứng minh rằng với tam giác ABC bất kì luôn có:

cosA.cosB.cosC

8

1

≤ (7)

Giải: Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, gọi n1,n2,n3 theo thứ tự

là các véc tơ đơn vị cùng hớng với các véc tơ OA;OB;OC.

A

B C

O

Dễ thấy( n1,n2 ) =2C ; (n1,n3 ) = 2B ; (n2, n3) = 2A

Ta có: 0 ( ) 2 12 22 32 2 ( 1. 2 2. 3 1. 3)

3 2

≤

= 3+ 2( cos2C+cos2B + cos2A) (8)

Biến đổi : cos2C+cos2B + cos2A= 2cos(A+B)cos(A-B) +2 cos2C -1 =

= -2cosC [cos(A-B) + cos(A+B)]-1 = - 4 cosC.cosA.cosB - 1

thay kết quả biến đổi này vào (8) đợc 0≤3-2-8cosA.cosB.cosC hay

cosA.cosB.cosC

8

1

≤

Bài toán 6: Chứng minh rằng với tam giác ABC bất kì và mọi số thực x, luôn

có: 1 + 2 ≥

2

1

x cosA + x(cosB + cosC) (9)

Giải:

*Cách 1: Dễ nhận thấy sau việc chuyển vế phải của BĐT (9) sang vế trái ta đa việc chứng minh (9) về phép chứng minh tam thức bậc hai:

f(x) = x (cosB cosC)x 1 cosA

2

2

− + +

Tuy nhiên đó cha phải là phơng pháp duy nhất hữu hiệu, thật vậy ta xét cách sau

*Cách 2: Ta chọn các véc tơ v1,v2,v3 nh bài toán 1 rồi dùng bình phơng vô hớng của véc tơ v= v1+v2 +v3 ta đợc:

3 2 1

2

2 ) (

2 )

0≤ x2 -2x ( cos C +cosB) -2cosA +2

Từ đó x2 +2 ≥ 2cos A + 2x(cosB+ cosC ), suy ra BĐT (9)

Sau cùng tiếp tục vận dụng ý tởng trên vào một bài toán hình học không gian

đặc sắc mà việc chứng minh bằng một đờng lối khác sẽ vô cùng phức tạp

Bài toán 7: Chứng minh rằng tổng các côsin của 6 nhị diện tạo bởi 4 mặt của

một tứ diện bất kì luôn nhỏ hơn 2

Giải:

Gọi α 1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 , α 6 là các góc phẳng của 6 nhị diện tạo thành

Từ một điểm I tuỳ ý trong hình tứ diện, ta dựng 4 véc tơ đơn vị lần lợt vuông góc với 4 mặt của tứ diện, gọi các véc tơ đó là v1,v2,v3,v4

Bình phơng vô hớng của véc tơ v=v1 +v2 +v3 +v4 ta đợc

4 3 2 1

2

)

=

6 1

cos

i

i

α ) Từ đó suy ra ∑

=

6 1

cos

i

i

α ≤2

Cũng dễ dàng nhận thấy khi tứ diện đều ta có ∑

=

6 1

cos

i

i

α =2.

Vậy là bằng một phơng pháp thống nhất, nhiều bài toán phức tạp đợc giải quyết khá đơn giản vì khối lợng tính toán và biến đổi khá gọn, không cần dùng đến các phép biến đổi lợng giác dài dòng Hy vọng các đồng nghiệp, học sinh có thể sử dụng tích vô hớng của các véc tơ để chứng minh đợc nhiều bất

đẳng thức lợng giác khác Bản thân tôi cũng rất mong muốn nhận đợc sự trao

đổi góp ý từ đồng nghiệp và học sinh để tôi thực hiện tốt hơn nữa công việc giảng dạy của mình Tôi xin chân thành cán ơn

lời kết

* Tự nhận xét:

- Học sinh nắm bắt vấn đề một cách nhanh chóng, có vận dụng đợc để giải các bài toán chứng minh đẳng thức lợng giác, bất đẳng thức lợng giác

- Có hứng thú khi giáo viên đa ra vấn đề dới dạng gợi mở, vấn đáp

* Tồn tại:

- Đề tài này áp dụng cho đối tợng là học sinh lớp 10 sau khi học xong phần kiến thức về véc tơ trong mặt phẳng, tuy nhiên cha có điều kiện thực hiện vì tôi không giảng dạy học sinh khối 10

- Trong đề tài này còn cha đa dạng các loại bài tập về bất đẳng thức lợng giác