Khoá luận tốt nghiệp toán Ước lượng khoảng

i LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp em đã gặp rất nhiều khó khăn và bỡ ngỡ. Nếu không có những sự giúp đỡ và động viên của nhiều thầy cô giáo, bạn bè và gia đình có lẽ em khó có thể hoàn thành khóa luận này. Đầu tiên em xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến cô giáo Th.S Hoàng Thị Duyên, người đã chỉ dạy cho em những kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học, đã động viên em trong suốt thời gian học tập, đặc biệt là trong quá trình làm khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, cán bộ, giảng viên Trường Đại Học Quảng Bình, giảng viên khoa khoa học tự nhiên đã tận tình giảng dạy, khích lệ, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu. Xin cảm ơn gia đình, bạn bè đặc biệt là các bạn trong lớp Đại học sư phạm Toán - K52 đã động viên và giúp đỡ em trong thời gian vừa qua. Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng do thời gian thực hiện còn bị chi phối bởi đợt thực tập tốt nghiệp, kiến thức còn hạn chế nên bài khóa luận chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Em mong muốn nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn để đề tài được hoàn thiện hơn. Sinh viên Võ Thị Thủy MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC 1 MỞ ĐẦU 3 CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất . . . . . . . . . . . 7 1.1.1 Biến ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 Phân phối xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Mẫu ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 CHƯƠNG 2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 22 2.1 Ước lượng khoảng cho trung bình của một phân phối chuẩn khi biết phương sai σ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Ước lượng khoảng cho trung bình của một phân phối chuẩn khi chưa biết phương sai σ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Ước lượng khoảng cho phương sai σ 2 của một phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.4 Ước lượng khoảng cho hiệu giữa hai giá trị trung bình của hai phân phối chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.1 Ước lượng khoảng cho hiệu giữa hai giá trị trung bình của hai phân phối chuẩn khi đã biết phương sai σ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 2 2.4.2 Ước lượng khoảng cho hiệu giữa hai giá trị trung bình của hai phân phối chuẩn khi chưa biết phương sai σ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 Ước lượng khoảng cho trung bình của biến ngẫu nhiên Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.6 Ước lượng khoảng cho trung bình của hàm phân phối mũ 47 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xác suất thống kê là một nghành khoa học hiện đại, nó gần như xuất phát từ các hiện tượng trong đời sống thực tiễn, hình thành và phát triển rất nhanh nhằm phục vụ các nhu cầu thực tiễn. Trong khoa học cũng như trong cuộc sống hằng ngày chúng ta thường gặp các hiện tượng ngẫu nhiên. Đó là những hiện tượng mà ta không thể dự đoán một cách chắc chắn rằng chúng xảy ra hay không xảy ra. Nhà triết học Mỹ Bengiamin Fraklin có nói: "ở nước Mỹ không có gì là chắc chắn cả, ngoại trừ 2 điều: chắc chắn ai cũng chết và chắc chắn ai cũng phải nộp thuế". Ngẫu nhiên hiển diện mọi nơi, mọi lúc tác động đến chúng ta. Ngẫu nhiên mang lại cho ta cả niềm vui và nổi buồn, cả hạnh phúc và nổi đau. Ngẫu nhiên đích thị là một phần tất yếu của cuộc sống. Lý thuyết xác suất là bộ môn toán học nghiên cứu tìm ra các quy luật và đưa ra các phương pháp tính toán xác suất của các hiện tượng ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất đã trở thành một nghành toán học quan trọng cả về phương diện lý thuyết và ứng dụng. Nó là một công cụ không thể thiếu được mỗi khi cần đánh giá các cơ may, các nguy cơ rủi ro. Nhà toán học Pháp Laplace ở thế kỷ XIX đã tiên đoán " Môn khoa học này hứa hẹn trở thành một trong những đối tượng quan trọng nhất của đời sống thực tế thuộc về những bài toán của lý thuyết xác suất". Navigation đã nói "Có bao giờ bạn thấy mình gặp may mắn hay rủi ro? Khi nào may mắn, khi nào rủi ro? Nếu nắm được quy luật này thì tuyệt vời phải không? Lý thuyết xác xuất đang hướng tới điều đó". Song hành cùng với sự phát triển của lý thuyết xác xuất, Chúng ta phải nhắc tới thống kê toán học. Sự ra đời của thống kê toán học bắt nguồn từ các vấn đề thực tiễn và dựa trên những thành tựu của lý thuyết 4 xác suất. Thống kê toán học đã có bước tiến nhanh với sự đóng góp của các nhà toán học như: Gantơn (1822 - 1911), Piếcxơn (1857 - 1936), Cramer, Fisher, Von Neuman Hiện nay thống kê toán học đã được ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các hoạt động của con người, từ khoa học tự nhiên, kinh tế, nông nghiệp, y học cho tới các khoa học xã hội và nhân văn. Thông kê giúp chúng ta phân tích số liệu một cách khách quan, đáng tin cậy, phát hiện ra các tri thức, thông tin ẩn chứa trong các số liệu đó. Cho nên, chúng ta cần biết trình bày các số liệu thống kê, cách tính các số liệu đặc trưng của các số liệu này và hiểu ý nghĩa của chúng. Một nhà xã hội nổi tiếng đã nói "Thiếu khoa học thống kê, nhà nghiên cứu xã hội khác nào một người mù mò mẫn trong căn nhà kho tối đen để tìm một con mèo đen đã không còn ở đó nữa". Thống kê toán học cung cấp các phương pháp thu thập, xử lí và diễn giải các phân tích về dân số, kinh tế, giáo dục để từ đó có thể vạch chính sách và ra các quyết định đúng đắn. Ngay đầu thế kỉ XX, nhà triết học người Anh, H.G.Well đã dự báo "Trong một tương lai không xa, kiến thức thống kê và tư duy thống kê sẽ trở thành một yếu tố không thể thiếu được trong học vấn phổ thông của mỗi công dân, giống như là khả năng biết đọc, biết viết vậy". Như vậy, để đáp ứng nhu cầu cuộc sống hiện đại thì thống kê và tư duy thống kê là một điều không thể thiếu đối với bất kì ai, dù công việc của người đó có liên quan trực tiếp đến các phương pháp thống kê hay không. Ước lượng khoảng cho các tham số là một trong những bài toán cơ bản của thống kê toán học. Khi nghiên cứu đặc tính X của mỗi cá thể của tổng thể thì một trong những mục tiêu cơ bản của việc nghiên cứu là xác định các tham số đặc trưng của tổng thể như trung bình, phương sai, cơ cấu của tổng thể theo dấu hiệu nghiên cứu. Đó là những chỉ tiêu tổng hợp để phân tích tổng thể cần nghiên cứu. Nếu xác định được quy luật xác suất của X thì việc đưa ra các đánh 5 giá cũng như các dự báo về sự biến động của tổng thể liên quan đến đặc tính này sẽ chính xác và khách quan. Tuy nhiên không phải lúc nào chúng ta cũng xác định được quy luật của X. Trong một số trường hợp, ta chỉ biết được dạng toán học của hàm phân phối hoặc hàm mật độ của biến định lượng X mà chưa biết các tham số có mặt trong chúng. Vì vậy để xác định quy luật xác suất của X trước hết ta phải đưa ra những đánh giá về tham số này. Bài toán ước lượng khoảng cho các tham số của phân phối xác suất sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề này. Với những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài cho khóa luận Ước lượng khoảng. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của khóa luận này là giới thiệu cách xây dựng các ước lượng khoảng cho các tham số trong một số phân phối nhất định, và đưa ra một số ví dụ để làm rõ cho từng trường hợp cụ thể. Để từ đó trang bị cho các học sinh, sinh viên vốn kiến thức cơ bản về ước lượng khoảng. Thông qua ví dụ, giúp các bạn hiểu rõ hơn. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về cách xây dựng các ước lượng khoảng cho các tham số với các phân phối nhất định. • Phạm vi nghiên cứu: Lý thuyết xác suất, xác suất thống kê toán. 4. Phương pháp nghiên cứu Các phương pháp được sử dụng trong quá trình nghiên cứu đề tài: - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu làm rõ nội dung lý thuyết. sau đó trình bày lại các nội dung theo một hệ 6 thống lôgic. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân, của các bạn học, anh chị học trước để tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức, vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học kết hợp với việc đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa chi tiết. - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Xemina, tiếp thu ý kiến của giảng viên hướng dẫn để hoàn thành về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận. 5. Bố cục đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung đề tài khóa luận được chia thành hai chương, trong đó, nội dung chính của khóa luận được trình bày ở chương 2. Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Chương này là hệ thống gồm một số khái niệm, định nghĩa và mệnh đề cơ bản về biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất, mẫu ngẫu nhiên cùng với một số hệ quả, định lý có liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu cho chương sau. Chương 2: Ước lượng khoảng Chương này nghiên cứu về các vấn đề của ước lượng khoảng và đưa ra cách xây dựng các ước lượng khoảng cho các tham số với các phân phối khác nhau và đưa ra một số ví dụ minh họa làm rõ vấn đề cần nghiên cứu. CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất, mẫu ngẫu nhiên làm cơ sở để xây dựng cho chương 2 của khóa luận. Các kiến thức ở chương này, chúng tôi trích dẫn trong các tài liệu [5], [6], [7], [9]. 1.1 Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất 1.1.1 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1. Một ánh xạ X từ không gian các sự kiện ngẫu nhiên cơ bản Ω vào R gọi là một biến ngẫu nhiên. X : Ω → R ω → X(ω). Tập X = {X(ω)|ω ∈ Ω} gọi là tập giá trị của biến ngẫu nhiên X. Ví dụ 1.1.2. Các đại lượng sau đây là các biến ngẫu nhiên. • Gọi X là số lần xuất hiện mặt sấp trong 1 lần gieo đồng tiền cân đối và đồng chất thì X là biến ngẫu nhiên. Giá trị của X là: 0; 1. • Gọi X là số viên đạn trúng đích khi bắn n viên đạn độc lập vào một mục tiêu thì X là biến ngẫu nhiên với giá trị 0, 1, , n. 7 8 1.1.2 Phân phối xác suất Định nghĩa 1.1.3. Hàm phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên X được định nghĩa bởi F X (x) = P {X ≤ x}. Đó là một hàm đơn điệu tăng, liên tục phải và lim x→−∞ F X (x) = 0, lim x→+∞ F X (x) = 1. Định nghĩa 1.1.4. Biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc nếu tập các giá trị của X là một tập hợp hữu hạn hoặc đếm được. Định nghĩa 1.1.5. Biến ngẫu nhiên X gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu hàm phân phối xác suất của X được biểu diễn dưới dạng F (x) = x  −∞ f(t)dt, trong đó, f(t) ≥ 0. Hàm f (t) được gọi là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X. Khi đó, hàm phân phối F (x) được gọi là hàm phân phối tuyệt đối liên tục. Mệnh đề sau nói lên mối liên hệ giữa hàm mật độ và hàm phân phối của X. Mệnh đề 1.1.6. i, F (x) = P (X ≤ x) = x  −∞ f(t)dt. ii, f(x) = dF (x) dx , nếu x là điểm liên tục của f(x). Định nghĩa 1.1.7. Véctơ X = (X 1 , X 2 , , X n ) mà các thành phần X 1 , X 2 , , X n là các biến ngẫu nhiên được gọi là véctơ ngẫu nhiên n 9 chiều. Các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n được gọi là các tọa độ của véctơ ngẫu nhiên X. F X 1 ,X 2 , ,X n (x 1 , x 2 , , x n ) = P (X 1 < x 1 , X 2 < x 2 , , X n < x n ) được gọi là hàm phân phối của véctơ ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) hay là hàm phân phối đồng thời của các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , , X n . Định nghĩa 1.1.8. Véctơ ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) là véctơ ngẫu nhiên rời rạc nếu các tọa độ của nó là những biến ngẫu nhiên rời rạc. Định nghĩa 1.1.9. Hàm phân phối F(x 1 , , x n ) của véctơ ngẫu nhiên (X 1 , X 2 , , X n ) có dạng F (x 1 , x 2 , , x n ) = x 1  −∞ x 2  −∞ x n  −∞ f(u 1 , u 2 , , u n )du 1 du 2 du n , trong đó f (u 1 , u 2 , , u n ) ≥ 0. Hàm f(u 1 , u 2 , , u n ) được gọi là hàm mật độ xác suất của véctơ ngẫu nhiên (X 1 , X n ) và véctơ ngẫu nhiên (X 1 , X n ) được gọi là véctơ ngẫu nhiên liên tục. Định nghĩa 1.1.10. Các biến ngẫu nhiên X 1 , X n được gọi là độc lập nếu F X 1 , X n (x 1 , x 2 , , x n ) = F X 1 (x 1 )F X 2 (x 2 ) F X n (x n ). Các đặc trưng của phân phối cho chúng ta một lượng thông tin nào đó về biến ngẫu nhiên tương ứng. Chúng ta xét một số đặc trưng thường dùng sau. Định nghĩa 1.1.11. Kì vọng của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu là E(X) được xác định như sau i, Nếu X là biến ngẫu nhiên có hàm phân phối F (x) thì E(X) = +∞  −∞ xdF (x). [...]... tới khoảng tin cậy sao cho độ dài của khoảng là bé nhất so với tất cả các khoảng tin cậy khác có cùng mức tin cậy Thông thường khoảng tin cậy đối xứng, tức là khoảng tin cậy (θ0 − ε; θ0 + ε) sao cho: α 2 là khoảng tin cậy ngắn nhất với mức tin cậy β = 1 − α, trong đó P {θ < θ0 − ε} = P {θ > θ0 + ε} = ε là độ chính xác (hoặc sai số) hay bán kính của khoảng ước lượng (θ0 − ε; θ0 + ε) 2.1 Ước lượng khoảng. .. phối đó Trong chương này, ta sẽ nghiên cứu việc xây dựng ước lượng khoảng (hoặc khoảng tin cậy) cho các tham số của một phân pối xác suất Trong thực tế, chúng ta thường đặt ra câu hỏi: Liệu có thể xây dựng được các khoảng ngẫu nhiên (khoảng với các đầu mút ngẫu nhiên) chứa giá rị chân thực của tham số với xác suất cho trước hay không? Ước lượng khoảng sẽ giúp ta trả lời câu hỏi đó Giả sử (X1 , X2 , ,... thu được khoảng tin cậy một phía cho σ 2 Với độ tin cậy 1 − α 35 • Khoảng tin cậy trên (n − 1)s2 ; +∞ χ2 α,n−1 • Khoảng tin cậy dưới (n − 1)s2 −∞; 2 χ1−α,n−1 2.4 Ước lượng khoảng cho hiệu giữa hai giá trị trung bình của hai phân phối chuẩn 2.4.1 Ước lượng khoảng cho hiệu giữa hai giá trị trung bình của hai phân phối chuẩn khi đã biết phương sai σ 2 Cho X1 , X2 , , Xn là một mẫu có kích thước n của... 2, 33 Khoảng tin cậy trên với độ tin cậy 99% 2 9 − 2, 33 ; +∞ 3 = (7, 447; +∞) 27 Tương tự, khoảng tin cậy dưới với độ tin cậy 99% là −∞; 9 + 2, 33 2 3 = (−∞; 10, 553) Trong khoảng tin cậy hai phía, với độ tin cậy 1 − α, một vấn đề khá hấp dẫn là cần chọn kích thước mẫu n bằng bao nhiêu để độ dài hay bán kính của khoảng ước lượng bằng một giá trị cho trước Ví dụ 2.1.4 Cần lấy mẫu với kích thước bao... , Y2 , , Yn là một mẫu có kích thước m từ một phân phối khác có giá 2 trị trung bình µ2 chưa biết và phương sai σ2 đã biết Giả sử rằng hai mẫu độc lập với nhau Chúng ta quan tâm đến ước lượng khoảng của µ1 − µ2 1 n 1 m Xi và Y = Yi tương ứng là ước lượng hợp lý cực Vì X = n i=1 m i=1 đại cho µ1 và µ2 nên X − Y là ước lượng hợp lý cực đại cho µ1 − µ2 Để đạt được một khoảng tin cậy, chúng ta cần phân... bao nhiêu để khoảng tin cậy cho µ có độ dài là 0, 1 với độ tin cậy 99%.? Giải Giả sử mẫu được lấy có kích thước n Ta có z0,005 = 2, 58 Với độ tin cậy 99%, ước lượng khoảng cho µ là σ σ x − 2, 58 √ ; x + 2, 58 √ n n Do đó, chiều dài của khoảng tin cậy đó là σ 5, 16 √ n Vì chiều dài của khoảng tin cậy bằng 0, 1 nên ta có σ 5, 16 √ = 0, 1 n Hay n = (51, 6σ)2 Chú ý Việc giải thích cho "một khoảng tin... phương sai σ 2 đã biết Ta cần tìm khoảng ước lượng cho µ trong trường hợp σ 2 đã biết Vì Z := X −µ σ ∼ N (0, 1) √ n nên với mức ý nghĩa α       X −µ α < α P −z 2 σ < z2 = 1 − α    √ n α trong đó, z α là điểm sao cho Φ(z α ) = 1 − Điều này tương đương với 2 2 2 σ σ P X − zα √ < µ < X + zα √ = 1 − α 2 2 n n Từ đây ta có kết luận rằng, với độ tin cậy 1 − α, khoảng ước lượng cho µ của một phân phối... ta biết rằng trọng lượng trung bình của cá hồi tăng trưởng bình thường tại một trại sản xuất giống là thay đổi từ mùa này sang mùa khác, với độ lệch chuẩn cố định ở mức 0,3kg Hãy tính kích thước mẫu lớn nhất cần thiết, biết nếu với độ tin cậy 95% thì ước lượng khoảng trọng lượng trung bình của cá hồi ở mùa hiện tại có độ chính xác nằm trong vòng ± 0, 1 kg Giải Với 95% độ tin cậy, khoảng tin cậy cho... những gì chúng ta có thể khẳng định là, với khoảng tin cậy 95% chúng ta có thể đạt được một khoảng tin cậy nhất định để µ nằm trong 28 khoảng đó Nói cách khác, trước khi các dữ liệu được quan sát, chúng ta có thể khẳng định rằng, với xác suất 95% thì ta sẽ có được một khoảng tin cậy chứa µ, trong khi đó, sau khi các dữ liệu thu được chúng ta có thể khẳng định rằng khoảng tin cậy chứa µ với độ tin cậy 0,... √ = 3 n Khoảng tin cậy phía trên với độ tin cậy 95% là (9 − 1, 097; +∞) = (7, 903; +∞) Và khoảng tin cậy phía dưới với độ tin cậy 95% là (−∞; 9 + 1, 097) = (−∞; 10, 097) Ví dụ 2.1.3 Sử dụng các dữ liệu đã đạt được ở ví dụ 2.1.1, hãy tìm khoảng tin cậy hai phía, khoảng tin cậy trên và khoảng tin cậy dưới cho µ với độ tin cậy 99% Giải Từ z0,005 = 2, 58 và σ 5, 16 2, 58 √ = = 1, 72 3 n Từ đó khoảng tin . . . 17 CHƯƠNG 2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 22 2.1 Ước lượng khoảng cho trung bình của một phân phối chuẩn khi biết phương sai σ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Ước lượng khoảng cho trung. việc nghiên cứu cho chương sau. Chương 2: Ước lượng khoảng Chương này nghiên cứu về các vấn đề của ước lượng khoảng và đưa ra cách xây dựng các ước lượng khoảng cho các tham số với các phân phối khác. này. Bài toán ước lượng khoảng cho các tham số của phân phối xác suất sẽ giúp chúng ta giải quyết vấn đề này. Với những lý do trên, chúng tôi đã chọn đề tài cho khóa luận Ước lượng khoảng. 2.