Một số lớp nghiệm tường minh của phương trình truyền sóng phi tuyến

Sự tồn tại nghiệm và tính duynhất nghiệm của phương trình này đã được khẳng định trong các khônggian hàm được sử dụng trong bài toán tán xạ.. Kết quả ta nhận được tập hợp 10Bước 2, xây d

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN HUY HOÀNG

MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH

CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2012

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-

NGUYỄN HUY HOÀNG

MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH

CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN

Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân

Mã số: 62 46 01 05

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 PGS TS Hà Tiến Ngoạn

2 PGS TS Hoàng Quốc Toàn

HÀ NỘI - 2012

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG

2.1 Dạng song tuyến tính của phương trình hỗn hợp và nghiệm

Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận

tập dữ liệu tán xạ của toán tử Dirac D(t)

tuyệt đối địa phương trên nửa khoảng [0, ∞)

liên tục tuyệt đối địa phương trên nửa khoảng [0, ∞)

MỞ ĐẦU

Trong các phương trình đạo hàm riêng mô tả quá trình truyền sóng cómột nhóm phương trình truyền sóng phi tuyến có tên là các phương trìnhsoliton

Về nguồn gốc vật lý, các phương trình này được dẫn ra từ một loạtbài toán thuộc nhiều lĩnh vực như cơ học chất lỏng, quang học phi tuyến,vật lý plasma và lý thuyết dây ([3, 20, 39]) Mỗi phương trình thuộc nhómnày đều thừa nhận một lớp nghiệm đặc biệt được xác định tường minh vàcác nghiệm đó mô tả sự lan truyền, tương tác phi tuyến của những sóngđơn có tốc độ, biên độ không đổi Tốc độ và biên độ của chúng được bảotoàn ngay cả sau khi xảy ra sự tương tác Với đặc tính vật lý như vậy cácsóng này được gọi là các soliton Thuật ngữ soliton được sử dụng lần đầutiên bởi V E Zabusky và M D Kruskal năm 1965 trong một công trìnhnghiên cứu của hai ông về bài toán Fermi-Pasta-Ulam và phương trìnhKorteweg-de Vries trong Vật lý plasma ([42]) Trước đó, sóng soliton đượcquan sát lần đầu tiên trong thực tế bởi J S Russell vào năm 1834 dướidạng một sóng nước xuất hiện và lan truyền trên một kênh nước nông ởEdingburgh, Scotland (xem [3, 46])

Trong các phương trình soliton mô tả quá trình lan truyền sóng trongmột chiều không gian và một chiều thời gian có bốn đại diện tiêu biểu sauđây:

Phương trình Korteweg-de Vries là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến

các đạo hàm riêng của u Biến x là biến không gian, biến t là biến thờigian Phương trình Korteweg-de Vries được dẫn ra năm 1895 từ nghiêncứu của D J Korteweg và một học trò của ông là G de Vries về quá trìnhlan truyền của sóng nước nông trên kênh hẹp có đáy phẳng;

Phương trình Schr¨odinger phi tuyến là phương trình

mở đầu cho một chuỗi các nghiên cứu về phương trình Korteweg-de Vries

và các mở rộng ([32]) Trên thực tế phương trình (3) có quan hệ chặt chẽvới phương trình (1) Thật vậy nếu v(x, t) là nghiệm của (3) thì u(x, t) =

Phương trình sine-Gordon là phương trình

Phương trình sine-Gordon xuất hiện khá sớm từ đầu thế kỷ 19 và ban đầu

nó được đưa ra trong các nghiên cứu về các mặt giả cầu trong hình học viphân (xem [38])

Trong Vật lý người ta cũng dẫn ra các phương trình soliton mô tả quátrình truyền sóng trong hai hoặc ba chiều không gian (xem [4, 20]) Tuynhiên trong khuôn khổ các kết quả nghiên cứu của Luận án chúng tôikhông đề cập đến các phương trình này

TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU

Có nhiều phương pháp toán học đã được sử dụng để nghiên cứu cácphương trình soliton Hai phương pháp trong số đó có liên quan mật thiết

và được sử dụng trong Luận án này là phương pháp bài toán tán xạ ngược

và kỹ thuật Wronskian

Phương pháp bài toán tán xạ ngược là phương pháp giải bài toánCauchy trên toàn trục không gian (x ∈ (−∞, ∞)) đối với các phương trìnhsoliton trong lớp các hàm giảm nhanh Phương pháp này được hình thành

từ một chuỗi bài báo với khởi đầu là kết quả trên phương trình truyền sóngnước nông Korteweg-de Vries (1) (xem [1, 2, 5, 10, 11, 21, 43, 44, 45])

Trong phương pháp này chúng ta liên kết ẩn hàm u(x, t) của các phươngtrình soliton (1) và (2) với thế vị tương ứng của các toán tử tuyến tính

đó t đóng vai trò là tham số Từ đó sử dụng các kết quả đã biết của bàitoán tán xạ đối với các toán tử này chúng ta xây dựng được lời giải củabài toán Cauchy

Lời giải của bài toán Cauchy đối với phương trình Korteweg-de Vries

với biến thời gian t được coi là một tham số tự do

Theo kết quả của bài toán tán xạ thuận, từ thế vị u(x, t) nào đấy làhàm giảm nhanh, nhận giá trị thực, chúng ta xác định được một tập hợp

có dạng

dữ liệu tán xạ của toán tử L(t) Toán tử L(t) chỉ có các giá trị riêng đơn

trường hợp các giá trị riêng của toán tử không phụ thuộc vào biến t) Các

xạ là hàm r(t, k) được gọi là hệ số phản xạ của toán tử Có thể thamkhảo các mô tả chi tiết hơn về tập dữ liệu tán xạ S(t) trong các tài liệu[3, 5, 7, 13, 39, 46]

Đảo lại, từ một tập hợp S(t) nào đấy có cấu trúc như (7), bài toán tán

xạ ngược đã đưa ra một sơ đồ để xây dựng một hàm số u(x, t) sao cho khi

của toán tử đó lại chính là S(t) (xem [3, 5, 7, 46]) Khâu then chốt trongbài toán ngược là việc giải một phương trình tích phân kỳ dị có tên làphương trình Gelfand-Levitan-Marchenko Sự tồn tại nghiệm và tính duynhất nghiệm của phương trình này đã được khẳng định trong các khônggian hàm được sử dụng trong bài toán tán xạ Tuy nhiên việc tính tườngminh nghiệm của phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko mới chỉ thựchiện được trong một vài tình huống Trong số các tình huống này có mộttrường hợp đặc biệt là tập S(t) chứa hệ số phản xạ r(t, k) = 0 với mọi

k ∈ R (ứng với một giá trị nào đấy của t) Thế vị u(x, t) được tính ra theobài toán tán xạ ngược trong trường hợp này được gọi là thế vị không phản

Bước 1, tính toán tập dữ liệu tán xạ ứng với t = 0 từ giá trị ban đầuu(x, 0) mà thuộc lớp thế vị không phản xạ Kết quả ta nhận được tập hợp

(10)Bước 2, xây dựng phương trình tiến hóa để tính toán dữ liệu tán xạ S(t).Nếu u(x, t) được xác định bởi (8) là nghiệm của phương trình Korteweg-deVries (1) thì người ta đã chứng minh rằng: dữ liệu tán xạ S(t) có quy luậttiến hóa như sau

Bước 3, phục hồi lại hàm u(x, t) bởi công thức (8) từ dữ liệu tán xạS(t) trong (11) Hàm u(x, t) nhận được là nghiệm của bài toán Cauchyđối với phương trình Korteweg-de Vries (1) Lớp nghiệm này mô tả sự lantruyền và tương tác của N sóng nước đơn độc và được gọi là nghiệm N -solion không phản xạ của phương trình (1) Chúng ta có nhận xét rằng lớpnghiệm này nhận giá trị thực

là hoàn toàn tương tự

Chúng ta xét toán tử Dirac

d

đến chuẩn của hàm riêng ứng với phổ rời rạc Đặc tính của tập dữ liệu tán

xạ S(t) trong (13) đã được mô tả chi tiết trong các tài liệu [3, 7, 46] Từmột tập hợp S(t) có cấu trúc như (13), bài toán tán xạ ngược đã đưa ramột sơ đồ xây dựng một hàm số u(x, t) sao cho khi thế hàm u(x, t) nàyvào (12) thì tập dữ liệu tán xạ của toán tử D(t) lại chính là S(t) Khib(t, k) = 0 với mọi k ∈ R (ứng với một giá trị nào đấy của t), thì bài toántán xạ ngược cũng giải được tường minh và thế vị u(x, t) nhận được trongtrường hợp này được gọi là thế vị không phản xạ Hơn nữa, thế vị khôngphản xạ của toán tử Dirac có biểu diễn là

2

ở đây I là ma trận đơn vị cấp N , ma trận A(x, t) vuông cấp N và có cácphần tử là

2

trong đó, C1(0), C2(0), , CN(0) là các số phức nào đó.

lan truyền và tương tác của N sóng soliton đơn và được gọi là nghiệm

Trên nửa trục, chúng ta cũng có các bài toán biên-giá trị ban đầu đốivới các phương trình soliton ([9], [14]-[17], [40, 41]) Một vấn đề được đặt

ra là có thể sử dụng được hay không phương pháp bài toán tán xạ ngược

để giải bài toán nêu trên Cấu trúc của dữ liệu tán xạ của các toán tử

các Tiểu mục 1.1.1 và 1.2.1 dưới đây Yếu tố then chốt của việc sử dụngkết quả của bài toán tán xạ để nghiên cứu phương trình soliton chính làviệc xây dựng được quy luật tiến hóa của tập dữ liệu tán xạ theo thời gian.Kết quả về quy luật tiến hóa đối với dữ liệu tán xạ của bài toán toàn trụcđược đưa ra trên cơ sở tính giảm nhanh của u(x, t) khi x −→ ±∞ Khichuyển về xét bài toán nửa trục các kết quả của toàn trục nhận được khicho x −→ −∞ không còn hiệu lực nữa Việc sử dụng điểm x = 0 cho thấytrong phương trình tiến hóa của tập dữ liệu tán xạ chứa các đại lượng

làm bài toán biên-giá trị ban đầu trở thành quá xác định Ở một cách nhìn

trị u(x, 0) và u(0, t) và đây là một bài toán khó (xem [9], [14]-[17]) P L

Vu đã đưa ra một phương án trong hai bài báo [40, 41] và giải được bàitoán biên giá trị ban đầu trên nửa trục trong một trường hợp đặc biệt.Trong phương án này ông đã đưa ra thêm một điều kiện đủ có tính kỹthuật để tính toán tiến hóa của dữ liệu tán xạ Để minh họa cho kết quảnhận được, trong hai bài báo đó P L Vu đã đưa ra lớp thế vị không tán

xạ (lớp tương tự với thế vị không phản xạ) và lấy ví dụ về nghiệm củaphương trình soliton trong lớp hàm này

L Vu xây dựng trong bài báo [41] là lớp hàm số sau đây

1, 2, , N được gọi là các đa thức chuẩn ([24, 41]) Trong bài báo [41], P.

L Vu mới chỉ xây dựng hai ví dụ về nghiệm của phương trình Korteweg-de

xét với giả thiết chúng là các đa thức có bậc 0 theo x Vấn đề còn tồntại đối với thế vị không tán xạ (17) là việc tìm quy luật tiến hóa của các

bậc đa thức) khi giả thiết u(x, t) là nghiệm không tán xạ của phương trìnhKorteweg-de Vries (1)

Lớp thế vị không tán xạ trên nửa trục của toán tử Dirac mà liên kếtvới nghiệm của phương trình (2) được P L Vu đưa ra trong [40] là lớphàm số có dạng như sau:

là N đa thức đối với biến không gian x với các hệ số phụ thuộc tự do vào

các đa thức chuẩn của toán tử Dirac ([37, 40])

Tiếp theo trong (19), hàm G(x, t) xác định bởi

Trong bài báo [40], P L Vu cũng chỉ mới đưa ra một ví dụ ứng với N = 1

đề còn tồn tại đối với thế vị không tán xạ (19) là việc tìm quy luật tiến

buộc gì về bậc đa thức) khi giả thiết u(x, t) là nghiệm của phương trình

Tiếp theo, chúng tôi tổng quan một vấn đề có liên quan đến nội dungnghiên cứu khác của Luận án Năm 1979, J Satsuma đã biểu diễn đượcmột lớp nghiệm N -soliton của phương trình Korteweg-de Vries dưới dạngmột định thức Wronskian Để mô tả cụ thể hơn, chúng ta xét định thứcWronskian

f (x, t) =

cột thứ nhất là các phần tử sinh của định thức Wronskian (23) Các phần

tử còn lại của định thức Wronskian là các đạo hàm riêng theo biến x của

∂x l )

Đối với phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (3), N C Freeman

và J J C Nimmo đã chọn các phần tử sinh của định thức Wronskian (23)

Đối với phương trình sine-Gordon (4), N C Freeman và J J C Nimmo

đã chọn các phần tử sinh của định thức Wronskian (23) là ([33])

1 4kjt+ iCj2e−kjx+

dụng như nghiệm của một hệ quá xác định và khá đặc biệt các phươngtrình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính thuần nhất sau đây:

và nó đã được sử dụng cho khá nhiều phương trình soliton ([6, 8, 19], [23],[33]-[36], [47]-[51]) Chúng ta gọi các nghiệm của phương trình soliton đượcxây dựng từ các định thức Wronskian là nghiệm Wronskian Sau một chuỗinghiên cứu về phương trình Korteweg-de Vries ([25]-[29]),W X Ma đã liêntục mở rộng các lớp nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries bằng cáchthay đổi hệ phương trình điều kiện đối với định thức Wronskian Tuy vậy,việc mở rộng này mới chỉ được thực hiện với phương trình Korteweg-deVries, Boussinesq và hệ phương trình lưới của Toda ([23], [25]-[29], [50])

Do đó, việc mở rộng hệ phương trình điều kiện để tính toán các nghiệm

Wronskian tường minh mới của phương trình Korteweg-de Vries biến dạng(3) và của phương trình sine-Gordon (4) là một việc cần thiết và có ýnghĩa.

Từ sự tương đồng trong việc sử dụng kỹ thuật Wronskian trên haiphương trình (3), (4), năm 2003 D J Zhang đã xét phương trình truyềnsóng phi tuyến sau đây

α = 0, β = 1 phương trình (27) sẽ chính là phương trình (4) Vì thế, phươngtrình (27) được gọi là phương trình hỗn hợp Korteweg-de Vries biến dạng

và sine-Gordon, viết tắt là phương trình mKdV-sG ([38, 49])

Để xây dựng nghiệm Wronskian cho phương trình (27), D J Zhang đãđưa ra hệ phương trình điều kiện dạng đơn giản như sau

NỘI DUNG VÀ MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

Luận án bao gồm hai nội dung nghiên cứu chính Nội dung thứ nhất làkhảo sát hai lớp thế vị không tán xạ (17) và (19) để đưa ra từ hai lớp này

các nghiệm N -soliton tường minh tương ứng của phương trình

là xây dựng nghiệm tường minh của các phương trình Korteweg-de Vriesbiến dạng (3) và sine-Gordon (4) theo kỹ thuật Wronskian Tuy nhiên, docác tính toán chi tiết đối với cả hai phương trình (3) và (4) có nhiều tươngđồng nên chúng tôi gộp chúng thành việc xây dựng nghiệm cho phươngtrình hỗn hợp mKdV-sG (27) theo kỹ thuật Wronskian

Trong nội dung nghiên cứu thứ nhất, mục tiêu của chúng tôi là xác

cho thế vị không tán xạ (17) là nghiệm của phương trình Korteweg-deVries (1) Tiếp theo là xác định quy luật tiến hóa của các đa thức chuẩn

thức chuẩn, chúng tôi sẽ tìm nghiệm N -soliton tường minh tương ứng của

trong lớp thế vị không tán xạ

Trong nội dung nghiên cứu thứ hai, mục tiêu nghiên cứu của chúng tôi

là xây dựng hệ phương trình điều kiện đối với các phần tử sinh của địnhthức Wronskian, để từ đó xây dựng nghiệm Wronskian tường minh mớicho phương trình mKdV-sG (27) Hệ phương trình điều kiện được chúngtôi đưa ra là mở rộng đáng kể so với hệ đơn giản (28a), (28b) của D J.Zhang ([49])

CÁCH TIẾP CẬN MỤC TIÊU VÀ CÁC KẾT QUẢ CHÍNH CỦALUẬN ÁN

Mục tiêu thứ nhất của Luận án là tìm quy luật tiến hóa của các đa

Dirac trên nửa trục x > 0

Việc tìm nghiệm trên nửa trục x > 0 của phương trình Korteweg-deVries trong lớp thế vị không tán xạ (17), (18) được xét trong hai trườnghợp N = 1 và N ≥ 2

Trường hợp N = 1 đã được chúng tôi giải quyết triệt để Chúng tôi xây

tán xạ (17) cũng là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries Kết quả

không theo biến x và phụ thuộc vào t như sau

với C là hằng số phức nào đó.

Trường hợp N ≥ 2 là số nguyên dương tuỳ ý được chúng tôi giải quyếttrên cơ sở đưa thêm vào một giả thiết có tính kỹ thuật (Giả thiết (1.1.42),trang 34) Kết quả nhận được là tương tự với trường hợp N = 1, các đa

phụ thuộc vào t như sau

Trên cơ sở kết quả về quy luật tiến hóa của dữ liệu tán xạ, một lớpnghiệm u(x, t) tường minh không tán xạ của phương trình (1) được mô tảtrong Định lý 1.1.5

lớp thế vị không tán xạ (19) − (22) cũng được chia thành hai trường hợp

Trường hợp N ≥ 2 là số nguyên dương tuỳ ý, chúng tôi đưa vào một

chúng là các đa thức bậc 0 theo x và phụ thuộc vào t theo công thức

Trên cơ sở kết quả về quy luật tiến hóa của dữ liệu tán xạ, một lớpnghiệm u(x, t) tường minh không tán xạ của phương trình (2) được mô tảtrong Định lý 1.2.5

Mục tiêu thứ hai của Luận án là tìm nghiệm tường minh cho phươngtrình mKdV-sG (27) theo kỹ thuật Wronskian Trong bài báo [49], D J.Zhang đã chứng minh rằng nếu các phần tử sinh của định thức Wronskian(23) là nghiệm của hệ phương trình (28a), (28b) thì hàm số u(x, t) đượcxây dựng theo công thức sau

u(x, t) = 2i ln

¯

f (x, t)

là một nghiệm của phương trình mKdV-sG ([33, 49]).

Để mở rộng lớp nghiệm Wronskian nói trên, chúng tôi xét véc tơ hàm

tổng quát hơn sau đây

là nghiệm của (34a), (34b) Tiếp theo, chúng tôi đưa hệ phương trình(34a), (34b) về dạng chính tắc trong đó ma trận A là ma trận dạng Jordanthực và B là ma trận không Hệ chính tắc sau đó được phân rã thành các

hệ con độc lập Nghiệm tổng quát của từng hệ con được mô tả một cáchđầy đủ và tạo thành một không gian tuyến tính hữu hạn chiều trên R

Từ đó chúng tôi tính được các lớp nghiệm Wronskian tường minh mới chophương trình mKdV-sG (27)

CẤU TRÚC LUẬN ÁN

Bên cạnh các phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận ánđược cấu trúc bởi hai chương chính:

Chương 1: Trình bày các kết quả về nghiệm không tán xạ của hai phương

Chương này được chúng tôi cấu trúc thành hai Mục 1.1 và 1.2 Các kiếnthức chuẩn bị của chương này được chúng tôi trình bày trong các Tiểumục 1.1.1 và 1.2.1 Nội dung của của hai tiểu mục này là những mô tảvắn tắt về cặp bài toán tán xạ thuận và ngược trên nửa trục của toán tử

tử này

Mục 1.1 trình bày về việc tìm nghiệm của phương trình Korteweg-de

dung của Tiểu mục 1.1.1, trong Tiểu mục 1.1.2 chúng tôi trình bày hai

định lý chính là Định lý 1.1.3 và Định lý 1.1.4 Định lý 1.1.3 phân tíchthế vị không tán xạ (17) tương ứng với số lượng giá trị kỳ dị là N = 1.

được chỉ ra là điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ (17) là nghiệm

có bậc 0 đối với x và phụ thuộc vào t theo công thức (29) Định lý 1.1.4đưa ra điều kiện cần cho thế vị không tán xạ (17) là nghiệm của phươngtrình Korteweg-de Vries khi số lượng giá trị kỳ dị là N ≥ 2 tùy ý và Ngiá trị kỳ dị này tuân theo Giả thiết (1.1.42) Điều kiện nhận được là quy

Trong Tiểu mục 1.1.3 chúng tôi chỉ ra rằng kết quả nhận được của Định

lý 1.1.4 cũng chính là điều kiện đủ và kết quả này được mô tả trong Định

lý 1.1.5 Tiểu mục 1.1.4 bao gồm các ví dụ về nghiệm của phương trìnhKorteweg-de Vries nhận được từ hai Định lý 1.1.3 và 1.1.5

phi tuyến trong lớp thế vị không tán xạ của toán tử Dirac Sau các nộidung của Tiểu mục 1.2.1, trong Tiểu mục 1.2.2, chúng tôi đưa ra các côngthức biểu diễn hàm F (x, t) trong (20) và G(x, t) trong (22) theo các hàm

số mũ của biến x Trong Tiểu mục 1.2.3, chúng tôi chỉ ra rằng, khi số cặpgiá trị kỳ dị là N = 1 thì điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ (19) là

phải tiến hóa theo công thức (31) Kết quả này được phát biểu và chứngminh trong Định lý 1.2.3 Trong Tiểu mục 1.2.3, chúng tôi cũng xét trườnghợp số cặp giá trị kỳ dị là N ≥ 2 tùy ý và N cặp giá trị kỳ dị này thỏamãn Giả thiết (1.2.51) Định lý 1.2.4 mô tả điều kiện cần để thế vị không

Trong Tiểu mục 1.2.4 chúng tôi chỉ ra rằng kết quả nhận được của Định

lý 1.2.4 cũng chính là điều kiện đủ và kết quả này được mô tả trong Định

lý 1.2.5 Tiểu mục 1.2.5 bao gồm các ví dụ về nghiệm của phương trình

Chương 2: Trình bày các kết quả về nghiệm của phương trình hỗn hợpmKdV-sG được xây dựng theo kỹ thuật Wronskian Chương này đượcchúng tôi cấu trúc thành hai Mục 2.1 và 2.2 Các kiến thức chuẩn bị củachương này được chúng tôi trình bày trong các Tiểu mục 2.1.1 Nội dungcủa tiểu mục này mô tả vắn tắt về phép đổi biến Hirota, hệ song tuyến tínhứng với phương trình mKdV-sG và nghiệm Wronskian của D J Zhang

Mục 2.1 trình bày về việc mở rộng hệ phương trình điều kiện Cụ thể làchúng tôi lấy hệ phương trình (34a), (34b) để thay thế cho hệ (28a), (28b).Việc chỉ ra rằng hàm số u(x, t) được cho bởi (33) thông qua giá trị f (x, t)của định thức Wronskian (23) vẫn là nghiệm của phương trình (27) đượcchúng tôi phát biểu và chứng minh trong Định lý 2.1.2 Thay vì tính toáncác nghiệm của phương trình mKdV-sG (27) từ hệ phương trình điều kiện(34a), (34b), chúng tôi chỉ ra rằng có thể chuyển hệ phương trình điều kiện(34a), (34b) về một dạng gọn hơn mà vẫn không làm thu hẹp lớp nghiệm

đó của phương trình mKdV-sG (27) Hệ phương trình điều kiện ở dạngnày được gọi là hệ chính tắc, mà nó chính là hệ (34a), (34b) với A đượcthay bằng ma trận hằng Γ có dạng chính tắc Jordan thực và B được thaybằng ma trận không (B = 0)

Mục 2.2 trình bày về việc giải tường minh hệ phương trình điều kiệndạng chính tắc Với kết quả tính nghiệm của hệ phương trình điều kiện dạngchính tắc, chúng tôi tính được giá trị của định thức Wronskian f (x, t) vàtính được nghiệm u(x, t) của phương trình mKdV-sG theo (33) Hệ phươngtrình điều kiện dạng chính tắc có thể phân rã thành các hệ con độc lập

mà vẫn ở dạng (34a), (34b) trong đó thay cho Γ là các trường hợp khácnhau của khối Jordan thực Tương ứng với các khối Jordan thực khác nhauchúng tôi trình bày các kết quả thu được của Luận án trong năm tiểu mụccủa Mục 2.2

Các kết quả tính định thức Wronskian f (x, t) của Luận án được mô tảtrong bốn mệnh đề gồm Mệnh đề 2.2.1 và từ Mệnh đề 2.2.3 đến Mệnh đề2.2.5 Chúng ta cũng xác định được ở đây hai trường hợp của hàm f (x, t)trong (23) dưới dạng định thức Wronskian kép (xem các trang 109, 128).Trong Tiểu mục 2.2.4 chúng tôi cũng đã xây dựng hàm f (x, t) trong trườnghợp ma trận Γ chứa n khối Jordan 2 × 2 ứng với n cặp giá trị riêng phứcđơn liên hợp Định thức Wronskian (23) trong trường hợp Γ chứa các khốiJordan thuộc về các dạng khác nhau là vẫn có thể tính toán được tườngminh Tuy nhiên các tính toán chi tiết sẽ phức tạp hơn những tính toántrong trường hợp đã nêu cụ thể ở trên

Tương ứng với các tính toán về định thức Wronskian f (x, t) chúng tôi đãxây dựng được các lớp nghiệm tường minh cho các phương trình mKdV-sG(27), mKdV (3) và sine-Gordon (4) Các kết quả này được mô tả trong cácĐịnh lý 2.2.1, 2.2.3, 2.2.5, 2.2.6 và 2.2.8 Một số ví dụ đã được chúng tôiđưa ra để minh họa cho các trường hợp được xét và hầu hết là các kết quảtính toán mới Trong số đó, các ví dụ cụ thể thuộc các Tiểu mục 2.2.4, 2.2.5

là các ví dụ có quá trình tính toán khá công phu.

Các kết quả chính của Luận án đã được công bố trong 4 bài báo ([1]-[4])

và 1 tiền ấn phẩm ([5]), trong đó bài báo [4] và bài báo [3] chứa các kếtquả riêng rẽ tương ứng cho các phương trình mKdV và sG Nội dung củaLuận án đã được báo cáo tại các Xêmina:

- Xêmina của Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường đạihọc Khoa học Tự nhiên (ĐHKHTN), Đại học Quốc gia (ĐHQG) Hà Nội

- Xêmina của Phòng Phương trình Vi phân, Viện Toán học, Viện Khoahọc và Công nghệ Việt Nam

Finite or Infinite Dimensional Complex Analysis and Applications", 1-3,August, 2009, Ho Chi Minh City, Viet Nam

Education in Mathematics", 21-23 October 2009, Kuala Lumpur, Malaysia

Chương 1

LỚP NGHIỆM N -SOLITON

KHÔNG TÁN XẠ CỦA HAI

PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG GIAN

Nội dung chương này là các nghiên cứu về việc tính toán các nghiệm không

Lớp hàm mà chúng tôi tìm kiếm các nghiệm cho hai phương trình trên là

cách tiếp cận này, chúng tôi sử dụng các kết quả đã biết về bài toán tán

xạ trên nửa trục Cụ thể hơn là chúng tôi sử dụng kết quả về bài toán tán

xạ của L P Nizhnik và P L Vu đối với toán tử Dirac

Trong Mục 1.1 chúng tôi sẽ xây dựng một lớp nghiệm N -soliton khôngtán xạ tường minh nhận giá trị phức cho phương trình Korteweg-de Vries

Các kết quả thuộc mục này của Luận án đã được công bố trong bài báo[1] (trong "Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đếnLuận án")

Kế tiếp trong Mục 1.2 chúng tôi sẽ xây dựng một lớp nghiệm N -soliton

phi tuyến

Các kết quả mục này của Luận án đã được công bố trong bài báo [2] (trong

"Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận án")

Trong mục này chúng tôi sẽ xây dựng một lớp nghiệm N -soliton không tán

xạ tường minh cho phương trình Korteweg-de Vries

trong đó ẩn hàm u(x, t) là hàm giá trị phức Chúng tôi giới hạn việc tìmnghiệm u(x, t) của phương trình Korteweg-de Vries trong một lớp hàm số

Trong bốn tiểu mục của mục này, ba Tiểu mục 1.1.2, 1.1.3 và 1.1.4 trìnhbày các kết quả nghiên cứu của Luận án, Tiểu mục 1.1.1 mô tả các kiếnthức chuẩn bị bao gồm các kết quả nghiên cứu trước đây của V È Lyantse

x thuộc nửa trục dương [0, ∞)) Các kết quả của chúng tôi trong hai Tiểumục 1.1.2 và 1.1.3 là điều kiện cần và đủ để thế vị không tán xạ u(x, t) của

Các kết quả này sẽ được thể hiện cụ thể trong ba Định lý 1.1.3, 1.1.4

và 1.1.5 Nội dung Tiểu mục 1.1.4 trình bày các ví dụ cụ thể về nghiệmcủa phương trình Korteweg-de Vries được xác định theo hai Định lý 1.1.3

và 1.1.5

Nội dung chính của tiểu mục này là các kiến thức chuẩn bị của Mục 1.1

và không chứa kiến thức mới Chúng tôi sẽ trình bày tóm tắt các kết quảnghiên cứu của V È Lyantse về cặp bài toán tán xạ thuận và tán xạ

đó chúng tôi giới thiệu công thức mô tả thế vị không tán xạ của P L Vu.Các kết quả này đã được chứng minh chi tiết trong các tài liệu trích dẫn.Bởi vậy chúng tôi chỉ giới thiệu kết quả mà không trình bày chứng minh

A Bài toán tán xạ thuận trên nửa trục

dy

trên nửa khoảng [0, ∞) Ở đây, biến thời gian t là một tham số tự do Hàmthế vị u(x, t) được giả thiết là hàm liên tục, nhận giá trị phức và là hàmgiảm nhanh theo đánh giá

toán tử L(t) Dưới đây chúng tôi sẽ trình bày quá trình xây dựng dữ liệután xạ của toán tử L(t)

Từ toán tử L(t) được nêu ra ở trên chúng ta xét phương trình vi phân

Nếu phương trình (1.1.3) có nghiệm không tầm thường y(x, t, ρ) thuộc

trị riêng của toán tử L(t) Phương trình vi phân (1.1.3) là phương trình

vi phân cấp hai nên tập nghiệm của nó là một không gian tuyến tính haichiều Sau đây chúng ta sẽ đưa ra một cơ sở của không gian hai chiều nàygồm hai nghiệm riêng của (1.1.3)

Phương trình (1.1.3) có một nghiệm ký hiệu là e(x, t, ρ) và được xâydựng theo điều kiện tiệm cận

Bổ đề 1.1.1 ([24, 30, 31]) Giả sử hàm thế vị u(x, t) thỏa mãn điều kiện

nghiệm e(x, t, ρ) của phương trình (1.1.3) thỏa mãn điều kiện tiệm cận

một cơ sở của không gian tuyến tính hai chiều ứng với tập các nghiệm của

riêng của L(t) thì hàm riêng tương ứng là e(x, t, ρ) và theo điều kiện biên

ta phải có đẳng thức e(0, t, ρ) = 0

(1.1.2a)−(1.1.2c) và hàm e(x, t, ρ) là nghiệm duy nhất của bài toán (1.1.3)−(1.1.4) Chúng ta gọi số phức ρ 6= 0 nằm trong nửa mặt phẳng Im ρ ≥ 0 làgiá trị kỳ dị của toán tử L(t) nếu e(0, t, ρ) = 0

Từ Định nghĩa 1.1.1 chúng ta thấy rằng nếu ρ là giá trị kỳ dị của toán

toán tử L(t) được xác định bởi (1.1.2a) không còn giá trị riêng nào khác

Số lượng giá trị riêng của toán tử L(t) chính là số không điểm của hàme(t, ρ) = e(0, t, ρ) trên nửa mặt phẳng Im ρ > 0

Theo Bổ đề 1.1.1 hàm e(x, t, ρ) chỉnh hình theo biến ρ trong miền

Trên miền Im ρ ≥ 0 hàm e(t, ρ) chỉnh hình và người ta đã chứng minhđược rằng e(t, ρ) −→ 1 khi |ρ| −→ +∞ nên các không điểm theo biến

ρ của nó nằm trong một tập con compact của miền này Vì e(t, ρ) 6≡ 0nên số không điểm của e(t, ρ) trên miền Im ρ ≥ 0 là một số hữu hạn Đểthuận tiện ta đánh số các không điểm này Ký hiệu các không điểm không

Tương tự với bài toán toàn trục, trong bài toán nửa trục chúng ta chỉxét các thế vị đẳng phổ, tức là các giá trị riêng của toán tử L(t) không phụthuộc vào thời gian t ([3, 46])

Chúng ta đặt

... tiến hóa liệu tán xạ, lớpnghiệm u(x, t) tường minh khơng tán xạ phương trình (2) mô tảtrong Định lý 1.2.5

Mục tiêu thứ hai Luận án tìm nghiệm tường minh cho phươngtrình mKdV-sG (27) theo... sau

α = 0, β = phương trình (27) phương trình (4) Vì thế, phươngtrình (27) gọi phương trình hỗn hợp Korteweg-de Vries biến dạng

và sine-Gordon, viết tắt phương trình mKdV-sG ([38,... dạng(3) phương trình sine-Gordon (4) việc cần thiết có ýnghĩa.

Từ tương đồng việc sử dụng kỹ thuật Wronskian haiphương trình (3), (4), năm 2003 D J Zhang xét phương trình truyềnsóng phi tuyến