TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG GIAN
1.1.4 Các ví dụ về nghiệ mN soliton không tán xạ của phương trình Korteweg-de Vries trên nửa
trục
Định lý 1.1.3 và Định lý 1.1.5 cho chúng ta công thức xây dựng nghiệm tường minh của phương trình Korteweg-de Vries trong lớp thế vị không tán xạ tương ứng với N giá trị kỳ dị của toán tử Schr¨odinger.
Kết quả của Định lý 1.1.3 cho chúng ta biết hàm số
τ(x, t) = 1 +Cekx−k3t (1.1.57a)
là một nghiệm của phương trình song tuyến tính (1.1.15). Từ hàm τ(x, t)
nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries u(x, t) = 2k2 Ce kx−k3t (1 +Cekx−k3t)2. (1.1.57b) Giả sử λ1 = ξ+iη, ξ, η ∈ R, η > 0 và C = e2ηx0+2φ0i, x0, φ0 ∈ R. Chúng ta có k = 2iλ1 = −2η + 2ξi, k3 = −8η(η2 −3ξ2) + 8ξ(3η2 −ξ2)i, Cekx−k3t = e−2η[x−x0−4(η2−3ξ2)t]e[2ξx−8ξ(3η2−ξ2)t+2φ0]i.
Do đó ta viết lại được nghiệm (1.1.57b) dưới dạng
u(x, t) = 2(η 2 −ξ2)−4ξηi cosh2 n η[x−x0 −4(η2 −3ξ2)t]−[ξx−4ξ(3η2 −ξ2)t+φ0]i o. (1.1.57c) Trong tình huống C là hằng số thực dương và k cũng là số thực (φ0 = 0
và ξ = 0) thì chúng ta nhận được một nghiệm sau đây của phương trình
Korteweg-de Vries
u(x, t) = 2η2sech2[η(x−x0 −4η2t)]. (1.1.57d) Nghiệm (1.1.57d) mô tả một sóng soliton đơn lan truyền từ bên trái trục
x sang bên phải trục x với tốc độ không đổi là 4η2 và có biên độ không đổi là 2η2.
Từ kết quả của Định lý 1.1.5 chúng ta xây dựng được nghiệm không tán xạ của phương trình Korteweg-de Vries mô tả sự chồng chất phi tuyến của N sóng đơn có dạng (1.1.57c). Sau đây chúng tôi sẽ đưa ra các phân tích và tính toán về nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries là các thế vị không tán xạ ứng với N = 2 và N = 3.
Trường hợp N = 2: Chúng ta giả sử các giá trị kỳ dị là λ1 = ξ1 +
η1i, λ2 = ξ2 + η2i với η1 > 0, η2 > 0 và ξ1, ξ2, η1, η2 ∈ R. Tiếp theo ta đặt
C1 = e2η1x10+2φ10i, C2 = e2η2x20+2φ20i với x10, x20, φ10, φ20 ∈ R. Từ đó ta tính được
kj = 2iλj = −2ηj + 2iξj, kj3 = −8ηj(ηj2 −3ξj2) + 8ξj(3ηj2 −ξj2)i, (1.1.58a)