e j= Cj kj x−k
1.2.5 Các ví dụ về nghiệ mN soliton không tán xạ của phương trình Schr¨odinger phi tuyến trên
của phương trình Schr¨odinger phi tuyến trên nửa trục
Hai Định lý 1.2.3 và 1.2.5 cho chúng ta công thức xây dựng nghiệm tường minh của phương trình Schr¨odinger phi tuyến trong lớp thế vị không tán xạ tương ứng với N cặp giá trị kỳ dị của toán tử Dirac.
Trường hợp N = 1: Lớp nghiệm của phương trình Schr¨odinger phi tuyến ứng với số lượng cặp giá trị kỳ dị là N = 1 được xây dựng từ kết quả của Định lý 1.2.3. Với hàm p1(x, t) thu được từ Định lý 1.2.3, chúng ta có thế vị không tán xạ u(x, t) = 2C e k2x−ik2 2t 1 + 4|C|2e(k1+k2)x+i(k 2 1−k22)t (k1+k2)2 , (1.2.76a)
với C là số phức tùy ý. Thế vị này chính là một nghiệm của phương trình Schr¨odinger phi tuyến. Để mô tả chi tiết hơn về nghiệm này chúng tôi giả sử rằng cặp giá trị kỳ dị là λ+1 = ξ +iη, λ1− = ξ −iη, ξ, η ∈ R, η > 0 và
C = 2ηe2ηx0+2φ0i. Khi đó chúng ta nhận được
k1 = 2iλ+1 = −2η + 2iξ, ik12 = 8ξη+ 4(η2 −ξ2)i, k2 = −2iλ−1 = −2η −2iξ, −ik22 = 8ξη−4(η2 −ξ2)i.
và
Cek1x+ik12t = 2ηe−2η(x−x0−4ξt)e[2ξx+4(η2−ξ2)t+2φ0]i, C ek2x−ik2
2t = 2ηe−2η(x−x0−4ξt)e−[2ξx+4(η2−ξ2)t+2φ0]i.
Từ hai đẳng thức trên chúng ta có thể viết lại nghiệm (1.2.76a) của phương trình Schr¨odinger phi tuyến dưới dạng
u(x, t) = 2ηe −[2ξx+4(η2−ξ2)t+2φ0]i cosh[2η(x−x0 −4ξt)]. (1.2.76b) Từ (1.2.76b) chúng ta nhận được công thức |u(x, t)|2 = 4η 2 cosh2[2η(x−x0 −4ξt)]. (1.2.76c)
Nghiệm (1.2.76b) mô tả một sóng đơn có biên độ là 2η và vận tốc lan
truyền là 4ξ.
Trường hợp N = 2: Lớp nghiệm của phương trình Schr¨odinger phi tuyến ứng với số lượng cặp giá trị kỳ dị là N = 2 được xây dựng từ kết quả của Định lý 1.2.5. Chúng ta giả sử là ứng với N = 2, hai cặp giá trị kỳ dị là
λ+1 = ξ1 +iη1, λ−1 = ξ1 −iη1, ξ1, η1 ∈ R, η1 > 0, λ+2 = ξ2 +iη2, λ−2 = ξ2 −iη2, ξ2, η2 ∈ R, η2 > 0, và C1 = C3 = 2η1e2η1x10+2φ10i , C2 = C4 = 2η2e2η2x20+2φ20i , trong đó x10, x20, φ10, φ20 ∈ R. Từ đó chúng ta nhận được k1 = 2iλ+1 = −2η1 + 2ξ1i, k2 = 2iλ+2 = −2η2 + 2ξ2i, k3 = −2iλ−1 = −2η1 −2ξ1i, k4 = −2iλ−2 = −2η2 −2ξ2i.
Các hàm số ej, j = 1,2,3,4 trong (1.2.60b) được viết lại là
e1 = 4η1e−2η1(x−x10−4ξ1t)e[2ξ1x+4(η12−ξ2 1)t+2φ10]i, e2 = 4η2e−2η2(x−x20−4ξ2t)e[2ξ2x+4(η2 2−ξ2 2)t+2φ20]i, e3 = 4η1e−2η1(x−x10−4ξ1t) e−[2ξ1x+4(η2 1−ξ2 1)t+2φ10]i , e4 = 4η2e−2η2(x−x20−4ξ2t)e−[2ξ2x+4(η2 2−ξ2 2)t+2φ20]i.
Tương ứng với N = 2 hàmF(x, t), G(x, t) trong Định lý 1.2.5 có công thức cụ thể là
F(x, t) = 1 +e1e3Φ13+e1e4Φ14 +e2e3Φ23 +e2e4Φ24
+e1e2e3e4Φ12Φ13Φ14Φ23Φ24Φ34, (1.2.77a)
G(x, t) = e3 +e4 +e1e3e4Φ13Φ14Φ34+e2e3e4Φ23Φ24Φ34. (1.2.77b)
Chúng ta sẽ phân tích nghiệm của phương trình Schr¨odinger phi tuyến
u(x, t) = GF((x,tx,t)) với giả thiết là ξ1 < ξ2. Ký hiệu ∆j, j = 1,2 là lân cận của điểm x = xj0−4ξjt xác định bởi một số thực dương δj (được lựa chọn phù hợp)
∆j = x ∈ R | |x−xj0 −4ξjt| < δj
Khi t −1 thì khoảng ∆2 nằm ở bên trái khoảng ∆1. Chúng ta có
|e1| = |e3| = 4η1e−2η1(x−x10−4ξ1t), |e2| = |e4| = 4η2e−2η2(x−x20−4ξ2t).
Trên khoảng ∆2 ta thấy rằng 4η2e2η2δ2 > |e2| = |e4| > 4η2e−2η2δ2 và
(x20−x10) + 4(ξ2−ξ1)t−δ2 < x−x10−4ξ1t < (x20−x10) + 4(ξ2−ξ1)t+δ2.
Do bất đẳng thức trên chúng nhận được đánh giá
|e1| = |e3| > e−2η1[(x20−x10)+4(ξ2−ξ1)t+δ2], x ∈ ∆2
và có thể coi e1, e3 là hai đại lượng vô cùng lớn trên khoảng ∆2. Như vậy đối chiếu với (1.2.77a),(1.2.77b) trên ∆2 ta có biểu diễn
F(x, t) = e1e3Φ13
1 +e2e4Φ24Φ12Φ23Φ14Φ34+o(1), G(x, t) = e1e3Φ13e4Φ14Φ34+o(1).
Tính toán như trong công thức (1.2.76b) chúng ta thu được trên ∆2 biểu diễn của nghiệm u(x, t) như sau
u(x, t) = 2η2e 1 2(ln Φ14Φ34−ln Φ12Φ23)e−[2ξ2x+4(η2 2−ξ2 2)t+2φ20]i cosh2η2(x−x20−4ξ2t)− 1 2(ln Φ14Φ34+ ln Φ12Φ23) +o(1). (1.2.78a) Phân tích tương tự, trên khoảng∆1 ta có4η1e2η1δ1 > |e1| = |e3| > 4η1e−2η1δ1
và
|e2| = |e4| < e−2η2[(x10−x20)+4(ξ1−ξ2)t−δ1]
và có thể coi e2, e4 là hai đại lượng vô cùng bé trên khoảng ∆2. Như vậy đối chiếu với (1.2.77a),(1.2.77b) trên ∆1 ta có biểu diễn
F(x, t) = 1 +e1e3Φ13 +o(1), G(x, t) =e3 +o(1).
Tính toán như trong công thức (1.2.76b) chúng ta thu được trên ∆1 biểu diễn của nghiệm u(x, t) như sau
u(x, t) = 2η1e
−[2ξ1x+4(η12−ξ2
1)t+2φ10]i
cosh2η1(x−x10−4ξ1t) +o(1). (1.2.78b)
Bên ngoài hai khoảng ∆1,∆2 chúng ta có thể chỉ ra rằng nghiệm u(x, t) có giá trị vô cùng bé. Như vậy, nếu hai khoảng ∆1,∆2 đều nằm trên nửa trục dương (0,∞) khi t −1 thì nghiệm u(x, t) mô tả sự chồng chất của hai sóng đơn trên nửa trục dương có công thức tương ứng là (1.2.78a),(1.2.78b). Thêm nữa, nếu ξ1, ξ2 cùng dấu thì nghiệm u(x, t), t −1 mô tả "sóng nhanh" với vận tốc 4ξ2 đang đuổi theo "sóng chậm" có vận tốc 4ξ1. Nếu
ξ1, ξ2 trái dấu thì nghiệm u(x, t), t −1 mô tả hai sóng đang chạy ngược chiều nhau và đang lao thẳng vào nhau.
Khi t tăng các khoảng ∆1,∆2 tiến gần vào nhau thì sự tương tác của chúng bắt đầu xảy ra. Sau một thời gian chúng tách ra khỏi nhau và tiếp tục chuyển động theo hướng cũ. Xétt 1và vẫn giả thiết rằng hai khoảng
∆1,∆2 đều nằm trên nửa trục dương (0,∞), tính toán tương tự như trên chúng ta chỉ ra được kết quả:
Trên khoảng ∆1 chúng ta có biểu diễn
u(x, t) = 2η1e 1 2(ln Φ23Φ34−ln Φ12Φ14)e−[2ξ1x+4(η2 1−ξ2 1)t+2φ10]i cosh2η1(x−x10−4ξ1t)− 12(ln Φ23Φ34+ ln Φ12Φ14) +o(1). (1.2.79a) Trên khoảng ∆2 chúng ta có biểu diễn
u(x, t) = 2η2e
−[2ξ2x+4(η2 2−ξ2
2)t+2φ20]i
cosh2η2(x−x20−4ξ2t) +o(1). (1.2.79b)
Như vậy lúc này hai sóng đã tách ra không thay đổi về tốc độ. Kết quả tương tác làm cho chúng thay đổi về hằng số pha và sự thay đổi này được mô tả bởi các đại lượng ln Φij.
Trong trường hợp nghiệm của phương trình Schr¨odinger phi tuyến chính là thế vị không tán xạ tương ứng với N cặp giá trị kỳ dị của toán tử Dirac thì nghiệm đó biểu diễn sự lan truyền và tương tác của N sóng đơn. Quy
tắc phân tích trong trường hợp N > 2 hoàn toàn tương tự như trường hợp
N = 2.
KẾT LUẬN CHƯƠNG I
Các đóng góp trong chương I gồm có những kết quả chính như sau. Đối với phương trình Korteweg-de Vries:
1. Mô tả được các điều kiện cần và các điều kiện đủ cho quy luật tiến hóa theo biến thời gian t đối với dữ liệu tán xạ ứng với một lớp con các thế vị không tán xạ u(x, t) của toán tử Schr¨odinger trên nửa trục không gian x > 0để cho các thế vị u(x, t) này đồng thời là nghiệm của phương trình Korteweg-de Vries.
2. Xây dựng được các lớp nghiệm N-soliton không tán xạ tường minh
chứa nhiều tham số phức trên nửa trục của biến không gian đối với phương trình Korteweg-de Vries.
Đối với phương trình Schr¨odinger phi tuyến kết quả nhận được là tương tự:
1. Mô tả được các điều kiện cần và các điều kiện đủ cho quy luật tiến hóa theo biến thời gian t đối với dữ liệu tán xạ ứng với một lớp con các thế vị không tán xạ u(x, t) của toán tử Dirac trên nửa trục không gian
x > 0 để cho các thế vị u(x, t) này đồng thời là nghiệm của phương trình Schr¨odinger phi tuyến.
2. Xây dựng được các lớp nghiệm N-soliton không tán xạ tường minh
chứa nhiều tham số phức trên nửa trục của biến không gian đối với phương trình Schr¨odinger phi tuyến.
Chương 2