NGHIỆM WRONSKIAN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP
2.2 Các lớp nghiệm tường minh của phương trình mKdV-sG
Wronskian có cột đầu tiên là φ, trong đó φ được xác định bằng cách giải hệ (2.1.14a),(2.1.14b). Sử dụng kết quả của các Bổ đề 2.1.4, 2.1.5, ta có thể quy việc tính u(x, t) về việc sử dụng (2.1.4) với hàm f trong đó là
f = W(ψ) với ψ là nghiệm của hệ phương trình điều kiện dạng rút gọn (2.1.33a),(2.1.33b). Vì vậy trong mục sau việc xây dựng nghiệmu(x, t) của
phương trình mKdV-sG (2.1.1) được thực hiện trên các véc tơ hàm φ là
nghiệm của hệ phương trình
φx = Γ ¯φ, (2.1.34a)
φt = −4αφxxx+ β 4Γ
−1φ,¯ (2.1.34b)
trong đó Γ là một ma trận thực hằng dạng Jordan cấp N.
2.2 Các lớp nghiệm tường minh của phươngtrình mKdV-sG trình mKdV-sG
Trong mục này Luận án chỉ ra các công thức nghiệm tổng quát của các hệ phương trình điều kiện dạng chính tắc (2.1.34a),(2.1.34b). Bởi vì Γ là một ma trận dạng Jordan, nên chúng ta có thể tách hệ phương trình điều kiện (2.1.34a),(2.1.34b) thành các hệ con độc lập dưới dạng
φx = Γmφ,¯ (2.2.1a)
φt = −4αφxxx+ β 4Γ
−1
m φ,¯ (2.2.1b)
trong đó Γm là một khối Jordan thực không suy biến nào đó kích thước
Chúng tôi sẽ chỉ ra lời giải của hệ (2.2.1a),(2.2.1b) với tất cả các dạng có thể gặp của khối Jordan thực Γm. Như vậy hệ phương trình điều kiện (2.1.34a),(2.1.34b) giải được hoàn toàn. Một đặc diểm quan trọng của hệ (2.2.1a) và (2.2.1b) là nghiệm tổng quát của nó lập thành một không gian tuyến tính trênRcó số chiều hữu hạn 2m. Chúng tôi cũng đưa ra trong tiểu mục này những kết quả phân tích cụ thể về định thức Wronskian tương ứng với từng dạng của khối Γm. Một số lớp nghiệm Wronskian tường minh mới của phương trình hỗn hợp mKdV-sG (2.1.1) và nghiệm tương ứng của các phương trình riêng rẽ mKdV và sine-Gordon cũng được xây dựng.