I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:Phương trình , bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình toán THPT.Các bài toán về giải phương trình,bất phương trình hay tìm điều kiện để phương
Trang 1I/ ĐẶT VẤN ĐỀ:
Phương trình , bất phương trình là một trong những nội dung cơ bản của chương trình toán THPT.Các bài toán về giải phương trình,bất phương trình hay tìm điều kiện để phương trình , bất phương trình có ngiệm thường
có trong các đề thi tuyển sinh vào ĐH,CĐ Chính vì vậy việc đi sâu nghiên cứu tìm tòi thêm các phương pháp giải, biện luận phương trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất quan trọng nhằm cung cấp thêm cho học sinh các kiến thức, kỹ năng giải quyết bài toán về phương trình, bất phương trình Trong đề tài này tôi chỉ đi sâu vào giải và biện luận phương trình, bất phương trình
II/ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:
1/ Cơ sở lý luận
Hàm số là một vấn đề trọng tâm trong chương trình toán học ở trường THPT Dạy học theo quan điểm hàm số giúp cho học sinh nâng cao được khả năng tư duy Hàm số có ứng dụng rất rộng lớn trong nhiều lĩnh vực của toán học mà một trong các ứng dụng đó là việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình
Các khái niệm về phương trình, bất phương trình đều được định nghĩa thông qua khái niệm hàm số do vậy việc sử dụng phương pháp hàm số trong việc nghiên cứu phương trình, bất phương trình có một ý nghĩa rất to lớn Một mặt nó tác dụng củng cố thêm các kiến thức về hàm số và ngược lại các kiến thức đó lại được vận dụng trở lại trong các bài toán về phương trình và bất phương trình
2/ Thực trạng của vấn đề:
Qua nhiều năm thực tế giảng dạy trong trường THPT tôi thấy học sinh rất lúng túng trong việc giải quyết các bài tập mà cần đến các kiến thức về hàm số một phần do kiến thức về phần hàm số cũng tương đối trừu tượng và muốn đi sâu nghiên cứu các ứng dụng của hàm số cũng chưa được coi trọng đúng mức Trong một số bài toán về phương trình, bất phương trình nếu dùng các phương pháp khác thì bài toán trở nên rất phức tạp đôi khi có thể không giải được trong khi đó nếu sử dụng phương pháp hàm số thì cách giải trở nên rất đơn giản
3/ Giải pháp và tổ chức thực hiện:
Trong đề tài này tôi muốn trình bày với một ý tưởng giúp học sinh khai thác những kiến thức cơ bản về hàm số, phương trình, bất phương trình mà các em đã được học nhằm giúp các em nắm được kiến thức cơ bản một cách chắc chắn, sâu sắc từ đó các em có thể vận dụng được linh hoạt vào giải quyết các bài toán về giải, biện luận phương trình hay bất phương trình
Giải pháp và tổ chức thực hiện là:
- Cho học sinh nghiên cứu đề tài (giáo viên dạy, học sinh học và làm bài tập)
- Kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức của học sinh trước và sau khi nghiên cứu chuyên đề
- Tổng kết các mặt đã làm được và chưa làm được trong chuyên đề để có hướng vận dụng chuyên đề cho các khóa học sinh tiếp theo
Trang 24/ Nội dung của chuyên đề:
4.1/ Ứng dụng của hàm số trong giải phương trình và bất phương trình:
a) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số trong việc giải phương trình
* Kiến thức cơ bản
Định nghĩa:
Giả sử K là một khoảng, một đoạn, hay một nửa khoảng và f là hàm số xác định trên K
Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu:
∀x1,x2 ∈ K ,x1 < x2 ⇒f(x1) < f(x2) Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu:
∀x1,x2 ∈ K ,x1 < x2 ⇒f(x1) > f(x2) Dấu hiệu đồng biến, nghịch biến:
ĐL1: Cho hàm số y= f( )x xác định trên ( b a; )
Nếu f'( )x ≥ 0 ∀x∈( b a; ) thì hàm số đồng biến trên ( b a; )
Nếu f'( )x ≤ 0 ∀x∈( b a; ) thì hàm số nghịch biến trên ( b a; )
Chú ý: f'( )x ≠ 0 ∀x∈( b a; )
ĐL2: Giả sử các hàm số U( )x và V( )x là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên )
;
( b a khi đó hàm số y=U( ) ( )x +V x cũng là hàm số Đồng biến (Nghịch biến) trên ( b a; )
ĐL3: Gỉa sử U( )x và V( )x là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên ( b a; )
và U( )x 0; V( )x 0 với ∀x∈( b a; ) khi đó hàm số y =U( ) ( )x V x cũng là hàm số
Đồng biến (Nghịch biến) trên ( b a; )
ĐL4: Nếu U( )x là hàm số Đồng biến ( hoặc Nghịch biến) trên ( b a; ) và
( )x 0
U với ∀x∈( b a; )khi đó hàm số U( )x
1
là hàm số Nghịch biến (hoặc Đồng biến) trên ( b a; )
ĐL5: Hàm số y= f( )u Đồng biến, hàm số u =g( )x Đồng biến thì hàm số hợp
( )
[g x ]
f
y= Đồng biến
- Các hướng khai thác
+ Đưa phương trình về dạng f( )x =g( )x Trong đó f( )x là hàm số đồng biến g( )x là hàm số nghịch biến hoặc ngược lại Khi đó nếu x = x0 thỏa mãn
( )x0 g( )x0
f = thì x = x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
+ Đưa phương trình về dạng f( )x = A Trong đó f( )x là hàm số đơn điệu Nếu tồn tại x = x0 sao cho f( )x0 = A thì x = x0 là nghiệm duy nhất của
phương trình
+ Đưa phương trình về dạng f( )u =g( )v với u=U( )x ; v=V( )x trong đó
( )t
f là hàm số đơn điệu thì phương trình tương đương với U( )x =V( )x .
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải phương trình
0 3
5x− 2 +x− =
Trang 3Bài giải: phương trình đã cho tương đương với 5x− 2 = 3 −x
Ta thấy hàm số f( )x = 5x−2 là hàm số đồng biến vì f'( )x = 5x− 2 ln 5
' x
f với ∀x∈R Hàm số g( )x = 3 −x là hàm số nghịch biến trên R
và f( ) ( )2 =g 2 ⇒x= 2là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 2 : Giải phương trình
Bài giải: (1) ⇔ 2x =( )3 x+ 1
1 2
1 2
+
Ta thấy hàm số f( )x x x
+
=
2
1 2
3
là hàm số nghịch biến ( Tổng của hai hàm số nghịch biến) và f( )2 = 1 ⇒x= 2 là nghiệm duy nhất của
phương trình
Ví dụ 3: Giải phương trình
2x− − x2−x = x−
(Đề thi đại học Thủy lợi năm 2001) Bài giải: x2 −x=u
v
1
−
=
−v x u
Phương trình đã cho tương đương với :
v u
u
v− 2 = − 2
⇔ u+ 2u =v+ 2v
Hàm số tương ứng ở hai vế là:
( )t t t
có f'( )t = 1 + 2tln 2 0 Nên f( )t đồng biến, do đó (*) ⇔ u=v
⇔ x2 −x= x−1⇔x=1
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 6 5
3x+ x = x+
(Đề thi ĐHSP Hà Nội – Khối A năm 2001) Bài giải: viết phương trình về dạng : 3x + 5x − 6x+ 2 = 0
Xét hàm số f( )x = 3x + 5x − 6x+ 2 (1)
f'( )x = 3xln 3 + 5 5 ln 5 − 6
( )x
f ' là hàm số đồng biến ( vì là tổng của hai hàm số đồng biến và một hằng số không đổi) liên tục và có đổi dấu chẳng hạn:
f
( )1 3 ln 3 5 ln 5 6 0
f
⇒ f'( )x = 0 có nghiệm duy nhất x= α và đổi dấu từ âm sang dương
Ta có bảng biến thiên
Trang 4x − ∞ α + ∞
( )x
f ' - 0 +
( )x f
Từ bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y= f( )x cắt trục hoành tối đa
2 lần ⇔ phương trình (1) có tối đa 2 nghiệm.
Ta thấy f( )0 = 0 ;f( )1 = 0 Do đó phương trình đã cho chỉ có 2 nghiệm 0
=
x hoặc x= 1
Ví dụ 5: Giải phương trình:
2 1 log
Bài giải: Đặt log2(1 + x)= log3x=t khi đó phương trình đã cho tương ứng với:
=
= +
t
t
x
x
3
2 1
⇔ 1 + 3t = 2t
t
2 3
1 + 2 =
Từ ví dụ 1 suy ra t= 2 là nghiệm duy nhất của phương trình
⇒ log3x= 2 ⇒ x= 9
Ví dụ 6: Giải phương trình
x x x
2 3 2 3
2 + − =
Bài giải: Chia hai vế phương trình cho 2x ta được:
2
3 2 2
3
+
(2)
Ta thấy 2 ± 3 2 ⇔ 0 22 3 1
Nên vế trái của phương trình (2) là hàm số nghịch biến ( vì là tổng của
2 hàm số nghịch biến) và x= 2thỏa mãn phương trình (2) do đó x= 2là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 7: Giải phương trình
3 2
2 3 2
2 + x − x− = + x − x− (1) Bài giải: Tập xác định: 2 2 3 0
−
x ⇔ x x 3−1
3 4 7
2 3 4
+
3 4 7
2 3 4
8+ x − x− = + x − x− Đặt a= 7 + 4 3 1 ;t=x2 − 2x− 3 khi đó phương trình trở thành:
a 1 log
Trang 5Đặt loga t = y thì (2) ⇔
+
= +
=
y
y
a t
a t
1 1
hay a y+ 1 =(a+ 1)y
1
1
+ +
+
y y
a a
a
(3)
1
+
a
a
1
1
+
a
Vế trái của (3) là tổng của 2 hàm số nghịch biến y= 1 thỏa mãn
phương trình (3) ⇒ y= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (3) Với y= 1 ⇒ loga t= 1 ⇔ t=a
⇔ x2 − 2x− 3 = 7 + 4 3 ⇔ x2 − 2x− 10 − 4 3 = 0 ⇔ x=1± 11+4 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x= 1 ± 11 + 4 3
b Sử dụng phương pháp hàm số trong giải bất phương trình
Các hướng khai thác
- Đưa bất phương trình đã cho về dạng f( )x f( )a (1) (hoặc f( )x f( )a ) trong đó f( )x là hàm số đơn điệu từ đó suy ra nghiệm của bất phương trình
Nếu f( )x là hàm số đồng biến thì (1) ⇔ x a
f( )x là hàm số nghịch biến thì (1) ⇔ x a
- Đưa bất phương trình về dạng f( )x ≤ g( )x và nhẩm được f( )a = g( )a
khi đó đưa vào tính đơn điệu của các hàm số f( )x và g( )x thì có thể suy ra được nghiệm của bất phương trình
- Đưa bất phương trình về dạng f( )x A (hoặc f( )x A) Dựa vào việc khảo sát hàm số f( )x ta có thể suy ra nghiệm của bất phương trình
Trong một số bài toán để sử dụng được phương pháp hàm số phải thông qua bước đặt ẩn phụ
Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Giải bất phương trình
1 2
Bài giải: bất phương trình (1) ⇔ 21 −x−2x+1 0
Xét hàm số y= f( )x = 2 1 −x − 2x+ 1 có tập xác định R
' x = − 1 −x −
Nên hàm số f( )x nghịch biến trên R
Ta thấy f( )1 = 0 nên (1) ⇔ f( )x f( )1
( )x
f là hàm số nghịch biến suy ra nghiệm của bất phương trình là x 1
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
( 5 5 1) log ( 7 5 ) 2
3
2
2 x − x+ + + x + − x ≤ (1) Bài giải: Đặt x2 − 5x+ 5 =t (t≥ 0)
Bất phương trình (1) ⇔ log ( 1) log ( 2 2) 2
3
Trang 6Xét hàm số ( ) log ( )1 log ( 2 2)
3
t
3 ln 2
2 2
ln 1
1
+
+ +
=
t
t t
t
Nên f( )t đồng biến trên [0 ; +∞)
Ta lại có f( )1 = 2 nên bất phương trình (2) ⇔ f( )t ≤ f( )1
⇔ 0 ≤t≤ 1
⇔ 0≤ x2 +5x+5≤1
⇔
≤ +
−
≥ +
−
0 4 5
0 5 5 2
2
x x
x x
⇔
≤
≤
+
≥
−
≤
4 1
2
5 5 2
5 5
x x x
⇔
≤
≤ +
−
≤
≤
4 2
5 5
2
5 5 1
x x
Ví dụ 3: Giải bất phương trình
log
2
−
Bài giải: Tập xác định: 4 2 2 0
−
−x
log − − ≥ x−
x
Đặt u= 4x−x2 − 2
0 2 4
Ta có bảng biến thiên:
x 2 − 2 2 2 + 2 '
u + 0 -
u 2
0 0
u
2 log 1
∞
− − ∞ Qua bảng biến thiên ta có log (4 2 2) 1
2 x−x − ≤ Mặt khác: x− 2 ≥ 0 ⇒ 2x− 2 ≥20 =1
log − − ≤ x−
x x
do đó bất phương trình (2) ⇔ ( 2 ) 2
2 4 2 1 2 log − − = = x−
x
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x= 2
Ví dụ 4: Giải bất phương trình
3 4 1
2 x− x− − Bài giải: Tập xác định x≥ 1
Xét hàm số f( )x = 2 x− x− 1 Ta có f( )4 = 4 − 3
Trang 7( ) ( )
1
1 2 1 2
1 1
'
−
−
−
=
−
−
=
x x
x x
x x
x f
' x =
3
4
=
x
x 1 43 4 + ∞
( )x
f ' - 0 + +
( )x f
2
4 − 3 3
Qua bảng biến thiên ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã cho là x 4
Ví dụ 5: Giải bất phương trình
5 4 2
9 + +
x
Bài giải: Xét hàm số f( )x = x+ 9 + 2x+ 4 có tập xác định: x≥ − 2
4 2
1 9
2
1
+
+ +
=
x x
x f
⇒ Hàm số đồng biến trên [− 2 ; +∞)
Ta thấy f( )0 = 5 Vậy Khi − 2 ≤x≤ 0 thì f( )x ≤ f( )0 = 5 ⇒ bất phương trình vô nghiệm Khi x 0 thì f( )x f( )0 = 5 ⇒ ∀x 0 là nghiệm
Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
1 3x+ 4x = 5x
2 lg(x2 −x− 6)+x= lg(x+ 2)+ 4
6
log
2 3 log log + 6 =
4 log2(2x+ 1)+ log3(4x+ 2)≤ 2
1 3 2 5
5 lg
+
− −
+
x x x
x
4.2 Ứng dụng của hàm số trong việc biện luận về sự tồn tại nghiệm của phương trình và bất phương trình.
a Sử dung tính liên tục của hàm số để chứng minh sự tồn tại
nghiệm của một phương trình.
ĐL: Nếu hàm số y= f( )x liên tục trên [ ]a; b và f( ) ( )a f b 0 thì ∃ x0∈( )a;b sao
cho f( )x0 = 0
Ví dụ 1: Biết rằng 2a+ 3b+ 6c= 0 (1)
Chứng minh f( )x =ax2 +bx+c có nghiệm trong ( )0 ; 1
Bài giải: Cách 1
Ta thấy f( )x liên tục trên R
2
1 4
1 1
2
1 4
+
= +
f
Trang 8Suy ra tồn tại 2 trong 3 số f( )0 ,
2
1
f và f( )1 là trái dấu nhau trong bất
kì trường hợp nào thì f( )x cũng có nghiệm trong ( )0 ; 1
=
f f
3
2 9
4 3
2 0
2
9 3 2 9 2
3 2
9 6 9
c c
− +
=
* c= 0 thì (1) ⇔ 2a+ 3b= 0
a= 0 ⇒ b= 0 phương trình f( )x = 0 có nghiệm ∀x∈R
a≠ 0 ⇒ phương trình có nghiệm ( )0 ; 1
3
2 ∈
=
x
3 3
2 0
2
c f
⇒ f( )x có nghiệm
∈ 3
2
; 0
x
Hay f( )x có nghiệm x∈( )0 ; 1
Ví dụ 2: Chứng minh rằng phương trình:
0 1
2 3 2
5 + x −x +x− =
Bài giải: Viết phương trình về dạng (x2 + 1)(x3 +x− 1)= 0 ⇔ x3 +x−1=0
Xét hàm số f( )x =x3 +x− 1
' x = x2 +
f ∀x⇒hàm số f( )x đồng biến trên R
( )x
f liên tục trên R
( ) ( )0 f 1 = − 1 0
f
Suy ra phương trinhg f( )x chỉ có 1 nghiệm x0∈( )0 ; 1 hay phương trình
đã cho có nghiệm duy nhất x0∈( )0 ; 1
Giới thiệu thêm một số bài tập áp dụng:
1 Biết rằng 4a+ 3b+ 3c= 0 chứng minh f( )x =ax2 +bx+c= 0 có nghiệm
( )0 ; 2
0 ∈
x
2 Chứng minh rằng với mọi m thi phương trình: x3 +mx2 − 1 = 0 luôn có nghiệm dương Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất
3 Chứng minh rằng phương trình: 64x6 − 96x4 + 36x2 − 3 = 0 có nghiệm x0 thỏa mãn điều kiện
2
3 2 2 2
2 2 2
0
+ + +
+
x
b Sử dụng định lí Lagrăng trong việc chứng minh sự tồn tại
nghiệm của phương trình, bất phương trình.
Định lí: Lagrăng: Nếu hàm số y= f( )x liên tục trên [ ]a; b và có đạo hàm trên
( )a; b thì ∃c∈( )a;b sao cho ( ) ( ) ( )
a b
a f b f c f
−
−
= '
Ta lấy ví dụ 1 ở phần trên: biết rằng: 2a+ 3b+ 6c= 0
Chứng minh f( )x =ax2 +bx+c có nghiệm trong ( )0 ; 1
Trang 9Bài giải: Xét hàm số: F( )x = ax +bx +cx
2 3
2 3
là hàm số có F'( )x = f( )x khi
đó F( )x liên tục trên [ ]0 ; 1 và có dạo hàm trên ( )0 ; 1
Theo định lí Lagrăng thì ∃x0∈( )0 ; 1 sao cho: ( ) ( ) ( )
0 1
0 1 ' 0
−
−
x F
Hay ∃x0∈( )0 ; 1 sao cho ( ) 0
6
6 6 2 2
3
0 =a+b+c= a+ b+ c =
x f
Vậy phương trình f( )x = 0 có nghiệm x∈( )0 ; 1
Ví dụ 2: Chứng minh bất phương trình e x≥ 1 +x thỏa mãn với ∀x∈R
Bài giải: + x= 0 thỏa mãn bất phương trình
+ x 0 Xét hàm số f( )t =e t trên [ ]0 ;x
Hàm số liên tục trên [ ]0 ;x và có đạo hàm trên ( )0 ;x Theo định lí
Lagrăng ta có ∃c∈( )0 ;x sao cho ( ) ( ) ( )
0
0 '
−
−
=
x
f x f c f
hay ∃c∈( )0 ;x sao cho
x
e e
x
c = − 1 c∈( )0 ;x ⇒c 0⇒e c e0 =1
x
+
⇔
+ x 0 Khi đó hàm số f( )t liên tục trên [ ]x; 0 và có đạo hàm trên ( )x; 0 Theo định lí Lagrăng ta có: ∃c∈( )x; 0 sao cho ( ) ( ) ( )
x
x f f c f
−
−
= 0
0 '
hay ∃c∈( )x; 0 sao cho ( )
x
x f
e c
−
−
=1 1
e c
x
x
−
−
1 1
1
(vì −x 0) ⇒e x 1 +x
Vậy bất phương trình đã cho thỏa mãn với ∀x∈R
Giới thiệu một số bài tập áp dụng:
1 Chứng minh rằng nếu phương trình:
0 1
1 1
0x +a x − + +a −x=
a n n n có nghiệm dương x1 thì phương trình:
1
1
0 − + − − + + − =
n n
x
2 Chứng minh phương trình: acos 4x+bcos 3x+ccos 2x+dcosx= 0 luôn có nghiệm trong khoảng ( )0 ; π với mọi a;b;c;d
3 Chứng minh: x4 + px3 +q≥ 0 ∀x∈R ⇔ 256q≤ 27p4
c Sử dụng phương pháp miền giá trị hàm trong việc biện luận sự tồn tại nghiệm của phương trình hay bất phương trình.
* Đối với phương trình ta sử dụng mệnh đề sau:
Phương trình f( )x =m có nghiệm trên miền D khi và chỉ khi m thuộc miền giá trị của hàm số y= f( )x trên D.
Ví dụ 1: Tìm m để phương trình:
x
Bài giải: Đặt t= 3 +x+ 6 −x Với x∈[− 3 ; 6] thì
Trang 10(3 )(6 ) 0
2
3 6
− +
+
−
−
=
x x
x x
2
3
=
x
Ta có bảng biến thiên:
x − 3 32 6
't + 0
-t
3 2
3 3
Do đó t∈[3 ; 3 2] ( )( )
2
9 6
3+ − =t2 −
x x
Khi đó phương trình (1) trở thành: t−t − =m⇔ −t +t+ =m
2
9 2
2
2
(2) phương trình (1) có nghiệm⇔phương trình (2) có nghiệm t∈[3 ; 3 2]
xét hàm số:
2
9 2
2 + +
−
= t t y
0 1 ' = −t+ =
y ⇔ t= 1 ta có bảng biến thiên:
t 1 3 3 2 '
y + 0
-y 3
2
9 2
Qua bảng biến thiên ta có miền giá trị của hàm sốylà:
− ; 3 2
9 2
phương trình đã cho có nghiệm khi
−
2
9 2 3
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: cos 2x+ cosx− sin 2x−m= 0 (1) có nghiệm
Bài giải: Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
m x
x+ cos − 2 = cos
3 2 Đặt: cosx=t (− 1 ≤t≤ 1) phương trình trở thành 3t2 +t− 2 =m (2) Xét hàm số: y= 3t2 +t− 2 trên [ ]− 1 ; 1
⇒ y' = 6t+ 1 = 0 ⇔
6
1
−
=
t Ta có bảng biến thiên:
t − ∞ -1 16 1 + ∞ '
y - 0 +
y 2 0
12
25
− Qua bảng biến thiên suy ra phương trình (2) có nghiệm t∈[ ]− 1 ; 1
12
25 ≤ ≤