SKKN_Kinh nghiệm dạy học toán nhằm nâng cao chất lượng bài giảng và tạo hứng thú cho học sinh trong giờ học toán ở THPT

Tìm ra mối liên quangiữa các nội dung đó để có được các cách giải toán hay, hiệu quả là một việclàm thiết thực.Trên cơ sở nội dung, chương trình làm việc của cá nhân và của tổ nhómchuyên

Trong chương trình Toán học học được giảng dạy ở trường phổ thông,Hình học bao giờ cũng là môn học khó khăn hơn đối với học sinh Nắm đượckiến thức cơ bản đã là một vấn đề khó, vận dụng kiến thức đó một cách linhhoạt để giải toán còn là một việc khó khăn hơn nhiều Tìm ra mối liên quangiữa các nội dung đó để có được các cách giải toán hay, hiệu quả là một việclàm thiết thực.

Trên cơ sở nội dung, chương trình làm việc của cá nhân và của tổ nhómchuyên môn, bản thân tôi đã tìm ra được một vài hướng giải quyết một số vấn

đề trong các bài giảng nhằm nâng cao chất lượng bài giảng cũng như tạo hứngthú cho học sinh trong việc học tập và nghiên cứu toán học Những vấn đềnghiên cứu được, tôi tập hợp và viết lại trong báo cáo sáng kiến kinh nghiệmnày nhằm giúp cho bản thân và đồng nghiệp cũng như học sinh có thêm mộttài liệu tham khảo trong quá trình giảng dạy và học tập môn toán ở trườngTHPT

Nội dung sáng kiến có thể chưa thật đầy đủ so với nội dung của vấn đề

mà tôi lựa chọn nhưng thiết nghĩ, có thể bổ sung vào hành trang của ngườigiáo viên một công cụ mới có hiệu quả

Tôi xin chân thành cám ơn thầy giáo Nguyễn Danh Du – Phó hiệutrưởng, thầy giáo Hoàng Minh Hiển – Phó hiệu trưởng, thầy giáo Phạm Ngọc

Bá – tổ trưởng chuyên môn cùng các thầy giáo, cô giáo trong tổ Toán – Tinhọc trường THPT Bỉm Sơn đã đọc trước bản thảo và đóng góp nhiều ý kiếnsát thực tiễn để tôi hoàn thành đề tài này

Bỉm sơn, tháng 3 năm 2012.

Người thực hiện đề tài

Vò Quý Ph¬ng

Ngành Giáo dục đã triển khai thực hiện công tác đổi mới giáo dục phổthông bao gồm: Đổi mới cơ sở vật chất phục vụ cho dạy học, đổi mới chươngtrình sách giáo khoa, đổi mới công tác quản lý chỉ đạo, đổi mới phương phápdạy học, đổi mới cách kiểm tra đánh giá v.v nhằm giúp học sinh phát triểnmột cách toàn diện Năm học này, Bộ Giáo dục và đào tạo đưa ra khẩu hiệu

“Xây dựng trường học thân thiện và học sinh tích cực” cũng chính là nhằmhướng học sinh đến sự phát triển toàn diện

Trong hệ thống các môn học được đưa vào đào tạo ở trường phổ thông,môn Toán đóng vai trò hết sức quan trọng, bởi lẽ qua học toán học sinh sẽđược phát triển một cách tốt nhất tư duy sáng tạo, linh hoạt, dễ thích ứng vớimọi hoàn cảnh, phù hợp với xu thế phát triển của đất nước ta hiện nay Họctốt môn toán sẽ giúp học sinh học tốt nhiều môn học khác Xưa nay đây làmôn học mà không ít học sinh phải ngại ngùng khi nhắc đến, việc học toánđối với nhiều học sinh luôn là một điều khó khăn Trong các phân môn củatoán học phổ thông thì Hình học luôn được coi là môn học khó khăn hơn cả

Tất cả những đánh giá trên có thể xuất phát từ những lý do khách quan

và chủ quan như: Học sinh chưa nắm được phương pháp học tập, giáo viêncòn ôm đồm kiến thức trong giảng dạy, khó khăn về một cơ sở lý luận trongviệc dạy học bộ môn v.v Học toán đồng nghĩa với giải toán Muốn làm đượcbài tập, ngoài việc phải có vốn kiến thức từ các công thức, quy tắc, địnhnghĩa, khái niệm, định lý còn cần có một phương pháp suy luận đúng đắn

I.2 Tính cấp thiết.

Bằng việc trao đổi với đồng nghiệp và kinh nghiệp dạy Hình học củabản thân, tôi nhận thấy chất lượng dạy và học hình học nói chung chưa cao:hầu hết học sinh đều ngại, sợ học Hình học, không biết cách giải một bài toánHình học Mà việc giải một bài tập Hình học không chỉ dựa vào việc có nắmđược các kiến thức cơ bản hay không mà còn dựa rất nhiều vào việc nhận rađược mối liên quan giữa các kiến thức đó và vận dụng chúng như thế nào vàobài toán

I.3 Thực trạng.

Đối với học sinh trường THPT Bỉm Sơn thì:

- Đa số học sinh nắm vững và vận dụng tốt các kiến thức hình học cơbản vào việc giải các bài tập Tuy nhiên, còn có một vài lớp và một số học

sinh rải rác ở các lớp vẫn không thể nắm vững và vận dụng được các kiếnthức cơ bản của hình học vào việc giải các bài tập.

- Nhiều học sinh không nắm được các kiến thức đã học, học trước quênsau Kỹ năng vận dụng kiến thức cơ bản vào các hoạt động giải toán còn yếu

Về mặt kiến thức: Khái niệm vec-tơ là rất mới mẻ đối với học sinh lớp

10 Qua khảo sát kiến thức và kĩ năng của một số học sinh lớp 10 trườngTHPT Bỉm Sơn – Thanh Hóa, năm học 2011 – 2012 sau khi các em đã đượchọc các kiến thức về vec-tơ tôi nhận thấy các em còn bỡ ngỡ và gặp nhiềulúng túng Lấy ví dụ: Trong hai đề kiểm tra kiến thức về vec-tơ ở 2 lớp 10C4

và 10C7 có các bài toán như sau:

Đề 1: Cho hai hình bình hành ABCD và AB'C'D' có chung đỉnh A.

Chứng minh rằng:

a/ CC uuur uuur uuurBBDD

b/ Hai tam giác BC'D và B'CD' có cùng trọng tâm.

Đề 2: Cho tam giác OAB Đặt OA a , OB b uurr uur r

b/ Chứng minh rằng ba điểm C, D, E thẳng hàng.

Qua khảo sát 98 học sinh của 2 lớp có được kết quả như sau:

Số bài được câu nàoKhông làm Làm được cả2 câu được câu aChỉ làm được câu bChỉ làm

- Thậm chí, với bài toán “Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính

AB = 2R Gọi M, N là hai điểm trên nửa đường tròn đó sao cho 2 dây cung

AM và BN cắt nhau tại I Chứng minh: uur uuur uur uur AI AM AI AB

.”, có học sinh đãlàm như sau: AI.AM AI.ABuur uuur uur uuur  AM ABuuur uuur

(chia cả hai vế cho AIuur) rồi suy rađẳng thức không xảy ra Điều đó chứng tỏ học sinh chưa hiểu rõ khái niệm vềtích vô hướng của các vec-tơ

Trong rất nhiều nguyên nhân dẫn đến kết việc học sinh không tiếp thutốt các kiến thức về vec-tơ, có một nguyên nhân là học sinh ít được thực hànhcác bài toán cơ bản về các khái niệm về vec-tơ Có một lý do ở đây là thờilượng quy định cho mỗi bài học không đủ cho giáo viên và học sinh làm đượcviệc này Đặc biệt là đối với các học sinh không thực sự khá về môn Toán.

Chính vì những lý do trên, nhằm giúp các em lĩnh hội tốt hơn về kiếnthức vec-tơ, có kĩ năng giải bài tập về vec-tơ cũng như sử dụng vec-tơ nhưmột công cụ tốt để giải toán tôi mạnh dạn lựa chọn và nghiên cứu vấn đề:

“Rèn luyện cho học sinh lớp 10 kỹ năng giải toán vec-tơ và sử dụng

phương pháp vec-tơ để giải toán.”

II Mục đích nghiên cứu.

Không có phương pháp tốt, không thể có kết quả cao Biết vận dụngcác kiến thức cơ bản một cách phù hợp sẽ có được cách giải bài tập tốt hơn.Đặc biệt ở lớp 10, học sinh lần đầu tiên được va chạm với các kiến thức vềvec-tơ, vì vậy mục đích đặt ra là thông qua việc dạy cho học sinh các vậndụng các kiến thức cơ bản về vec-tơ để giúp học sinh thấy được:

- Các ký hiệu, bản chất các ký hiệu về vec-tơ

- Mối quan hệ giữa vec-tơ với các kiến thức khác trong hình học

- Chuyển đổi giữa các bài toán hình học thông thường với một bài toánvec-tơ

- Các phương pháp suy nghĩ để tìm lời giải một bài toán hình học nhờphương pháp vec-tơ

Từ đó giúp học sinh vượt qua tâm lí ngại và sợ học hình học, đặc biệt làcác bài toán về vec-tơ

III Thời gian, địa điểm nghiên cứu.

Sáng kiến kinh nghiệm này được nghiên cứu, áp dụng thực hiện trongnăm học 2011 – 2012, tại hai lớp 10C4 và 10C7, trường THPT Bỉm Sơn,Thanh Hóa Đây là hai lớp có điểm đầu vào bình quân thấp nhất khối 10

Nội dung sáng kiến được trình bày cho học sinh trong một số giờ học

tự chọn của bộ môn Toán và một số buổi học bồi dưỡng (ngoài giờ học chínhkhóa)

Phần II: NỘI DUNG I- Một số kiến thức cơ bản cần chú ý.

I.1 Các định nghĩa về vec-tơ, các kí hiệu thường dùng

Cho 2 điểm A, B thì:

- Ký hiệu AB chỉ độ dài đoạn thẳng AB Như vậy ký hiệu AB và BA lànhư nhau

- Ký hiệu ABuuur chỉ vec-tơ AB Như vậy ký hiệu ABuuur và BAuuur, nói chung,

là hai vec-tơ khác nhau

- Ký hiệu | AB |uuur chỉ độ dài của vec-tơ ABuuur Như vậy | AB | ABuuur 

và, do

đó, | AB | | BA |uuur  uuur

- Ký hiệu AB chỉ độ dài đại số của vec-tơ AB

I.2 Các phép toán về vec-tơ

I.2.1 Phép cộng các vec-tơ.

- Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C thì: AB BC AC 

uuur uur uuur

- Quy tắc hình bình hành: Với ABCD là một hình bình hành thì:

AB AD ACuuur uuur uuur 

- Tính chất trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì:

+ IA IB 0uur uur r 

.+ MA MB 2MIuuur uuur  uur

, với điểm M bất kỳ

I.2.2 Phép trừ các vec-tơ.

Với ba điểm O, A, B thì: OA OB BAuuur uuur uuur 

I.2.3 Phép nhân vec-tơ với một số.

- Cho vec-tơ ur và số k   Vec-tơ kur được xác định bởi:

+ kur cùng hướng với vec-tơ

ur nếu k  0 và ngược hướng vớivec-tơ ur nếu k < 0.

+ | ku | | k | | u |r  r

- Cho b 0r r

và ar cùng phương với br Khi đó, tồn tại duy nhất một sốthực k sao cho: a kbr  r

- Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi ABuuur và ACuuur làcác vec-tơ cùng phương

I.2.4 Tích vô hướng của hai vec-tơ.

- Cho trước hai vec-tơ a, br r

I.3 Tọa độ của vec-tơ và của điểm trong mặt phẳng.

.+ ku (kx;ky)r 

.+ u.v xxr r  yy

.+ | u |r  x2 y2 .

I.5 Cần rèn cho học sinh biết cách chuyển từ ngôn ngữ hình học thôngthường sang ngôn ngữ vec-tơ và ngược lại Ví dụ:

TT Kiến thức hình học tổng hợp Vec-tơ

1 M là trung điểm của đoạnthẳng AB

1) MA MB 0uuur uuur r 2) AM MBuuur uuur3) OA OB 2OMuuur uuur  uuur

, với mọi điểm O

2 G là trọng tâm ΔABC 1) GA GB GC 0uuur uuur uuur r  

2) OA OB OC 3OGuuur uuur uuur   uuur

, với O

3 AM là trung tuyến của ΔABC AB AC 2AMuuur uuur  uuur

4 Ba điểm A, B, C thẳng hàng AB kACuuur uuur

7 ABCD là hình bình hành AB DCuuur uuur

(A  DC)

I- Hướng dẫn học sinh giải các bài toán về vec-tơ.

I.1 Các bài toán xác định vec-tơ

1 Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm vec-tơ cùng hướng, vec-tơ bằng

nhau.

Một trong những nguyên nhân khiến học sinh không giải được các bàitoán về vec-tơ là không hiểu rõ khái niệm vec-tơ, không biết cách xác địnhmột vec-tơ, không hiểu rõ hai vec-tơ bằng nhau, nhầm lần vec-tơ bằng nhauvới đoạn thẳng bàng nhau

Để giải quyết được điều này, tác giả đã cho học sinh làm lại và phântích kỹ lời giải của học sinh qua hoạt động số 2 (§1, chương I, SGK Hình học

10 nâng cao): Cho trước vec-tơ a r

và điểm O cố định Xác định điểm A sao cho OA a uur r Có bao nhiêu điểm A như vậy.

Tác giả vẽ lên bảng hình vẽ sau (tức vẽ sao cho AO auuur r ):

Sau đó, tác giả yêu cầu học sinh xác định điểm A thỏa mãn bài toán: Đa

số học sinh đã xác định được điểm A như hình vẽ sau:

- Điểm O trùng với điểm M thì A là điểm nào? (A  N)

- Điểm O trùng với điểm N thì A là điểm nào? (A đối xứng với M qua

N hay N là trung điểm của MA)

- Xác định vị trí điểm O để điểm A trùng với điểm M? (O đối xứng với

N qua M hay M là trung điểm của ON)

2 Làm cho học sinh nắm vững hơn khái niệm tổng, hiệu hai vec-tơ.

Việc xác định tổng, hiệu của các vec-tơ đối với nhiều học sinh cũng làmột vấn đề khó khăn Qua giảng dạy về vec-tơ, tác giả nhận thấy học sinh hầunhư vẫn không phân biệt rõ dựng tổng của các vec-tơ với tổng hai cạnh củamột tam giác

Để giúp học sinh nắm vững hươn khái niệm tổng hai vec-tơ và một sốtiếp xúc của chúng, đặc biệt là quy tắc ba điểm và cách dựng vec-tơ tổng củahai vec-tơ, tác giả cho học sinh làm lại nội dung của hoạt động 4 (§2, chương

Yêu cầu học sinh:

- Xác định các điểm A, B, C sao cho: OA a, AB b, BC cuuurr uuurr uur r

- Dựng các vec-tơ a b, b crr rr

.Sau khi học sinh thực hiện yêu cầu và giáo viên chỉnh sửa những saisót, được hình vẽ như sau:

Hình 4

a + b + c

b + c

a + b a

nhiều cách giải khác nhau, qua đó vận dụng được nhiều kiến thức cơ bản vàhiểu rõ thêm về bản chất của loại kiến thức mình áp dụng.

* Trước hết, tác giả cho học sinh thực hành việc xác định tổng của các vec-tơthông qua một bài toán cụ thể, qua đó củng cố thêm về khái niệm tổng củacác vec-tơ, các quy tắc thường dùng của tổng các vec-tơ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho luôn

có: BD = DE = EC Hãy dựng vec-tơ u AB AC AD AE   

uuur uuur uuur uuur

Giải:

Cách 1: Gợi ý học sinh:

- Trong phép dựng tổng của hai vec-tơ, với hai vec-tơ có chung gốc thì

nên xem xét đến quy tắc nào? (Quy tắc hình bình hành)

- Vận dụng quy tắc đó vào trong bài toán này cụ thể ra sao? (Nhóm mỗi

2 vec-tơ xác định bởi hai cạnh của hình bình hành lại với nhau)

Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giảinhư sau:

Cách 2: Gợi ý học sinh: Có thể giải cách khác được không?

Học sinh đã biến đổi: u AB AC AD AE AB AE AC AD       

uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur

.Vẫn cách suy nghĩ đó, dựng tiếp hình bình hành AMKN thì: u AKruuur

Hình 6

K

N M

E D

B

C A

Cách 3: Gợi ý học sinh:

- Hãy phân tích đề bài theo một hướng khác: Với các giả thiết của đề

bài, nhận xét gì về các điểm D, E trên cạnh BC? (D là trung điểm của BE và

E là trung điểm của CD)

- Với nhận xét đó, nhớ lại và xác định xem có thể vận dụng kiến thức

nào để xác định tổng của hai vec-tơ? (tính chất trung điểm)

Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được phép dựng và nêu lời giảinhư sau:

Hình 7

K

N M

E D

B

Biến đổi: u AB AC AD AE AB AE AC ADruuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur      

Do D là trung điểm của AE và E là trung điểm của CD nên ta có:

AB AE 2AD, AC AD 2AEuuur uuur  uuur uuur uuur  uuur

Từ đó, dựng M đối xứng với A qua D và N đối xứng với A qua E thì:

AB AE AM, AC AD ANuuur uuur uuur uuur uuur uuur   

.Như vậy: u AM ANr uuur uuur

Với loại toán này, nhiều học sinh lúng túng khi không thể áp dụng mộtquy tắc rất cơ bản của phép cộng và phép trừ hai vec-tơ: Với ba điểm O, A, Bbất kỳ, ta luôn có: AO OB AB, OA OB BAuuur uuur uuur uuur uuur uuur   

Cả hai quy tắc đó, mấuchốt vẫn là quy tắc ba điểm của phép cộng các vec-tơ Chính vì điều này, kếthợp với đối tượng học sinh yếu nên trước khi cho học sinh làm các bài toán

cụ thể, tác giả đã cho học sinh thực hành khá nhiều việc lấy tổng, hiệu của haivec-tơ, phân tích một vec-tơ thành tổng, hiệu của hai vec-tơ đại loại như:

AO OB AB; MI KM KM MI KI; EF EO OF

AM AN NM; CD ID IC

uuur uuur uuur uur uuur uuur uur uur uur uuur uur

uuur uuur uuur uuur uur uur

Ngoài ra, cũng cần hướng dẫn học sinh xem xét phát hiện các vec-tơcùng phương, cùng hướng trong bài toán để sử dụng vào việc biểu diễn

Để rèn luyện loại toán này, trước hết, tác giả đã cho học sinh thực hànhqua một bài toán khá đơn giản sau đây

Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi E là trung điểm của BC Đặt

- Trong bài toán này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ AB, AOuuur uuur

- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn AEuuur quatổng hoặc hiệu của các vec-tơ cùng phương với các vec-tơ AB, AOuuur uuur (hoặc làchính các vec-tơ đó)

Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:

Cách 2: Gợi ý học sinh: Trong cách giải trên đã vận dụng quy tắc ba điểm

trong bước biến đổi đầu tiên Hãy xem xét các giả thiết của bài toán để có thểbiến đổi cách khác Chú ý đến các yếu tố: trung điểm, song song, đối xứng

Qua hướng dẫn, học sinh đã thực hiện được lời giải như sau:

- Trong bài toán này, có các vec-tơ nào cùng với các vec-tơ

HA, HB, HCuuur uuur uuur

Nếu chưa có thì cố gắng để tạo ra Có thể thông qua các

vec-tơ, điểm đã có hoặc các điểm đặc biệt liên quan đến giả thiết (Lựa chọn các

trung điểm của các cạnh)

- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm của phép cộng để biểu diễn HOuuur quatổng hoặc hiệu của các vec-tơ, trong đó có vec-tơ cùng phương với HAuuur hoặc

- Chú ý đến tính chất: Nếu b 0r r

và ar cùng phương với br thì luôn tồntại duy nhất số k   để a kbr  r

Hơn nữa, với ba vec-tơ a, b, cr r r

không cùngphương cho trước thì mỗi vec-tơ ur đều biểu diễn được duy nhất qua các vec-

A'

C' H A

C B

Gọi A' là trung điểm của BC thì: HO HA A Ouuur uuur uuur  