vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học nất đẳng thức nhằm phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh_SKKN toán THPT

Một số đề xuất nhằm vận dụng có hiệu quả kỹ thuật động não trong dạy học bất đẳng thức.. Chính vì vậy mà việc dạy học bất đẳng thứckhông phải là việc dễ và gần như chỉ dành cho đối tượng

MỤC LỤC

Trang

Phần I Giới thiệu đề tài 2

I Lí do chọn đề tài 2

II Phạm vi nghiên cứu 2

III Mục đích nghiên cứu 3

IV Giả thuyết khoa học

V Phương pháp nghiên cứu 3

Phần II Cơ sở lí luận của đề tài 4

I Định hướng đổi mới phương pháp dạy học 4

II Phương pháp dạy học tích cực và kỹ thuật dạy học tích cực 4

III Động não là gì? 5

IV Quy tắc của động não 5

V Đặc điểm và yêu cầu 5

VI Các bước tiến hành 6

VII Ứng dụng 6

VIII Các ưu điểm và nhược điểm 6

IX Vận dụng trong dạy học 7

Phần III Nội dung của đề tài 8

I Thực hành giảng dạy 8

1 Ví dụ 1 8

2 Ví dụ 2 10

3 Ví dụ 3 12

II Kiểm tra đánh giá 13

1 Đề kiểm tra 13

2 Đáp án đề kiểm tra 13

3 Kết quả kiểm tra 15

4 Phân tích kết quả kiểm tra 15

III Một số đề xuất nhằm vận dụng có hiệu quả kỹ thuật động não trong dạy học bất đẳng thức 16

1 Đối tượng vận dụng 16

2 Thời gian vận dụng 16

3 Công tác chuẩn bị, thực hiện và đánh giá học sinh của giáo viên 16

Phần IV Kết luận 17

Phụ lục Lời giải các bất đẳng thức mở rộng và ứng dụng 18

PHẦN I: GIỚI THIỆU ĐỀ TÀI

I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình toán ở phổ thông, bất đẳng thức được coi là mộtchuyên đề khó, nếu không muốn nói là khó nhất Câu hỏi liên quan tới bấtđẳng thức cũng là câu có độ khó cao nhất trong các đề thi tuyển sinh đại học,các đề thi học sinh giỏi, và nó thường được dùng để phân loại các học sinhkhá, giỏi Từ trước tới nay cũng đã có rất nhiều sách viết về bất đẳng thức, córất nhiều đề thi các cấp có bài toán bất đẳng thức, nhưng các bài toán bấtđẳng thức dù có mặt ở đâu và với tần suất như thế nào thì khi gặp chúng đa sốhọc sinh đều bỏ qua vì khó Chính vì vậy mà việc dạy học bất đẳng thứckhông phải là việc dễ và gần như chỉ dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi.Song xét theo một khía cạnh khác thì bất đẳng thức thực ra lại là một trongnhững chuyên đề có tác dụng phát huy tính sáng tạo, tích cực tư duy của họcsinh, tạo ra hứng thú, say mê khi học môn toán Vì vậy, nếu vận dụng cácphương pháp, kỹ thuật dạy học tích cực vào dạy học bất đẳng thức sẽ gópphần rất lớn cho sự thành công của việc dạy học bất đẳng thức

Trong số các kỹ thuật dạy học tích cực đang được áp dụng hiện nay thì

kỹ thuật động não được coi là có tác dụng rất hữu hiệu trong việc phát triểnkhả năng tư duy sáng tạo cho học sinh không chỉ trong quá trình học tập vànghiên cứu, mà còn trong cả công việc và cuộc sống sau này của họ Kỹ thuậtđộng não rất phù hợp với việc dạy học bất đẳng thức, có tác dụng khơi nguồnsáng tạo cho học sinh Nhưng vận dụng như thế nào cho phù hợp với mục tiêubài học, nội dung chương trình, phân bổ thời gian, trình độ của học sinh, làvấn đề không đơn giản và yêu cầu có sự đầu tư thích đáng Vì vậy, tôi chọn

đề tài “Vận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức nhằm phát huy tính tích cực, sáng tạo của học sinh” làm đề tài nghiên cứu của mình.

II PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Do điều kiện thời gian và kinh nghiệm có hạn nên đề tài chỉ dừng ở việcvận dụng kỹ thuật động não vào dạy học bất đẳng thức

III MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Đề xuất một số biện pháp cụ thể dựa trên những kinh nghiệm của bảnthân trong quá trình giảng dạy nhằm vận dụng có hiệu quả kỹ thuật động nãovào dạy học bất đẳng thức

IV GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Trong quá trình giảng dạy nếu vận dụng kỹ thuật động não vào dạy họcbất đẳng thức thì không chỉ đạt được yêu cầu về mặt kiến thức mà còn pháthuy được tính tích cực, sáng tạo của học sinh, giúp học sinh tự tin, có hứngthú, niềm say mê để tiếp tục trau dồi các bài toán về bất đẳng thức

V PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trong đề tài này, tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu liên quan

đến đề tài như: Sách giáo khoa, tài liệu về tâm lí, giáo dục, tài liệu về phươngpháp dạy học Toán, tài liệu về bất đẳng thức,

- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc vận dụng các kỹ thuật

dạy học tích cực ở trường THPT Đông Sơn I

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham dự các buổi họp chuyên

môn, trao đổi ý kiến với các giáo viên tổ Toán ở trường THPT Đông Sơn I

- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm bao gồm dạy và

kiểm tra đối với các lớp 10A5 năm học 2007 – 2008, 10A10 năm học 2010 –

2011 và 10A5 năm học 2011 – 2012 của trường THPT Đông Sơn 1

PHẦN II: CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI

I ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trongNghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1 - 1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóaVIII (12 - 1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục (12 - 1998), được cụthể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là chỉ thị số 15(4 - 1999)

Luật Giáo dục, điều 24.2, đã ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thôngphải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợpvới đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rènluyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đemlại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh"

Có thể nói cốt lõi của đổi mới dạy và học là hướng tới hoạt động họctập chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động

II PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC VÀ KỸ THUẬT DẠY HỌC TÍCH CỰC

Phương pháp dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, được dùng ởnhiều nước để chỉ những phương pháp giáo dục, dạy học theo hướng phát huytính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học Phương pháp dạy học tíchcực hướng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức củangười học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của người học chứkhông phải là tập trung vào phát huy tính tích cực của người dạy, tuy nhiên đểdạy học theo phương pháp tích cực thì giáo viên phải nỗ lực nhiều so với dạytheo phương pháp thụ động

Ở cấp độ cao hơn của phương pháp dạy học, người ta có thể nói tới cácđường hướng dạy học Ở cấp độ thấp hơn của phương pháp dạy học, người ta

có thể nói tới các kỹ thuật dạy học Một phương pháp dạy học có thể bao gồmnhiều kỹ thuật dạy học khác nhau Chẳng hạn, hiểu một cách đơn giản, để cóđược một giờ dạy học bằng phương pháp dạy học tích cực thì giáo viên đãphải phối hợp, vận dụng một cách phù hợp nhiều kỹ thuật dạy học tích cựckhác nhau

Trong quá trình đổi mới các phương pháp dạy học thì việc sử dụng các

kỹ thuật dạy học tích cực có ý nghĩa đặc biệt trong việc phát huy sự tham giatích cực và có hiệu quả của người học vào quá trình dạy học Do đó, áp dụngcác kỹ thuật này trong dạy học có tác dụng kích thích tư duy, khả năng sángtạo và sự cộng tác làm việc của người học Các kỹ thuật dạy học tích cực đangđược áp dụng rộng rãi hiện nay mà chúng ta có thể kể đến là: động não, XYZ,

bể cá, ổ bi, tia chớp, 3 lần 3, Chúng có thể được áp dụng thuận lợi tronglàm việc nhóm, song cũng có thể được kết hợp thực hiện trong các hình thứcdạy học toàn lớp nhằm phát huy tính tích cực của người học Trong đó, kỹthuật động não được coi là có tác dụng rất hữu hiệu trong việc phát triển khả

năng tư duy sáng tạo cho học sinh không chỉ trong quá trình học tập và nghiêncứu, mà còn trong cả công việc và cuộc sống sau này của họ.

III ĐỘNG NÃO LÀ GÌ?

Kỹ thuật động não do Alex Osborn (Mỹ) đưa ra năm 1941, được phát

triển dựa trên một kỹ thuật truyền thống từ Ấn Độ Động não (brainstoming), hay còn gọi là công não / tấn công não / tập kích não, là một kỹ thuật nhằm

huy động những tư tưởng mới mẻ, độc đáo về một chủ đề của các thành viêntrong quá trình thảo luận xung quanh một vấn đề, để từ đó rút ra những giảipháp được cho là khả thi nhất Các thành viên được cổ vũ tham gia một cáchtích cực, không hạn chế các ý tưởng nhằm tạo ra “cơn lốc” các ý tưởng

Tác giả đạt giải Noel hòa bình năm 1963 có một câu nói nổi tiếng:

“Cách tốt nhất để có được một ý tưởng tốt là phải có thật nhiều ý tưởng”

(The best way to get a good idea is to get a lot of ideas – Linus Carl Pauling).

Thế nhưng ý tưởng không phải tự nhiên mà có, nó phải được đánh thức đúngcách Nếu giáo viên biết sử dụng kỹ thuật động não đúng lúc, đúng chỗ thì sẽgiúp học sinh đánh thức trí tưởng tượng, sức sáng tạo đang ẩn sâu trong tiềmthức của họ Do đó, người học phải có một tâm trạng thật thoải mái, không bị

gò ép để tất cả những ý nghĩ, hình ảnh được tuôn ra một cách phóng khoáng

và ngẫu nhiên, thậm chí có cả những ý kiến bị cho là ngớ ngẩn Điều quantrọng là người học phải nghĩ ra được càng nhiều ý tưởng càng tốt, trong lúcđộng não thì không quan tâm đánh giá tính tốt xấu, tính hữu dụng, của ýtưởng Biết đâu có những ý tưởng mà giáo viên và bạn học cho là ngớ ngẩnlại giúp họ có được một ý tưởng cực kỳ sáng tạo và độc đáo mà chưa ai nghĩtới

IV QUY TẮC CỦA ĐỘNG NÃO

Người khởi xướng ra kỹ thuật này, A Osborn, quan sát thấy rằng mỗingười thường thuộc một trong hai thiên hướng tư duy chính là sáng tạo và phêphán Nếu để 2 nhóm người này ngồi cùng nhau thì thường dẫn đến tranh luậnkéo dài và kết quả đạt được không cao Do đó, động não dựa trên nguyên tắcquan trọng nhất là: Tách quá trình phát sinh ý tưởng và quá trình đánh giá ýtưởng thành hai giai đoạn riêng biệt Như vậy, điểm nổi bật của động não làtránh đánh giá và phê phán trong quá trình thu thập ý tưởng của các thànhviên Đồng thời, khuyến khích số lượng các ý tưởng, cho phép sự tưởng tượng

và liên tưởng

V ĐĂC ĐIỂM VÀ YÊU CẦU

- Kỹ thuật động não có thể được tiến hành bởi một hay nhiều người Sốlượng người tham gia nhiều sẽ giúp cho việc tìm ra lời giải được nhanh hơn

và toàn diện hơn nhờ vào nhiều góc nhìn khác nhau bởi các trình độ, trình tựkhác nhau của mỗi người tham gia

- Dụng cụ: Tốt nhất là thể hiện bằng một bảng viết cho mọi thành viênđều đọc rõ tình trạng của hoạt động động não Nếu tiến hành cá nhân hay vàingười thì có thể thay thế bằng giấy viết Ngày nay, người ta có thể tiến hànhbằng cách nối các máy tính cá nhân vào chung một mạng làm cùng tiến hành

việc động não Bằng cách này những người ở xa nhau cùng có thể tham gia và

họ có thể tận dụng được các thế mạnh của công nghệ thông tin như là các kho

dữ liệu, các từ điển trực tuyến, và các máy truy tìm

VI CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH

- Trong nhóm lựa chọn ra một người điều phối và một thư ký để ghi lại các ýtưởng (hai công việc này có thể do cùng một người đảm nhiệm nếu tiện)

- Người điều phối dẫn nhập vào chủ đề và làm cho mọi thành viên hiểu rõđược vấn đề cần thảo luận

- Thiết lập “luật” cho buổi động não, thông thường bao gồm:

+ Người điều phối có nhiệm vụ điều khiển buổi làm việc

+ Không một thành viên nào có quyền đòi hỏi hay cản trở, đánh giá,phê bình hay thêm bớt vào ý kiến, từ ngữ nêu ra, hay giải đáp của thành viênkhác

+ Cần xác định rằng không có câu trả lời nào là sai!

+ Tất cả câu trả lời, các ý, các cụm từ (ngoại trừ nó đã được lặp lại) đều

sẽ được thu thập ghi lại (cách ghi có thể tóm gọn trong một chữ hay một câucho mỗi ý riêng rẽ)

+ Vạch định thời gian cho buổi làm việc và ngưng khi hết giờ

- Bắt đầu động não: Người điều phối chỉ định hay lựa chọn thành viên chia sẻ

ý kiến trả lời (hay những ý niệm rời rạc) Người thư ký phải viết ra tất cả cáccâu trả lời, nếu có thể công khai hóa cho mọi người thấy (viết lên bảng chẳnghạn) Không cho phép bất kỳ một ý kiến đánh giá hay bình luận nào về bất kỳcâu trả lời nào cho đến khi chấm dứt buổi động não

- Sau khi kết thúc động não, hãy lần lượt xem lại tất cả và bắt đầu đánh giá các câu trả lời Một số lưu ý về chất lượng câu trả lời bao gồm:

+ Tìm những câu ý trùng lặp hay tương tự để thu gọn lại

+ Góp các câu trả lời có sự tương tự hay tương đồng về nguyên tắc hay nguyên lí

+ Xóa bỏ những ý kiến hoàn toàn không thích hợp

+ Sau khi đã cô lập được danh sách các ý kiến, hãy thảo luận thêm về câu trả lời chung

VII ỨNG DỤNG

Động não có ý nghĩa rất lớn đối các công việc thuộc các lĩnh vực cần

sự sáng tạo ra các ý tưởng mới trong việc nghiên cứu khoa học hay trong kinhdoanh, Chẳng hạn:

- Giải quyết vấn đề

- Nghiên cứu khoa học

- Quảng cáo, phát triển sản phẩm mới

- Xây dựng kế hoạch kinh doanh

VIII CÁC ƯU ĐIỂM VÀ NHƯỢC ĐIỂM

Có thể thấy những ưu điểm nổi bật của kỹ thuật động não trước hết là

dễ thực hiện, không tốn kém Chỉ cần một cây bút và một tờ giấy trắng, ngườitham gia có thể viết tất cả các ý tưởng có liên quan đến chủ đề bất chợt nảy

sinh trong đầu mà không phải tính đến sự đúng sai của nó Hơn nữa, kỹ thuậtđộng não có thể tận dụng được hiệu ứng cộng hưởng, huy động tối đa trí tuệcủa tập thể và tạo cơ hội cho tất cả thành viên tham gia.

Tuy nhiên, cũng có thể thấy ngay rằng các ý kiến đưa ra có thể đi lạc

đề, tản mạn Do đó, có thể mất nhiều thời gian trong việc lựa chọn các ý kiếnthích hợp Trong dạy học, có thể có một số học sinh “quá tích cực”, số kháclại thụ động

IX VẬN DỤNG TRONG DẠY HỌC

Đã từ lâu, việc đổi mới phương pháp dạy học là phải lấy người học làmtrung tâm, phải phát huy được tối đa khả năng tự học, tự nghiên cứu củangười học Đặc biệt, học sinh phổ thông là một trong số các đối tượng ngườihọc có nhiều tiềm năng, năng lực, sự sáng tạo, cần được khai thác có hiệuquả Kỹ thuật động não được áp dụng trong dạy học không chỉ giúp cho giáoviên đạt được mục đích dạy học mà còn giúp phát triển khả năng sáng tạo củahọc sinh, rèn luyện cho họ một số kỹ năng cần thiết cho cuộc sống sau này

Kỹ thuật công não có thể được thực hiện một cách linh hoạt tùy thuộcvào nội dung và tính chất của bài học (học bài mới hay ôn tập, bài học lýthuyết hay bài học theo hướng ứng dụng, ), tùy thuộc vào mục đích của giáoviên (coi trọng việc kiểm tra khả năng sáng tạo của học sinh hay coi trọngviệc giải quyết được vấn đề, ), tùy thuộc vào năng lực của nhóm học sinh vànhiều điều kiện ngoại cảnh khác

Toán học là một trong số các môn học có tác dụng phát triển tư duysáng tạo cho học sinh, song lại khó áp dụng các phương pháp và kỹ thuật dạyhọc sinh động hay mang tính thực tiễn Tuy nhiên giáo viên có thể sử dụng kỹthuật công não để phát huy trí tưởng tượng và khả năng sáng tạo của học sinh

mà lớp học cũng không kém phần sôi động

Để sử dụng kỹ thuật động não trong dạy học, giáo viên có thể đưa ramột bài toán hoặc một vấn đề và yêu cầu học sinh khai thác bài toán này theocác hướng khác nhau, hoặc để giải bài toán bằng những cách khác nhau Các

ý tưởng được đưa ra có thể dựa trên các nguyên tắc sau:

- Bỏ bớt hoặc làm yếu giả thiết của bài toán

- Tổng quát hóa bài toán

- Đặc biệt hóa bài toán

- Đặt bài toán theo hướng ngược lại

- Xét bài toán đã cho với một đối tượng khác

- Tìm các ứng dụng của bài toán đã cho

-

Trong số các ý kiến đưa ra, có thể có những ý kiến không đúng haykhông thể thực hiện được, nhưng cũng có thể có những ý kiến tìm ra đượccách giải độc đáo hoặc mở ra một bài toán mới hay hơn, có ý nghĩa hơn

PHẦN III: NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I THỰC HÀNH GIẢNG DẠY

Cách thức áp dụng kỹ thuật động não: Giáo viên nêu một bài toán bất

đẳng thức trong sách giáo khoa hoặc trong các sách tham khảo (trong các giờ

tự chọn, bồi dưỡng, ) Sau đó tùy thuộc vào đặc điểm của bài toán, giáo viênyêu cầu học sinh thực hiện một hay một số yêu cầu sau

- Yêu cầu 1: Chứng minh bất đẳng thức bằng nhiều cách khác nhau.

- Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức đã cho.

- Yêu cầu 3: Chứng minh hoặc bác bỏ các bất đẳng thức mở rộng.

(Thông thường, với yêu cầu này giáo viên sẽ giao cho học sinh về nhà làm,trình bày vào vở để tiết sau mang đến lớp kiểm tra.)

- Yêu cầu 4: Tìm các ứng dụng của bất đẳng thức đã cho (Giao cho

học sinh về nhà làm và trình bày vào vở để tiết sau mang đến lớp kiểm tra.)Với yêu cầu này, mới đầu học sinh có thể chưa tìm ra hoặc chưa nghĩ ra đượcnhiều nên giáo viên có thể bổ sung thêm một số ứng dụng khác và yêu cầuhọc sinh tiếp tục chứng minh

411

b a

(*)(*) đúng suy ra (1) đúng

Cách 2:

b a ab

b a ab b

a ab

b a b

⇒

≥

−+

a

b

41

Cách 4: Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có

41

1)

a

b

411

(đpcm)

b, Yêu cầu 2: Mở rộng bất đẳng thức (1).

Kết quả:

c b a c b

91

a

1

1

1

2 1

1

với a ,,b c là ba cạnh của một tam

giác, p là nửa chu vi của tam giác đó

1.4.

b a c a c b c b a c b

12

12

14

14

18

14

4

1

b a ab b

a + + ≥ + với a, b > 0

1.6.

c b a c b a c b a c b

a

1111

1

++

−

++

+++

++

+

+

a d

d b d c

a c c b

d b b

+++

+++

+++

≥++

+

b a d a d c d c b c b a d

c b

12

12

12

14

111

81

11

13

13

1(4111

1

a d d c c b b a d

c b

a + + + ≥ + + + + + + + với a, b, c, d > 0.

1.11.

c b a c b a c b a a c c b b

12

12

13

13

13

1

, với a, b, c > 0

1.12.

c b a a c c b b

32

12

12

1

với a, b, c > 0

1.13.

)(

4

92

12

12

1

c b a b

a c a c b c b

a+ + + + + + + + ≥ + + với a, b, c > 0

2

12

12

1(311

1

a c c b b a c

++

+

c a c

b c

c c b b a c b

2

31

11

11

+

++

12

1

2 2

+

++

110

12

⇔ (a - b)(a2 – b2) ≥ 0 ⇔ (a - b)(a - b)(a - b) ≥ 0 ⇔ (a - b)2(a + b) ≥ 0 (*)

Bất đẳng thức (*) luôn đúng với mọi a, b nên (2) đúng với mọi a ≥ 0 và

b ≥0, và dấu bằng xảy ra khi a = b hoặc a = b = 0.

+) Nếu a = 0 thì bất đẳng thức đã cho trở thành b3 ≥ 0 (Luôn đúng vì b ≥ 0 )

+) Nếu a > 0 thì đặt b = t.a, t≥ 0 Thay vào bất đẳng thức đã cho ta được:

+) Nếu a = 0 hoặc b = 0 thì bất đẳng thức luôn đúng.

+) Nếu a > 0 và b > 0 thì ta chia cả 2 vế của bất đẳng thức cho ab > 0 ta được:

Khi đó áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương là

Ta biến đổi vế trái của BĐT đã cho, như sau

VT(2) = a3 + b3 = (a + b )(a2 + b2 - ab), mà áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2

n n

m n

n

,0, ,

, 2

a m,n∈N;m,n≥2

c, Yêu cầu 3: (Về nhà) Chứng minh các bất đẳng thức ở Yêu cầu 2

d, Yêu cầu 4: Tìm các ứng dụng của bất đẳng thức (2)

Kết quả

22

2

3 3 3 3 3 3

c b a ca

a c bc

c b ab

b

a

++

≥

++

++

3 3 3

ca bc ab a

c c

a c abc c

b abc b

++

++

+

++

2.10.

3

2 2

3 2

2

3 2

2

a ca c

c c

bc b

b b

ab

a

++

+++

++

a ca

c a c

bc

b c b

ab

a

b

++

≤+

−+

+

−+

+

−

2

3 3 2

3 3 2

3 3

3

53

53

5

, với a, b, c > 0

2.12. 3( )

5

195

195

19

2

3 3 2

3 3 2

3 3

c b a a

ca

c a c

bc

b c b

+

−+

296

29

3

3 3 2

3 3 2

3 3

c b a c

ca

a c b

bc

c b a

+

−+

417

41

2

3 3 2

3 3 2

3 3

c b a c

ca

a c b

bc

c b a

+

−+

+

32

733

2

733

2

7

ca bc ab c

b a a

c

a c

c b

c b b

+++

a, b, c > 0

2.16.

a c

c a a c a c c

b

bc c

b c b b

a

ab b

a b

a

+

+

−+++

+

−+++

543

103

543

103

5

),(

)(

2 2

2

a

c c

b b

a a

c c

b b

a

++

≤+

a b

a

b

a

33

1 3

3

3 2

b c

b c

b

33

1 3

3

3 2

2

=

≥+

a

c a

c a

c a

c

33

1 3

3

3 2

2

=

≥++

Cộng vế với về ba bất đẳng thức trên ta được

+

a

c c

b b

a a

c c

b b

a a

2

2 2

+

⇒

a

c c

b b

a a

c c

b

b

a

23

2

2 2

b b

a a

c c

b b a

2 2

2 2

2

2

a

c c

b b

a a

c c

b b

a a

c c

b b

2 2

2

a

c c

b b

a a

c c

b b

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2

31111

.1.1

a

c c

b b

a a

c c

b b

a a

c c

b b

a a

Do + + ≥3

a

c c

2 2

2 2

a

c c

b b

a a

c c

b b

a a

c c

b b a

2

2 2

2 2

2

a

c c

b b

a a

c c

b b

3

2 2 2 2

2 1 1 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

a a

a

a

+++

≤+++   với a1,a2, a n> 0, n∈N,n≥3

3 3

3 3

3 2

2 2

2 2

2

a

c c

b b

a a

c c

1 1

1

+

+ +

+ +

+

++

≤+

b b

a a

c c

m m

m n

n n

n n

n

a

c c

b b

a a

c c

3

1 2 1 2

1 1 1 3

2 2

1

+

+ +

+ +

+

+++

≤++

n

n n

n n

n k n

n n

n

a

a a

a a

a a

a a

m m

m n

n k n

n n

n

a

a a

a a

a a

a a

a

a

a

1 3

2 2

1 1 3

2 2

1 + ++ ≤ + ++ với a1,a2, a k > 0, m,n,k∈N*, n≤m , k ≥3

c, Yêu cầu 3: (Về nhà) Chứng minh các bất đẳng thức ở Yêu cầu 2

II KIỂM TRA ĐÁNH GIÁ

1 Đề kiểm tra 20 phút

Câu 1 (5 điểm): Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a,

2 2

22

2

2 2

2 2 2

2 2

≥

−

⇔+

≥+

Câu Nội dung Điểm

1b

3 3

3

)()(

42

b a b

22

2

2 2 3 2

2

3 3 3 3 3 3 3

b a b a b a b

Bình luận: Cách 2 có vẻ dài hơn trong chứng minh bất đẳng

thức 1b, tuy nhiên để chứng minh các bất đẳng thức mở rộng

với số mũ lớn hơn thì cách 2 hữu hiệu hơn

2

1

3 3

4 4

2 2

3 3

n m n

n

m

a a

a m

a a