Chọn mốc nội suy tối ưuTrường hợp 2: Trường hợp các mốc nội suy được chọn trong [a, b] bất kỳ... Đa thức nội suy NewtonHạn chế của đa thức nội suy Lagrange Mỗi khi thêm mốc nội suy, t
Trang 2 Nếu c ∈ (x0, xn): Bài toán nội suy, g(x) gọilà hàm nội suy.
Nếu c ∉ (x , x ): Ngoại suy
x y
Trang 3Nội suy đa thức
Mọi hàm sơ cấp đều có thể xấp xỉ bởi một đa thức
Có giải thuật tính dễ dàng giá trị của đa thức tại x= c.
Cho n+1 mốc nội suy (x0,y0), (x1,y1), …, (xn, yn) Nội suy đa thức là xấp xỉ hàm f(x) bởi một đa thức Pn(x)
có bậc không quá n:
Pn(x) = anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 thỏa điều kiện Pn(xi)=f(xi)
Sai số: R (x)=f(x)-P (x)
Trang 5Nội suy đa thức
Định lý: Cho n+1 mốc nội suy (x0,y0), (x1, y1),…, (xn, yn) Đa
thức nội suy bậc n tìm đượcdựa trên các mốc nội suy này là duy nhất
Chứng minh: Giả sử tìm được 2 đa thức nội suy Pn(x) và Qn(x)
Trang 6Tính giá trị của đa thức – thuật toán Horner (hạn
i>=0
P=P*c+aii
Write P
(2.1.1)
Trang 7Tính giá trị của đa thức
Trang 8Tính giá trị của đa thức
Ví dụ 4.1: Cho P4(x)=3x4+4x3+5x2-6x+2
Tính P4(2)=?
Tính theo cách thông thường, thay x=2 vào đa thức:
P4(2)=3.24+4.23+5.22-6.2+2=90 -Số phép nhân:10
- Số phép cộng: 4
Trang 9Tính giá trị của đa thức
p=3; i=3i=3; p=p*2+a3=3*2+4=10i=2; p=p*2+a2=10*2+5=25i=1; p=p*2+a1=25*2-6=44i=0; p=p*2+a0=44*2+2=90i=-1 Dừng
Kết quả: P4(2)=p=90
Số phép nhân: 4 < 10
Số phép cộng: 4
Trang 101.1 Đa thức nội suy Lagrange
Cho trước n+1 điểm mốc: (x0,y0),(x1,y1),…, (xn,yn)
Đa thức nội suy Pn(x) theo Lagrange được xác định như sau:
Bước 1: Xác định các đa thức Lagrange cơ bản: l i (n) (x) có
0
) (k
1 )
(
) (
i
i x
l i n k
n
i x
x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x x
x x
x x
x x
x x
l
n
i j
j
n i
i i
i i
i i
n i
i
n i
, , 3 , 2 , 0 ,
) ) (
)(
) (
)(
( )
(
, 0
1 1
1 0
1 1
1 0
) (
Trang 11Đa thức nội suy Lagrange
− Bước 2: Đa thức nội suy Lagrange Pn(x) được xác định bởi:
)) (
) (
(
)) (
)(
(y
)) (
) (
(
)) (
)(
(y
)) (
) (
(
)) (
)(
(y
.)
()
(
1 2
0
1 1
0 n
1 2
1 0
1
2
0 1
0 2
0 1
0
2
1 0
0 0 ; 0
) (
n n
n
n n
n n
n i
n
i j
j i
n i
n i i
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x
x y
x l
y x
P n
(2.1.3)
Trang 12Đa thức nội suy Lagrange
rồi tính gần đúng sin(π/5) với các mốc nội suy cho trong bảng:
10
)(
6
10
(
)2
1)(
6
1(
)(
2 0
Trang 13Đa thức nội suy Lagrange
? ) 2
1 6
1 )(
0 6
1 (
) 2
1 )(
0
( )
? )
2
1 6
1 )(
0 6
1 (
) 2
1 )(
0
( )
7 3
) 6
1 2
1 )(
0 2
1 (
) 6
1 )(
0
( 1 ) 2
1 6
1 )(
0 6
1 (
) 2
1 )(
0 (
2
1 ) 2
1 0
)(
6
1 0 (
) 2
1 )(
6
1 (
0
)
x x
x x
x x
x x
l y x
P
i
i i
Trang 14Đa thức nội suy Lagrange
Ví dụ 4.3: Tìm đa thức nội suy Lagrange đối với hàm y=f(x) được cho như trong bảng
Giải
Các đa thức Lagrange cơ bản:
015 ,
0
015 ,
0 23
, 0 9
,
0 )
5 , 0 0 )(
3 , 0 0 )(
1 , 0 0 (
) 5 , 0 )(
3 , 0 )(
1 , 0
( ) (
2
3 3
0
− +
) 5 , 0 1 , 0 )(
3 , 0 1 , 0 )(
0 1 , 0 (
) 5 , 0 )(
3 , 0 )(
0 (
) (
05 , 0 6
,
0 )
5 , 0 3 , 0 )(
1 , 0 3 , 0 )(
0 3 , 0 (
) 5 , 0 )(
1 , 0 )(
0 (
) (
2 3
3 2
x x
x x
x x
Trang 15Đa thức nội suy Lagrange
04 , 0
03 , 0 4
,
0 )
3 , 0 5 , 0 )(
1 , 0 5 , 0 )(
0 5 , 0 (
) 3 , 0 )(
1 , 0 )(
0
( )
(
2
3 3
3
x x
x x
x
x x
0 12
91 30
3
125
) ( )
( )
( )
( )
(
2 3
3 3 3
3 2 2
3 1 1
3 0
0 0
3
− +
−
=
+ +
x
x l
y x
l y x
l y x
l y l
y x
i
n i i
Ta có: f(0,2) ≈ P3(0,2)=0,15
Trang 16Đánh giá sai số của đa thức nội suy Lagrange
Định lý Rolle: Nếu f(x) liên tục trên [a,b], khả vi tại mọi
x∈(a,b) và f(a) = f(b) thì tồn tại ít nhất ξ∈(a,b) sao cho
Trang 17Đa thức nội suy Lagrange
Áp dụng để đánh giá sai số khi tính f(c)≈P n (c)?
Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục đến cấp n+1 trên [x0, xn]
x f x
F
0
) (
) ( )
( )
(
Tìm k sao cho F(x) có ít nhất n+2 nghiệm (x 0 ,x 1 ,x 2 ,…,x n và c)?
F’(x) có n+1 nghiệm ⇒ F’’(x) có n nghiệm (định lý Rolle)
Trang 18Đa thức nội suy Lagrange (tt)
0)
)(
()()
(f
0)
1
) 1 ( 1)
(n )
1
=
+ +
i
i
n n
)!
1 (
)
(
0 )!
1 (
) (
x )!
1 (
)) x - (x (k
x 0 )
(
) 1
( )
1 ( 0
) 1
( i
) 1 (
+
=
⇒
= +
−
⇒
∀ +
=
∀
=
+ +
n k f
n k
x P
n n
n
i
n
n n
ξ ξ
n n
n
n
f x
L x
f x
R
0
i
) 1 (
)!
1(
)
()
()
()
(2.1.4)
Trang 19Đa thức nội suy Lagrange (tt)
) (
y=sin(πx) 0 1/2 1
(2.1.5)
Trang 20Đa thức nội suy Lagrange (tt)
x x
x
P
2
7 3
)
58 ,
0 5
1 2
7 )
5
1 (
3 )
5 / 1 ( )
5 /
! 3
) (
sin )
(
i
i
x x
x x
1 )(
6
1 (
| 6
)
( 6
) (
3 2
x x
x x
R
i
i
π π
010335 ,
0
) 2
1 5
1 )(
6
1 5
1 ( 5
1 6
) 5 / 1 (
3
R
Trang 21ChỌn mốc nội suy tối ưu
Với công thức đánh giá sai số
) ( )
1 ( ) (
)!
1 ( ) ( )
( )
x n
M x
L x f x
n i
i n
a b
−
=
Thì đoạn [a;b] chuyển thành [-1;1]
Nên các mốc nội suy trên [a;b] đều có thể chuyển về các mốc nội suy trên [-1;1]
Trang 22Chọn mốc nội suy tối ưu
1
|)(
2 , 1 , 0 ,
) 2
1 2
cos( π =
(2.1.6)
Trang 23Chọn mốc nội suy tối ưu
Trường hợp 1: Các các mốc nội trong [-1, 1], khi đó các mốc nội
suy được chọn là nghiệm của Tn+1(x) :
n
i n
i
)1(
2
)12
n x T x
2
1 )
( )
n
n
M x
n
M x
R
2
1 )!
1 (
)
( )!
1 (
(2.1.7)
Trang 24Chọn mốc nội suy tối ưu
Trường hợp 2: Trường hợp các mốc nội suy được chọn trong [a,
b] bất kỳ Đặt:
) (
) 2
(
a b
b a
x t
Trang 25Giải thuật tính gần đúng f(c) dựa trên đa thức nội suy Lagrange
◊ p = p + yi * li;
}
Return p;//p là giá trị gần đúng của f(c) tìm được
Trang 261.2 Đa thức nội suy Newton
Hạn chế của đa thức nội suy Lagrange
Mỗi khi thêm mốc nội suy, ta phải tính lại toàn bộ đa thức (Các đa thức Lagrange cơ bản và đa thức nội suy Lagrange)
Đa thức nội suy Newton khắc phục hạn chế này
Trang 27] ,
i i
i
x x
y y
x x
i i i
i i
i i
x x
x x f x
x f x
x x f
+ +
+
2
1 2
1 2
1
] ,
[ ]
, [ ]
, , [
Tổng quát, tỷ hiệu cấp k của hàm y=f(x) tại xi được tính dựa vào tỷ hiệu cấp k-1:
k i i
k i i
k i i
i
x x
x x
f x
x f x
x x f
−
−
+ +
] , ,
[ ]
, , [
] , ,
,
Trang 28Đa thức nội suy Newton
[]
, ,,
[x i x i 1 x i k f x i k x i k 1 x i
] , , ,
[
] , ,
[
] ,
, [ ]
, [
] ,
[
] [
] , [
] , , [ ]
[
] [
2 0 1
2
1 2
1 1
1 2
1 1
3 2 1 3
2 3
3
2 1 0 2
1 2
2
1 0 1
1
0 0
n n
n n
n n
n n
n
n n
n
n n
n
x x
x f x
x x
f
x x
x f x
x f
x x
f y
y x
x
x x x f x
x f y
x
x x x f x
x f y
x
x x f y
x
y x
Trang 29Giải thuật lập bảng tỷ hiệu
Lưu ý: không dùng các fij với j>i+1
Trang 30Giải thuật lập bảng tỷ hiệu
Hoặc có thể tính f[xi,xi+1,…,xj] bằng giải thuật đệ quy sau:
Trang 311.2.1 Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
- Xét tỷ hiệu cấp 1:
0
0 0
) ( )
( ]
,
[
x x
x P x
P x
1 0
] , [ ]
, [ ]
, ,
[
x x
x x P x
x P x
x x
0 2
0 1
1 0
] , ,
, [ ]
, , ,
[ ]
, , ,
n n
n n
x x
x x
x P x
x x P x
x x x P
- Xét tỷ hiệu cấp n:
P n [x,x 0 ,x 1 ,…,x n-1 ] là đa thức có bậc 0
(2.1.10)
(2.1.11)
Trang 321.2.1 Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
Từ 4.1.9, ta có: P n(x) = P n(x0) + (x − x0)P n[x, x0]
] , , [ ) (
] , [ ]
n n
n n
n
x x
x x
x P x
x x P x
x x
x x P
[ ]
, , ,
[ ]
, , ,
, ,
1 1
, , ,
[ ) (
] , ,
, [
] , ,
, , [ ) (
] , ,
, [ ]
, , ,
[
1 1
0 1
1 1
0
1 1
0 1
1 1
0 2
0
n n
n n
n n
n n
n n
n n
n
x x
x x P x
x x
x x P
x x
x x P x
x x
x x P x
x x
=
− +
=
Từ 4.1.11,4.12 ta có:
Trang 331.2.1 Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
] , , ,
[ ) ) (
)(
(
] , , [ ) )(
( ] , [ ) (
) ( )
(
1 0 1
1 0
2 1 0 1
0 1
0 0
0
n n
n
x x
x f x
x x
x x
x
x x x f x x x
x x
x f x x x
f x
+
−
− +
− +
=
], ,,
[))(
)(
(
],,[))(
(],[)(
)()
(
1 0 1
1 0
2 1 0 1
0 1
0 0
0
n n
n
n n
n n
x x
x P x
x x
x x
x
x x x P x x x
x x
x P x x x
P x
+
−
−+
−+
(
1 0 1
0
0 0
0
n i
n
n
x x
x f x
x x P
x f y
Trang 341.2.1 Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
(2.1.14)
Tương tự, ta cũng có đa nội nội suy Newton Lùi xuất phát từ xn: (thường dùng để tính gần đúng f(c) khi c gần xn)
] , , ,
[ ) ) (
)(
(
] ,
, [ ) )(
( ] ,
[ ) (
) ( )
(
0 1
1 1
2 1
1 1
x x
x f x x x
x x x
x x
x f x
x x x x
x f x x x
f x
P
n n n
n
n n
n n
n n
n n
n n
+
−
− +
− +
=
Đa thức nội suy Newton cũng chính là đa thức nội suy
Lagrange chỉ khác về cách trình bày
Nếu thêm một mốc (xn+1,yn+1), đa thức nội suy Pn+1(x) trên tập
điểm mốc mới được tính theo Pn(x) như sau:
] , ,
, [ ) ) (
)(
( ) ( )
Trang 35Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
Trang 36Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
] , , [ ] , [
] , [
2 1 0 2
1 2
2
1 0 1
1
0 0
x x x f x
x f y x
x x f y x
y x
Ví dụ 4.5: Xây dựng đa thức nội suy theo phương pháp newton cho hàm y=sin(πx) với các mốc nội suy cho trong bảng:
y=sin(πx) 0 1/2 1Lập bảng tỷ hiệu
Trang 37Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
Đa thức nội suy cần tìm có dạng:
x
x x x
x x x f x x x x x
x f x x x
f x
P
2
7 3x
-
1/6)(-3) -
( 3
0
] , , [ ) )(
( ] , [ ) (
) ( )
(
2
2 1 0 1
0 1
0 0
0 2
+
=
+ +
=
−
− +
− +
=
Với các mốc nội suy trong bảng
Trang 38 Bảng tỷ hiệu của y=log10(x)
Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ
) 990
1 ).(
10 )(
1
( 9
1 ).
1 (
) 1 (
] , , [ ) )(
(
] , [ ) (
) ( )
(
2 1 0 1
0
1 0 0
0 2
−
−
− +
− +
=
x x
x f
x x x f x x x x
x x f x x x
f x
P
990 / 1 90
/ 1 2 100
9 / 1 1 10
0 1
− ]
, , [ ]
, [
] , [
2 1 0 2
1 2
2
1 0 1
1
0 0
x x x f x
x f y
x
x x f y x
y x
Đa thức cần tìm theo newton có dạng:
8910
1080 810
99 8910
− +
−
Trang 39Đa thức nội suy Newton lùi
2 2
1 2 1
1
0 1 2 0
1 0
0
] , [
] , , [ ] , [
y x
x x f y x
x x x f x
x f y x
Ví dụ 4.7 : Tìm đa thức nội suy newton lùi cho hàm y=sin(πx) với các mốc nội suy cho trong bảng:
y=sin(πx) 0 1/2 1Giải: Bảng tỷ hiệu
12
/1
2/32
/16
/1
33
Trang 40Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy newton tiến với các mốc bất kỳ
• Cho các mốc nội suy (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn)
• Xây dựng ma trận tỷ hiệu TyHieucấp (n+1)x(n+2) (xem lại giải thuật ở slide trước)
Trang 41Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy
newton tiến với các mốc bất kỳ
Giải thuật đệ quy: Goi F(i,j) là tỷ hiệu f[xi, xi+1,,xj] Ta
có giải thuật đệ quy tính f(i,j) như sau:
F(int i, int j) {
if (j=i+1) return (yj-yi)/(xj-xi) else
return (F(i+1,j)-F(i,j-1))/(xj-xi);
}
Trang 42Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy
newton tiến với các mốc bất kỳ
Trang 43Giải thuật tính gần đúng f(c) bằng đa thức nội suy newton lùi với các mốc bất kỳ
Cho các mốc nội suy (x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn)
Xây dựng ma trận tỷ hiệu TyHieucấp (n+1)x(n+2) p=yn;
Trang 444.2.2.Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
Trang 45Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
Định nghĩa sai phân hữu hạn:
Sai phân tiến cấp 1 tại xi:
Sai phân tiến cấp 2 tại xi:
) ( )
( )
∆
)()
(2)(
)](
)(
[)]
()
([
))(
)(
))((
)(
1 2
2
i i
i
i i
i i
i i
x f x
f x
f
x f h
x f h
x f h
h x
f
x f h
x f x
f x
−+
−+
+
=
∆
−+
Sai phân tiến cấp n tại xi được tính theo sai phân tiến cấp n-1:
)) (
( )
Trang 46Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
] , , ,
[ ) ) (
)(
(
]
, , [ ) )(
( ] , [ ) (
) ( )
(
1 0 1
1 0
2 1 0 1
0 1
0 0
0
n n
n
x x
x f x
x x
x x
x
x x x f x x x
x x
x f x x x
f x
+
−
− +
− +
=
y h
x
f x
x
x f x
f x
x
0 1
0 1
1 0
) ( )
( )
( ]
0 2
0 2
1 0 2
1 2
1 0
2 2
) ( ]
, [ ]
, [ ]
, ,
[
h
y h
x
f x
x
x x f x
x f x
x x
x
f x
x x x
f
!
)
(]
,,
3 , 2 1 0
n
h n
y x
x x
x x
x
h
y x
x x
x h
y x
x x
f x
P
!
) ) (
)(
(
2
) )(
( )
( ) ( )
(
0 1
1 0
2 0
2 1 0
0 0
+
∆
−
− +
∆
− +
=
−
Nên:
(2.1.17)
Trang 47Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
2 0
2 )(
1 (
! 2
) 1 (
) (
) (
y n
n t t
t t y
t t y t y
th x
P x
P
n
n n
∆ +
−
−
− +
+
∆
− +
∆ +
=
+
=
Trang 48Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
Sai phân tiến các cấp tại x0 có thể tính theo bảng:
Trang 49 Sai số
) ) (
2 )(
1
( )!
1 (
)
(
) (
) (
1
) 1 (
0
n t
t t
t
h n
f
th x
R x
n n
n n n
y n
n t t
t
t y
t
t y t y
th x
P x
P
∆
− + +
+ +
+
∆
+ +
∆ +
2 )(
1
(
! 2
) 1
(
) (
) (
2
Tương tự, bằng cách đặt x = xn + th, ta có đa thức nội suy
Newton lùi với các mốc cách điều
(2.1.20)
Trang 50Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều
Ví dụ: Cho hàm y=f(x) xác định bởi bảng:
Tính gần đúng f(4/3) bằng đa thức nội suy Newton (tiến)?
Giải: Ta thấy: xi+1-xi=1, ∀ i=0,1,…,n-1
Nên các mốc nội suy là cách đều Đặt x = x0+th=1+t ; x = 4/3 ⇒ t = 1/3 Bảng sai phân hữu hạn:
Đa thức nội suy Newton:
p(t) = y0+t ∆ y0+(t 2 /2!) ∆ 2 y0
= 2+ 5t + ½.t(t-1).2 = 2+4t+t 2
f(4/3) ≈ p(1/3) = 31/9
Trang 51Đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn, trường hợp các mốc nội suy cách điều
Bảng sai phân hữu hạn cho đa thức nội suy newton lùi:
Trang 52Ví dụ: Giá trị hàm Lgx (log cơ số 10) được cho
2 0
0
0 3 3
!3
)2)(
1
(
!2
)1
(
)(
)(
y
t t
t y
t
t y
t y
th x
P x
P
∆
−
−+
+
∆
−+
∆+
Trang 53t
Trang 542.1.3 Nội suy Spline
Thông thường, bậc của đa thức nội suy Lagrange, Newton tăng theo số lượng lấy mẫu (số lượng điểm mốc) Do vậy chi phí tính toán cũng tăng
Một phương pháp khác, thường dùng trong thực tế là nội suy bởi đa thức Spline bậc 3
Trang 55Nội suy spline
Cho n+1 điểm mốc: (x0,y0), (x1,y1), ,(xn,yn), với xi+1-xi=h
i i
i i
i i
) (
) (
)
(
) (
1 2
1 0
x f
x f
x f
x f
x f
n n
Trang 56Nội suy spline (2)
+
+ +
+
+ +
+
2 , ,
2 , 0
) (
) (
2 , ,
2 , 0
) (
) (
2
2 , 0
) (
) (
1
1, 0
)
(
1
'' 1 1
''
1
' 1 1
'
1 1
1
n i
x f
x
f
n i
x f
x
f
n i
x f
x
f
n i
y x
f
i i
i
i
i i
i
i
i i
i
i
i i
? ,
,
a
Trang 57Nội suy spline (3)
i i
i i
i i
i i
b x
x a
x f
c x
x b x
x a
x
f
2 )
( 6
) (
) (
2 )
( 3
)
(
''
2 '
Trang 58Nội suy spline (4)
Đặt Mi = fi '' ( xi )
Từ pt (8), ta có:
i i
i i
M
b = i=0,1,…, n-1
Trang 59Nội suy spline (5)
Cũng từ (8), suy ra: fi+''1( xi+1) = 2 bi+1
i i
i i
i i i
i
b h
a
b x
x a x
f
2 6
2 )
( 6 )
b
b a
b b
h a
x f
x f
i i
i
i i
i i
i
i i
i i
6 6
2 2
2 2
6
) (
) (
1 1
1
1
'' 1 1
=
+ +
+
+ +
+
2, ,
1,0
,6
Trang 60Nội suy spline (6)
Từ pt (4): fi(xi+1) = fi+1(xi+1)
Mà: fi+1(xi+1) = di+1
Và: fi(xi+1) = ai(xi+1-xi)3+bi(xi+1-xi)2+ci(xi+1-xi)+di
Trang 61Nội suy spline (7)
+
i i
i i
i
i i
i i
i
i i
y d
h
M
M h
y
y c
M b
h
M
M a
) 6
2 (
2 6
1 1
1
Để có được các ai, bi, ci, di, cần tìm các Mi!!!
Trang 62Nội suy spline (8)
Từ pt (5): fi'( xi+1) = fi+''1( xi+1)
1 1
1 1
2 1 1
1 1
i i i
i i i
f ''( +1) = 3 ( +1 − )2 + 2 ( +1 − ) +
i i
i i
f ''( +1) = 3 2 + 2 +
i i
Trang 63Nội suy spline (9)
h
M
M h
y y
h
M h
h
M
M h
M
M h
y y
i i
i i
i i
i i
i i
i
) 6
2 (
2
2 6
3
) 6
2 (
1 1
2 1
1 2
1 2
+
−
− +
+
−
=
+
−
−
+ +
+ +
+ +
+
h
y
y h
y y
h M
M h
M M
h
M h
h
M
6
2 (
) 6
2 (
2
2 6
3
2
1 2
1 2
1
) 6
2 (
) 6
2 (
2
2 6
3
h
y y
y M
M M
M M
M
M i+ − i + i − i+ + i + i+ + i+ = i+ − i+ + i
h
y y
y h
M M
h M M
h
M h
h
M
) 6
2 (
) 6
2 (
2
2 6
3
2
2 1
2 1
2 6
4
h
y y
y M
M
i i
+
Trang 64Nội suy spline (10)
n
n n
n
n n
n
n n n i
y y
y
y y
y
y y
y
y y y
y y y
y y y
h
M M M M
M M M M
1 2
1 2
3
3 3
4
4 3 2
3 2 1
2 1 0
2
1 2 3
3 2 1 0
2 2 2
2 2 2
6
1 0 0 0 0 0 0 0
4 1 0
0 0 0 0
1 4 1
0 0 0 0
0 1 4
0 0 0 0
4 1 0 0
0 0 0
1 4 1 0
0 0 0
0 1 4 1
Có n+1 cột nhung chỉ có n-1 dòng!!!
Trang 65Nội suy spline (11)
Spline tự nhiên (Natural spline)
n
n n
n
n n
n
y y
y
y y
y
y y
y
y y y
y y y
y y y
h
1 2
1 2
3
3 3
4
4 3 2
3 2 1
2 1 0
2
1 - n
2 - n
3 - n
4 3 2
2 2 2
2 2 2
6
M M M
M M M
4 1 0
0 0 0
1 0
0 0 0 0
4 1 0
0 0 0 0
0 0 1
0 0 0 0
4 1 0 0
0 0 0
1 4 1 0
0 0 0
0 0 1 4
Trang 662.2 Phương pháp bình phương tối thiểu
Giả sử có đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng x nhưng chưa biết công thức của Qua đo đạt, thí nghiệm, quan sát,… ta có được bảng số liệu:
Trang 67Nội dung của phương pháp
Gọi y=f(x) là công thức nghiệm cần tìm
Do các yi chỉ là giá trị thực nghiệm nên yi≠f(xi)
Trang 68b ax
y
b ax
y
1 1
1
0 0
(
0
) ) (
y
a
b ax
Trang 69Công thức nghiệm dạng: y=ax+b (y phụ thuộc tuyến tính các hệ số)
1()(
2
0)
)(
(2
0
0
n i
i i
n i
i i
i
b ax
y
x b
ax y
+
= +
n
i i i
n
i i i
n i
n
i i i
y b
n x
a
y x x
b x
⇔
⇔
Giải hệ trên ta tìm được a,b.
Trang 70Ví dụ:
Sự phụ thuộc của y vào x cho như trong bảng:
Tìm công thức nghiệm dạng y=ax+b?
Giải: Các hệ số a, b là nghiệm của hệ:
+ +
+
= +
+ + +
+ +
+
= +
+ + +
+ +
+
5 , 6 5 , 5 5 , 2 5 , 0 4
) 3 2 1 0
(
5 , 6 3 5 , 5 2 5 , 2 1 5 , 0 0 )
3 2 1 0 ( )
3 2
1 0
b a
b a
?
, 15
4 6
33 6
=
+
b a
b a