Nghiên cứu một số phương pháp nội suy và sấp xỉ hàm số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCĐÀM VĂN MẠNH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2013... ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG Đ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

ĐÀM VĂN MẠNH

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ

PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2013

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ

PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Mã số : 60 46 46

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS ĐẶNG THỊ OANH

THÁI NGUYÊN - 2013

Mục lục

1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính 9

1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 10 1.2.1 Chuẩn của ma trận, chuẩn của vectơ 10

1.2.2 Phương pháp Gauss (Phương pháp khử) 11

1.2.3 Phương pháp lặp đơn (phương pháp lặp Jacobi) 14

1.3 Bài toán nội suy hàm số 16

1.3.1 Bài toán nội suy hàm số 16

1.3.2 Sự tồn tại duy nhất của đa thức nội suy 16

1.4 Khái niệm sai phân và tỉ sai phân 16

1.4.1 Sai phân 16

1.4.2 Tỉ sai phân 17

1.5 Cơ sở của bài toán nội suy với dữ liệu phân tán 19

1.5.1 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán 19

1.5.2 Ma trận xác định dương 20

1.5.3 Hàm xác định dương 20

1.5.4 Hàm cơ sở bán kính 21

1.5.5 Hàm bán kính xác định dương 21

2 Một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số 22 2.1 Phương pháp nội suy Lagrange 22

2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange 22

2.1.2 Đánh giá sai số đa thức nội suy Lagrange 23

2.2 Chọn mốc nội suy tối ưu 25

2.2.1 Đa thức Chebyshev 25

2.2.2 Chọn các mốc nội suy tối ưu 26

2.3 Phương pháp nội suy Newton 27

2.3.1 Nội suy trên lưới không đều 27

2.3.2 Nội suy trên lưới cách đều 29

2.4 Phương pháp bình phương bé nhất 30

2.4.1 Trường hợp y phụ thuộc tuyến tính vào các tham số 31 2.4.2 Trường hợp y phụ thuộc phi tuyến vào các tham số 33 2.5 Phương pháp nội suy RBF 34

2.5.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính (RBF) 34

2.5.2 Vấn đề tham số hình dạng tối ưu đối với nội suy hàm cơ sở bán kinh (RBF) 36

2.5.3 Nội suy với độ chính xác đa thức 36

2.5.4 Sai số, ổn định và hội tụ của hàm nội suy theo bán kính 37

2.6 Kết luận 39

3 Ứng dụng của phương pháp nội suy 40 3.1 Tính đạo hàm 40

3.2 Tính tích phân số 42

3.2.1 Công thức hình chữ nhật trung tâm 42

3.2.2 Công thức hình thang 44

3.2.3 Công thức Simson (công thức Parabol) 46

3.2.4 Công thức cầu phương Gauss 48

3.2.5 Công thức Newton - Cotet 50

3.3 Giải phương trình vi phân thường 51

3.3.1 Bài toán Cauchy 51

3.3.2 Phương pháp Euler 52

3.3.3 Phương pháp Euler-Cauchy 54

3.3.4 Phương pháp Runge-Kutta 55

3.3.5 Vấn đề xác định nghiệm gần đúng với sai số cho trước 57 3.4 Ứng dụng nội suy RBF 58

3.4.1 Bài toán Dirichlet với phương trình Poisson trong miền giới nội Ω ⊂ Rd và vectơ trọng số 58

3.4.2 Vectơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính 59

3.4.3 Lược đồ RBF – FD giải phương trình poisson 61

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình hoàn thành luận văn "Nghiên cứu một số phươngpháp nội suy và xấp xỉ hàm số" tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ,động viên của những cá nhân và tập thể Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trongquá trình học tập và nghiên cứu

Trước hết tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, các thầy cô TrườngĐại học khoa học – ĐHTN, các thầy cô giáo Viện toán học Việt Nam đãtạo mọi điều kiện giúp đỡ tôi hoàn thành chương trình học tập và nghiêncứu

Có được kết quả này tôi vô cùng biết ơn và tỏ lòng kính trọng sâu sắcđối với TS Đặng Thị Oanh – Giảng viên Trường Đại học công nghệ thôngtin và truyền thông – ĐHTN người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôitrong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Tôi cũng xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và những người thân tronggia đình đã động viên, chia sẻ, giúp tôi vượt qua những khó khăn trongquá trình học tập và nghiên cứu

Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2013

Người thực hiệnĐàm Văn Mạnh

Ln(x) Đa thức nội suy bậc không quá n

f (xi, xi+1, , xi+n) Tỉ sai phân cấp n của hàm f (x) tại các

điểm xi, xi+1, , xi+n

Rn(x) Sai số đa thức nội suy bậc không quá n

Ξint Tập các tâm nằm trong

Q

Tích

NΦ(Ω) Không gian được sinh bởi Φ

Hình 2.5 Đồ thị hàm cơ sở bán kính Côsi (CauChy)

Hình 3.1 Hình biểu diễn xấp xỉ hình thang cong bởi các hình chữ

nhật trung tâm trên mỗi đoạn chiaHình 3.2 Biểu diễn xấp xỉ hình thang cong bởi hình thang trên

mỗi đoạn chia

Mở đầu

Bài toán nội suy và xấp xỉ hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng trongtoán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóngvai trò như là một công cụ đắc lực của các mô hình liên tục cũng như các

mô hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp

xỉ, lý thuyết biểu diễn nghiệm [5]

Bài toán nội suy được mô tả như sau [4]:

Cho D ⊂ Rn, đối với hàm số f : D → Rm đã xác định được mộttập dữ liệu xk, yk Nk=1 trong đó xk ∈ Rn, yk ∈ Rm (k = 1, , N ) và

f (xk) = yk (∀k = 1, , N ), hàm số f có thể chưa xác định được biểuthức giải tích hoặc biểu thức giải tích quá phức tạp đối với yêu cầu đặt racho bài toán Cần tìm tìm hàm Pf “đủ tốt” có biểu thức giải tích cụ thểthỏa mãn hệ điều kiện P f (xk) = yk (∀k = 1, , N ), và tại những điểm

x ∈ D không trùng với xk thì P f (x) ≈ f (x)

Từ lâu các nhà toán học đã quan tâm đến việc xây dựng các phươngpháp, thuật toán nội suy cũng như tìm kiếm các ứng dụng của nó trongthực tiễn Một số phương pháp nội suy đã tìm được nhiều ứng dụng phải

kể đến như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton,phương pháp nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function – RBF),phương pháp bình phương bé nhất

Sử dụng hàm đa thức làm hàm nội suy cùng với thuật toán đơn giản,hai phương pháp nôi suy Lagrange và phương pháp Newton đã giải quyếtkhá đầy đủ bài toán nội suy hàm một biến Đối với bài toán nội suy hàmnhiều biến cả hai phương pháp này đều cho thấy sự phức tạp trong thuậttoán và kết quả không tốt

Phương pháp nội suy RBF là một phương pháp nội suy dựa trên cáchàm cơ sở bán kính và được đề xuất bởi Powell vào năm 1987 Thuật toánđược sử dụng trong phương pháp là phức tạp, khối lượng tính toán lớnnhưng kết quả thu được là tốt, đặc biệt trong các bài toán nội suy hànnhiều biến Việc giải quyết các yêu cầu của bài toán trên hàm một biếnthường đơn giản hơn rất nhiều khi thực hiện trên hàm nhiều biến, vì thế

ưu thế lớn nhất của phương pháp là chuyển bài toán hàm nhiều biến vềbài toán của hàm một biến Các bài toán thực tiễn như: Bài toán dự báo

thời tiết, trí tuệ nhân tạo, trắc địa, giải số phương trình vi phân, khôi phụchình ảnh, mạng nơron nhân tạo, nhận dạng chữ viết tay, là những bàitoán trong không gian nhiều chiều Việc giải quyết những bài toán này cầnđến những phương pháp nội suy hàm nhiều biến Một số công trình nghiêncứu của Đặng Thị Thu Hiền, Trần Đức Thụ, Lê Tiến Mười, cho thấy:

Sử dụng nội suy bằng hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function-RBF)khi giải quyết các bài toán trên cho kết quả tốt Phương pháp cho thấy sựđộc lập của nó đối với sự phân bố của các nút nội suy Vì vậy đây là mộtphương pháp nội suy phù hợp với các nút nội suy phân tán Mặc dù khốilượng tính toán lớn, nhưng với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện

tử, hiện nay phương pháp nội suy RBF đã được ứng dụng cho nhiều bàitoán trong nhiều lĩnh vực

Trong luận văn này chúng tôi trình bày một số phương pháp nội suy

và xấp xỉ hàm số và một số ứng dụng của chúng

Nội dung luận văn bao gồm:

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Nội dung của chương là hệ thống các kiến thức cơ sở cho các phươngpháp nội suy và xấp xỉ hàm số như: Hệ phương trình đại số tuyến tính vàmột số phương pháp giải, khái niệm bài toán nội suy, khái niệm sai phân,

tỉ sai phân, cơ sở của bài toán nội suy với dữ liệu phân tán

Chương 2: Một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số

Nội dung của chương bao gồm: phương pháp nội suy Lagrange, phươngpháp nội suy Newton, phương pháp nội suy RBF và phương pháp bìnhphương bé nhất

Chương 3: Ứng dụng phương pháp nội suy

Trong chương này chúng tôi trình bày một số ứng dụng của phươngpháp nội suy như: tính đạo hàm, tính tích phân số, giải phương trình

vi phân thường và giải phương trình poisson trên miền giới nội với biênDirichlet

Chương 1

Kiến thức cơ sở

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ sở cho bàitoán nội suy và xấp xỉ hàm số, khái niệm hệ phương trình đại số tuyếntính và một số phương pháp giải như: phương pháp Gauss, phương pháplặp đơn Các khái niệm nội suy như: bài toán nội suy hàm số, sự tồn tạiduy nhất của đa thức nội suy hàm một biến, khái niệm nội suy với dữ liệuphân tán, ma trận xác định dương, hàm xác định dương, hàm bán kính,hàm cơ sở bán kính

Hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn là hệ có dạng

1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại

ii) ||αA|| = |α|.||A|| với α là một số thực và || − A|| = ||A||;

iii)||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||;

4i) ||A.B|| ≤ ||A||.||B||

a) Nội dung phương pháp

Xét hệ phương trình đại số tuyến tính

0 1j

a(1)n2x2 + a(1)n3x3 + + ann(1)xn = bn(1)

(1.10)

Vớia(1)ij = a(0)ij −a(0)i1 a(1)1j , i = 2, 3, , n; j = 2, 3, , nvàb(1)i = b(0)i −b(0)1 a(1)1j

Khử x2: Giả sử a(1)22 6= 0 (a(1)22 gọi là trụ đứng thứ hai)

Chia cả hai vế của phương thứ nhất của (1.10) cho a(1)12 ta được

x2 + a(2)23x3 + + a(2)2nxn = b(2)2 (1.11)

trong đó a(2)2j = a

(1) 2j

a(1)22

; b(2)2 = b

(1) 2

a(1)22

với j = 2, 4, 5, , n

Sử dụng (1.11) khử x2 trong n − 2 phương trình còn lại của (1.10) quátrình tiến hành cho đến khi ta được một phương trình xn = b(n)n với cáctrụ a(0)11; a(1)22; a(2)33; ; a(n−1)nn khác không

Thì hệ (1.8) tương đương với hệ phương trình "tam giác" sau

xn = b(n)n

(1.12)

• Quá trình tìm ẩn (quá trình ngược)

Giải hệ (1.12) từ dưới lên trên ta tìm được

x1 = b(1)1 − a(1)12x2 − a(1)13x3 − − a(1)1nxn

Chú ý rằng điều kiện áp dụng phương pháp Gauss là các phần tử trụ làkhác không

Phân tích quá trình áp dụng phương pháp Gauss ta thấy để đưa hệ (1.1)

về hệ tam giác tương đương ta chỉ cần tính các hệ số a(k)ij

b) Khối lượng tính

Căn cứ vào những công thức tính của phương pháp Gauss ta đếm được

Sn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia trong đó có

c) Sai số của phương pháp Gauss

Nếu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia là đúng hoàn toàn và khôngphải làm tròn thì phương pháp Gauss cho nghiệm đúng của hệ phươngtrình (1.1) Vì vậy phương pháp Gauss là một phương pháp đúng tuynhiên trong tính toán không tránh khỏi sai số làm tròn nên trong thực tếkhi dùng phương pháp Gauss cũng chỉ cho ta nghiệm gần đúng

d) Phương pháp Gauss có trụ lớn nhất

Một trong những hạn chế của phương pháp Gauss là phần tử trụ phảikhác không Khi có các phần tử trụ bằng không thì không thực hiện đượcbằng phương pháp Gauss Mặt khác nếu định thức của ma trận hệ số kháckhông nhưng một vài phần tử trụ có giá trị tuyệt đối rất nhỏ so với cácphần tử trong cùng hàng thì khi chia cho phần tử trụ sai số làm tròn ởcác hệ số trong hàng là lớn Vì thế nghiệm tìm được thiếu chính xác Đểkhắc phục những hạn chế trên người ta thường dùng phương pháp Gauss

có tìm trụ lớn nhất Nội dung phương pháp như sau:

• Khửx1 trong sơ đồ Gauss ta tìm số lớn nhất về giá trị tuyệt đối trongcác số a(0)11; a(0)21; ; a(0)n1 làm trụ thứ nhất và hoán vị hàng chứa trụ lớnnhất thứ nhất với hàng thứ nhất Trụ thứ nhất là số lớn nhất trongcác hệ số của x1 quá trình khử x1 tiến hành như phương pháp Gauss

• Khử x2 trong hệ phương trình n − 1 ẩn thu được sau khi khử x1, tatìm hệ số lớn nhất về trị tuyệt đối trong các số a(1)22; a(1)32; ; a(1)n2 làmtrụ thứ hai và hoán vị hàng chứa trụ thứ hai về đúng vị trí a(1)22 vàtiến hành khử x2 như trong phương pháp Gauss

• Quá trình tiến hành như trên cho đến ẩn cuối cùng

f) Phương pháp Gauss - Gioocdang

Phương pháp Gauss - Gioocdang có thể xem là một biến dạng củaphương pháp Gauss Để đơn giản cho việc trình bày ta xét hệ 3 phươngtrình 3 ẩn sau:

Nội dung phương pháp là khử dần các ẩn số đưa về hệ "chéo" tương đương

1.2.3 Phương pháp lặp đơn (phương pháp lặp Jacobi)

Là phương pháp tìm nghiệm gần đúng của hệ phương trình đại số tuyếntính với độ chính xác cho trước

a) Nội dung phương pháp

β = 



β1

β2

b) Sự hội tụ của phương pháp

Người ta chứng minh được quá trình lặp đơn hội tụ đến nghiệm duynhất của hệ (1.1)không phụ thuộc vào việc chọn x(0) ban đầu nếu

(||α||p có thể dùng ||α||1 hoặc ||α||2 hoặc ||α||∞)

c) Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

Để đánh giá độ lệch giữa nghiệm gần đúngx(k),nhận được bằng phươngpháp lặp đơn và nghiệm đúng x∗ của hệ (1.1), người ta đã chứng minhđược công thức sau:

||x(k)− x∗||p ≤ ||α||p

1 − ||α||p||x(k)− x(k−1)||p (1.21)và

Trong trường hợp ||α||p ≤ 1

2 đánh giá (1.21) có dạng đơn giản sau

||x(k)− x∗||p ≤ ||x(k)− x(k−1)||p

1.3 Bài toán nội suy hàm số

Trong thực tế, ta thường gặp những hàm số y = f (x) mà không biếtbiểu thức giải tích cụ thể của chúng Thông thường ta chỉ biết các giátrị y0, y1, , yn của hàm số lần lượt tại các điểm khác nhau x0, x1, , xn

của một đoạn [a; b], các giá trị này có thể nhận được trong quá trình thínghiệm, đo đạc, Khi sử dụng hàm số trên nhiều khi ta cần biết giá trịhàm số tại một số điểm x 6= xi (i = 0, n) trên đoạn [a; b] Vấn đề đưa tađến bài toán sau:

1.3.1 Bài toán nội suy hàm số

Bài toán 1.1 [5]

Trên [a; b] cho n giá trị khác nhau x0, x1, , xn và biết giá trị của hàm

số y = f (x) tương ứng tại các điểm xi là yi(i = 0, n) tức là ta có yi =

f (xi) (i = 0, n) Tìm đa thức Ln(x) có bậc không quá n Thỏa mãn điềukiện

Ln(x) gọi là đa thức nội suy của hàm f (x); các điểm xi (i = 0, n) gọi làcác nút nội suy

1.3.2 Sự tồn tại duy nhất của đa thức nội suy

Định lý 1.3.1 Đa thức Ln(x) thỏa mãn điểu kiện của bài toán (1.1) nếu

trong đó yi = f (xi), (i = 0, 1, 2, )

Và các nút xi cách đều nhau 1 khoảng bằng h > 0 tức là xi = x0 + ih

với i = 0, 1, 2,

∆yi = yi+1− yi gọi là sai phân tiến cấp một của hàm f (x) tại điểm xi

∆2yi = ∆yi+1 − ∆yi gọi là sai phân tiến cấp hai của hàm số f (x) tạiđiểm xi

Tổng quát, ta có sai phân tiến cấp n của hàm số y = f (x) tại điểm xi là

∆nyi = ∆n−1yi+1− ∆n−1yi

Ta định nghĩa sai phân lùi

∇yi = yi − yi−1 gọi là sai phân lùi cấp một của hàm f (x) tại điểm xi

∇2yi = ∇(∇yi) = ∇yi+1 − ∇yi gọi là sai phân lùi cấp hai của hàm số

Tính chất 3: Sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất:

i) Nếu m = n thì sai phân cấp m là hằng số

ii) Nếu m > n thì sai phân cấp m bằng 0

Tính chất 4: Giả sử f ∈ C[a;b]n và (xi; xi + nh) ⊂ [a; b] Khi đó

sai phân cấp 1 của hàm số y = f (x) tại điểm xi và xi+1

f (xi, xi+1, xi+2) = f (xi+1, xi+2) − f (xi, xi+1)

xi+2 − xi ; (i = 1, 2, )

là tỉ sai phân cấp hai của hàm số y = f (x) tại điểm xi, xi+1, xi+2

Tổng quát ta có tỉ sai phân cấpncủa hàm số y = f (x)tại điểm xi, xi+1, ,

xi+n được tính thông qua tỉ sai phân cấp n − 1 bằng công thức truy hồisau

f (xi, xi+1, , xi+n) = f (xi+1, xi+2, , xi+n) − f (xi, xi+1, , xi+n−1)

i) Tỉ sai phân của hằng số bằng 0

ii) Tỉ sai phân cấp m của đa thức bậc n có tính chất

Nếu m = n thì tỉ sai phân cấp m là hằng số

Nếu m > n thì tỉ sai phân cấp m bằng không

c) Quan hệ giữa sai phân và tỉ sai phân

Giả sử x1, x2, , xi, xi+1, là các nút nội suy cách đều của hàm số

y = f (x) và yi = f (xi)(i = 0, 1, 2, ) là giá trị hàm số tương ứng tại xi.Khi đó ta có công thức liên hệ giữa sai phân và tỉ sai phân như sau:

i) f (x0, x1) = ∆y0

∇y1

h .ii) f (x0, x1, x2) = ∆

2y02!h2 = ∇2y2

2!h2 iii) f (x0, x1, , xn) = ∆

ny0n!hn = ∇nyn

n!hn

1.5.1 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán

Bài toán 1.2 [8]

Cho bộ dữ liệu (xi; yi), i = 1, 2, , n, xi ∈ Rd; yi ∈ R Trong đó xi là các

vị trí đo; yi là kết quả đo được tại vị trí xi B1, B2, , Bn là các hàm cơ

sở của không gian tuyến tính của các hàm liên tục d biến Ký hiệu là:

{B1, B2, , Bn} = {1, x, x2, , xn−1}

Tuy nhiên khi d ≥ 2 ta có kết quả sau:

Định lý 1.5.1 [3](Mairhuber - Curtis) Nếu Ω ⊂ Rd, d ≥ 2 và chứamột điểm trong thì không tồn tại không gian Haar các hàm liên tục trên

Ω

Không gian Haar được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.5.2 Cho Ω ⊂ Rd, và F ⊂ C(Ω) là không gian tuyến tínhhữu hạn chiều có cơ sở là {B1, B2, , Bn} Ta nói F là không gian Haartrên Ω nếu detA 6= 0 với mọi bộ tâm phân biệt {x1, x2, , xn} trong Ω.Trong đó ma trận

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, , 0)T

Tính chất quan trọng của ma trận xác định dương là nó có tất cả cácgiá trị riêng đều dương và không suy biến

Nếu hệ cơ sở {Bk}n

k=1, trong bài toán 1.2 làm cho ma trận nội suy A xácđịnh dương thì hệ (1.27) có nghiệm duy nhất

Định nghĩa 1.5.4 [3] Hàm liên tục Φ : Rd −→ R là xác định dương trên

Rd khi và chỉ khi nó là hàm chẵn và với mọi bộ tâm phân biệt từng đôimột

X = {x1, x2, , xn}, n ∈N

và mọi vectơ c = (c1, c2, cn) ⊂ Rn thì dạng toàn phương

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi c = (0, 0, , 0)

Từ định nghĩa trên và tính chất của ma trận xác định dương ta thấy

Ma trận nội suy A = [Ajk]n×n với Ajk = Bk(xj) = Φ(xj − xk); j, k =

1, , n Tuy nhiên việc giải bài toán nội suy trong không gian nhiều chiều

là khó khăn, do đó thay vì sử dụng hàm nhiều biến Φ(x) bởi hàm mộtbiến φ cho tất cả số chiều d

Định nghĩa 1.5.5 [3] Hàm Φ : Rd → R được gọi là hàm bán kính nếu

tồn tại hàm số một biến φ : [0; ∞) → R thỏa mãn:

Φ(x) = φ(r) với r = ||x||, ||.|| là một chuẩn nào đó trong Rd (ta thườngdùng chuẩn Euclidean)

φ được gọi là hàm cơ sở bán kính

Cho hàm Φ : Rd →R với hàm cơ sở tương ứng là φ

Ta nói φ xác định dương trên Rd khi và chỉ khi Φ xác định dương trên Rd

2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange

Giả sử trên [a; b], cho n+1 giá trị khác nhau của đối số x0, x1, , xn vàđối với hàm số y = f (x) biết những giá trị tương ứng yi = f (xi), i = 0, n

Ta xây dựng đa thức nội suy Ln(x) có bậc không quá n thỏa mãn điềukiện Ln(xi) = yi, i = 0, n

Trước hết ta xây dựng đa thức Li(x) thỏa mãn điều kiện sau:

Thay x = xi vào (2.2) và sử dụng điều kiện (2.1) ta được

Đa thức bậc Li(x) có bậc n gọi là đa thức Lagrange cơ bản Bây giờ taxét đa thức

Vậy Ln(x) xác định bởi (2.3) là đa thức nội suy phải tìm

Thay biểu thức Li(x) từ (2.3) vào (2.4) ta được

(2.5)

là đa thức nội suy Lagrange

Ta xét hai trường hợp đặc biệt của đa thức nội suy Lagrange

a) Nội suy bậc nhất hay nội suy tuyến tính

Khi n=1 ta có hai nút nội suy x0 và x1 với giá trị hàm số tương ứng là y0

(x − x0)(x − x1)(x2 − x0)(x2 − x1)y2

(2.7)phương trìnhy = L2(x)là phương trình Parabol đi qua ba điểmM0(x0; y0);

M1(x1; y1); M2(x2; y2)

2.1.2 Đánh giá sai số đa thức nội suy Lagrange

Định lý 2.1.1 [7] Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm liên tục đến cấp n+1trên [a; b] chứa tất cả các nút nội suy x0, x1, , xn thì sai số nội suy

Chứng minh Xét hàm số phụ sau:

U (x) = f (x) − Ln(x) − kπn+1(x) (2.9)trong đó k là hằng số nào đó

Dễ thấy U (xi) = 0, i = 0, n, ta chọn k sao cho U (x) triệt tiêu tại điểmthứ n + 2 bất kỳ nhưng cố định x của [a; b] và không trùng với các nút nộisuy Muốn vậy ta chỉ cần cho f (x) − Ln(x) − kπn+1(x) = 0 vì πn+1(x) 6= 0

nên:

k = f (x) − Ln(x)

Với giá trịkxác định bởi (2.10) thìU (x)bằng 0 tạin+2điểmx0, x1, , xn, x

trên [a; b] Áp dụng định lý Rôn thì đạo hàm U (x) có không ít hơn n+1nghiệm trên [a; b] Lại áp dụng định lý Rôn vào hàm U0(x) thì U00(x) cókhông ít hơn n nghiệm trên [a; b] Tiếp tục lập luận như trên, ta thấyrằng trên [a; b] đạo hàm U(n+1)(x) có ít nhất một nghiệm c, có nghĩa là

trong đó: c phụ thuộc vào x nằm trên [a; b] Đó là công thức xác định sốhạng dư của đa thức nội suy Ln(x)

Công thức (2.13) đúng với mọi điểm của [a; b] kể cả những điểm nút nộisuy

2.2 Chọn mốc nội suy tối ưu

a) Định nghĩa 2.2.1 [5]

i) Với mỗi số tự nhiên n, có duy nhất đa thức Tn sao cho

Tn(cos α) = cos nα, ∀α ∈ R

Các đa thức Tn được gọi là đa thức Chebyshev loại I

ii) Với mỗi số tự nhiên n, có duy nhất một đa thức Un sao cho

Un(cos α) = sin(n + 1)α

sin α , ∀α ∈ R\{kπ|k ∈ Z} (2.15)Các đa thức Un được gọi là đa thức Chebyshev loại II

b) Tính chất cơ bản của đa thức Chebyshev [5]

Tính chất 5:|Tn(x)| ≤ 1, ∀x ∈ [−1; 1]và đẳng thức xảy ra khix = coskπ

2.2.2 Chọn các mốc nội suy tối ưu

Ta nhận thấy rằng khi đánh giá sai số cho phép nội suy trong công thức(2.14)

(x − xi) phụ thuộc vào các điểm

xi (i = 0, n) Như vậy vấn đề đặt ra là tìm các điểmxi trên [a; b] (i = 0, n)

sao cho max

[a;b]

|Πn+1(x)| là nhỏ nhất, tức là min{ max

a≤x≤b|πn+1(x)|}.Trước hết ta xét các định lý sau

Định lý 2.2.1 [7] Xét lớpPn(x) = {Pn(x)|Pn(x) là đa thức Monic bậc n}

(Pn(x) là các đa thức có hệ số của xn là 1)

Trong các đa thức của lớp Pn(x) thì đa thức Tn(x)

2n−1 có độ lệch so với 0 lànhỏ nhất trên [−1; 1], tức là nếu Pn(x) = xn + an−1xn−1 + + a1x + a0

Suy raG(x) có ít nhấtnnghiệm Suy raG(x) ≡ 0 hayQn(x) = Tn(x)

2n−1 − Qn(x) Suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét: Từ định lý trên ta suy ra mốc nội suy là các nghiệm của đathức Chebyshev thì Πn+1(x) sẽ có độ sai lệch nhỏ nhất

Chọn mốc nội suy tối ưu:

a) Trên [−1; 1] = [a; b] ta chọn các nút nội suy x0, x1, , xn ∈ [−1; 1]

là nghiệm của đa thức Trebyshev Tn+1(x) Tức là xi = cos(2i + 1)π

Suy ra xi = 1

2[(b − a) cos

2i + 12(n + 1)π + (b + a)], i = 0, 1.

Như vậy Πn+1(x) =

n

Π

i=0(t − ti)

... bảng ta tìm quan hệ hàm số y = f (x) cụ thể gọi lập cơngthức thực nghiệm Nói chung khơng có khả tìm hàm sốf (x) đúnghồn tồn, tìm hàm số xấp xỉ hàm số f (x) phươngpháp bình phương cực tiểu phức... data-page="31">

Tương tự ta có đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từnút nội suy xn hàm số f (x) trường hợp nút nội suy cách là:

là công thức sai số đa thức nội suy Newton tiến xuất phát... x0 nội suyNewton lùi xuất phát từ xn hàm y = f (x)

* Đa thức nội suy Lagrange chuyển từ đa thức nội suy bậc k lên bậc

k + phải tính lại tất số hạng đa thức nội suy bậc