Nghiên cứu một số phương pháp nội suy và sấp xỉ hàm số

ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM VĂN MẠNH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành : PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP Mã số : 60 46 46 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG THỊ OANH THÁI NGUN - 2013 1 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Bảng ký hiệu 5 Danh mục bảng và hình vẽ 6 1 Kiến thức cơ sở 9 1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 10 1.2.1 Chuẩn của ma trận, chuẩn của vectơ . . . . . . . . 10 1.2.2 Phương pháp Gauss (Phương pháp khử) . . . . . . . 11 1.2.3 Phương pháp lặp đơn (phương pháp lặp Jacobi) . . . 14 1.3 Bài tốn nội suy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Bài tốn nội suy hàm số . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Sự tồn tại duy nhất của đa thức nội suy . . . . . . . 16 1.4 Khái niệm sai phân và tỉ sai phân . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Tỉ sai phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Cơ sở của bài tốn nội suy với dữ liệu phân tán . . . . . . . 19 1.5.1 Nội suy hàm số với dữ liệu phân tán . . . . . . . . . 19 1.5.2 Ma trận xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.3 Hàm xác định dương . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.5.4 Hàm cơ sở bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5.5 Hàm bán kính xác định dương . . . . . . . . . . . . 21 2 Một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số 22 2.1 Phương pháp nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . 22 2.1.2 Đánh giá sai số đa thức nội suy Lagrange . . . . . . 23 2.2 Chọn mốc nội suy tối ưu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.1 Đa thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Chọn các mốc nội suy tối ưu . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Phương pháp nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.1 Nội suy trên lưới khơng đều . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.3.2 Nội suy trên lưới cách đều . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Phương pháp bình phương bé nhất . . . . . . . . . . . . . . 30 2.4.1 Trường hợp y phụ thuộc tuyến tính vào các tham số 31 2.4.2 Trường hợp y phụ thuộc phi tuyến vào các tham số . 33 2.5 Phương pháp nội suy RBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.5.1 Nội suy hàm cơ sở bán kính (RBF) . . . . . . . . . . 34 2.5.2 Vấn đề tham số hình dạng tối ưu đối với nội suy hàm cơ sở bán kinh (RBF) . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.5.3 Nội suy với độ chính xác đa thức . . . . . . . . . . . 36 2.5.4 Sai số, ổn định và hội tụ của hàm nội suy theo bán kính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.6 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3 Ứng dụng của phương pháp nội suy 40 3.1 Tính đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2 Tính tích phân số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.1 Cơng thức hình chữ nhật trung tâm . . . . . . . . . 42 3.2.2 Cơng thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.3 Cơng thức Simson (cơng thức Parabol) . . . . . . . 46 3.2.4 Cơng thức cầu phương Gauss . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.5 Cơng thức Newton - Cotet . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Giải phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.1 Bài tốn Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.3.2 Phương pháp Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 3.3.3 Phương pháp Euler-Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3.4 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.5 Vấn đề xác định nghiệm gần đúng với sai số cho trước 57 3.4 Ứng dụng nội suy RBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4.1 Bài tốn Dirichlet với phương trình Poisson trong miền giới nội Ω ⊂ R d và vectơ trọng số . . . . . . . 58 3.4.2 Vectơ trọng số từ nội suy hàm cơ sở bán kính . . . . 59 3.4.3 Lược đồ RBF – FD giải phương trình poisson . . . . 61 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 3 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Trong q trình hồn thành luận văn "Nghiên cứu một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số" tơi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ, động viên của những cá nhân và tập thể. Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tất cả các cá nhân và tập thể đã tạo điều kiện và giúp đỡ tơi trong q trình học tập và nghiên cứu. Trước hết tơi xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, các thầy cơ Trường Đại học khoa học – ĐHTN, các thầy cơ giáo Viện tốn học Việt Nam đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành chương trình học tập và nghiên cứu. Có được kết quả này tơi vơ cùng biết ơn và tỏ lòng kính trọng sâu sắc đối với TS Đặng Thị Oanh – Giảng viên Trường Đại học cơng nghệ thơng tin và truyền thơng – ĐHTN người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi trong suốt q trình thực hiện luận văn này. Tơi cũng xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và những người thân trong gia đình đã động viên, chia sẻ, giúp tơi vượt qua những khó khăn trong q trình học tập và nghiên cứu. Thái Ngun, ngày 20 tháng 08 năm 2013 Người thực hiện Đàm Văn Mạnh 4 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu const Hằng số RBF Radianl Basis Funtion Gauss Hàm Gaussian MQ Hàm Multiquadric IMQ Hàm Inverse Multiquadric M k Giá trị lớn nhất của đạo hàm cấp k E Sai số tích phân ||A|| Chuẩn của A ∀x Với mọi x ∃x Tồn tại x ∈ thuộc ∆ Sai phân tiến ∇ Sai phân lùi L n (x) Đa thức nội suy bậc khơng q n f(x i , x i+1 , , x i+n ) Tỉ sai phân cấp n của hàm f(x) tại các điểm x i , x i+1 , , x i+n P f Hàm xấp xỉ hàm f R d Khơng gian thực d chiều R n (x) Sai số đa thức nội suy bậc khơng q n max Giá trị lớn nhất min Giá trị nhỏ nhất I CN Xấp xỉ tích phân xác định bằng cơng thức hình chữ nhật trung tâm I ht Xấp xỉ tích phân xác định bằng cơng thức hình thang I sim Xấp xỉ tích phân xác định bằng cơng thức sim son Ξ Bộ tâm phân tán Ξ int Tập các tâm nằm trong ∂Ξ Tập các tâm nằm trên biên Σ Tổng  Tích Ω Bao đóng tập Ω x, y Tích vơ hướng của x và y N Φ (Ω) Khơng gian được sinh bởi Φ Cond(A) Số điều kiện của ma trận A 5 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Danh mục bảng và hình vẽ Bảng 1.1 Bảng tỉ sai phân Bảng 1.2 Bảng một số hàm cơ sở bán kính với tham số hình dạng ε > 0 Hình 2.1 Hình biểu diễn các điểm M(t i , log k) trong hệ trục Oxy Hình 2.2 Đồ thị hàm cơ sở bán kính Gauss Hình 2.3 Đồ thị hàm cơ sở bán kính MQ Hình 2.4 Đồ thị hàm cơ sở bán kính IMQ Hình 2.5 Đồ thị hàm cơ sở bán kính Cơsi (CauChy) Hình 3.1 Hình biểu diễn xấp xỉ hình thang cong bởi các hình chữ nhật trung tâm trên mỗi đoạn chia Hình 3.2 Biểu diễn xấp xỉ hình thang cong bởi hình thang trên mỗi đoạn chia 6 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Bài tốn nội suy và xấp xỉ hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng trong tốn học khơng chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như là một cơng cụ đắc lực của các mơ hình liên tục cũng như các mơ hình rời rạc của giải tích trong lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn nghiệm [5]. Bài tốn nội suy được mơ tả như sau [4]: Cho D ⊂ R n , đối với hàm số f : D → R m đã xác định được một tập dữ liệu  x k , y k  N k=1 trong đó x k ∈ R n , y k ∈ R m (k = 1, , N) và f(x k ) = y k (∀k = 1, , N), hàm số f có thể chưa xác định được biểu thức giải tích hoặc biểu thức giải tích q phức tạp đối với u cầu đặt ra cho bài tốn. Cần tìm tìm hàm Pf “đủ tốt” có biểu thức giải tích cụ thể thỏa mãn hệ điều kiện Pf(x k ) = y k (∀k = 1, , N), và tại những điểm x ∈ D khơng trùng với x k thì P f(x) ≈ f(x). Từ lâu các nhà tốn học đã quan tâm đến việc xây dựng các phương pháp, thuật tốn nội suy cũng như tìm kiếm các ứng dụng của nó trong thực tiễn. Một số phương pháp nội suy đã tìm được nhiều ứng dụng phải kể đến như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function – RBF), phương pháp bình phương bé nhất. Sử dụng hàm đa thức làm hàm nội suy cùng với thuật tốn đơn giản, hai phương pháp nơi suy Lagrange và phương pháp Newton đã giải quyết khá đầy đủ bài tốn nội suy hàm một biến. Đối với bài tốn nội suy hàm nhiều biến cả hai phương pháp này đều cho thấy sự phức tạp trong thuật tốn và kết quả khơng tốt. Phương pháp nội suy RBF là một phương pháp nội suy dựa trên các hàm cơ sở bán kính và được đề xuất bởi Powell vào năm 1987. Thuật tốn được sử dụng trong phương pháp là phức tạp, khối lượng tính tốn lớn nhưng kết quả thu được là tốt, đặc biệt trong các bài tốn nội suy hàn nhiều biến. Việc giải quyết các u cầu của bài tốn trên hàm một biến thường đơn giản hơn rất nhiều khi thực hiện trên hàm nhiều biến, vì thế ưu thế lớn nhất của phương pháp là chuyển bài tốn hàm nhiều biến về bài tốn của hàm một biến. Các bài tốn thực tiễn như: Bài tốn dự báo 7 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thời tiết, trí tuệ nhân tạo, trắc địa, giải số phương trình vi phân, khơi phục hình ảnh, mạng nơron nhân tạo, nhận dạng chữ viết tay, là những bài tốn trong khơng gian nhiều chiều. Việc giải quyết những bài tốn này cần đến những phương pháp nội suy hàm nhiều biến. Một số cơng trình nghiên cứu của Đặng Thị Thu Hiền, Trần Đức Thụ, Lê Tiến Mười,. . . cho thấy: Sử dụng nội suy bằng hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function-RBF) khi giải quyết các bài tốn trên cho kết quả tốt. Phương pháp cho thấy sự độc lập của nó đối với sự phân bố của các nút nội suy. Vì vậy đây là một phương pháp nội suy phù hợp với các nút nội suy phân tán. Mặc dù khối lượng tính tốn lớn, nhưng với sự phát triển mạnh mẽ của máy tính điện tử, hiện nay phương pháp nội suy RBF đã được ứng dụng cho nhiều bài tốn trong nhiều lĩnh vực. Trong luận văn này chúng tơi trình bày một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số và một số ứng dụng của chúng. Nội dung luận văn bao gồm: Chương 1: Kiến thức cơ sở Nội dung của chương là hệ thống các kiến thức cơ sở cho các phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số như: Hệ phương trình đại số tuyến tính và một số phương pháp giải, khái niệm bài tốn nội suy, khái niệm sai phân, tỉ sai phân, cơ sở của bài tốn nội suy với dữ liệu phân tán Chương 2: Một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số Nội dung của chương bao gồm: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy RBF và phương pháp bình phương bé nhất. Chương 3: Ứng dụng phương pháp nội suy Trong chương này chúng tơi trình bày một số ứng dụng của phương pháp nội suy như: tính đạo hàm, tính tích phân số, giải phương trình vi phân thường và giải phương trình poisson trên miền giới nội với biên Dirichlet. 8 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 1 Kiến thức cơ sở Trong chương này chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ sở cho bài tốn nội suy và xấp xỉ hàm số, khái niệm hệ phương trình đại số tuyến tính và một số phương pháp giải như: phương pháp Gauss, phương pháp lặp đơn. Các khái niệm nội suy như: bài tốn nội suy hàm số, sự tồn tại duy nhất của đa thức nội suy hàm một biến, khái niệm nội suy với dữ liệu phân tán, ma trận xác định dương, hàm xác định dương, hàm bán kính, hàm cơ sở bán kính. 1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính Hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn là hệ có dạng Ax = b (1.1) trong đó A =    a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn    ; b =    b 1 b 2 b n    ; x =    x 1 x 2 x n    Với a ij ; b i (i = 1, n, j = 1, n) là những số thực đã biết, x i (i = 1, n) là ẩn số phải tìm, A là ma trận hệ số. Nếu ma trận A khơng suy biến nghĩa là detA = 0 thì hệ (1.1) có nghiệm duy nhất x = A −1 b. 9 Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ [...]... này chúng tơi trình bày một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số cụ thể như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp bình phương bé nhất và phương pháp nội suy hàm cơ sở bán kính RBF 2.1 Phương pháp nội suy Lagrange 2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange Giả sử trên [a; b], cho n+1 giá trị khác nhau của đối số x0 , x1 , , xn và đối với hàm số y = f (x) biết những giá... Căn cứ vào sự phân bố các điểm Mi mà ta lựa chọn dạng quan hệ hàm số của y và x hợp lý nhất * Việc xác định các tham số bằng phương pháp bình phương bé nhất càng chính xác hơn khi số lượng các cặp số (xi , yi ) nhận được từ thí nghiệm càng nhiều hơn so với số lượng các tham số có mặt trong dạng của quan hệ hàm số giữa y và x 2.5 Phương pháp nội suy RBF Động cơ ban đầu của hai trong số các phương pháp. .. n) và f (xi ) = Pn (xi ) + Rn (xi ) = Pn (xi ), (i = 0, n) • Vậy Pn (x) là đa thức nội suy của hàm số f (x) Vì tính duy nhất của đa thức nội suy nên Pn (x) hồn tồn giống đa thức nội suy Lagrange • Đa thức (2.18) gọi là đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ nút nội suy x0 của hàm số f (x) và Rn (x) xác định bởi (2.19) là sai số của nội suy Newton • Bằng cách làm tương tự ta xây dựng được đa thức nội. .. = f (x) có đạo hàm liên tục đến cấp n trên [a; b] chứa tất cả các nút nội suy xi ; (i = 0, n) thì sai số nội suy Rn (x) có dang (2.8) vẫn áp dụng được cho đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 và nội suy Newton lùi xuất phát từ xn của hàm y = f (x) * Đa thức nội suy Lagrange nếu chuyển từ đa thức nội suy bậc k lên bậc k + 1 thì phải tính lại tất cả các số hạng của đa thức nội suy bậc k + 1, còn... ra hàm số f (x) đúng hồn tồn, ngay cả khi tìm hàm số xấp xỉ của hàm số f (x) bằng phương pháp bình phương cực tiểu cũng rất phức tạp nếu khơng biết trước dạng của hàm số xấp xỉ Ở đây ta chỉ xét những trường hợp dạng của hàm xấp xỉ đã cho có dạng sau: a) b) c) d) e) y = ax + b y = a + bx + cx2 y = a + b cos x + c sin x y = a.ebx y = a.xb Trong đó a, b, c là những tham số cần xác định bằng phương pháp. .. là một chuẩn nào đó trong Rd (ta thường dùng chuẩn Euclidean) φ được gọi là hàm cơ sở bán kính 1.5.5 Hàm bán kính xác định dương Cho hàm Φ : Rd → R với hàm cơ sở tương ứng là φ Ta nói φ xác định dương trên Rd khi và chỉ khi Φ xác định dương trên Rd Số hóa bởi trung tâm học liệu 21 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương 2 Một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số Trong chương này chúng tơi trình bày một. .. thức nội suy phải tìm Thay biểu thức Li (x) từ (2.3) vào (2.4) ta được n (x − x0 )(x − x1 ) (x − xi−1 )(x − xi+1 ) (x − xn ) yi (xi − x0 )(xi − x1 ) (xi − xi−1 )(xi − xi+1 ) (xi − xn ) i=0 (2.5) là đa thức nội suy Lagrange Ta xét hai trường hợp đặc biệt của đa thức nội suy Lagrange a) Nội suy bậc nhất hay nội suy tuyến tính Khi n=1 ta có hai nút nội suy x0 và x1 với giá trị hàm số tương ứng là y0 và. .. x0 của các hàm số f (x) trong trường hợp các nút nội suy cách đều + Số hóa bởi trung tâm học liệu 29 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tương tự như trên ta cũng có đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ nút nội suy xn của hàm số f (x) trong trường hợp nút nội suy cách đều là: Pn (x) = Pn (xn + ht) = y0 + t yn + t(t + 1) 2! 2 yn + + t(t + 1)(t + 2) (t + n) n yn (2.23) n! Sai số của đa thức nội suy Newton... với phương pháp Cramer thì phương pháp Gauss có khối lượng tính tốn ít hơn nhiều nhất là khi n lớn Nếu ma trận hệ số của hệ phương trình đối xứng thì khối lượng tính giảm đi một nửa • Số hóa bởi trung tâm học liệu 12 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ c) Sai số của phương pháp Gauss Nếu các phép tính cộng, trừ, nhân, chia là đúng hồn tồn và khơng phải làm tròn thì phương pháp Gauss cho nghiệm đúng của hệ phương. .. trình (1.1) Vì vậy phương pháp Gauss là một phương pháp đúng tuy nhiên trong tính tốn khơng tránh khỏi sai số làm tròn nên trong thực tế khi dùng phương pháp Gauss cũng chỉ cho ta nghiệm gần đúng d) Phương pháp Gauss có trụ lớn nhất Một trong những hạn chế của phương pháp Gauss là phần tử trụ phải khác khơng Khi có các phần tử trụ bằng khơng thì khơng thực hiện được bằng phương pháp Gauss Mặt khác . của chương bao gồm: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy RBF và phương pháp bình phương bé nhất. Chương 3: Ứng dụng phương pháp nội suy Trong chương này. và một số phương pháp giải, khái niệm bài tốn nội suy, khái niệm sai phân, tỉ sai phân, cơ sở của bài tốn nội suy với dữ liệu phân tán Chương 2: Một số phương pháp nội suy và xấp xỉ hàm số Nội. của nó trong thực tiễn. Một số phương pháp nội suy đã tìm được nhiều ứng dụng phải kể đến như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy hàm cơ sở bán kính (Radial