Nghiên cứu một số phương pháp nội suy và sấp xỉ hàm số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀM VĂN MẠNH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun - 2013 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ĐẠI HỌC THÁI NGUN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 46 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS ĐẶNG THỊ OANH THÁI NGUYÊN - 2013 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Bảng ký hiệu Danh mục bảng hình vẽ Kiến thức sở 1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính 1.2 Một số phương pháp giải hệ phương trình đại số tuyến tính 1.2.1 Chuẩn ma trận, chuẩn vectơ 1.2.2 Phương pháp Gauss (Phương pháp khử) 1.2.3 Phương pháp lặp đơn (phương pháp lặp Jacobi) 1.3 Bài toán nội suy hàm số 1.3.1 Bài toán nội suy hàm số 1.3.2 Sự tồn đa thức nội suy 1.4 Khái niệm sai phân tỉ sai phân 1.4.1 Sai phân 1.4.2 Tỉ sai phân 1.5 Cơ sở toán nội suy với liệu phân tán 1.5.1 Nội suy hàm số với liệu phân tán 1.5.2 Ma trận xác định dương 1.5.3 Hàm xác định dương 1.5.4 Hàm sở bán kính 1.5.5 Hàm bán kính xác định dương 9 10 10 11 14 16 16 16 16 16 17 19 19 20 20 21 21 Một số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số 2.1 Phương pháp nội suy Lagrange 2.1.1 Thiết lập đa thức nội suy Lagrange 2.1.2 Đánh giá sai số đa thức nội suy Lagrange 2.2 Chọn mốc nội suy tối ưu 2.2.1 Đa thức Chebyshev 2.2.2 Chọn mốc nội suy tối ưu 2.3 Phương pháp nội suy Newton 2.3.1 Nội suy lưới không 22 22 22 23 25 25 26 27 27 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 2.4 2.5 2.6 2.3.2 Nội suy lưới cách Phương pháp bình phương bé 2.4.1 Trường hợp y phụ thuộc tuyến tính vào tham số 2.4.2 Trường hợp y phụ thuộc phi tuyến vào tham số Phương pháp nội suy RBF 2.5.1 Nội suy hàm sở bán kính (RBF) 2.5.2 Vấn đề tham số hình dạng tối ưu nội suy hàm sở bán kinh (RBF) 2.5.3 Nội suy với độ xác đa thức 2.5.4 Sai số, ổn định hội tụ hàm nội suy theo bán kính Kết luận Ứng dụng phương pháp nội suy 3.1 Tính đạo hàm 3.2 Tính tích phân số 3.2.1 Cơng thức hình chữ nhật trung tâm 3.2.2 Công thức hình thang 3.2.3 Công thức Simson (công thức Parabol) 3.2.4 Công thức cầu phương Gauss 3.2.5 Công thức Newton - Cotet 3.3 Giải phương trình vi phân thường 3.3.1 Bài toán Cauchy 3.3.2 Phương pháp Euler 3.3.3 Phương pháp Euler-Cauchy 3.3.4 Phương pháp Runge-Kutta 3.3.5 Vấn đề xác định nghiệm gần với sai số cho trước 3.4 Ứng dụng nội suy RBF 3.4.1 Bài toán Dirichlet với phương trình Poisson miền giới nội Ω ⊂ Rd vectơ trọng số 3.4.2 Vectơ trọng số từ nội suy hàm sở bán kính 3.4.3 Lược đồ RBF – FD giải phương trình poisson 29 30 31 33 34 34 36 36 37 39 40 40 42 42 44 46 48 50 51 51 52 54 55 57 58 58 59 61 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Trong q trình hồn thành luận văn "Nghiên cứu số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số" nhận hướng dẫn, giúp đỡ, động viên cá nhân tập thể Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tất cá nhân tập thể tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập nghiên cứu Trước hết xin cảm ơn Ban giám hiệu nhà trường, thầy cô Trường Đại học khoa học – ĐHTN, thầy giáo Viện tốn học Việt Nam tạo điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành chương trình học tập nghiên cứu Có kết vô biết ơn tỏ lịng kính trọng sâu sắc TS Đặng Thị Oanh – Giảng viên Trường Đại học công nghệ thông tin truyền thơng – ĐHTN người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tơi suốt q trình thực luận văn Tôi xin cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp người thân gia đình động viên, chia sẻ, giúp vượt qua khó khăn q trình học tập nghiên cứu Thái Nguyên, ngày 20 tháng 08 năm 2013 Người thực Đàm Văn Mạnh Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Bảng ký hiệu const RBF Gauss MQ IM Q Mk E ||A|| ∀x ∃x ∈ ∆ ∇ Ln (x) f (xi , xi+1 , , xi+n ) Pf Rd Rn (x) max ICN Iht Isim Ξ Ξint ∂Ξ Σ Ω x, y NΦ (Ω) Cond(A) Hằng số Radianl Basis Funtion Hàm Gaussian Hàm Multiquadric Hàm Inverse Multiquadric Giá trị lớn đạo hàm cấp k Sai số tích phân Chuẩn A Với x Tồn x thuộc Sai phân tiến Sai phân lùi Đa thức nội suy bậc không n Tỉ sai phân cấp n hàm f (x) điểm xi , xi+1 , , xi+n Hàm xấp xỉ hàm f Không gian thực d chiều Sai số đa thức nội suy bậc không n Giá trị lớn Giá trị nhỏ Xấp xỉ tích phân xác định cơng thức hình chữ nhật trung tâm Xấp xỉ tích phân xác định cơng thức hình thang Xấp xỉ tích phân xác định cơng thức sim son Bộ tâm phân tán Tập tâm nằm Tập tâm nằm biên Tổng Tích Bao đóng tập Ω Tích vơ hướng x y Khơng gian sinh Φ Số điều kiện ma trận A Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Danh mục bảng hình vẽ Bảng 1.1 Bảng tỉ sai phân Bảng 1.2 Bảng số hàm sở bán kính với tham số hình dạng ε>0 Hình 2.1 Hình biểu diễn điểm M (ti , log k) hệ trục Oxy Hình 2.2 Đồ thị hàm sở bán kính Gauss Hình 2.3 Đồ thị hàm sở bán kính MQ Hình 2.4 Đồ thị hàm sở bán kính IMQ Hình 2.5 Đồ thị hàm sở bán kính Cơsi (CauChy) Hình 3.1 Hình biểu diễn xấp xỉ hình thang cong hình chữ nhật trung tâm đoạn chia Hình 3.2 Biểu diễn xấp xỉ hình thang cong hình thang đoạn chia Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Bài toán nội suy xấp xỉ hàm số có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình liên tục mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn nghiệm [5] Bài toán nội suy mô tả sau [4]: Cho D ⊂ Rn , hàm số f : D → Rm xác định N tập liệu xk , y k k=1 xk ∈ Rn , y k ∈ Rm (k = 1, , N ) f (xk ) = y k (∀k = 1, , N ), hàm số f chưa xác định biểu thức giải tích biểu thức giải tích phức tạp yêu cầu đặt cho tốn Cần tìm tìm hàm Pf “đủ tốt” có biểu thức giải tích cụ thể thỏa mãn hệ điều kiện P f (xk ) = y k (∀k = 1, , N ), điểm x ∈ D khơng trùng với xk P f (x) ≈ f (x) Từ lâu nhà toán học quan tâm đến việc xây dựng phương pháp, thuật toán nội suy tìm kiếm ứng dụng thực tiễn Một số phương pháp nội suy tìm nhiều ứng dụng phải kể đến như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy hàm sở bán kính (Radial Basis Function – RBF), phương pháp bình phương bé Sử dụng hàm đa thức làm hàm nội suy với thuật tốn đơn giản, hai phương pháp nơi suy Lagrange phương pháp Newton giải đầy đủ toán nội suy hàm biến Đối với toán nội suy hàm nhiều biến hai phương pháp cho thấy phức tạp thuật tốn kết khơng tốt Phương pháp nội suy RBF phương pháp nội suy dựa hàm sở bán kính đề xuất Powell vào năm 1987 Thuật toán sử dụng phương pháp phức tạp, khối lượng tính tốn lớn kết thu tốt, đặc biệt toán nội suy hàn nhiều biến Việc giải yêu cầu toán hàm biến thường đơn giản nhiều thực hàm nhiều biến, ưu lớn phương pháp chuyển toán hàm nhiều biến toán hàm biến Các toán thực tiễn như: Bài tốn dự báo Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ thời tiết, trí tuệ nhân tạo, trắc địa, giải số phương trình vi phân, khơi phục hình ảnh, mạng nơron nhân tạo, nhận dạng chữ viết tay, toán không gian nhiều chiều Việc giải toán cần đến phương pháp nội suy hàm nhiều biến Một số cơng trình nghiên cứu Đặng Thị Thu Hiền, Trần Đức Thụ, Lê Tiến Mười, cho thấy: Sử dụng nội suy hàm sở bán kính (Radial Basis Function-RBF) giải toán cho kết tốt Phương pháp cho thấy độc lập phân bố nút nội suy Vì phương pháp nội suy phù hợp với nút nội suy phân tán Mặc dù khối lượng tính tốn lớn, với phát triển mạnh mẽ máy tính điện tử, phương pháp nội suy RBF ứng dụng cho nhiều toán nhiều lĩnh vực Trong luận văn chúng tơi trình bày số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số số ứng dụng chúng Nội dung luận văn bao gồm: Chương 1: Kiến thức sở Nội dung chương hệ thống kiến thức sở cho phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số như: Hệ phương trình đại số tuyến tính số phương pháp giải, khái niệm toán nội suy, khái niệm sai phân, tỉ sai phân, sở toán nội suy với liệu phân tán Chương 2: Một số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số Nội dung chương bao gồm: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy RBF phương pháp bình phương bé Chương 3: Ứng dụng phương pháp nội suy Trong chương chúng tơi trình bày số ứng dụng phương pháp nội suy như: tính đạo hàm, tính tích phân số, giải phương trình vi phân thường giải phương trình poisson miền giới nội với biên Dirichlet Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Kiến thức sở Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức sở cho toán nội suy xấp xỉ hàm số, khái niệm hệ phương trình đại số tuyến tính số phương pháp giải như: phương pháp Gauss, phương pháp lặp đơn Các khái niệm nội suy như: toán nội suy hàm số, tồn đa thức nội suy hàm biến, khái niệm nội suy với liệu phân tán, ma trận xác định dương, hàm xác định dương, hàm bán kính, hàm sở bán kính 1.1 Hệ phương trình đại số tuyến tính Hệ phương trình đại số tuyến tính n ẩn hệ có dạng Ax = b (1.1)  a11  a21 A =  an1 a12 a22 an2   a1n a2n   ; b =   ann   b1  b2  ; x =   bn  x1 x2   xn Với aij ; bi (i = 1, n, j = 1, n) số thực biết, xi (i = 1, n) ẩn số phải tìm, A ma trận hệ số Nếu ma trận A khơng suy biến nghĩa detA = hệ (1.1) có nghiệm x = A−1 b Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 3.2.5 Cơng thức Newton - Cotet Chia đoạn [a; b] thành n đoạn điểm chia xi = a + ih, (i = 0, n) b−a với h = n Đặt x = a + (b − a)t ⇒ dx = (b − a)dt xi a a + h a + 2h b ti n n Khi b f (x)dx = (b − a) I= a f (a + (b − a)t)dt = (b − a) Φ(t)dt Với Φ(t) = f (a + (b − a)t) Ta xấp xỉ Φ(t) đa thức nội suy Lagrange n + điểm t0 , t1 , t2 , , tn Khi n (t − )(t − ) (t − ) n n n + Φ(t) ≈ Ln (t) =y0 n (− )(− ) (− ) n n n n (t − 0)(t − )(t − ) (t − ) n n n + + y1 1 n ( − 0)( − )( − ) ( − ) n n n n n n n + .+ n−1 (t − 0)(t − )(t − ) (t − ) n n n + yn n−1 (1 − 0)(1 − ) (1 − ) n n 1 Φ(t)dt ≈ Ta có Ln (t)dt Đặt Pni = i−1 i+1 n (t − 0)(t − )(t − ) (t − )(t − ) (t − ) n n n n n dt i i i i−1 i i+1 i n ( − 0)( − ) ( − )( − ) ( − ) n n n n n n n n n Ta có b n yi Pni f (x)dx ≈ (b − a) i=1 a Số hóa trung tâm học liệu (3.34) 50 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Để thuận tiện q trình tính tốn n đủ nhỏ ta thiết lập bảng tính Pni Bảng tính giá trị Pni để áp dụng vào toán cụ thể 3.3 3.3.1 n Pn0 Pn1 Pn2 1 2 6 8 8 70 16 45 15 16 45 70 19 288 25 95 25 144 25 144 25 95 19 288 Giải phương trình vi phân thường Bài toán Cauchy Nhiều toán khoa học kỹ thuật dẫn đến việc tìm nghiệm phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu cho trước Trong phần xét phương trình vi phân cấp dạng u (x) = f (x, u), x ∈ [x0 , X] (3.35) với điều kiện ban đầu u(x0 ) = u0 (3.36) Bài toán gọi toán Cauchy Sự tồn nghiệm toán (3.35) - (3.36) bảo đảm Số hóa trung tâm học liệu 51 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Định lý 3.3.1 (Định lý Picar) Giả sử hàm f (x, u) xác định liên tục hình chữ nhật đóng D = {x0 ≤ x ≤ X, |u − u0 | ≤ U } thoả mãn D điều kiện Lipshitz theo biến thứ hai, tức tồn số L > cho |f (x, u2 ) − f (x, u1 )| ≤ L|u2 − u1 | ∀(x, u1 ), (x, u2 ) ∈ D Khi tốn Cauchy (3.35) - (3.36) có nghiệm Nghiệm giới hạn dãy xấp xỉ liên tiếp x un+1 (x) = f (s, un (s))ds + u0 , n = 0, 1, (3.37) x0 Công thức sử dụng để tìm nghiệm gần giải tích tốn Cauchy Phương pháp tìm nghiệm gần thích hợp hàm f (x, u) đơn giản để tính ngun hàm Trong trường hợp khác người ta buộc phải dùng phương pháp số Dưới xét số phương pháp số giải toán (6.1)-(6.2) 3.3.2 Phương pháp Euler Để tính nghiệm gần tốn (3.35) - (3.36) ta đưa vào đoạn [x0 , X] lưới điểm ω ¯ h = {xn = x0 + nh, n = 0, 1, , N }, h = (X − x0 )/N Ký hiệu un = u(xn ) Ta tìm giá trị gần yn un Muốn vậy, ta tích phân phương trình (3.35) đoạn [xn , xn+1 ] Kết ta xn+1 u(xn+1 ) − u(xn ) = f (x, u(x))dx (3.38) xn Sử dụng cơng thức tính gần tích phân vế phải đẳng thức ta phương pháp số khác giải tốn (3.35) - (3.36) Dưới đây, dùng cơng thức đơn giản nhất: cơng thức hình chữ nhật trái xn+1 f (x, u(x))dx = hf (xn , u(xn )) + O(h2 ) xn ta un+1 − un = hf (xn , u(xn )) + O(h2 ) Bỏ qua thành phần O(h2 ) thay un yn ta công thức yn+1 = yn + hf (xn , yn ) Số hóa trung tâm học liệu 52 (3.39) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Theo công thức trên, xuất phát từ y0 = u0 ta tính y1 , y2 , giá trị gần u1 , u2 , Phương pháp tính gọi phương pháp Euler Nhận xét Cơng thức (3.39) viết dạng yn+1 − yn = f (xn , yn ) (3.40) h Ta nhận cơng thức dùng cơng thức tính đạo hàm un+1 − un u (xn ) = + O(h) h Bây ta đánh giá sai số phương pháp Euler tức đánh giá độ lệch nghiệm gần yn so với nghiệm un điểm lưới Ta gọi hàm lưới zn = yn − un xác định lưới ω ¯ h sai số hay độ xác phương pháp Để đánh giá sai số ta thay yn = zn + un vào phương trình (3.40) Kết ta (zn+1 + un+1 ) − (zn + un ) = f (xn , zn + un ) h Đẳng thức viết dạng zn+1 − zn un+1 − un = [f (xn , zn + un ) − f (.xn , un )] + f (.xn , un ) − h h hay zn+1 − zn = αn zn + ψn , (3.41) h αn = fu (xn , un + θ zn ), ≤ θ ≤ 1, (3.42) un+1 − un ψn = f (.xn , un ) − (3.43) h Như vậy, sai số zn thoả mãn lược đồ sai phân (3.41) điều kiện đầu z0 = Hàm lưới ψn gọi độ không khớp hay độ xấp xỉ lược đồ sai phân (3.40) nghiệm u = u(x) toán (3.35) - (3.36) Ta đánh giá ψn h → trước đánh giá sai số zn Theo cơng thức Taylor ta có u (ξn ) h , (xn ≤ ξn ≤ xn+1 ) u (ξn ) Từ (3.43) với u (xn ) = f (xn , un ) ta có ψn = − h Do đó, với giả thiết nghiệm u(x) có đạo hàm cấp giới nội ψn = O(h) hay un+1 = u(xn + h) = u(xn ) + u (xn )h + ||ψ||C = max |ψn | = O(h), x0 ≤xn ≤X Số hóa trung tâm học liệu 53 (3.44) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tức lược đồ Euler (3.40) có độ xấp xỉ cấp nghiệm toán Cauchy (3.35) - (3.36) Bây ta chứng tỏ phương pháp Euler hội tụ tức ||z||C = max |zn | → h → có độ xác cấp x0 ≤xn ≤X tức ||z||C = O(h) Chứng minh kết luận với giả thiết tồn số K > cho − K ≤ fu (x, u) ≤ 0, h ≤ 2/K (3.45) Từ (3.41) ta có zn+1 = (1 + h αn )zn + hψn , |zn+1 | ≤ |1 + h αn | |zn | + h|ψn | ≤ |zn | + h|ψn | |1 + h αn | ≤ theo (3.45) Theo đánh giá suy n |zn+1 | ≤ |z0 |+ n h|ψk | = k=0 h|ψk | ≤ (n+1)hmax |ψk | ≤ (X − x0 )||ψ||C k=0 (3.46) Từ (3.44) suy ||z||C = O(h) Trong trường hợp điều kiện (3.45) không thoả mãn |fu (x, u)| ≤ K thay cho (3.46) thu |zn+1 | ≤ (X − x0 )eK(X−x0 ) ||ψ||C kết luận ||z||C = O(h) 3.3.3 Phương pháp Euler-Cauchy Phương pháp Euler (3.39) đơn giản, dễ tính có độ thấp Vì thế, người ta nghiên cứu phương pháp có độ cấp cao Dưới xét phương pháp có độ xác hai Sử dụng cơng thức hình thang tính gần tích phân vế phải (3.37) xác xác cấp xn+1 f (x, u(x))dx = h[f (xn , u(xn ) + f (xn+1 , u(xn+1 )] + O(h3 ) xn ta đến phương pháp sau giải toán Cauchy (3.35) - (3.36) h yn+1 = yn + [f (xn , yn ) + f (xn+1 , yn+1 )], y0 = u0 n = 0, 1, , N − 1, (3.47) Người ta chứng minh phương pháp có độ cấp hai, tức ||z||C = ||y − u||C = O(h2 ) Số hóa trung tâm học liệu 54 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Nhược điểm phương pháp để tìm yn+1 phải giải phương trình phi tuyến Nhằm khắc phục nhược điểm trên, người ta thực trình lặp sau (0) yn+1 = yn + hf (xn , yn ) h (k) (k−1) yn+1 = yn + [f (xn , yn ) + f (xn+1 , yn+1 )], (K) yn+1 = yn+1 (k = 1, , K), Phương pháp tính yn+1 gọi phương pháp Euler-Cauchy (0) Thơng thường ngưịi ta lấy K = ký hiệu y¯n+1 = yn+1 giá trị trung gian lược đồ tính sau y¯n+1 = yn + hf (xn , yn ) h yn+1 = yn + [f (xn , yn ) + f (xn+1 , y¯n+1 )], y0 = u0 n = 0, 1, (3.48) Phương pháp giải tốn Cauchy theo cơng thức cịn có tên gọi phương pháp Euler cải tiến Nó có độ xác cấp hai 3.3.4 Phương pháp Runge-Kutta Để xây dựng cơng thức có độ cấp cao giải toán Cauchy người ta dùng khai triển Taylor nghiệm toán chứa nhiều số hạng với giả thiết nghiệm đủ trơn s u(xn+1 ) = u(xn ) + h k=1 h hk−1 (k) u (xn ) + k! (h − t)s (s+1) u (xn + t)dt s! Bỏ qua thành phần tích phân công thức thay u(xn ) yn ta phương trình sai phân bậc s theo số đạo hàm tính u s yn+1 − yn + h k=1 hk−1 dk−1 f (xn ) =0 k! dxk−1 (3.49) Về nguyên tắc đạo hàm bậc cao cơng thức tính nhờ đạo hàm liên tiếp phương trình (3.35) Biết đạo hàm nghiệm gần xn ta tính nghiệm gần xn+1 Nhưng để tính đạo hàm bậc cao phải thực khối lượng tính tốn lớn Để khắc phục khó khăn người ta sử dụng ý tưởng Runge Kutta Số hóa trung tâm học liệu 55 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ xấp xỉ biểu thức dấu tổng (3.49) tổ hợp tuyến tính chứa đạo hàm bậc nghiệm số điểm khác q yn+1 = yn + ϕ(xn , yn , h), ϕ(xn , yn , h) = pr kr (h) r=1 Trong trình xây dựng lược đồ sai phân giải toán (3.35) - (3.36) ta cố định số α1 , , αq, p1 , , pq , βrj , < j < r ≤ q (3.50) Sử dụng số tính k1 = hf (x, y) k2 = hf (x + α2 h, y + β21 k1 ) ······ kq = hf (x + αq h, y + βq1 k1 + βq2 k2 + + βq,q−1 kq−1 ) đặt q u(x + h) ≈ y(x + h) = u(x) + pr kr (h) r=1 Các số α1 , , αq , βrj , < j < r ≤ q chọn sau Ký hiệu q z(h) = u(x + h) − y(x + h) = u(x + h) − u(x) + pr kr (h) r=1 Nếu f (x, u) hàm đủ trơn kr z hàm đủ trơn theo h Giả sử hàm đủ trơn f (x, u) ta có z(0) = z (0) = = z (s) (0) = 0, z (s+1) (0) = (3.51) Khi khai triển z(h) lân cận ta z (s+1) (θ h) s+1 z(h) = h , (s + 1)! < θ < Từ điều kiện (3.51) xác định số α1 , , αq, p1 , , pq , βrj , < j < r≤q Xét số trường hợp riêng phương pháp Runge-Kutta Khi q = 1: z(h) = u(x + h) − u(x) − p1 hf (x, u), z(0) = 0, z (0) = u (x) − p1 f (x, u) = (1 − p1 )f (x, u), z (0) = u (x) Số hóa trung tâm học liệu 56 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ u(x) hàm đủ trơn u (x) = 0, nghĩa s < Để s = phải đặt p1 = Khi ta yn+1 = yn + k1 với k1 = hf (xn , yn ) Đây phương pháp Euler với sai số địa phương z(h) = u (x + θ h) h Khi q = 2: Tương tự, nhận cơng thức Runge-Kutta, có độ xác cấp k1 = hf (xn , yn ), k2 = hf (xn + h, yn + k1 ), yn+1 = yn + (k1 + k2 ) k1 = hf (xn , yn ), k2 = hf (xn + h/2, yn + k1 /2), yn+1 = yn + k2 Khi q = 4: nhận cơng thức Runge-Kutta có độ cấp k1 k2 k3 k4 = hf (xn , yn ), = hf (xn + h/2, yn + k1 /2), = hf (xn + h/2, yn + k2 /2), = hf (xn + h, yn + k3 ), yn+1 = yn + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 ) 3.3.5 Vấn đề xác định nghiệm gần với sai số cho trước Khi giải gần toán Cauchy khoảng phương pháp cụ thể, ta quan tâm đến việc xây dựng lưới tính tốn với bước lưới để thu nghiệm gần với sai số cho trước Mặc dù lý thuyết ta biết bậc sai số, chẳng hạn bậc p, tức |zn | ≤ M hp , số M ta nên từ đánh giá sai số suy h để đạt độ xác cho trước Tuy nhiên, q trình tính tốn ta kiểm sốt sai số dựa vào kết tính hai lưới với bước h h/2 Điều lý giải nguyên lý Runge sau đây: (h) (h/2) Ký hiệu yn yn giá trị gần un = u(xn ) tính lưới h h/2, xn = x0 + nh Khi phương pháp có độ Số hóa trung tâm học liệu 57 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ cấp p ta có yn(h) − un ≈ M hp , p yn(h/2) − un ≈ M ( h2 ) Từ đẳng thức gần suy (h) yn(h/2) (h/2) yn − yn − un ≈ 2p − (3.52) (h) (h/2) yn − yn Do lấy ≈ un sai số tuyệt đối xấp xỉ 2p − Để ý phương pháp Euler p = nên (h/2) yn yn(h/2) − un ≈ yn(h) − yn(h/2) phương pháp Euler cải tiến p = nên (h) yn − yn(h/2) yn(h/2) − un ≈ 3.4 3.4.1 Ứng dụng nội suy RBF Bài tốn Dirichlet với phương trình Poisson miền giới nội Ω ⊂ Rd vectơ trọng số a) Bài toán 3.1 Cho Ω ⊂ Rd , f : Ω → R g : ∂Ω → R hàm liên tục Tìm hàm u ∈ C Ω cho: ∆u = f Ω u |∂Ω = g (3.53) (3.54) b) Vectơ trọng số toán tử vi phân tuyến tính Cho D tốn tử vi phân tuyến tính X = {x1 , x2 , xn } tâm phân tán chọn không gian Rd Một xấp xỉ vi phân tuyến tính tốn tử D n Du (x) ≈ wi (x) u (xi ) (3.55) i=1 xác định trọng số wi = wi (x) Khi w = [w1 , w2 , wn ]T gọi véc tơ trọng số hay gọi stencil tốn tử vi phân D Số hóa trung tâm học liệu 58 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ c) Phương pháp sai phân hữu hạn xác định vectơ trọng số Cho Ξ ⊂ Ω tập hữu hạn tâm rời rạc Kí hiệu: ∂Ξ := Ξ ∩ ∂Ω Ξint := Ξ\∂Ξ Với ζ ∈ Ξint , ta chọn cơng thức vi phân tuyến tính tốn tử Laplace ∆: ∆u(ζ) ≈ wζ u(ξ) (3.56) ξ∈Ξζ Với Ξζ tâm để tính véc tơ trọng số [wζ,ξ ]ξ∈Ξζ , wζ,ξ ∈ R Ta thay wζ,ξ vào toán (3.53) – (3.54), cuối ta hệ phương trình: wζ,ξ u (ξ) = f (ζ) , ζ ∈ Ξζ (3.57) ζ∈Ξζ u (ξ) = g (ξ) , ζ ∈ ∂Ξ (3.58) Nếu hệ phương trình (3.57) - (3.58) khơng suy biến, véc tơ nghiệm xấp xỉ u : Ξ → R hệ phương trình so sánh với véc tơ u |Ξ nghiệm xác tốn (3.53) – (3.54) Phương pháp SPHH thông thường thu từ miền Ω ⊂ R2 hình vng hình chữ nhật Trong trường hợp miền Ω hình vuông Ξ tập điểm nằm lưới với bước lưới h cơng thức (3.56) sai phân khn điểm tốn tử Laplace, hay: ∆u (ζ) ≈ u (ζ + (h, 0)) + u (ζ − (h, 0)) + u (ζ + (0, h)) h + u (ζ − (0, h)) − 4u (ζ) Khi đó, véc tơ trọng số w = 1/h2 , 1/h2 , 1/h2 , 1/h2 , −4/h2 , wζ,ξ = −4/h2 Nhận xét: Trong trường hợp miền Ω HCN HV phương pháp SPHH đơn giản véc tơ trọng số giống nên khơng cần chi phí tính véc tơ trọng số tốc độ hội tụ O h2 3.4.2 Vectơ trọng số từ nội suy hàm sở bán kính Cho tâm phân biệt đơi X = {x1 , x2 , , xn } ⊂ Rd , u : Rd → R hàm liên tục đủ trơn Giả sử φ : R+ → R hàm xác định dương đủ trơn Khi hàm nội suy sở bán kính s (x) hàm u (x) viết dạng n aj Φ(x − xj ), s(x) = Φ(x) := φ( x ) (3.59) j=1 s(xi ) = u(xi ), Soá hóa trung tâm học liệu i = 1, 2, , n 59 (3.60) http://www.lrc.tnu.edu.vn/ aj chọn cho thỏa mãn điều kiện nội suy (3.60) Từ (3.59) (3.60) ta có: n aj Φ(xi − xj ) = u(xi ), i = 1, 2, , n (3.61) j=1 Ký hiệu: Φ|X = Φ(xi − xj ) n,n , i,j=1 u|X = [u(x1 ), u(x2 ), , u(xn )]T T a = [a1 , a2 , , an ] Khi ta viết (3.61) dạng ma trận: Φ|X a = u|X Vì φ hàm xác định dương nên ma trận Φ|X xác định dương với tâm X phân biệt đôi Do đó, véc tơ a xác định bởi: a = [Φ|X ]−1 u|X (3.62) Hàm nội suy sở bán kính s(x) xấp xỉ tốt hàm u(x) hàm u(x) đủ trơn tâm x1 , x2 , , xn ∈ Rd đủ dầy lân cận x Hơn nữa, đạo hàm hàm s(x) xấp xỉ tốt với đạo hàm hàm u(x) hàm φ đủ trơn [24] Vì D tốn tử vi phân tuyến tính Ds(x) xấp xỉ Du(x) xét dạng: n Du(x) ≈ Ds(x) = = aj DΦ(x − xj ) = aT DΦ(x − ·)|x j=1 u|Tx [Φ|x]−1 DΦ(x − ·)|x (3.63) Ký hiệu : w = [w1 , w2 , , wn ]T Ta đặt w = [Φ|X ]−1 DΦ(x − ·)|X (3.64) DΦ(x − ·)|X = (DΦ(x − x1 ), , DΦ(x − xn ))T Từ ta có n Du(x) ≈ Ds(x) = wi u(xi ) (3.65) i=1 Quan sát cơng thức (3.64) ta thấy w nghiệm phương trình n wj Φ(xi − xj ) = DΦ(x − xi ), i = 1, 2, , n (3.66) j=1 Số hóa trung tâm học liệu 60 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Điều có nghĩa véc tơ trọng số w cho hệ số nội suy hàm sở bán kính với liệu cho hàm DΦ(x − ·)|X Vì Φ(xi − xj ) = Φ((x − xi ) − (x − xj )) nên ta nội suy hàm DΦ tâm x − xj , j = 1, 2, , n ta thu hệ số nội suy cơng thức (3.64) và véc tơ trọng số Vì có phương pháp tính véc tơ trọng số sau: Mệnh đề 3.4.1 Cho tâm phân biệt đôi X = {x1 , x2 , , xn } ∈ Rd , u : R+ → R hàm liên tục đủ trơn, D toán tử vi phân tuyến tính hàm nội suy sở bán kính s(x) hàm u(x) biểu diễn dạng (3.59) - (3.64) Khi vecto trọng số w vi phân số x tìm cách giải hệ phương trình (3.66), hay vecto trọng số hệ số nội suy hàm sở bán kính với liệu cho hàm DΦ(x − ·)|X [6] 3.4.3 Lược đồ RBF – FD giải phương trình poisson Cho toán 3.1, với Ξ tâm rời rạc miền Ω Kí hiệu ∂Ξ = Ξ ∩ ∂Ω, Ξint = Ξ\∂Ξ Bước 1: Xác định tập điểm nằm miền Ξint tập điểm biên ∂Ξ Bước 2: Xây dựng ma trận cứng vế trái phương trình (3.57) cách: - Với điểm ζ ∈ Ξint , chọn tâm Ξζ = {ζ, ζ1 , ζ2 , , ζn } ζ1 , ζ2 , , ζn điểm lân cận tốt ζ (được tìm số thuật toán) - Xác định vectơ trọng số w việc giải hệ phương trình n wj Φ (ξi − ξj ) = ∆Φ (ζ − ξi ) , i = 1, 2, , n j=1 - Thay vectơ trọng số w tìm vào phương trình (3.57) Bước 3: Giải hệ phương trình   wζ,ξ u (ξ) = f (ζ) , ζ ∈ Ξζ ζ∈Ξζ  u (ξ) = g (ξ) , ζ ∈ ∂Ξ Ta nghiêm xấp xỉ u Số hóa trung tâm học liệu 61 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Kết luận Kết đạt đề tài: Qua trình nghiên cứu thực đề tài “Nghiên cứu số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số” nhiều hạn chế đạt số kết sau: - Tìm hiểu tổng hợp số phương pháp nội suy hàm số biến ứng dụng - So sánh đánh giá số ưu, nhược điểm phương pháp nôi suy - Nghiên cứu nội suy hàm số nhiều biến hàm sở bán kính bước đầu ứng dụng Hướng phát triển: - Thiết lập thuật tốn ước lượng tham số hình dạng tối ưu cho hàm sở bán kính - Ứng dụng nội suy hàm sở bán kính tốn với sở liệu rời rạc như: Bài toán dự báo thời tiết, tốn khơi phục hàm số, tốn khơi phục hình ảnh 3D, Vì điều kiện thời gian lực thân hạn chế, đồng thời nội dung nghiên cứu cịn mẻ nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót cần phải khắc phục Tác giả mong đóng góp ý kiến thầy, giáo bạn để đề tài hoàn thiện Số hóa trung tâm học liệu 62 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tài liệu tham khảo [1] Đặng Quang Á, Giáo trình phương pháp số , NXB Đại Học Thái Nguyên-2009 [2] Tạ văn Đĩnh, Phương pháp tính, NXB Giáo Dục việt Nam [3] G.E.Fasshauer, Meshfree Nano [4] Đặng Thị Thu Hiền, Bài toán nội suy mạng Nơron RBF, luận án tiến sĩ 2009, trường ĐH Công nghệ, ĐH Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Văn Mậu, Các toán nội suy ứng dụng, NXB Giáo Dục, Hà Nội [6] Đặng Thị Oanh, Phương pháp không lưới giải phương trình Poisson, Luận án tiến sĩ, 2011, Viện cơng nghệ thông tin, Viện hàn lâm khoa học công nghệ Việt Nam [7] Dương Thùy Vĩ, Giáo trình phương pháp tính, NXB Khoa Học Kĩ Thuật, Hà Nội, 2001 [8] Holger Wendland, Sattered Data Approximation [9] Manping Zhang, Radial Basis Function Interpolation in Sobolev spaces ind its applications Số hóa trung tâm học liệu 63 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn ngày tháng năm 2013 chỉnh sửa với ý kiến đóng góp thầy, hội đồng Thái Nguyên, ngày 02 tháng năm 2012 Xác nhận cán hướng dẫn khoa học TS Đặng Thị Oanh Số hóa trung tâm học lieäu 64 http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... Chương Một số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số Trong chương chúng tơi trình bày số phương pháp nội suy xấp xỉ hàm số cụ thể như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp. .. gồm: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp nội suy RBF phương pháp bình phương bé Chương 3: Ứng dụng phương pháp nội suy Trong chương chúng tơi trình bày số ứng... dựng phương pháp, thuật toán nội suy tìm kiếm ứng dụng thực tiễn Một số phương pháp nội suy tìm nhiều ứng dụng phải kể đến như: phương pháp nội suy Lagrange, phương pháp nội suy Newton, phương pháp