3 Ứng dụng của phương pháp nội suy
3.3.2 Phương pháp Euler
Để tính nghiệm gần đúng của bài tốn (3.35) - (3.36) ta đưa vào trên đoạn [x0, X] lưới điểm ω¯h = {xn = x0 +nh, n = 0, 1, ..., N}, trong đĩ h = (X −x0)/N.
Ký hiệu un = u(xn). Ta sẽ đi tìm giá trị gần đúng yn của un.
Muốn vậy, ta tích phân phương trình (3.35) trên đoạn [xn, xn+1]. Kết quả ta được u(xn+1)−u(xn) = xn+1 Z xn f(x, u(x))dx. (3.38) Sử dụng các cơng thức tính gần đúng tích phân ở vế phải của đẳng thức trên ta sẽ được các phương pháp số khác nhau giải bài tốn (3.35) - (3.36). Dưới đây, dùng cơng thức đơn giản nhất: cơng thức hình chữ nhật trái
xn+1
Z
xn
f(x, u(x))dx = hf(xn, u(xn)) +O(h2) ta được un+1 −un = hf(xn, u(xn)) +O(h2).
Bỏ qua thành phần O(h2) và thay un bởi yn ta được cơng thức
Theo cơng thức trên, xuất phát từy0 = u0 ta sẽ lần lượt tính đượcy1, y2, ... là các giá trị gần đúng của u1, u2, .... Phương pháp tính trên được gọi là phương pháp Euler.
Nhận xét. Cơng thức (3.39) cĩ thể viết trong dạng yn+1−yn
h = f(xn, yn) (3.40)
Ta cĩ thể nhận được cơng thức trên nếu dùng cơng thức tính đạo hàm u0(xn) = un+1 −un
h + O(h)
. Bây giờ ta sẽ đánh giá sai số của phương pháp Euler tức là đánh giá độ lệch của nghiệm gần đúng yn so với nghiệm đúng un tại các điểm lưới. Ta gọi hàm lưới zn = yn−un xác định trên lưới ω¯h là sai số hay độ chính xác của phương pháp.
Để đánh giá sai số ta thay yn = zn+un vào phương trình (3.40). Kết quả ta được
(zn+1+ un+1)−(zn+un)
h = f(xn, zn +un). Đẳng thức trên viết được trong dạng
zn+1 −zn h = [f(xn, zn +un)−f(.xn, un)] +f(.xn, un)− un+1−un h hay zn+1−zn h = αnzn+ψn, (3.41) trong đĩ αn = fu(xn, un+θ zn), 0≤ θ ≤ 1, (3.42) ψn = f(.xn, un)− un+1 −un h . (3.43)
Như vậy, sai số zn thoả mãn lược đồ sai phân (3.41) và điều kiện đầu z0 = 0.
Hàm lưới ψn được gọi là độ khơng khớp hay độ xấp xỉ của lược đồ sai phân (3.40) trên nghiệm u = u(x) của bài tốn (3.35) - (3.36).
Ta sẽ đánh giá ψn khi h → 0 trước khi đánh giá sai số zn. Theo cơng thức Taylor ta cĩ
un+1 = u(xn +h) =u(xn) + u0(xn)h+ u 00(ξn) 2 h 2, (xn ≤ξn ≤ xn+1). Từ đây và (3.43) với u0(xn) =f(xn, un) ta cĩ ψn = −u 00(ξn) 2 h. Do đĩ, với giả thiết nghiệm u(x) cĩ đạo hàm cấp 2 giới nội thì ψn = O(h) hay
||ψ||C = max
tức là lược đồ Euler (3.40) cĩ độ xấp xỉ cấp một trên nghiệm của bài tốn Cauchy (3.35) - (3.36). Bây giờ ta chứng tỏ rằng phương pháp Euler hội tụ tức là ||z||C = max
x0≤xn≤X|zn| →0 khi h → 0 và cĩ độ chính xác cấp một tức là ||z||C = O(h).
Chứng minh kết luận trên với giả thiết rằng tồn tại số K > 0 sao cho
−K ≤fu(x, u) ≤0, h ≤ 2/K. (3.45) Từ (3.41) ta cĩ
zn+1 = (1 +h αn)zn +hψn,
|zn+1| ≤ |1 +h αn| |zn|+h|ψn| ≤ |zn|+h|ψn|
vì |1 +h αn| ≤ 1 theo (3.45). Theo đánh giá trên suy ra
|zn+1| ≤ |z0|+ n X k=0 h|ψk| = n X k=0 h|ψk| ≤(n+1)hmax|ψk| ≤ (X −x0)||ψ||C (3.46) Từ (3.44) suy ra ||z||C = O(h).
Trong trường hợp nếu điều kiện (3.45) khơng thoả mãn nhưng |fu(x, u)| ≤
K thay cho (3.46) thu được |zn+1| ≤ (X −x0)eK(X−x0)||ψ||C và kết luận
||z||C = O(h) vẫn đúng.