3 Ứng dụng của phương pháp nội suy
3.4.1 Bài tốn Dirichlet với phương trình Poisson trong
a) Bài tốn 3.1
Cho Ω ⊂ Rd, f : Ω → R và g : ∂Ω → R là các hàm liên tục. Tìm hàm u ∈ C2 Ω sao cho:
∆u = f trong Ω (3.53)
u|∂Ω = g (3.54)
b) Vectơ trọng số của tốn tử vi phân tuyến tính
Cho D là tốn tử vi phân tuyến tính và X = {x1, x2 ..., xn} là bộ tâm phân tán đã được chọn trong khơng gian Rd. Một xấp xỉ vi phân tuyến tính đối với tốn tử D. Du(x) ≈ n X i=1 wi(x)u(xi) (3.55) được xác định bởi các trọng số wi = wi(x). Khi đĩ w = [w1 ,w2..., wn]T được gọi là véc tơ trọng số hay cịn được gọi là stencil đối với tốn tử vi phân D.
c) Phương pháp sai phân hữu hạn xác định vectơ trọng số Cho Ξ ⊂ Ω là tập hữu hạn các tâm rời rạc. Kí hiệu: ∂Ξ := Ξ ∩ ∂Ω và Ξint := Ξ\∂Ξ. Với mỗi ζ ∈ Ξint, ta chọn một cơng thức vi phân tuyến tính đối với tốn tử Laplace ∆:
∆u(ζ) ≈ X
ξ∈Ξζ
wζu(ξ) (3.56)
Với Ξζ là bộ tâm để tính véc tơ trọng số [wζ,ξ]ξ∈Ξ
ζ, wζ,ξ ∈ R. Ta thay thế các wζ,ξ vào bài tốn (3.53) – (3.54), cuối cùng ta được hệ phương trình:
X ζ∈Ξζ wζ,ξ _ u(ξ) = f (ζ), ζ ∈ Ξζ (3.57) _ u(ξ) =g(ξ), ζ ∈ ∂Ξ (3.58)
Nếu hệ phương trình (3.57) - (3.58) khơng suy biến, thì véc tơ nghiệm xấp xỉ _u : Ξ →R của hệ phương trình này cĩ thể so sánh được với véc tơ u|Ξ
là nghiệm chính xác của bài tốn (3.53) – (3.54).
Phương pháp SPHH thơng thường thu được từ trên nếu miền Ω ⊂ R2
là hình vuơng hoặc hình chữ nhật. Trong trường hợp miềnΩ là hình vuơng vàΞ là tập các điểm nằm trên lưới đều với bước lưới h thì cơng thức (3.56) là sai phân khuơn 5 điểm đối với tốn tử Laplace, hay:
∆u(ζ) ≈ 1 h2 u(ζ + (h,0)) +u(ζ −(h,0)) +u(ζ + (0, h)) + u(ζ −(0, h))−4u(ζ) Khi đĩ, véc tơ trọng số w = 1/h2,1/h2,1/h2,1/h2,−4/h2, trong đĩ wζ,ξ = −4/h2
Nhận xét: Trong trường hợp miền Ω là HCN hoặc HV thì phương pháp SPHH đơn giản vì các véc tơ trọng số giống nhau nên khơng cần chi phí tính các véc tơ trọng số và tốc độ hội tụ là O h2.