Nội suy và xấ[ xỉ hàm

Nội suy và xấ[ xỉ hàm

Chương 4 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM I. ĐẶT BÀI TOÁN :Để tính giá trò của một hàm liên tục bất kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một đa thức, tính giá trò của đa thức từ đó tính được giá trò gần đúng của hàm Xét hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng số yo y1 y2 . . . yny xo x1 x2 . . . xn x Các giá trò xk, k = 0, 1, , n được sắp theo thứ tự tăng dần gọi là các điểm nút nội suy Các giá trò yk = f(xk) là các giá trò cho trước của hàm tại xk Bài toán : xây dựng 1 đa thức pn(x) bậc ≤n thoả điều kiện pn(xk) = yk, k=0,1, n. Đa thức này gọi là đa thức nội suy của hàm f(x). II. ĐA THỨC NỘY SUY LAGRANGE: Cho hàm y = f(x) và bảng số yo y1 y2 . . . yny xo x1 x2 . . . xn xTa xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) trên [a,b]=[x0, xn]. ẹaởt( )0,0,0 1 1 10 1 1 1( )( )( )( )( ) .( )( ) .( )( )( ) .( )( ) .( )niki i knnk ii i kk k nk k k k k k k nx xp xx xx x x x x x x x x xx x x x x x x x x x= = + += = Ta coự ( )1( )0kn ii kp xi k== Đa thức ( )0( ) ( )nkn n kkL x p x y==∑có bậc ≤ n và thỏa điều kiện Ln(xk) = ykgọi là đa thức nội suy Lagrange của hàm fVí dụ : Cho hàm f và bảng số 1 -1 2 y 0 1 3 xXây dựng đa thức nội suy Lagrange và tính gần đúng f(2). n = 2(0) 2( 1)( 3) 1( ) ( 4 3)(0 1)(0 3) 3nx xp x x x− −= = − +− −Giải(1) 2( 0)( 3) 1( ) ( 3 )(1 0)(1 3) 2nx xp x x x− −= = − −− −(2) 2( 0)( 1) 1( ) ( )(3 0)(3 1) 6nx xp x x x− −= = −− −Đa thức nội suy Lagrange2 2 2 21 1 1 7 19( ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) 13 2 3 6 6nL x x x x x x x x x= − + + − + − = − +f(2) ≈ Ln(2) = -2/3  Cách biểu diễn khác : ω’(xk) = (xk-x0)(xk-x1) .(xk-xk-1)(xk-xk+1) .(xk- xn)Đặt ω(x) = (x- x0)(x- x1) (x- xn)( )( )( )'( )( )knk kxp xx x xωω⇒ =−0( ) ( )'( )( )nknkk kyL x xx x xωω=⇒ =−∑với Dk = ω’(xk) (x-xk)0( ) ( )nknkkyL x xDω=⇒ =∑00'( ) ( )nnikii kx x xω==≠= −∑∏ Để tính giá trò của Ln(x), ta lập bảngω(x)D0D1…Dnx- x0 x0- x1 x0- xnx1- x0 x- x1 x1- xn xn- x0 xn- x1 x- xn x0x1…xn x0 x1 xnxtích dòngtích đường chéo Ví dụ : Cho hàm f và bảng số -1 -4 -9 y -9 -7 -4 xTính gần đúng f(-6)Ta lập bảng tại x = -6 -6 30 -6 -30 3 -2 -5 2 1 -3 5 3 -2-9-7-4 -9 -7 -4 x = -6Vậy f(-6) ≈ L2(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6 [...]... (k-n)h n = (-1) n-k k! (n-k)! h n II. ĐA THỨC NỘY SUY LAGRANGE: Cho hàm y = f(x) và bảng số y o y 1 y 2 . . . y n y x o x 1 x 2 . . . x n x Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) trên [a,b]=[x 0 , x n ]. Ví dụ : Cho hàm f xác định trên [0,1] và bảng số 2 2.2599 2.5238 2.7183y 0 0.3 0.7 1 x Tính gần đúng f(0.12) bằng Newton tiến và f(0.9) bằng Newton lùi 0.2786 -0.2950 -0.0164 0.8663 0.6598 0.6483 2 2.2599 2.5238 2.7183 0 0.3 0.7 1 f[x k ,x k+1 ,x k+2 ,x k+3 ]f[x k ,x k+1 ,x k+2 ]f[x k ,x k+1 ]f(x k )x k Giải... ) ( ) 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 2 15 5 3 46 7 7 ( ) 4 ( 2) ( 2) ( 2) 2 3 15 5 15 g x x x x g x g x x x x x g x x x x x  = + + ≤ ≤    = = + − + − + − ≤ ≤    = + − + − − − ≤ ≤   Chương 4 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM Tiếp tục bằng qui nạp ta được Đặt (1) 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( ) [ , , , ]( )( ) ( ) ( ) [ , , , ]( )( ) ( ) n n n n n n x y f x x x x f x x x x x x... x x x x x x x x x x x x x x x = ≠ = ≠ − + − + − = − − − − − − = − − − − − ∏ ∏ Ta coù ( ) 1 ( ) 0 k n i i k p x i k  = =  ≠  Ví dụ : Cho hàm f(x)=2 x trên đoạn [0,1]. Đánh giá sai số khi tính gần đúng giá trị hàm tại điểm x=0.45 sử dụng đa thức nội suy Lagrange khi chọn các điểm nút x o =0, x 1 =0.25, x 2 =0.5, x 3 =0.75, x 4 =1 Giải Ta có n = 4, f (5) (x) = (ln2) 5 2 x ⇒ M 5 = max |f (5) (x)|... V. BÀI TOÁN XẤP XỈ THỰC NGHIỆM : Xét bài toán thống kê lượng mưa trong 12 tháng Thực nghiệm (k=1 12) 550 650 540 580 610 605 y k 1 2 3 4 5 6 7 8x k Các giá trị y k được xác định bằng thực nghiệm nên có thể không chính xác. Khi đó việc xây dựng một đường cong đi qua tất cả các điểm M k (x k , y k ) cũng không còn chính xaùc Bài toán xấp xỉ thực nghiệm : là tìm hàm f(x) xấp xỉ bảng {(x k ,y k )}...  Điều kiện (A) suy ra 2 3 1 2 1 ( ) (1) k k k k k k k k k k k k k k k k a b h c h d h y y y b c h d h h + + + + + = − ⇒ = − −  Điều kieän (C) suy ra 1 1 2 6 2 ( ) (2) 3 k k k k k k k k c d h c c c d h + + + = − ⇒ = Ta coù g k ’(x) = b k +2c k (x-x k )+3d k (x-x k ) 2 g k ”(x) = 2c k +6d k (x-x k ) 2. Đa thức nội suy Newton : Tỉ sai phân cấp 1 0 0 0 0 0 0 ( ) (... Thay (2) vào (1) ta đước 1 1 ( ) ( 2 ) (3) 3 k k k k k k k y y c c h b h + + − + = −  Điều kiện (B) suy ra 2 1 2 1 1 1 1 1 2 3 2 3 (4) k k k k k k k k k k k k b c h d h b hay b c h d h b + − − − − − + + = + + =  Thay (2) vaø (3) vào (4) ta được 1 1 1 1 1 1 1 3( ) 3( ) 2( ) (5) 1,2, , 1 k k k k k k k k k k k k k y y y y h c h h c h c h h k n + − − − − + − − − + + + = − ∀ = − Ví dụ : Tìm hàm f(x)... x f x x x x x f x x f x x f x x x x x − = − ⇒ = + − neân 0 0 1 0 0 1 0 1 ( ) [ , ]( ) [ , , ]( )( )f x y f x x x x f x x x x x x x= + − + − − Ví dụ : Cho hàm f xác định và bảng số 0.5 0.5736 0.6428 0.7071y 30 35 40 45 x Tính gần đúng f(32) và f(44) -0.0005 -0.0044 -0.0049 0.0736 0.0692 0.0643 0.5 0.5736 0.6428 0.7071 30 35 40 45 ∆ 3 y k ∆ 2 y k ∆y k f(x k )x k Giải : ta lập bảng các sai phân hữu... tiểu : 2 ( ) ( ( ) ) min k k g f f x y đạt= − ∑ Hàm f tổng quát rất đa dạng. Để đơn giản, trong thực tế thường ta tìm hàm f theo một trong các dạng sau : - f(x) = A + Bx - f(x) = A+Bx+Cx 2 - f(x) = Asinx+Bcosx - f(x) = Ae Bx - f(x) = Ax B - f(x) = AlnBx … 3. Spline tự nhiên : Giải thuật xác định spline tự nhiên : Điều kiện g”(a)=g”(b) = 0 suy ra c o = c n = 0 B1. Tính h k =x k+1 - x k ,... 4 3) (0 1)(0 3) 3 n x x p x x x − − = = − + − − Giaûi (1) 2 ( 0)( 3) 1 ( ) ( 3 ) (1 0)(1 3) 2 n x x p x x x − − = = − − − − (2) 2 ( 0)( 1) 1 ( ) ( ) (3 0)(3 1) 6 n x x p x x x − − = = − − − Đa thức nội suy Lagrange 2 2 2 2 1 1 1 7 19 ( ) ( 4 3) ( 3 ) ( ) 1 3 2 3 6 6 n L x x x x x x x x x= − + + − + − = − + f(2) ≈ L n (2) = -2/3 Đặt ( ) 0, 0, 0 1 1 1 0 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) (... n n n y y y y h h h h h h h h h h A b y y y y h h h h h h − − − − − − − − −       − −     − +         + = =         − −     − +             Ví dụ : Cho hàm f và bảng số -1 -4 -9 y -9 -7 -4 x Tính gần đúng f(-6) Ta lập bảng tại x = -6 -6 30 -6 -30 3 -2 -5 2 1 -3 5 3 -2 -9 -7 -4 -9 -7 -4 x = -6 Vaäy f(-6) ≈ L 2 (-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6 . Chương 4 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM I. ĐẶT BÀI TOÁN :Để tính giá trò của một hàm liên tục bất kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một đa thức,. k=0,1,.. n. Đa thức này gọi là đa thức nội suy của hàm f(x). II. ĐA THỨC NỘY SUY LAGRANGE: Cho hàm y = f(x) và bảng số yo y1 y2 .