Discovering Geometry – Hình học là một hệ thống Toán học

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ………………………… BÀI TẬP NHÓM Học phần: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3 Nhóm 11-Lớp 3A Đề tài: “ Discovering Geometry – Hình học là một hệ thống Toán học ” Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đăng Minh Phúc Hồ Thị Lan Thuyền Lê Thị Thu Thảo Trịnh Thị Hồng Phượng Kêr Văn Ánh Huế, tháng 9 năm 2013 ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HUẾ KHOA TOÁN ………………………… BÀI TẬP NHÓM Học phần: Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm 3 Nhóm 11-Lớp 3A Đề tài: “ Discovering Geometry – Hình học là một hệ thống Toán học ” Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đăng Minh Phúc Hồ Thị Lan Thuyền Lê Thị Thu Thảo Trịnh Thị Hồng Phượng Kêr Văn Ánh 2 Huế, tháng 9 năm 2013 3 Lời nói đầu. Hầu hết các học sinh khi học toán, họ thường thích học đại số và giải tích hơn là học hình học. Hình học đối với họ rất khó tư duy, “khám phá” và thật cứng nhắc. Tuy nhiên, các bạn sẽ thay đổi suy nghĩ của mình sau khi đọc cuốn sách này, Discovering Geometry, một cuốn sách đầy “màu sắc” và thú vị. Cuốn sách Discovering Geometry (Khám phá hình học) của tác giả Michael Serra là một cuốn sách hay và hữu ích, mang đến cho người đọc một cách tiếp cận mới trong các vấn đề của hình học phẳng. Chúng tôi chọn chương 13 của cuốn sách để giới thiệu đến các bạn. Với chủ đề “Hình học là một hệ thống toán học”, chương 13 bao gồm 7 bài học, mỗi bài học đều được dẫn dắt theo một trình tự hợp lí, giúp bạn đọc dễ hiểu và dễ nghiên cứu. Mở đầu là việc đặt vấn đề cho mỗi chủ đề, tiếp đó chúng tôi đưa ra các nội dung chính, các ví dụ kèm theo lời giải, và các phần kiến thức kết nối toán học với lịch sử, khoa học giúp bạn đọc có cơ hội tìm hiểu mối liên hệ giữa toán học và các khoa học khác trong cuộc sống. Cuối mỗi bài học sẽ là phần bài tập giúp độc giả luyện tập kỹ năng giải toán dựa trên cơ sở lý thuyết mà chúng tôi đã đưa ra trước đó. Các bài tập được chọn khá cẩn thận, sát với lý thuyết tương ứng, và được giải hoặc hướng dẫn giải khá chi tiết. Cuối chương 13 sẽ là phần ôn tập, giúp độc giả hệ thống lại các kiến thức đã học trong chương này. Hy vọng chương 13 của cuốn sách Discovering Geometry sẽ mang đến cho bạn độc một cái nhìn mới mẻ, tổng quát và toàn diện về hình học, thấy được mối liên hệ giữa các giả thuyết hình học. Đặc biệt là rèn luyện kỹ năng thiết lập mối quan hệ giữa chúng như là một hệ thống, cách suy luận ngược vấn đề thông qua cây sơ đồ. Đây là lần đầu tiên tài liệu này được chúng tôi chọn để giới thiệu đến bạn đọc nên chắc chắn rằng vẫn còn nhiều sai sót. Chúng tôi rất mong nhận được nhiều ý kiến góp ý của bạn đọc để có thể làm cho chất lượng của tài liệu được tốt hơn. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Đăng Minh Phúc đã giới thiệu đến chúng tôi cuốn sách này. 4 MỤC LỤC MỤC LỤC 5 Chương I: SƠ LƯỢC VỀ TÁC GIẢ TÁC PHẨM 7 I.Tác giả 7 II.Tác phẩm 7 ChươngII: NỘI DUNG CHƯƠNG 13 –HÌNH HỌC LÀ MỘT HỆ THỐNG TOÁN HỌC 9 Bài 13.1: CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC 9 I.Đặt vấn đề 9 II.Cơ sở của hình học 10 III.Bài tập 17 Bài 13.2: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC 22 I.Đặt vấn đề 22 II.Phương pháp chứng minh hình học 22 III.Bài tập 29 Bài 13.3: CÁC PHÉP CHỨNG MINH TRONG TAM GIÁC 31 I.Đặt vấn đề 31 II.Các phép chứng minh trong tam giác 31 III.Bài tập 34 Bài 13.4: CÁC PHÉP CHỨNG MINH TỨ GIÁC 37 I.Đặt vấn đề 37 II.Các phép chứng minh tứ giác 38 III.Bài tập. 39 Bài đọc thêm: CHỨNG MINH NHƯ MỘT THÁCH THỨC VÀ KHÁM PHÁ 42 Bài 13.5: PHÉP CHỨNG MINH GIÁN TIẾP 44 I.Đặt vấn đề 44 5 II.Phép chứng minh gián tiếp 44 III.Bài tập 47 BÀI 13.6: CÁC PHÉP CHỨNG MINH TRONG ĐƯỜNG TRÒN 49 I.Các phép chứng minh trong đường tròn 49 II.Bài tập: 50 BÀI 13.7: CÁC PHÉP CHỨNG MINH ĐỒNG DẠNG 52 I.Các tính chất và định đề về sự đồng dạng 52 II.Bài tập 56 CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 58 I.Sử dụng các tính chất để chứng minh bằng phương pháp tọa độ 58 II.Bài tập 64 III. Các phép chứng minh đặc biệt của các giả thuyết đặc biệt 65 Bài đọc thêm: HÌNH HỌC PHI EUCLIDE 66 ÔN TẬP CHƯƠNG 13 69 I.Bài tập 69 II. Đánh giá lại những gì bạn đã học 71 Chương III: KẾT LUẬN 73 I.Ưu điểm 73 II.Nhược điểm 74 III.So sánh với toán hình học THPT ở Việt Nam 74 1.Giống nhau: 74 2.Khác nhau: 74 IV.Bài học kinh nghiệm 74 Tài liệu tham khảo 75 6 Chương I: SƠ LƯỢC VỀ TÁC GIẢ TÁC PHẨM I. Tác giả. Michael Serra là một giáo viên dạy toán tại trường trung học Geogre Washington ở San Francisco trong hơn 40 năm. Ông nghỉ hưu vào năm 2001 và bây giờ ông tham gia vào các hội nghị toán học trong khư vực và trên thế giới. Hiện tại, ông cũng đang là tình nguyện viên tại trường tiểu học Claredon. Kinh ngiệm giảng dạy trong hơn 40 năm qua đã giúp cho ông hình thành một cách tiếp cận mới trong hình học. Ông đã viết nhiều tài liệu toán học để dạy hình học bằng việc sử dụng các đồ vật quen thuộc như giấy, bóng quần vợt,… Các tài liệu này là cơ sở để ông viết cuốn sách “Discovering Geometry” đầy sáng tạo. Ngoài “Discovering Geometry” ông cũng đã cho xuất bản nhiều cuốn sách khác có giá trị như: “Patty paper geometry”, “Mathercise Series”, “What’s wrong with this picture” và “Smart moves”. Ông cũng viết cho nhiều bản tin toán học khác nhau và làm video về giảng dạy toán học. II. Tác phẩm. “Discovering Geometry” được Michael Serra viết năm 2008, cuốn sách dày 833 trang, gồm 14 chương, chủ yếu trình bày những khái niệm, định lý cơ bản và các ứng dụng của hình học theo một cách tiếp cận mới_cách “khám phá hình học”. Nội dung cơ bản của mỗi chương như sau: • Chương 0: Hình học trong nghệ thuật. • Chương 1: Giới thiệu về hình học. • Chương 2: Các nguyên lí trong hình học. • Chương 3: Sử dụng các công cụ trong hình học. 7 • Chương 4: Khám phá và chứng minh các tính chất trong tam giác. • Chương 5: Khám phá và chứng minh các tính chất trong đa giác. • Chương 6: Khám phá và chứng minh các tính chất trong đường tròn. • Chương 7: Các phép biến hình và khảm đá hoa. • Chương 8: Diện tích. • Chương 9: Định lí Pythago • Chương 10: Thể tích. • Chương 11: Sự đồng dạng. • Chương 12: Lượng giác. • Chương 13: Hình học như một hệ thống toán học. 8 ChươngII: NỘI DUNG CHƯƠNG 13 –HÌNH HỌC LÀ MỘT HỆ THỐNG TOÁN HỌC. Bài 13.1: CƠ SỞ CỦA HÌNH HỌC I. Đặt vấn đề Như bạn đã học trong các chương trước, hàng ngàn năm ở Babylon, Ai Cập, Trung Quốc, các nhà toán học đã khám phá ra nhiều nguyên lý hình học và phát triển các phương pháp để thực hiện hình học thực tế. Khoảng 600 năm TCN, một nền văn minh mới thịnh vượng đã bắt đầu phát triển trong các thị trấn buôn bán dọc theo bờ biển vùng Tiểu Á ( Thổ Nhĩ Kỳ ngày nay) và sau đó ở Hy Lạp, Sicily và Ý. Người dân đã có thời gian tự do để thảo luận và tranh luận về các vấn đề của chính phủ và pháp luật. Họ đã bắt đầu nhấn mạnh những lý do để ủng hộ cho các tuyên bố đã được thực hiện trong cuộc tranh luận. Các nhà toán học bắt đầu sử dụng lập luận mang tính logic để đưa ra các ý tưởng toán học. Kết nối Lịch sử Thales_ nhà toán học Hy Lạp thành Miletus ( khoảng 625-547 TCN ) đã thực hiện những ý tưởng hình học của ông bằng việc dựa vào những khám phá và lập luận logic của mình. Hơn 300 năm tiếp theo, phương pháp dựa vào các giả thuyết toán học và các lập luận logic ngày càng trở nên tinh tế hơn. Các nhà toán học Hy Lạp, gồm Thales, sinh viên nổi tiếng nhất, Pythagoras đã bắt đầu quan tâm đến các chuỗi suy luận logic. Truyền thống đó vẫn tiếp tục với Plato và các học trò của ông. Euclide, trong Elments _tác phẩm nổi tiếng của mình về hình học và lý thuyết số, đã thiết lập một chuỗi duy nhất các lập luận suy diễn cho hầu hết phần hình học được biết đến sau đó. Euclide đã sử dụng các công trình xây dựng hình học để nghiên cứu các tính chất và các dạng đường thẳng. Euclide cũng đã tạo ra một hệ thống suy luận – một bộ cơ sở, 9 hoặc đã chấp nhận các sự kiện, và một bộ quy tắc để tổ chức hợp lý các thuộc tính hình học. Ông bắt đầu từ một bộ sưu tập các phát biểu đơn giản và hữu ích mà ông gọi là tiên đề. Sau đó ông ấy đã chứng minh một cách có hệ thống cách mà mỗi khám phá hình học, hoặc định lý tiếp theo phải được suy ra từ các tiên đề và các giả thuyết đã được chứng minh trước đó một cách hợp lý. Cho đến nay, bạn đã khám phá ra tính chất quy nạp trong hình học, cách mà nhiều nhà toán học đã sử dụng trong nhiều thế kỷ qua. Bạn đã học các hình hình học và đã đưa ra các phỏng đoán về chúng. Sau đó để giải thích cho giả thuyết của bạn, bạn quay sang lập luận suy diễn. Bạn sử dụng các chứng minh chính thức để giải thích tại sao một giả thuyết là đúng. Tuy nhiên, bạn không cần chứng minh tất cả các giả thuyết. Trong thực tế, đôi khi bạn đưa ra những giả định quan trọng dựa trên các giả thuyết không cần chứng minh trong các chứng minh của bạn. Một kết luận trong một chứng minh là đúng khi và chỉ khi cơ sở của bạn là đúng và tất cả lập luận của bạn là hợp lý. Một giả định sai có thể dẫn đến kết luận sai. Có phải tất cả các giả định của bạn là đáng tin cậy? II. Cơ sở của hình học Trong chương này bạn sẽ xem xét hình học như Euclide đã làm. Bạn sẽ bắt đầu với các cơ sở: các định nghĩa, các tính chất và các tiên đề. Từ những cơ sở đó, bạn sẽ có hệ thống chứng minh cho các giả thuyết trước đây của bạn. Các giả thuyết được chứng minh sẽ trở thành các định lý, cái mà bạn có thể sử dụng để chứng minh các giả thuyết 10 Quá trình lập luận quy nạp Quá trình lập luận suy diễn [...]... chúng ta gọi là định đề thực chất là các định đề và một vài mệnh đề của Euclide Để xây dựng một khung hợp lý cho hình học mà bạn đã học, bạn sẽ bắt đầu với những cơ sở của hình học Trong các bài tập, bạn sẽ thấy những tiền đề này là cơ sở cho 16 một số giả định và giả thuyết trước đây của bạn Bạn cũng sẽ sử dụng các định đề và tính chất này để cho thấy một số phát biểu trong hình học là những hệ quả hợp...khác, biến chúng thành các định lý, như vậy là tốt Bạn sẽ xây dựng một khung hợp lý để sử dụng cho những ý tưởng và giả thuyết quan trọng nhất từ hình học 1 Cơ sở cho lập luận logic trong hình học • Các định nghĩa và các thuật ngữ chưa được định nghĩa • Các tính chất của số học , đẳng thức và tương đẳng • Các tiên đề hình học • Các giả thuyết hình học đã được chứng minh trước đây (định lý) Bạn đã... chằng là bao nhiêu? Trong bài tập 28 và 29, tất cả các phép đo chiều dài được lấy đơn vị là mét 28 Điểm sai trong hình ảnh này là gì? 29 Tìm số đo góc x và y, và chiều dài a 30 Mỗi cung là một phần của một đường tròn với tâm của nó tại mỗi đỉnh của hình vuông Giả thiết : Mỗi ô vuông có chiều dài bên 1 đơn vị Tìm: Các diện tích phần bóng mờ 21 Bài 13.2: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC I Đặt vấn đề Một. .. PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC I Đặt vấn đề Một chứng minh trong hình học bao gồm một chuỗi các mệnh đề, bắt đầu với một bộ cơ sở cho trước và dẫn đến một kết luận hợp lý Mỗi mệnh đề sau từ một hoặc nhiều hơn các mệnh đề trước đó và được cung cấp bởi một lập luận Một lập luận của một mệnh đề phải từ một tập các cơ sở mà bạn đã xét trong bài học 13.1 Trong các chương trước, bạn thường chứng minh nhiều giả... đồ của một định lý cũng tương tự như một sơ đồ chứng minh Sự khác biệt ở đây là cây sơ đồ nhấn mạnh vào các cơ sở và tạo vết cho chúng để trở lại các định đề Chú ý, các định lý góc thứ ba được suy ra trực tiếp từ định lý tổng các góc trong một tam giác mà không sử dụng bất cứ định đề hay định lý nào khác Một định lý là hệ quả trực tiếp của một định lý khác đã được chứng minh thì được gọi là một hệ quả... đường trung trực) 2 Nếu một điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng thì nó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó (Định lý đảo về đường trung trực của một đoạn) 3 Nếu một tam giác là cân thì các góc ở đáy là bằng nhau (Định lý về tam giác cân) 4 Nếu hai góc trong một tam giác là bằng nhau thì tam giác đó là cân ( Định lý đảo về tam giác cân) 5 Nếu một điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nó nằm... có thể xây dựng được đúng một trung điểm trên một đoạn thẳng bất kỳ Định đề đường phân giác của một góc: Bạn có thể xây dựng được đúng một đường phân giác của một góc bất kỳ Định đề song song: Qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước, bạn có thể xây dựng được đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho Định đề vuông góc: Qua một điểm không nằm trên một đường thẳng cho trước,... các tính chất đó để giải các phương trình đại số Qúa trình giải một phương trình thực chất là một quá trình chứng minh bằng đại số rằng nghiệm mà bạn đưa ra là đúng Để đi đến một lời giải đúng, bạn phải đưa ra trong mỗi bước là một tính chất.Ví dụ như với tính chất cộng của một phương trình cho phép bạn cộng cùng một số vào cả hai bên của một phương trình tương đương VÍ DỤ: giải tìm x: 5x-12 = 3(x +... thường được gọi là các định đề Các định đề cần phải rất cơ bản Như các thuật ngữ chưa được định nghĩa, chúng sẽ rất có ích và dễ dàng cho mọi người cùng thống nhất vào đó, với ít cuộc tranh luận nhỏ Như bạn đã thực hiện công trình xây dựng hình học cơ bản trong lớp học này, bạn đã quan sát thấy một số "sự thật hiển nhiên " Bất cứ khi nào bạn vẽ một hình hoặc sử dụng một dòng phụ trợ, là bạn đang sử... nhau Kết nối Toán học Euclide đã viết 13 quyển sách về hình học phẳng và hình học không gian trong số nhiều chủ đề khác nhau Ông ấy đã bắt đầu với các định nghĩa, định đề và những “khái niệm chung” về các tính chất của đẳng thức Sau đó ông ấy viết hàng trăm mệnh đề, mà chúng ta sẽ gọi là các giả thuyết, và đã sử dụng các phép dựng hình dựa vào các định nghĩa, các định đề để chỉ ra rằng chúng là hợp lý . vụ sư phạm 3 Nhóm 11-Lớp 3A Đề tài: “ Discovering Geometry – Hình học là một hệ thống Toán học ” Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đăng Minh Phúc Hồ Thị Lan Thuyền Lê Thị Thu Thảo Trịnh. vụ sư phạm 3 Nhóm 11-Lớp 3A Đề tài: “ Discovering Geometry – Hình học là một hệ thống Toán học ” Giáo viên hướng dẫn: Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đăng Minh Phúc Hồ Thị Lan Thuyền Lê Thị Thu Thảo Trịnh. được dẫn dắt theo một trình tự hợp lí, giúp bạn đọc dễ hiểu và dễ nghiên cứu. Mở đầu là việc đặt vấn đề cho mỗi chủ đề, tiếp đó chúng tôi đưa ra các nội dung chính, các ví dụ kèm theo lời giải,