Phổ biến đề cương và thông báo các quy định của bộ Môn học, hàm số và hàm số trong kinh tế; giới hạn của dãy số. Phổ biến đề cương và thông báo các quy định của bộ Môn học, hàm số và hàm số trong kinh tế; giới hạn của dãy sốPhổ biến đề cương và thông báo các quy định của bộ Môn học, hàm số và hàm số trong kinh tế; giới hạn của dãy số
Trang 1BỘ MÔN TOÁN HỌC CHỦ BIÊN : NGUYỄN VĂN ĐẮC
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH (Toán I – II, dành cho khối ngành kinh tế)
Trang 2MÔN HỌC: TOÁN I - II (Giải tích)
- Số tín chỉ : 4 (3.1.0) - Số tiết : 60 tiết ; LT: 45 tiết ; BT: 15 tiết
- Chương trình đào tạo ngành: Dành cho các ngành kinh tế
- Đánh giá: Điểm quá trình : 40% Điểm thi kết thúc: 60% (thi cuối kỳ - hình thức thi: viết, 90 phút)
- Tài liệu chính thức:
+ James Stewart Calculus early vectors , Texas A & M University
+ Toán cao cấp (Nguyễn Đình Trí chủ biên) tập 2, tập 3
+ Toán cao cấp phần giải tích dành cho các nhóm ngành kinh tế của các trường kinh tế
LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY LÝ THUYẾT (Syllabus)
1 + Phổ biến đề cương và thông báo các quy định của Bộ môn về môn học
+ Hàm số: các hàm cơ bản và cách thiết lập hàm mới từ các hàm đã biết
4 + Đạo hàm và ý nghĩa trong kinh tế
+ Các quy tắc tính đạo hàm và bảng đạo hàm của các hàm sơ cấp cơ bản
+ Quy tắc L’Hopital để khử dạng vô định
5 + Vi phân của hàm số và ứng dụng- Các quy tắc tính vi phân
+ Đạo hàm cấp cao và vi phân cấp cao
+ Một số định lý về hàm khả vi
6 + Khai triên Taylor và ứng dụng
+ Ứng dụng đạo hàm trong việc khảo sát hàm số
+ Ứng dụng trong kinh tế: Giá trị cận biên, hệ số co giãn, quyết định tối ưu
Trang 39 + Hàm ẩn hai biến và đạo hàm riêng của hàm ẩn
+ Vi phân toàn phần cấp cao
+ Ứng dụng đạo hàm riêng trong kinh tế
10 + Cực trị tự do và ứng dụng: Khái niệm, cách tìm, ứng dụng trong kinh tế
11 + Cực trị có điều kiện ràng buộc
+ Cực trị trên miền đóng và bị chặn
+ Một số ví dụ trong kinh tế
12 + Hàm cầu Marshall và hàm cầu Hick
+ Kiểm tra giữa kỳ tại lớp lý thuyết
13 + Khái niệm nguyên hàm (Tích phân bất định)
15 + Tích phân suy rộng với cận vô hạn
+ Tích phân suy rộng với cận hữu hạn
+ Một số ví dụ về ứng dụng tích phân trong kinh tế
16 Tích phân hai lớp:
+ Khái niệm
+ Tính chất
+ Các cách tính
17 + Các khái niệm mở đầu về phương trình vi phân
+ Một số dạng phương trình vi phân cấp I: Phân ly biến số; thuần nhất; tuyến tính; Bernoulli
+ Một số tiêu chuẩn và dấu hiệu hội tụ của chuỗi dương
20 + Chuỗi đan dấu
+ Chuỗi có số hạng với dấu bất kỳ
21 + Chuỗi lũy thừa
+ Đạo hàm và tích phân chuỗi lũy thừa
+ Chuỗi taylor và Maclaurin
22 Ôn tập và giải đáp thắc mắc
Trang 4LỊCH TRÌNH GIẢNG DẠY BÀI TẬP (Syllabus)
1 Hàm số, giới hạn và sự liên tục của hàm số
2 Đạo hàm, vi phân hàm một biến và các ứng dụng
3 Hàm số hai biến, đạo hàm riêng, vi phân toàn phần, đạo hàm hàm hợp, hàm ẩn
4 Cực trị tự do, cực trị có điều kiện, giá trị lớn nhất nhỏ nhất và các ứng dụng
5 Hàm cầu Marshall, hàm cầu Hick Nguyên hàm, tích phân xác định, tích phân suy rộng
6 Tích phân hai lớp và phương trình vi phân
7 Chuỗi số, chuỗi hàm
CẤU TRÚC ĐỀ THI KẾT THÚC MÔN HỌC Môn học: TOÁN I - II (Giải tích, dành cho kinh tế) Hình thức thi: Tự luận - (Thời gian 90 phút)
Câu 1 (2 điểm) Giới hạn, hàm số và đạo hàm
+ Tính giới hạn
+ Hàm liên tục, gián đoạn, khả vi, hàm ngược
+ Ứng dụng của đạo hàm trong kinh tế
Câu 2 (2 điểm) Hàm nhiều biến
+ Tính đạo hàm riêng hàm 2 biến
+ Cực trị hàm 2 biến và ứng dụng trong kinh tế
Câu 3 (2 điểm) Tính tích phân
+ Tích phân 1 lớp
+ Tích phân 2 lớp
Câu 4 (2 điểm) Phương trình vi phân
+ Giải phương trình vi phân cấp 1
+ Giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 2, hệ số hằng số với vế phải đặc biệt
Câu 5 (2 điểm) Chuỗi
+ Tìm tổng của chuỗi; khảo sát sự hội tụ của chuỗi số
+ Tìm miền hội tụ của chuỗi luỹ thừa
+ Khai triển hàm thành chuỗi luỹ thừa
Trang 5Khái niệm hàm số xuất hiện khi có một đại lượng phụ thuộc vào một đại lượng khác
Ta xét các tình huống sau đây:
A Diện tích S của một đường tròn thì phụ thuộc vào bán kính r của nó, quy tắc kết nối giữa r với S
được cho bởi phương trình Mỗi số dương r được ấn định với một giá trị duy nhất của S, ta nói S là hàm của r
B Dân số thế giới P thì phụ thuộc vào thời gian t Bảng sau đây ghi lại
giá trị gần đúng của dân số thế giới P(t) tại thời điểm t
Chẳng hạn
t cho trước thì chỉ có duy nhất một giá trị P(t) tương ứng Ta nói P là
hàm của t
C Chi phí vận chuyển bưu phẩm C thì phụ thuộc vào cân nặng w của
bưu phẩm Mặc dù không có một công thức đơn giản xác lập mối quan
hệ của C theo w nhưng bưu điện vẫn có một quy tắc để xác định được
duy nhất một giá trị của C khi đã biết w Như thế, C là hàm của w
D Gia tốc chuyển động thẳng đứng a của bề mặt trái đất được đo bởi
máy ghi địa chấn trong một trận động đất là một hàm của thời gian t
Hình 1 là đồ thị được tạo ra bởi máy đo địa chấn trong suốt trận động
đất tại Los Angeles vào năm 1994
Hình 1
Với mỗi giá trị t cho trước, dựa vào đồ thị ta tìm được duy nhất một giá trị a tương ứng
Mỗi ví dụ trên mô tả một quy tắc, mà theo đó cứ mỗi giá trị được cho trước (r, t, w hoặc t) ta xác
định được duy nhất một số tương ứng (S, P, C hoặc a) Trong mỗi trường hợp đó ta nói số sau là hàm của số trước Tổng quát ta có định nghĩa
Trang 6Định nghĩa hàm một biến số
Cho D là một tập con khác của tập số thực
Một hàm f là một quy tắc ấn định mỗi số cho trước thuộc tập D với duy nhất một số, ký hiệu là
f (x), trong tập E
• D được gọi là tập xác định của f
• Số f(x) được gọi là giá trị của f tại x, đọc là “ f tại x ”
• Tập gồm các giá trị của f tại x,với x chạy khắp tập xác định, được gọi là tập giá trị của f
• Ký hiệu được dùng để biểu thị cho số bất kỳ trong tập xác định của f được gọi là biến độc
lập, ký hiệu dùng để biểu thị cho số bất kỳ trong tập giá trị của f thì được gọi là biến phụ thuộc Trong Ví dụ A, r là biến độc lập và S là biến phụ thuộc
Việc hình dung một hàm như một chiếc máy là việc rất có ích xem Hình 2
Hình 2 Mô hình chiếc máy cho hàm số
Nếu x nằm trong tập xác định của hàm f , khi biến đầu vào x được đưa vào máy thì nó được chấp nhận và máy sẽ tạo ra, theo quy tắc của f, “sản phẩm” là biến đầu ra f(x) Như thế, ta có thể
hình dung tập xác định là tập các biến đầu vào và tập giá trị là tập gồm các biến đầu ra
Một cách khác để hình dung về một hàm số là dùng biểu đồ mũi tên như Hình 3
Hình 3 Biểu đồ mũi tên cho hàm f
Mỗi mũi tên kết nối một số thuộc tập xác định với giá trị được ấn định cho nó theo quy tắc f Như thế, f(x) là số được ấn định cho x, f(a) được ấn định cho a, và cứ thế
Phương pháp phổ biến nhất để hình dung một hàm số là xét đồ thị của nó Nếu f là một hàm số
với tập xác định là D, thì đồ thị của nó là tập gồm các cặp số có thứ tự
,
(Lưu ý, đây chính là cặp biến đầu ra-đầu vào.) Nói khác đi, đồ thị của f là tập gồm các điểm (x, y) trên mặt phẳng tọa độ với y = f(x) và x thuộc tập xác định của f Đồ thị của hàm f cho ta một bức tranh tổng thể về đặc điểm của hàm số Bởi vì tung độ y của điểm (x,y) trên đồ thị là số sao cho
y = f(x) nên ta có thể thấy giá trị của hàm số là khoảng cách đại số từ điểm đó đến trục hoành (xem
Hình 4) Hình chiếu của đồ thị trên trục hoành chính là tập xác định và hình chiếu của nó trên trục tung là tập giá trị (xem Hình 5)
Hình 4 Hình 5
Trang 7VÍ DỤ 1 Đồ thị của hàm f được cho ở Hình 6
Hình 6
(a) Tìm giá trị của f(1) và f(5)
(b) Tìm tập xác định và tập giá trị của hàm f
Giải
(a) Từ Hình6, ta có điểm (1, 3) nằm trên đồ thị của hàm số, nên giá trị của hàm tại 1 là f(1) =
3 Khi x = 5, điểm nằm trên đồ thị tương ứng nằm phía dưới trục hoành và cách trục hoành
khoảng 0,7 đơn vị vì thế, ta ước đoán giá trị
(b) Hình chiếu của đồ thị hàm số trên trục hoành là [0, 7] và trục tung là [-2; 4] nên ta có Tập xác định là [0, 7] và tập giá trị là | ! 2 # # 4 $!2; 4&
VÍ DỤ 2 Cho hàm số 2! 5 ' 1 và ( ) 0, hãy tính *+,- *+ - theo a và h
Giải Trước tiên tính / ' ( bằng cách thay thế x trong công thức f(x) bởi a + h :
/ ' ( 2/' 4/( ' 2(! 5/ ! 5( ' 1 Thay vào biểu thức đã cho và đơn giản hóa, ta được
- trong Ví dụ 2, chẳng hạn ta sẽ xét nó ở bài 2, nó biểu thị tỷ lệ thay đổi trung
bình của hàm f giữa hai giá trị x = a và x = a + h
Đồ thị của một hàm số là một đường trong mặt phẳng tọa độ Vấn đề được đặt ra là một đường có đặc điểm như thế nào thì là đồ thị của một hàm số Để trả lời câu hỏi này, ta dùng tiêu chuẩn sau đây
TIÊU CHUẨN CÁC ĐƯỜNG THẲNG ĐỨNG
Một đường trong mặt phẳng xy là đồ thị của một hàm khi và chỉ khi không có đường thẳng
đứng nào cắt đường đó tại hai điểm phân biệt
Quan sát Hình sau
Đồ thị một hàm số Không là đồ thị hàm số
Nếu mỗi đường thẳng đứng x = a cắt đường đã cho tại duy nhất một điểm (a; b) (Hình bến trái), thì xác định một hàm f theo quy tắc f(a) = b Nhưng nếu tồn tại đường x = a cắt đồ thị tại quá hai điểm
Trang 8phân biệt(Hình bên phải), chẳng hạn là tại (a, b) và (a, c), thì đường đó không là đồ thị hàm số bởi
vì hàm số không thể ấn định hai giá trị khác nhau cho cung một số a
Biểu thị một hàm số Có bốn cách biểu thị:
• Bằng lời (dùng ngôn ngữ để mô tả)
• Bằng các con số(dùng bảng các giá trị)
• Bằng đồ thị
• Bằng đại số(biểu thị bằng một công thức hiện)
Nếu một hàm có thể biểu thị bằng nhiều cách thì ta sẽ dễ dàng hiểu biết về nó một cách sâu sắc, chẳng hạn như những hàm số ở phổ thông ta đều bắt đầu từ hàm cho bởi công thức rồi sau đó là xác định được đồ thị của nó Tuy nhiên, có những hàm số thì biểu thị bằng cách này là tiện sử dụng hơn
so với cách khác hoặc khó mà biểu thị bằng cách khác, chẳng hạn diện tích S = có thể biểu thị bằng đồ thị (một nửa của parabol) nhưng ở dạng đồ thị thì không tiện dùng Trong khi đó gia tốc chuyển động theo phương thẳng đứng của vỏ trái đất trong một trận động đất như Hình 1, thì khó có thể biểu thị bằng đại số
Trong ví dụ dưới đây, ta cho một hàm bằng cách dùng ngôn ngữ mô tả và yêu cầu biểu thị hàm
đó bằng đại số
VÍ DỤ 3 Một container hình hộp chữ nhật không có nắp phía trên với thể tích là 10m3 Chiều dài của đáy bằng hai lần chiều rộng Nguyên liệu để làm đáy là 10$ một m2; nguyên liệu làm các mặt bên là 6$ một m2 Giá nguyên liệu để làm chiếc container là một hàm của chiều rộng mặt đáy, hãy biểu thị hàm này bằng một công thức
Giải Đặt w là chiều rộng của mặt đáy, thì chiều dài của
mặt đáy là 2w; và đặt h là chiều cao của container
Diện tích của mặt đáy là 200 20 nên giá nguyên
liệu để làm mặt đáy là 1020 $
Hai mặt bên có diện tích là 20( và hai mặt bên còn lại
có diện tích là 0( nên giá nguyên liệu để làm các mặt
bên là 6$20( ' 220( 7
Giải
I Phân tích bài toán để đoán giá trị ¬ Cho là số dương nào đó Ta muốn tìm số ¬ sao cho: nếu
0 O | ! 3| O ¬ thì | ! 7| O Ta có ! 7 4 ! 5 ! 7 4 ! 3 Do đó, ta muốn: nếu 0 O | ! 3| O ¬ thì | ! 7| O , tức là
Theo định nghĩa, ta được limEr4x ! 5 7
Nhận xét: Lời giải cho ví dụ có giai đoạn suy đoán và chứng minh Suy đoán là giai đoạn phân tích để có được giá trị của ¬ sau đó là chứng minh một cách cẩn thận theo đúng phát biểu của định nghĩa
VÍ DỤ 16 Cho hàm số
®| T0 nếu | O 01 nếu | F 0S [Hàm số này được gọi là hàm Heaviside, đặt theo tên của một kỹ sư điện Oliver Heaviside(1850-
1925), nó được dùng để mô tả dòng điện bị ngắt tại t = 0]
Hãy xét sự tồn tại lim}?®|
Giải Chọn hai dãy W=W và §W !=W, ta thấy cả hai đều tiến đến 0 khi n tiến ra dương vô cực Thế
nhưng:lim ®W 1 và lim ®§W 0 Từ đó, theo định nghĩa lim}?®| là không tồn tại
Đồ thị hàm Heaviside Tuy nhiên, ta thấy rằng với mọi dãy W với W@ 0 và tiến đến 0 thì ta đều có lim ®W 1, ta nói
hàm này có giới hạn phải tại 0 là 1, ký hiệu là lim}?ª®| 1 Tương tự, với mọi dãy W với
WO 0 và tiến đến 0 thì ta đều có lim ®W 0, ta nói hàm này có giới hạn trái tại 0 là 0, ký hiệu
là lim}?¯®| ... phẳng tọa độ với y = f(x) x thuộc tập xác định f Đồ thị hàm f cho ta tranh tổng thể đặc điểm hàm số Bởi tung độ y điểm (x,y) đồ thị số cho
y = f(x) nên ta thấy giá trị hàm số khoảng... data-page="7">
VÍ DỤ Đồ thị hàm f cho Hình
Hình
(a) Tìm giá trị f(1) f(5)
(b) Tìm tập xác định tập giá trị hàm f
Giải
(a) Từ Hình6,... # 4 $!2; 4&
VÍ DỤ Cho hàm số 2! 5 '' ( ) 0, tính *+,- *+ - theo a h
Giải Trước tiên tính / '' ( cách