Định nghĩa. Số phức là một biểu thức có dạng , trong đó và là những số thực, và kí hiệu gọi là đơn vị ảo. Ta gọi là phần thức và là phần ảo của số phức . Ta thường kí hiệu: Ta kí hiệu tập số phức là .Vậy , trong đó là tập hợp tất cả các số thực.Nếu thì , khi đó là số thực.Nếu thì , khi đó được gọi là số thuần ảo.Chú ý. .Ví dụ. Cho số phức . Khi đó .Định nghĩa. Số phức được gọi là số phức liên hợp của số phức và được kí hiệu là .
Bài giảng Toán chuyên ngành BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP TUY HÒA KHOA GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN: TOÁN CHUYÊN NGÀNH (DÀNH CHO HỆ TÍN CHỈ) 1 Bài giảng Toán chuyên ngành Chương I. SỐ PHỨC 1.1. Định nghĩa Định nghĩa. Số phức là một biểu thức có dạng x iy+ , trong đó x và y là những số thực, và kí hiệu i gọi là đơn vị ảo. Ta gọi x là phần thức và y là phần ảo của số phức x iy+ . Ta thường kí hiệu: z x iy= + ( ) ( ) Re Re Im Im x z x iy y z x iy = = + = = + Ta kí hiệu tập số phức là £ . Vậy { } ,z x iy x y= = + ∈£ ¡ , trong đó ¡ là tập hợp tất cả các số thực. Nếu 0y = thì z x= , khi đó z là số thực. Nếu 0x = thì z iy= , khi đó z được gọi là số thuần ảo. Chú ý. 2 1i = − . Ví dụ. Cho số phức 2 7z i= − . Khi đó Re 2,Im 7z z= = − . Định nghĩa. Số phức x iy− được gọi là số phức liên hợp của số phức z x iy= + và được kí hiệu là z . Định nghĩa. Số phức ( ) x iy− − được gọi là số phức đối của số phức z x iy= + và được kí hiệu là z− . Định nghĩa. Hai số phức 1 1 1 z x iy= + và 2 2 2 z x iy= + được gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực bằng nhau và phần ảo bằng nhau, nghĩa là 1 2 1 2 ;x x y y= = , khi đó ta viết 1 2 z z= . 1.2. Các phép toán trên số phức 1. 2.1. Phép cộng a. Định nghĩa. Cho hai số phức 1 1 1 z x iy= + và 2 2 2 z x iy= + . Ta gọi số phức ( ) ( ) 1 2 1 2 z x x i y y= + + + là tổng của hai số phức 1 z và 2 z . Khi đó ta viết 1 2 z z z= + . b. Tính chất. 1 2 2 1 z z z z+ = + ; ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 z z z z z z+ + = + + . 1.2.2. Phép trừ Định nghĩa. Cho hai số phức 1 1 1 z x iy= + và 2 2 2 z x iy= + . Ta gọi số phức z x iy= + là hiệu của hai số phức 1 z và 2 z nếu 2 1 z z z+ = . Khi đó theo định nghĩa của z ta có: 2 1 2 1 ;x x x y y y+ = + = . Vậy 1 2 1 2 ;x x x y y y= − = − và ( ) ( ) 1 2 1 2 z x x i y y= − + − . Ta kí hiệu số phức hiệu là 1 2 z z z= − . Từ định nghĩa ta thấy rằng ( ) 1 2 1 2 z z z z− = + − . 1.2.3. Phép nhân 2 Bài giảng Toán chuyên ngành a. Định nghĩa. Cho hai số phức 1 1 1 z x iy= + và 2 2 2 z x iy= + . Ta gọi số phức ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 z x x y y i x y x y= − + + là tích của số phức 1 z với số phức 2 z . Khi đó ta viết 1 2 .z z z= . Ví dụ. Cho 1 2 2 5 ; 4 8 .z i z i= − = − + Tính 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , . , .z z z z z z z z z z+ + + . Giải: Ta có: 2 4 8z i= − − . Do đó ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 4 5 8 2 3 2 4 5 8 6 13 2 4 5 8 2 13 . 2 5 . 4 8 8 40 16 20 48 32 z z i i z z i i z z i i z z i i i i i + = + − + − + = − + − = − − + − − = − + = + − + − − = − − = − − + = − + + + = − + b. Tính chất ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 . . . . .( . ) . . . 1 . .0 0. 0 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z = = + = + − = − = = 1.2.4. Phép chia Định nghĩa. Cho hai số phức 1 1 1 z x iy= + và 2 2 2 0z x iy= + ≠ . Ta gọi số phức z x iy= + là thương của hai số phức 1 z và 2 z nếu 1 2 .z z z= và kí hiệu là 1 2 z z . Khi đó, ta có: 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . . z x x y y x y x y z z z i z x y x y z z + − = = + = + + . Ví dụ: 2 2 2 2 2 5 2.1 5.( 1) 1.5 2.( 1) 3 7 1 1 1 1 1 2 2 i i i i + + − − − − = + = + − + + . Thực tế ta tiến hành chia như sau: 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 . . . z z z z z z z z z = = . Ví dụ: Thực hiện phép chia sau: (2 5 ) :(1 )i i+ − . Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 1 2 5 3 7 3 7 1 1 1 2 2 2 i i i i i i i i + + + − + − = = = + − − + . 1.3. Mặt phẳng phức Cho z x iy= + ∈£ . Mỗi số phức z x iy= + được đồng nhất với điểm ( ) 2 ,x y ∈¡ . Vậy 2 ≡£ ¡ . Khi đó mặt phẳng 0x y được gọi là mặt phẳng phức. 0x : trục thực 3 Bài giảng Toán chuyên ngành 0y : trục ảo Vậy ( ) 2 ,x iy x y+ ≡ ∈¡ . 1.4. Môđun và argument của số phức 1.4.1. Mô đun của số phức z Giả sử z x iy= + . Ta gọi 2 2 x y+ là môđun của số phức z x iy= + . Kí hiệu: z . Vậy 2 2 z x y= + . Ví dụ. Cho 2 3z i= + . Khi đó 2 2 2 3 13z = + = . 1.4.2. Argument của số phức z Góc lượng giác ( ) 0 ,0x z uur uur xác định sai khác ( ) 2k k π ∈¢ được gọi là argument của z và kí hiệu là Argz . Trong số các trị của Argz với 0z ≠ luôn luôn có một trị thuộc ( ] , π π − mà ta kí hiệu là arg z . Vậy arg z π π − < ≤ và { } rg arg 2 ,A z z k k π = + ∈¢ . Để tìm arg z , ta dựa vào công thức sau: Với 0x ≠ , ta có ar , 0 arg ar , 0, 0 ar , 0, 0 y ctg x x y z ctg x y x y ctg x y x π π > = + < ≥ − + < < Với 0x = , ta có , 0 2 arg , 0 2 y z y π π > = − < 1.5. Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức 1.5.1. Dạng lượng giác 4 Giả sử 2 2 r x y= + : môđun của z , Argz ϕ = : argument của z . Ta có cos , sinx r y r ϕ ϕ = = ( ) cos sinz x iy r i ϕ ϕ ⇒ = + = + : gọi là dạng lượng giác của số phức z . * Vậy để tìm dạng lượng giác của một số phức z x iy= + , ta cần tính: + 2 2 r x y z= + = + arg z ( ) os(arg ) isin(arg )z r c z z⇒ = + . r ϕ x y 0 x y Bài giảng Toán chuyên ngành Ví dụ. Cho số phức 1z i = + . Hãy viết số phức z dưới dạng lượng giác. Giải: 2 2 1 1 2z = + = ; arg ar . 4 y z ctg x π = = Vậy 1 2 os isin . 4 4 z i c π π = + = + ÷ 1.5.2. Dạng mũ Giả sử số phức z có dạng lượng giác ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + . Khi đó dạng mũ của số phức z là . i z r e ϕ = . Ví dụ. Hãy viết dạng mũ cả số phức 1z i= − − . Giải: Dạng lượng giác của số phức z là 3 3 2 os .sin 4 4 z c i π π = − + − ÷ ÷ ÷ . Do đó dạng mũ của z là 3 4 2. i z e π − = . 1.6. Phép khai căn một số phức 1.6.1. Phép lũy thừa của số phức Định lí. Giả sử ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + . Khi đó, ( ) cos sin n n z r n i n ϕ ϕ = + . Từ định lí trên ta suy ra: nếu . i z r e ϕ = thì . n n in z r e ϕ = . Ví dụ. Cho số phức 1 3z i= − + . Tính 8 z . Giải: Ta có ( ) ( ) 2 2 8 8 8 8 8 8 2 1 3 2; arg . 3 2 2 2 os .sin 3 3 8.2 8.2 8.2 8.2 2 os .sin 2 os .sin . 3 3 3 3 1 3 1 3 2 2 . 2 2 2 2 r z z z c i z c i c i z i i π π π π π π π = = − + = = ⇒ = + ÷ ⇒ = + = + ÷ ÷ ⇒ = − + − = − + ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 1.6.2. Phép khai căn của số phức Cho số phức z ∈£ và n∈¥ . Định nghĩa. Căn bậc n của số phức z kí hiệu n z là số phức w sao cho n w z= . Ví dụ. 1 có hai giá trị là 1 và 1− vì ( ) ( ) 1.1 1; 1 1 1.= − − = Chú ý. a. 0 0 n = . 5 Bài giảng Toán chuyên ngành b. Nếu 0z ≠ thì n z có n giá trị. * Cho ( ) cos sinz r i ϕ ϕ = + . Tìm n z . Giả sử w n z = , tức là n w z= với ( ) os +isinw c ρ θ θ = . Khi đó ( ) osn +isinn osn sinn n n n n w c c i ρ θ θ ρ θ ρ θ = = + . Ta viết z dưới dạng ( ) ( ) cos 2 sin 2z r k ir k ϕ π ϕ π = + + + . Suy ra ( ) ( ) osn sinn cos 2 sin 2 n n c i r k ir k ρ θ ρ θ ϕ π ϕ π + = + + + . Do đó ( ) ( ) [ ] osn cos 2 2 n 2 sinn sin 2 , 0, 1 . n n n n r c r k r k k r k k n n ρ ρ θ ϕ π ρ ϕ π θ ϕ π ρ θ ϕ π θ = = + = ⇒ ⇒ + = + = + = ∈ − Vậy 2 2 os isin , 0,1, , 1 n n k k z r c k n n n ϕ π ϕ π + + = + = − ÷ . Ví dụ. Tính i . Giải: Ta có 0 1.i i = + . Dạng lượng giác của số phức i là: os isin 2 2 i c π π = + . Do đó 2 2 5 5 2 2 os isin , 0,1 os isin ; os isin . 2 2 4 4 4 4 k k i c k c c π π π π π π π π + + = + = = + + 1.7.Tập con và miền trong mặt phẳng phức 1.7.1. Đường cong trong £ . Định nghĩa. Đường cong trong £ là một ánh xạ liên tục [ ] : ,a b γ ⊂ →¡ £ cho bởi biểu thức ( ) ( ) ( ) [ ] ; ,z t x t iy t t a b γ = = + ∈ (3.1) Ví dụ: Đường tròn tâm 0 bán kính r có phương trình: ( ) ( ) ( ) [ ] cos sin , 0,2z t x t iy t r t ir t t γ π = = + = + ∈ Hoặc ,0 2 it z re t π = ≤ ≤ . Định nghĩa. Đường cong γ được gọi là đường cong Jordan nếu γ là đơn ánh. 6 Bài giảng Toán chuyên ngành Đường cong không Jordan Đường cong Jordan Định nghĩa. Đường cong γ được gọi là đường cong kín nếu ( ) ( ) a b γ γ = . Ví dụ: đường tròn là đường cong kín. Định nghĩa. Đường cong Jordan γ thoả mãn ( ) ( ) a b γ γ = được gọi là chu tuyến. 1.7.2. Tập liên thông và miền trong £ Định nghĩa. Tập D ⊂ £ được gọi là mở nếu mọi z D∈ đều có một hình tròn tâm z nằm trọn trong D . Định nghĩa. Tập D ⊂ £ được gọi là liên thông nếu 1 2 ,z z D∀ ∈ , tồn tại đường cong D γ ⊂ nối 1 2 ,z z . Định nghĩa. Tập D ⊂ £ được gọi là miền nếu D mở và liên thông. Định nghĩa. D là miền n − liên nếu biên của nó gồm n thành phần. Ví dụ: Hình tròn là miền đơn liên, hình vành khăn { } :1 2D z z γ = ∈ ≤ ≤ là miền nhị liên. Bài tập: 1. Cho 3 6 1 2 8 , 2 i i z e z e π π = = . Tính: a. 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 , , , , , , . , z z z z z z z z z z z z + − . b. 4 6 5 3 1 2 1 2 , , ,z z z z . 2. Tính và viết dưới dạng đại số: ( ) 5 6 2 1 . . 1 3 . 4 3 1 i i a b i c i i − + + + ÷ − − 3. Cho 1z i= + . a. Tìm ,argzz . b. Biểu diễn z dưới dạng lượng giác, dạng mũ. c. Tính 7 z . d. Tính 4 z . 4. Viết dạng lượng giác và dạng mũ các số: . 5 .1 3 . 2 2 . 3a b i c i d i− − − + − − . 7 Bài giảng Toán chuyên ngành 5. Giải các phương trình sau trên £ : a. 2 1 0z z+ + = b. 2 2 10 0z z− + = c. 5 1z i= + . 8 Bài giảng Toán chuyên ngành Chương II. HÀM SỐ BIẾN SỐ PHỨC 2.1. Hàm biến phức 2.1.1. Khái niệm hàm biến phức Định nghĩa. Cho z ∈£ . Giả sử z r= . Nếu r = +∞ thì số phức z được gọi là số phức ∞ . Khi đó, tập { } = ∪ ∞£ £ được gọi là tập số phức mở rộng. Định nghĩa. Giả sử D ⊂ £ . Một ánh xạ : w f D z → £ a được gọi là một hàm số phức xác định trên D . D : miền xác định của f , ( ) f D : miền giá trị của f . Vì w và z là những số phức nên ta có thể biểu diễn như sau: ,z x iy w u iv= + = + Khi đó hàm số ( ) w f z= trở thành ( ) ( ) ( ) , ,w f z u x y iv x y= = + trong đó ( ) ( ) ( ) ( ) , R ef z ; , Imf z .u x y v x y= = Như vậy việc cho hàm số ( ) f z của một biến phức tương đương với việc cho hai hàm số của hai biến số thực ,x y là ( ) ( ) , , ,u x y v x y . Ví dụ. ( ) 2 w f z z= = , z x iy= + ∈£ . MXĐ: £ . Ta có ( ) 2 2 2 .2z x iy z x y i xy= + ⇒ = − + . Đặt ( ) 2 2 , :u x y x y= − phần thực của ( ) f z ( ) , 2 :v x y xy= phần ảo của ( ) f z . Ví dụ. Cho ( ) . n w f z z= = Giả sử ( ) os +isinz x iy r c ϕ ϕ = + = . Khi đó, ( ) n w z osn +isinn n r c ϕ ϕ = = . Do đó Re w cos ; Im w = sin n n r n r n ϕ ϕ = . 2.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm biến phức 2.2.1. Giới hạn của hàm số phức a. Định nghĩa Cho hàm số ( ) f z xác định trong lân cận của điểm 0 z , có thể trừ 0 z . Số A∈£ được gọi là giới hạn của f khi 0 z z→ nếu 0, 0, z D ε δ ∀ > ∃ > ∀ ∈ mà 0 0 z z δ < − < ta có ( ) f z A ε − < . 9 Bài giảng Toán chuyên ngành Kí hiệu ( ) 0 lim z z f z A → = hay ( ) f z A→ khi 0 z z→ . b. Tính chất + Giới hạn (nếu có) của f khi 0 z z→ là duy nhất. + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 lim lim , lim lim . . lim , 0 z z z z z z z z z z f g z A B f z A g z B f g z A B f A z g z g B → → → → → ∃ ± = ± ∃ = = ⇒ ∃ = = ≠ ÷ 2.2.2. Tính liên tục của hàm số phức Định nghĩa. :f D → £ được gọi là liên tục tại 0 z D∈ nếu ( ) ( ) 0 0 lim z z f z f z → = . Định nghĩa. f được gọi là liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi z D∈ . Ví dụ. Hàm số ( ) 2 f z z= liên tục trên tập £ . Thật vậy, lấy điểm 0 z ∈£ tùy ý. Khi đó, ta có ( ) ( ) 2 2 0 0 0 z z z z z z− = − + . Suy ra ( ) 2 2 0 0 0 z z z z z z− ≤ − + . Ta xét hình tròn { } B z z r= ∈ ≤£ sao cho 0 ,z z B∈ . Khi đó 2 2 0 0 .2z z z z r− ≤ − . Chọn 2r ε δ < . Khi đó, 2 2 0 0 0, : ,z z z z ε δ δ ε ∀ > ∃ ∀ − < − < . Do đó f liên tục tại 0 z . Vậy f liên tục trên £ . 2.3. Hàm khả vi và điều kiện Cauchy-Riemann 2.3.1. Đạo hàm a. Định nghĩa. Cho 0 : ( ), ,f D D z D z→ ⊂ ∈ ∆£ £ đủ nhỏ sao cho 0 z z z D= + ∆ ∈ . Hàm f được gọi là £ -khả vi (hay khả vi theo nghĩa phức) tại 0 z nếu tồn tại giới hạn ( ) ( ) 0 0 0 lim z f z z f z z ∆ → + ∆ − ∆ và giới hạn này được gọi là đạo hàm của f tại 0 z , kí hiệu ( ) 0 'f z . Hàm f được gọi là £ - khả vi trên D nếu f là khả vi tại mọi z D∈ . Ví dụ. Hàm ( ) 2 f z z= £ - khả vi tại mọi z ∈£ . Thật vậy, Lấy điểm z ∈£ bất kì. Xét ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 lim lim 2 z z f z z f z z z z z z z ∆ → ∆ → + ∆ − +∆ − = = ∆ ∆ . Vậy ( ) 2f z z ′ = . 2.3.2. Các tính chất của đạo hàm Nếu ( ) f z và ( ) g z là −£ khả vi tại 0 z thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , . , 0 f z f z g z f z g z g z g z α β + ≠ cũng là −£ khả vi tại 0 z với mọi , α β ∈£ và 10 [...]... ) = y ′′ ( 0 ) = 0 34 Bài giảng Toán chuyên ngành e y′′ ( t ) − 4 y ′ ( t ) + 3 y ( t ) = 0 với y ( 0 ) = 0, y′ ( 0 ) = 10 f y′′ ( t ) + 2 y′ ( t ) + 2 y ( t ) = 2 + 2t với y ( 0 ) = 0, y′ ( 0 ) = 1 2 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình: y ′′ ( t ) − 2 y ′ ( t ) + 5 y ( t ) = et cos2t 35 Bài giảng Toán chuyên ngành MỤC LỤC Chương I Số phức 1 1.1 Định nghĩa 1 1.2 Các phép toán 1 1.3 Mặt phẳng phức... i ; γ dz c Tính I = ∫ z , γ là cung tròn đi từ điểm z = − a đến z = a, a > 0 γ 18 Bài giảng Toán chuyên ngành Chương IV PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE 4.1 Khái niệm phép biến đổi Laplace 4.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa Ta gọi hàm f ( t ) của biến số thực t là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: 19 Bài giảng Toán chuyên ngành a f ( t ) liên tục từng khúc khi t ≥ 0 st b Tồn tại M > 0, s0 ≥ 0 sao cho với... ta suy ra 3 1 1 g ( t ) = t sin t + tcost − sin t 2 2 2 1 1 3 f ( t ) = et g ( t ) = et t sin t + tcost − sin t 2 2 2 BẢNG ĐỐI CHIẾU GỐC ẢNH 30 Bài giảng Toán chuyên ngành 4 3 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace 31 Bài giảng Toán chuyên ngành Trong phần này, ta chỉ xét ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải các phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số Giả sử cần... = x + iy, z = x − iy ⇒x= z+z z−z ,y= 2 2i 13 Bài giảng Toán chuyên ngành Thay vào biểu thức đã cho của hàm f ta được hàm cần tìm Chương III TÍCH PHÂN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC 3.1 Tích phân của hàm phức 3.1.1 Định nghĩa Cho γ là đường cong có phương trình γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) ; t ∈ [ a, b ] , f ( z ) là hàm số xác định trên γ 14 Bài giảng Toán chuyên ngành Ta chia đoạn [ a, b ] thành n phần bởi... 2 ) 2 ⇒ y ( t ) = L−1 { Y ( p ) } = e − t − e −2t Bài tập Bài 1 Các hàm số sau có phải là hàm gốc không? 0 , t < 0 a f ( t ) = 1 t − 3 ,t > 0 0 , t < 0 c f ( t ) = t 2 e , t > 0 0 , t < 0 b f ( t ) = 5t e , t > 0 0 , t < 0 d f ( t ) = 3 2t t e , t > 0 Bài 2 Tìm biến đổi Laplace của các hàm số sau: 33 Bài giảng Toán chuyên ngành t2 t4 a.1 − t + − 2 4 d cos ( ωt + ϕ ) b t 2... sin t và L 2 = cos t p + 1 p + 1 L { cos t} = Ví dụ Tính L { ch ( at ) } , L { sh ( at ) } Ta có 22 Bài giảng Toán chuyên ngành e at + e − at 1 at 1 − at ch ( at ) = = e + e 2 2 2 at − at e −e 1 1 sh ( at ) = = e at − e − at 2 2 2 Sử dụng công thức (4.3) và tính chất tuyến tính của toán tử Laplace, ta được 1 1 1 1 1 1 p L { e at } + L { e − at } = × + × = 2 2 2 2 p − a 2 p + a p − a2 1 1 1... là hàm chỉnh hình trong miền D , γ là một chu tuyến bất kì trong D , z0 ∈ Dγ ⊂ D Khi đó f ( z0 ) = f ( z) 1 Ñz − z0 dz ∫ 2π i λ (3.7) trong đó Dγ là phần mặt phẳng được giới hạn bởi γ 17 Bài giảng Toán chuyên ngành Ví dụ Tính I = Ñz ∫ z − i =1 dz +1 2 Giải: 2 2 2 Ta có 1 + z = z − i = ( z − i ) ( z + i ) Do đó I= Ñz ∫ z −i =1 ( 1/ ( z + i ) ) dz 1 1 Ñ ( z + i ) ( z − i ) = Ñ ( z − i ) dz = 2π if... ( cosy+isiny ) = e x cosy +i e xsiny { 123 Giả sử v ( x, y ) u ( x, y ) u ( x, y ) = e x cosy ⇒ u , v là ¡ 2 -khả vi tại mọi z0 ∈ £ x v ( x, y ) = e sin y Hơn nữa, ta cũng có 11 Bài giảng Toán chuyên ngành ∂u = e x cosy ∂x ∂u ∂v = ⇒ ∂v x ∂x ∂y = e cosy ∂y ∂u = −e x sin y ∂v ∂y ∂u =− ⇒ ∂y ∂x ∂v = e x sin y ∂x f thỏa mãn điều kiện Cauchy – Rieman tại mọi z0 ∈ £ Suy... ( t ) gọi là phép biến đổi Laplace ngược của hàm F ( p ) và kí −1 • hiệu là f ( t ) = L { F ( p ) } hay f ( t ) =• F ( p ) −1 Tóm lại: F ( p ) = L { f ( t ) } ⇔ f ( t ) = L { F ( p ) } 20 Bài giảng Toán chuyên ngành Chú ý ( ) L−1 L { f ( t ) } = f ( t ) ( ) L L−1 { F ( p ) } = F ( p ) Định lý (Điều kiện để tồn tại ảnh) Nếu f ( t ) là hàm gốc với số mũ tăng s0 thì F ( p ) hội tụ trong miền Re p > s0... Tìm ảnh của f ( t ) = t Ta có L { t} = +∞ ∫ t.e 0 − pt t.e− pt dt = p Khi t → +∞ thì e Vậy − pt +∞ 0 1 + p +∞ ∫e 0 − pt t.e− pt dt = p → 0 ; khi t → 0 thì e − pt +∞ 0 e− pt − 2 p → 1 21 +∞ 0 Bài giảng Toán chuyên ngành 1 với Re p > 0 p2 −1 1 Suy ra L 2 = t p n Ví dụ Tìm ảnh của f ( t ) = t L { t} = (4.4) Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh được L{ t n} = n! với Re p > 0 p n +1 (4.5)