Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB với 1.. Biết các mặt phẳng SHC và SHD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD và góc giữa mặt phẳng SCD và ABCD bằng 600
Trang 1Phương pháp:
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau:
+ Xác định giao tuyến ∆ =( )P ∩( )Q
+ Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥ ∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!)
+ Xác định các đoạn giao tuyến thành phần: ( ) ( ) (( ); ( )) ( );
( ) ( )
Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a; AD = 3a
Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng ABCD là điểm H thuộc cạnh AB với 1
2
=
AH HB Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 Tính góc giữa
a) SD và (ABCD)
b) (SAB) và (SAC)
Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD=120 0 Gọi H là trung
điểm của OA Biết các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc giữa mặt
phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 Tính góc giữa
a) SD và AC
b) (SBC) và (ABCD)
c) AC và (SAD)
Ví dụ 3 Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC Gọi I, J lần lượt là
trung điểm AB, BC Tính góc của 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)
Hướng dẫn giải:
Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = AC ⇒ ∆ABC là tam
giác đều
Trong ∆ABC, gọi H là giao điểm của SJ và CI, khi đó H
là trọng tâm, đồng thời là trực tâm ∆ABC đều
Ta có, (SAJ) ∩ (SCI) = SH Để xác định góc giữa hai mặt
phẳng (SAJ) và (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vuông góc với
SH
Lại có, SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒
SA ⊥ BC, (2)
Từ (1) và (2) ta được BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH, (*)
Tương tự, ta cũng có
Hay AB ⊥ SH, (**)
Từ (*) và (**) ta được SH ⊥ (ABC)
Tài liệu bài giảng:
04 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Mà ( ) ( ) (( ),( )) (, )
Vậy ((SAJ),(SCI))=(AJ CI, )=CHJ=600
Ví dụ 4 Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy
b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy
Hướng dẫn giải:
Giả sử hình chóp tam giác đều là SABC Do đặc tính của hình
chóp tam giác đều tất cả cạnh bên bằng nhau, tất cả cạnh đáy
bằng nhau Từ đó SA = SB = SC = 2a và ABC là tam giác đều
cạnh 3a
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) Theo tính
chất đường xiên và hình chiếu, vì SA = SB = SC nên HA =
HB = HC ⇒ H là trọng tâm của ∆ABC
a) S.ABC là chóp tam giác đều nên các cạnh bên nghiêng đều
với đáy, ta chỉ cần tính góc giữa SA và (ABC)
A ∈ (ABC) nên hình chiếu của A xuống (ABC) là chính nó Do
SH ⊥ (ABC) nên H là hình chiếu của S xuống (ABC) Khi đó,
HA là hình chiếu của SA lên (ABC)
Suy ra, (SA ABC,( ))=(SA,HA)=SAH=α
Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AI là trung tuyến của
c
,( ) =30
SA ABC
b) Tương tự, các mặt bên nghiêng đều với đáy nên ở đây ta tìm góc giữa (SBC) và (ABCD)
Ta có (SBC) ∩ (ABCD) = BC
⊥
Lại có ( ) ( ) (( ),( )) (, ) β
2 2 2
a
3 2
Vậy góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp là β arctan 2 3
3
Ví dụ 5 Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng SA=a 3 và vuông góc với (ABCD) Tính góc giữa các
mặt phẳng sau:
a) (SAB) và (ABC)
b) (SBD) và (ABD)
c) (SAB) và (SCD)
Hướng dẫn giải:
Trang 3a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD trong hình vuông ABCD ta có 1 2
Khi đó, (SAB) ∩ (ABC) = AB
⊥
b) (SBD) ∩ (ABD) = BD
⊥
Xét tam giác vuông SOA ta có: tan S 3 6 (( ),( )) arctan 6
2 2
c) (SAB) ∩ (SCD) = Sx // AB // CD Mà AB ⊥ (SAD) ⇒ Sx ⊥ (SAD)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=4 ;a AD=4a 3 Tam giác SAB
vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Biết rằng SA = 2a Gọi I là trung điểm của BC
Tính góc giữa
Bài 2 Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và SA vuông góc với (ABCD) Tính SA theo a để góc giữa
(SBC) và (SCD) bằng 600
Đ/s: SA = a
Bài 3 Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và 3
3
=a
OB , dựng SO ⊥ (ABCD) và 6
3
= a
minh rằng:
90
=
