Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95 Ví dụ 1.. Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất.. Tìm toạ độ điểm M thuộc đường
Trang 1Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Ví dụ 1 Cho đường thẳng : 1 1
−
x y z
d Tìm điểm M trên d thỏa mãn
a) MA= 3; với (2; 0;1)A
6
=
MA
MB với (2; 0;1); (2; 1;1)A B −
d) d M( ; ( )P )=2, với (P): x + 2y + 2z – 1 = 0
Đ/s: a) M(3; 1; 0) b) M(3; 1; 1) c) M(1; –1; –2)
Ví dụ 2 Cho đường thẳng : 1
2
=
= +
=
x t
d y t
z t
Tìm điểm M trên d thỏa mãn
2
=
MAB
S với (1; 0;3); (2; 1;1)A B −
2
∆ =
+
∆ x= =y z
Đ/s: a) M(1; 2; 2) b) M(–1; 0; –2)
Ví dụ 3 Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng : 3 1
−
d và hai điểm A(2; −1; 1),
B(0; 1: −2) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) sao cho tam giác ABM có diện tích nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
+) Đường thẳng d có phương trình tham số : 3
1 2
=
= −
= − +
x t
d y t
+) Gọi M là điểm cần tìm Do Nếu M thuộc d thì M nên M t( ;3− − +t; 1 2 ).t
+) Diện tích tam giác ABM được tính bởi 1 ;
2
=
BM t t t
= = + + + + = + + ≥
ABM
Vậy min 34
2
=
S khi t= −5⇒M( 5;8; 11).− −
Ví dụ 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 5; 0), B(3; 3; 6) và đường thẳng
:
−
Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ để tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
+) Gọi M∈∆⇒M(2t−1;1−t; 2 ).t
10 BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
AM BM
BM t t t
(2t 24;8t 12; 2t 12)
+) Vậy min 1547
6
=
Ví dụ 5 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(5; 8; −11), B(3; 5; −4), C(2; 1; −6) và đường
− = − = −
d Tìm điểm M thuộc (d) sao cho MA MB−−MC
đạt giá trị nhỏ nhất
Hướng dẫn giải:
Điểm M thuộc d nên M(2t + 1;2 + 2t;1 + t)
Ta có
2 4; 2 6; 12
2 1; 2 1; 7
( ) (2 )2 2 2 10 2 53 53
Dấu đẳng thức xảy ra khi 10 11; 2; 1
= − ⇒ = − − −
Ví dụ 6 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho cho mặt phẳng ( )P :x−2y+2z− =1 0 và các đường
− Tìm điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho MN song song với (P) và đường thẳng MN cách (P) một khoảng bằng 2
Ví dụ 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường( ) :1
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
( )P : –x y+ +z 2012=0 độ dài đoạn MN bằng 2
Hướng dẫn giải:
1
2
; ; 2
2 ' 1; ' ; ' 2 1
1 2 '; ';1 '
2
'
t t
t t t
MN n t t t t t t
( ) 2
0
0; 0; 0 , ; ; 2
7 7 7 '
7
=
= −
= −
t
t
Ví dụ 8 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường( ) :1 1 4
− = = +
−
1
2
= − +
= − −
= − +
x t
z t
Trang 3
Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
( )P : x+2y+ + =z 1 0 và MN = 11
Đ/s: M(1; 0; 4),− N( 2;1;3).−
Ví dụ 9 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường( ) :1 1 2 1
− = − = +
−
2 3
4
= +
= −
= − +
x t
d y t
z t
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho đường thẳng MN song song với mặt phẳng
( )P : x+ + + =y z 19 0 và MN =2 6
Ví dụ 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1
1 ( ) :
2
= +
=
= −
x t
d y t
z t
và ( 2) : 1
−
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng với A(3; −4; 0)
Đ/s: 4; ' 3
7
= − =
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1
1
3
= +
= −
= +
x t
d y t
z t
và ( 2) : 2 1
− = − =
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho A, M, N thẳng hàng với A(2; −2; 3)
Đ/s: M(3; 4;5),− N(1; 0;1)
Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường 1
1 2 ( ) :
1
= +
=
= −
x t
d y t
z t
và ( 2) : 2 1
+ = = +
−
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d1 và N thuộc d2 sao cho ∆AMN đều, với A(3; 0; 1)
−
và hai mặt phẳng ( ) : 3P x+ + − =y 5z 10 0; ( ) : 5Q x− − + =y 3z 8 0 Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho d M( ; ( )P )=3d M Q( ; ( ) )
Đ/s: (1; 2; 7), 59 28 113; ;
29 29 29
+ = − = +
−
d Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho diện
tích tam giác MAB bằng 3 5 biết ( 2;1;1), ( 3; 1; 2) A − B − −
Đ/s: M( 2;1; 5),− − M( 14; 35;19)− −
1 2
= − −
= +
x y z
z t
a) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng trên
b) Tìm các điểm A thuộc d1, B thuộc d2 sao cho đường thẳng AB song song với (P): x – y + z – 3 = 0 và
2 2
=
AB
Trang 4Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng Facebook: LyHung95
Đ/s: A(1; 1; 2), B(1; –1; 0) hoặc 3; 3; 6 , 13 3 10; ;
− = − = +
−
d điểm M(x M ; y M ; z M) sao cho
a) F =x M2 +y M2 +z M2 nhỏ nhất
b) Khoảng cách từ M đến (P): x + y + 2z – 3 = 0 bằng 3
Đ/s: a) M(1; –1; –1)
d Tìm điểm M thuộc d sao cho
MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất
Đ/s: 3 12 54; ;
11 11 11
−
M