SA vuông góc với đáy ABCD và góc giữa mặt phẳng SCD và ABCD bằng 600.. Biết các mặt phẳng SHC và SHD cùng vuông góc với mặt phẳng ABCD và góc giữa mặt phẳng SCD và ABCD bằng 600.. Để xác
Trang 1LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Phương pháp giải:
Để xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) ta thực hiện như sau:
+) Xác định giao tuyến ∆ =( )P ∩( )Q
+) Tìm mặt phẳng trung gian (R) mà (R) ⊥∆, (Đây là bước quan trọng nhất nhé!)
a R P
P Q a b
b R Q
Ví dụ 1 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a; AD = 3a SA vuông góc với đáy (ABCD) và góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 Tính góc giữa
a) (SAC) và (SCD) b) (SAB) và (SBC) c) (SBC) và (SCD)
Hướng dẫn:
a) Kẻ DH ⊥SC DE; ⊥ AC⇒sinEHD
; / / 90
c) Kẻ DH ⊥SC DE; ⊥ AC F; =DE∩BC⇒DHF
Để tính
2 2 2
2 2 2
:
⇒
DH
DH SD DC DHF DF
BC
HF C HF CH CF CH CF C
SC
Ví dụ 2 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = BC = 2a; AD
2
=
AH HB Biết góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 Tính góc giữa
a) SD và (ABCD) b) (SAB) và (SAC)
Ví dụ 3 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, BAD=120 0 Gọi H là trung điểm của OA Biết các mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và góc giữa mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 600 Tính góc giữa
a) (SBC) và (ABCD) b) (SAC) và (SCD)
Ví dụ 4 [ĐVH]: Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC Gọi I, J lần lượt là trung điểm AB, BC Tính góc của 2 mặt phẳng (SAJ) và (SCI)
Hướng dẫn giải:
04 GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]
Trang 2Do SA = SB = SC ⇒ AB = BC = AC ⇒ ∆ABC là tam
giác đều
Trong ∆ABC, gọi H là giao điểm của SJ và CI, khi đó H
là trọng tâm, đồng thời là trực tâm ∆ABC đều
Ta có, (SAJ) ∩ (SCI) = SH Để xác định góc giữa hai mặt
phẳng (SAJ) và (SCI) ta tìm mặt phẳng mà vuông góc với
SH
Do ∆ABC đều nên AH ⊥ BC, (1)
Lại có, SA, SB, SC đôi một vuông góc nên SA ⊥ (SBC) ⇒
SA ⊥ BC, (2)
Từ (1) và (2) ta được BC ⊥ (SAH) ⇒ BC ⊥ SH, (*)
Tương tự, ta cũng có
Hay AB ⊥ SH, (**)
Từ (*) và (**) ta được SH ⊥ (ABC)
Mà ( ) ( ) (( ),( )) (, )
Vậy ((SAJ),(SCI))=(AJ CI, )=CHJ=600
Ví dụ 5 [ĐVH]: Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a
a) Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy
b) Tính góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy
Hướng dẫn giải:
Giả sử hình chóp tam giác đều là SABC Do đặc tính của hình
chóp tam giác đều tất cả cạnh bên bằng nhau, tất cả cạnh đáy
bằng nhau Từ đó SA = SB = SC = 2a và ABC là tam giác đều
cạnh 3a
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) Theo tính
chất đường xiên và hình chiếu, vì SA = SB = SC nên HA =
HB = HC ⇒ H là trọng tâm của ∆ABC
a) S.ABC là chóp tam giác đều nên các cạnh bên nghiêng đều
với đáy, ta chỉ cần tính góc giữa SA và (ABC)
A ∈ (ABC) nên hình chiếu của A xuống (ABC) là chính nó Do
SH ⊥ (ABC) nên H là hình chiếu của S xuống (ABC) Khi đó,
HA là hình chiếu của SA lên (ABC)
Suy ra, (SA ABC,( ))=(SA,HA)=SAH=α
Gọi I là trung điểm của BC, khi đó AI là trung tuyến của
c
,( ) =30
SA ABC
Trang 3b) Tương tự, các mặt bên nghiêng đều với đáy nên ở đây ta tìm góc giữa (SBC) và (ABCD)
Ta có (SBC) ∩ (ABCD) = BC
⊥
Lại có ( ) ( ) (( ),( )) (, ) β
a
Khi đó, tan β 2 3 β arctan 2 3
3 2
Vậy góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp là β arctan 2 3
3
Ví dụ 6 [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD cạnh a, dựng SA=a 3 và vuông góc với (ABCD) Tính góc giữa
các mặt phẳng sau:
a) (SAB) và (ABC)
b) (SBD) và (ABD)
c) (SAB) và (SCD)
Hướng dẫn giải:
a) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD trong hình vuông ABCD ta có 1 2
Khi đó, (SAB) ∩ (ABC) = AB
⊥
b) (SBD) ∩ (ABD) = BD
⊥
Xét tam giác vuông SOA ta có: tan S 3 6 (( ),( )) arctan 6
2 2
c) (SAB) ∩ (SCD) = Sx // AB // CD Mà AB ⊥ (SAD) ⇒ Sx ⊥ (SAD)
Trang 4Do ( ) ( ) (( ),( )) (, )
BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 [ĐVH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=4 ;a AD=4a 3 Tam giác
SAB vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Biết rằng SA = 2a Gọi I là trung điểm của
BC Tính góc giữa
a) DI và SA b) (SAI) và (ABCD)
c) SC và (ABCD) d) DI và (SAB) e) * SC và (SDI)
Bài 2 [ĐVH]: Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O và SA vuông góc với (ABCD) Tính SA theo a để góc giữa (SBC) và (SCD) bằng 600
Đ/s: SA = a
Bài 3 [ĐVH]: Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O và 3
3
=a
3
=a
SO Chứng minh rằng:
a) 0
90
=