Khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán tổ hợp xác suất cho học sinh Trung học phổ thông

Thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc - phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt độ

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

Số hóa bởi trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN TRUNG

THÁI NGUYÊN, 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả nghiên cứu là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả luận văn

Đặng Thị Thủy

Xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các bạn bè và đồng nghiệp, những người luôn động viên, khích lệ tôi hoàn thành luận văn này

Xin trân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, Tháng 4 năm 2013

Tác giả luận văn

Đặng Thị Thủy

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các ký hiệu, chữ viết tắt vi

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Dạy học giải bài tập toán 5

5

7

11

1.2 Quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của học sinh trong một số phương pháp dạy học 18

1.2.1 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết hành vi 18

1.2.2 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết kiến tạo 19

1.2.3 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo Thuyết tình huống 22

1.3 Dạy học giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường Trung học phổ thông 23

1.3.1 Vai trò và ý nghĩa của nội dung Tổ hợp - Xác xuất trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông 23

1.3.2 Nội dung chủ đề Tổ hợp - Xác xuất trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông 27

1.3.3 Một số vấn đề lưu ý trong dạy học giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường Trung học phổ thông 29

thông trong giải toán Tổ hợp - Xác suất 33

1.4.1 Một số khó khăn cơ bản của học sinh Trung học phổ thông trong giải toán Tổ hợp - Xác suất 33

1.4.2 Sai lầm thường gặp của học sinh Trung học phổ thông trong giải

toán chủ đề Tổ hợp - Xác suất 40

1.5 Thực trạng khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp cho học sinh trong dạy học giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường Trung học phổ thông 49

1.5.1 Thuận lợi, khó khăn 49

1.5.2 Thực trạng tình hình giảng dạy của GV 50

1.5.3 Thực trạng tình hình học tập của HS 51

1.5.4 Đánh giá chung 52

1.6 Tiểu kết chương 1 53

Chương 2: – 54

2.1 Định hướng xây dựng một số biện pháp khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán Tổ hợp - Xác suất cho học sinh Trung học phổ thông 54

2.2 giải toán chủ đề Tổ hợp - Xác suất cho học sinh Trung học phổ thông 55

2.2.1 Biện pháp 1: Rèn luyện cho học sinh nắm vững bản chất và ý nghĩa của các khái niệm, quy tắc, ký hiệu trong sách giáo khoa từ đó vận dụng trong giải toán Tổ hợp - Xác suất 55

2.2.2 Biện pháp 2: Tạo tình huống phù hợp với trình độ nhận thức để phát huy tính tích cực của học sinh trong giải toán Tổ hợp - Xác suất 64

2.2.3 Biện pháp 3: Xác định và tập luyện cho học sinh thuật giải một số dạng toán Tổ hợp - Xác suất và vận dụng quy trình giải toán của G Polia 69 2.2.4 Biện pháp 4: Quan tâm phát triển khả năng trực giác xác suất cho học sinh 75

2.2.5 Biện pháp 5: Bồi dưỡng tư duy toán học và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh khi giải toán Tổ hợp - Xác suất 81

2.2.6 Biện pháp 6: Đưa học sinh vào các tình huống thử thách với

những khó khăn và sai lầm, từ đó có các phản ví dụ cần thiết để học sinh

điều ứng sơ đồ nhận thức đã có 87

2.3 Kết luận chương 2 91

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 92

3.1 Mục đích thực nghiệm 92

3.2 Nội dung thực nghiệm 92

3.3 Tổ chức thực nghiệm sư phạm 92

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 92

3.3.2 Tiến trình thực nghiệm 93

3.4 Kết quả thực nghiệm 94

3.4.1 Đánh giá về mặt định tính 94

3.4.2 Đánh giá về mặt định lượng 95

3.5 Kết luận chương 3 96

KẾT LUẬN 97

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ CÓ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỀ TÀI LUẬN VĂN 98

TÀI LIỆU THAM KHẢO 99 PHỤ LỤC

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chất lượng dạy và học là mối quan tâm hàng đầu của nền giáo dục trên thế giới, hầu hết các nước đều ra sức tìm mọi biện pháp để nâng cao chất lượng dạy và học Với mong muốn là làm sao để người dạy truyền đạt được kiến thức một cách dễ dàng, người học nắm

định để người dạy và người học hoàn thành nhiệm vụ trọng tâm của mình

GV

HS, HS

HS

HSHS

2 Mục đích nghiên cứu

–

–

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học môn Toán cho học sinh THPT

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu cơ sở lý luận về tình huống dạy học giải toán, rèn luyện

kỹ năng giải toán, quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của HS khi giải toán trong một số PPDH tích cực

6 Phương pháp nghiên cứu

6.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về

các vấn đề liên quan đến đề tài của luận văn

6.2 Phương pháp điều tra – quan sát:

8 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, nội dung luận văn được trình bày trong

ba chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp sư phạm khắc phục những khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán Tổ hợp - Xác suất cho học sinh Trung học phổ thông

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Luận văn có sử dụng 33 tài liệu tham khảo và có 4 Phụ lục kèm theo

Chương 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Dạy học giải bài tập toán

Dạy Toán là dạy hoạt động toán học là một luận điểm cơ bản đã được mọi người thừa nhận, hoạt động toán học chủ yếu của HS là hoạt động giải bài tập Toán Trình độ học Toán của HS đến mức độ nào sẽ được thể hiện rõ nét qua chất lượng giải Toán Vai trò của bài tập trong dạy học Toán là vô cùng quan trọng, đó là lí do tại sao nhiều công trình nghiên cứu về PPDH Toán lại gắn với việc nghiên cứu xây dựng hệ thống bài tập (chẳng hạn, các công trình: Tôn Thân (1995), Trần Đình Châu (1996), Nguyễn Đình Hùng (1997), )

Theo P M Ecđơnnhiev: "Bài tập được coi là một mắt xích chính của quá trình

dạy học Toán"[9] Đối với HS, có thể xem giải bài tập toán là hình thức chủ

yếu của hoạt động Toán học Các bài toán là phương tiện có hiệu quả không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng và kĩ xảo Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học Toán Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học Toán

Theo Nguyễn Bá Kim thì bài tập toán có vai trò quan trọng trong môn Toán [11] Điều căn bản là bài tập toán có vai trò giá mang hoạt động của HS Thông qua việc giải bài tập, HS phải thực hiện nhiều hoạt động như: Nhận dạng, thể hiện các khái niệm, định nghĩa, định lý, quy tắc - phương pháp, những hoạt động phức hợp, những hoạt động trí tuệ chung, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học Do hoạt động của HS liên hệ mật thiết với mục tiêu, nội dung và PPDH, vì vậy vai trò của bài tập toán được thể hiện trên ba bình diện này:

- Về mặt mục tiêu dạy học: bài tập toán thể hiện những chức năng khác

nhau hướng đến việc thực hiện mục đích dạy học môn Toán như:

+ Hình thành, củng cố tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, kỹ năng ứng dụng Toán học ở những giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học;

+ Phát triển năng lực trí tuệ chung: Rèn luyện các thao tác tư duy, hình thành các phẩm chất trí tuệ;

+ Hình thành, bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng cũng như những phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Về mặt nội dung dạy học: Bài tập toán là một phương tiện để cài đặt

nội dung dưới dạng tri thức hoàn chỉnh hay những yếu tố bổ sung cho tri thức

đã học ở phần lý thuyết

- Về mặt PPDH: Bài tập toán là giá mang những hoạt động để HS kiến

tạo những nội dung nhất định và trên cơ sở đó thực hiện các mục đích dạy học khác Khai thác tốt bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức tốt cho HS học tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu

Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau Về PPDH: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra Đặc biệt về mặt kiểm tra, bài tập là phương tiện không thể thay thế để đánh giá mức độ tiếp thu tri thức, khả năng làm việc độc lập

và trình độ phát triển tư duy của HS, cũng như hiệu quả giảng dạy của GV

Bài tập toán với tư cách là một PPDH, giữ một vị trí đặc biệt quan trọng trong việc hoàn thành nhiệm vụ dạy và học Toán ở phổ thông Việc giải bài tập toán có những tác dụng sau:

- Hình thức củng cố, ôn tập, hệ thống hoá kiến thức một cách sinh động Khi giải quyết bài toán, HS phải nhớ lại những kiến thức đã học, phải đào sâu một số khía cạnh nào đó của kiến thức hoặc phải tổng hợp, huy động nhiều kiến thức để giải quyết được bài tập Tất cả những thao tác tư duy đó góp phần củng cố khắc sâu và mở rộng kiến thức cho HS;

- Phương tiện rất tốt để phát triển năng lực tư duy Khả năng sáng tạo cho HS, bồi dưỡng cho HS một phương pháp nghiên cứu khoa học bởi vì giải

bài tập toán là một hình thức làm việc tự lực căn bản của HS Trong khi giải bài tập toán HS phải phân tích, lập luận từ đó tư duy logic, tư duy sáng tạo của HS được phát triển Năng lực của HS được nâng cao;

- Xây dựng và củng cố những kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tế, đời sống từ đó có tác dụng giáo dục cho HS về phẩm chất tư tưởng đạo đức, rèn luyện khả năng độc lập suy nghĩ, tính kiên trì dũng cảm khắc phục khó khăn, tính chính xác khoa học, kích thích hứng thú học tập bộ môn Toán nói riêng và học tập nói chung;

- Đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của HS

Qua những điều nói trên, bài tập Toán có những tác dụng to lớn về cả giáo dục lẫn giáo dưỡng Vì thế việc giải bài tập Toán mục đích cuối cùng không chỉ là tìm ra đáp số của nó tuy rằng điều này rất quan trọng và cần thiết, mục đích chính của bài tập là ở chỗ HS giải bài tập nắm vững được kiến thức

đã học, đồng thời rèn luyện các năng lực phẩm chất của tư duy, vận dụng một cách nhuần nhuyễn, linh hoạt sáng tạo trong công việc

Sự hình thành các kỹ năng đó là sự nắm vững cả một hệ thống phức tạp các thao tác phát hiện và cải biến thông tin chứa đựng trong các tri thức và tiếp thu được từ đối tượng, đối chiếu và xác lập quan hệ của thông tin với các hành động

Kĩ năng chỉ được hình thành thông qua quá trình tư duy để giải quyết các nhiệm vụ đặt ra Khi tiến hành tư duy sự vật thì chủ thể thường biến đổi, phân tích đối tượng để tách ra những khía cạnh, những thuộc tính mới Tất cả những điều này được ghi lại trong tri thức của chủ thể tư duy và được biểu hiện bằng các từ Quá trình tư duy diễn ra nhờ các thao tác phân tích – tổng hợp, trừu tượng hóa – khái quát hóa cho tới khi hình thành được mô hình về một mặt nào đó của đối tượng có ý nghĩa bản chất đối với việc giải bài toán đã cho

Ở đây mỗi bước, nhờ khám phá ra những khía cạnh mới của đối tượng, thúc

đẩy tư duy tiến lên, đồng thời quyết định bước tiếp theo sau của tư duy Vì các khía cạnh mới của đối tượng được phản ánh trong các khái niệm mới, tư duy diễn ra như là một sự diễn đạt lại bài toán nhiều lần

VD: Cho bài toán "Cho a, b, c là ba số thực không đồng thời bằng 0 Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:

a(x - b)(x - c) + b(x - a)(x - c) + c(x – a)(x - b) = 0"

Tiến hành phân tích đối tượng ta nhận thấy đối tượng tư duy là một phương trình dạng bậc hai:

(a + b + c)x2 + 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0

Đây là phương trình dạng bậc hai nên để chứng minh nó có nghiệm nghĩa là phải chỉ ra:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình: 2.(ab + bc + ca)x + 3abc = 0 có nghiệm

Nếu a + b + c ≠ 0 thì ∆’ = (ab + bc + ca)2

Quá trình tư duy của con người diễn ra một cách liên tục và có tính kế thừa Với mỗi cách diễn đạt mới là kết quả của sự phân tích và tổng hợp những kết quả của giai đoạn trước, được thể hiện trong các khái niệm Khi hoàn thành việc nghiên cứu đối tượng thì trong tri thức của chủ thể, tư duy sẽ ghi lại những thuộc tính bản chất của đối tượng và nó ít nhiều sẽ giúp ích cho hoạt động sau này Chính quá trình này sẽ thúc đẩy tư duy tiến lên nhằm chinh phục đỉnh cao mới và nó làm cho con người luôn không tìm ra giới hạn của tri thức

nhân loại, như S L Rubinstein đã khẳng định: “Trong quá trình tư duy nhờ

phân tích và tổng hợp, đối tượng tham gia vào những mối liên hệ ngày càng mới và do đó, thể hiện qua các phẩm chất ngày càng mới, những phẩm chất này được ghi lại trong những khái niệm mới Như vậy, từ đối tượng dường như khai thác được nội dung ngày càng mới, nó dường như mỗi lần quay lại một khác và trong nó lại xuất hiện những thuộc tính mới”[30]

Theo quan điểm này, sự hình thành các kĩ năng xuất hiện trước hết như những sản phẩm của tri thức ngày càng được đào sâu Các kĩ năng được hình thành trên cơ sở lĩnh hội các tri thức về các mặt và các thuộc tính khác nhau về đối tượng đang được nghiên cứu Các con đường chính của sự hình thành các

kĩ năng - đó là HS phải tự nhìn nhận thấy những mặt khác nhau trong đối tượng, vận dụng vào đối tượng Những tri thức khác nhau diễn đạt mối quan hệ

đa dạng giữa đối tượng và tri thức

Có thể dạy cho HS kĩ năng bằng những con đường khác nhau Một trong những con đường đó là truyền thụ cho HS những tri thức cần thiết, rồi sau đó

đề ra cho HS những bài toán về vận dụng tri thức đó Và bản thân HS tìm tòi cách giải, bằng con đường thử nghiệm và sai lầm (thử các phương pháp và tìm

ra phương pháp tối ưu), qua đó phát hiện ra các mốc định hướng tương ứng, những phương thức cải biến thông tin, những thủ thuật hoạt động Đôi khi người ta gọi con đường dạy học này là dạy học nêu vấn đề Cũng có thể dạy học kĩ năng bằng con đường: dạy cho HS biết những dấu hiệu mà theo đó có thể đoán nhận được một cách dứt khoát kiểu bài toán và những thao tác cần thiết để giải bài toán đó Người ta gọi con đường này là dạy học angorit hóa hay dạy học trên cơ sở định hướng đầy đủ Cuối cùng, con đường thứ ba là như sau: người ta dạy HS chính hoạt động tâm lí cần thiết đối với việc vận dụng tri thức Trong trường hợp này nhà giáo dục không những chỉ cho HS tìm hiểu các mốc định hướng để chọn lọc các dấu hiệu và các thao tác mà còn tổ chức hoạt động cho HS trong việc cải biến, sử dụng thông tin đã thu được để giải

các bài toán đặt ra Con đường này đã được các nhà Tâm lí học Xô viết nghiên cứu, chẳng hạn như: P Ja Galperin, N F Talyzyna và những người khác Họ cho rằng, để dạy được những điều nêu trên GV phải dẫn dắt HS một cách có hệ thống trải qua tất cả những giai đoạn hoạt động đòi hỏi phải định hướng vào các dấu hiệu đã được ghi lại trong khái niệm đang được nghiên cứu

Trong giai đoạn đầu, những mốc định hướng (những dấu hiệu bản chất) của đối tượng được đưa ra trước HS dưới dạng có sẵn Được vật chất hóa dưới dạng sơ đồ, kí hiệu các đối tượng, còn các thao tác tách ra các mốc định hướng thì được thực hiện dưới hình thức những hành động có đối tượng

Chẳng hạn, bài toán về giải phương trình bậc hai như:

x2 – 5x + 6 = 0 thì phương pháp giải đầu tiên được giới thiệu là phân tích đa thức vế trái thành nhân tử bằng cách ghép bình phương đủ, như vậy lời giải dựa trên các mốc định hướng có đối tượng ở giai đoạn hai, các mốc định hướng và các thao tác có đối tượng được thay thế bằng các kí hiệu và các hành động ngôn ngữ Trong VD trên người ta không còn sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân

tử để giải mà thay vào đó là các kí hiệu ∆ và công thức nghiệm, ở giai đoạn này giải phương trình bậc hai bằng ngôn ngữ và kí hiệu ở giai đoạn thứ ba, các hành động ngôn ngữ rơi rụng dần đi và thay thế chúng là những thao tác diễn

ra theo sơ đồ gọn hơn:

“Phương trình x 2

– 5x + 6 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x=2 và x=3”

Người ta còn gọi ý đồ dạy học trên là phương pháp hình thành các hành động trí tuệ qua từng giai đoạn

Trong thực tế khi hình thành những tri thức mới (có nội dung chứ không phải khái niệm từ ngữ thuần túy) ai cũng phải trải qua các giai đoạn này Tuy nhiên, trong dạy học thông thường những giai đoạn không được tổ chức một cách có ý thức Vì thế HS phải tự phát hiện những dấu hiệu cảm tính hay những dấu hiệu lôgic, mà điều chủ yếu là các em phải tự lựa chọn những hành

động thích hợp để làm điều đó Do vậy không thể tránh khỏi các sai lầm và các tri thức không phải bao giờ cũng được hình thành đầy đủ và đúng đắn Để cho các khái niệm được hình thành đầy đủ và đúng đắn, hoạt động tương ứng của

HS phải được xây dựng trên một cơ sở định hướng đầy đủ Nói một cách khác, giáo viên phải truyền thụ cho HS tất cả những dấu hiệu bản chất của các đối tượng dưới dạng có sẵn và dạy cho họ những thao tác cần thiết để phát hiện hay tái tạo những dấu hiệu

Những nguyên tắc kể trên cho phép cải tiến một cách căn bản việc dạy các khái niệm, đặc biệt tăng nhanh tốc độ chiếm lĩnh các tri thức, đảm bảo được tính mềm dẻo và đầy đủ của chúng, vận dụng chúng đúng đắn còn cho phép hình thành những tri thức trừu tượng phức tạp ở lứa tuổi sớm hơn nhiều

Thực chất của sự hình thành kĩ năng là hình thành cho HS khả năng nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán, trong nhiệm vụ

Khi hình thành kĩ năng cho HS, GV cần tiến hành: Giúp HS biết cách tìm tòi để nhận ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng; Giúp HS hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các đối tượng cùng loại; Xác lập được mối liên hệ giữa bài toán mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng Để hình thành bất kì một kĩ năng nào cũng cần được tiến hành thông qua các hoạt động luyện tập, củng cố, vận dụng thông qua việc thực hiện các thao tác, hành động và diễn ra theo một quy trình trong một khoảng thời gian nhất định

1.1.3.

Dạy học giải bài tập toán là điều kiện quan trọng để thực hiện tốt các mục tiêu dạy học, là một trong những vấn đề trọng tâm của PPDH Toán ở trường phổ thông Đối với HS, giải bài tập toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học nhằm thực hiện tốt chức năng dạy học, giáo dục, chức năng phát triển, chức năng trí tuệ và chức năng kiểm tra Như vậy, dạy học giải bài

tập toán có một vai trò quyết định thiết yếu đối với chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông

Dạy học giải bài tập toán không chỉ dừng lại ở mức độ hướng dẫn HS trình bày một lời giải đúng đắn, đầy đủ và có căn cứ chính xác mà phải biết cách hướng dẫn HS thực hành giải bài tập theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV chỉ đơn thuần cung cấp cho HS lời giải bài toán Biết lời giải bài toán không quan trọng bằng biết cách làm thế nào để giải được bài toán Để tăng hứng thú học tập cho HS, phát triển tư duy, rèn luyện kỹ năng và hoạt động độc lập sáng tạo cho họ, thầy giáo phải hình thành cho HS quy trình chung, các phương pháp tìm tòi lời giải một bài toán

1.1.3.1 Vấn đề lựa chọn các bài tập toán

Bài tập toán có tác dụng rất to lớn về cả giáo dục và giáo dưỡng, tác dụng đó càng tích cực nếu trong quá trình dạy học môn Toán có sự lựa chọn cẩn thận một hệ thống bài tập chặt chẽ phong phú về nội dung, thích hợp về phương pháp và bám sát mục đích nhiệm vụ dạy học Toán ở trường phổ thông Hệ thống bài tập được lựa chọn cần phải thoả mãn một số yêu cầu sau:

- Trước hết các bài toán đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp sao cho từng bước HS hiểu được một cách vững chắc và có kỹ năng, kỹ xảo vận dụng các kiến thức đó

- Mỗi bài tập được lựa chọn phải là một mắt xích trong hệ thống các bài tập đóng góp được một phần nào đó vào việc hoàn chỉnh kiến thức của

HS, giúp các em hiểu được mối liên hệ giữa các đại lượng cụ thể hoá các khái niệm và vạch ra những nét mới nào đó chưa được sáng tỏ

- Hệ thống bài tập phải giúp HS nắm được phương pháp giải từng bài

cụ thể Từ những yêu cầu đó cần làm cho HS bắt đầu từ những bài tập đơn giản, sau đó tăng dần độ khó, việc giải bài tập sáng tạo được coi là kết thúc việc giải hệ thống những bài tập đã được lựa chọn

Việc giải toỏn cần được tiến hành cú kế hoạch Cỏc bài toỏn cần được chọn lọc cú hệ thống nhằm những mục đớch giỏo dục xỏc định và thớch hợp với cả ba loại HS: khỏ, trung bỡnh, kộm Cú thể quy ước phõn loại cỏc bài toỏn như sau:

Sơ đồ 1.1: Phõn loại cỏc bài toỏn

Khụng nờn coi nhẹ loại nào cả Những bài toỏn khụng cú tớnh chất vấn

đề rất cần thiết cho việc củng cố kiến thức, rốn luyện kĩ năng Cỏc bài toỏn cú tớnh chất vấn đề cú tỏc dụng nhiều trong việc phỏt triển tư duy nhưng lại khụng phự hợp với tất cả HS Vỡ vậy, nờn chỳ ý kết hợp khộo lộo trong việc

ra bài tập cho HS làm, đi từ dễ đến khú, từ đơn giản đến phức tạp Chỳ trọng nờu cỏc bài toỏn loại I và loại II cho tất cả cỏc em và khuyến khớch tất cả cỏc

em núi chung, cỏc em khỏ giỏi núi riờng giải một số bài toỏn loại III

1.1.3.2 Dạy học sinh phương phỏp giải bài tập toỏn

Trong dạy học giải toỏn, kỹ năng tỡm kiếm lời giải là một trong cỏc kỹ năng quan trọng, mà việc rốn luyện cỏc thao tỏc tư duy là một thành phần khụng thể thiếu trong dạy học giải Toỏn G Pụlya đó đưa ra 4 bước để đi đến lời giải bài toỏn [33]

- Bước 1 Hiểu rừ bài toỏn: Tỡm hiểu đầu bài Toỏn là việc làm trước

tiờn trong quỏ trỡnh dạy học giải toỏn Muốn HS tự mỡnh giải quyết được những yờu cầu đũi hỏi của bài Toỏn người GV cần phải làm cho HS nắm

Có tính chất vấn đề

Không có tính chất vấn đề

Bài toán

(Loại II) (Loại III)

(Loại I)

được ý nghĩa nội dung của bài toán, xác định được yếu tố cơ bản của bài Toán đồng thời biết thể hiện bài toán dưới một hình thức ngắn gọn dễ hiểu

Có nhiều cách để tìm hiểu đầu bài Toán và chúng ta cũng thấy rằng: mỗi cấp học khác nhau, mỗi bài toán cụ thể sẽ có những cách tìm hiểu đầu bài toán khác nhau Thông thường để tìm hiểu đầu bài toán, người dạy giải Toán cần hướng HS tới các câu hỏi: phân tích giả thiết và kết luận của bài toán: Đâu là

ẩn, đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện, dữ kiện này liên quan tới điều gì? Có thể biểu diễn bài toán dưới một hình thức khác được không?, Như vậy, ngay ở bước "Hiểu rõ đề Toán" ta đã thấy được vai trò của tư duy sáng tạo trong việc định hướng để tìm tòi lời giải

- Bước 2 Xây dựng chương trình giải: Xây dựng chương trình giải

Toán là xác định trình tự cho việc giải quyết những đòi hỏi của bài Toán hoặc nói một cách khác là dạy cho HS tìm ra cách giải của bài toán Có rất nhiều cách để tìm ra lời giải bài toán Người dạy có thể sử dụng các câu hỏi phân tích đi lên, tổng hợp hoặc các phép suy luận, quy nạp để giúp HS tự tìm

ra lời giải của bài toán

- Bước 3 Thực hiện chương trình giải: Hoạt động thực hiện kế hoạch

giải Toán bao gồm: việc chọn một cách giải và trình bày lời giải bài Toán dễ hiểu nhất, phù hợp nhất với bậc học Lời giải bài Toán được hiểu là tập hợp các thao tác sắp theo thứ tự để đi đến mục đích yêu câu đòi hỏi của bài toán Thao tác đó có thể là phép tính cơ bản, phép dựng hình cơ bản, hoặc một dãy các suy luận Cần phải lưu ý rằng: Cùng một vấn đề nhưng cách trình bày lời giải ở mỗi cấp là khác nhau Tuy nhiên, dù trình bày theo cách nào thì lời giải một bài Toán không cho phép có sai lầm Yêu cầu này có nghĩa là lời giải bài Toán phải đảm bảo độ chính xác về kiến thức, hợp lôgíc về quy tắc suy luận, ngôn ngữ diễn đạt trong sáng Khi thực hiện chương trình giải hãy kiểm tra lại từng bước Em đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúng chưa? Em có thể chứng minh là nó đúng không?

- Bước 4 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải đã tìm được: HS thường có

thói quen khi đã tìm được lời giải của bài toán thì thoả mãn, ít đi sâu kiểm tra lại lời giải xem có sai lầm thiếu sót gì không, ít quan tâm tới việc nghiên cứu cải tiến lời giải, khai thác lời giải Vì vậy trong quá trình dạy học, GV cần chú ý cho HS thường xuyên thực hiện các yêu cầu sau: Kiểm tra lại kết quả, kiểm tra lại suy luận, xem xét đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra của bài toán, tìm cách giải khác của bài toán Rất nên hệ thống hoá các bài toán có liên quan với một chủ đề hay mô hình nào đấy để HS thấy được những tính chất đa dạng thông qua các chủ đề và mô hình đó (rất thích hợp khi tổng kết chương), cũng là cơ sở quan trọng để phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình học tập và nghiên cứu

1.1.3.3 Hướng dẫn học sinh giải bài tập toán

Muốn cho HS giải được một bài toán cụ thể nào đó thì dĩ nhiên là GV phải giải được bài toán đó nhưng như vậy là chưa đủ Muốn việc hướng dẫn giải bài toán được định hướng một cách đúng đắn thì GV phải phân tích được phương pháp giải bài tập cụ thể bằng cách vận dụng những hiểu biết về tư duy giải bài tập toán để xem xét việc giải bài tập cụ thể này Mặt khác phải xuất phát từ mục đích sư phạm cụ thể của công việc cho HS giải bài tập để xác định kiểu hướng dẫn phù hợp Phương pháp hướng dẫn HS giải một bài toán cụ thể nào đó là những hiểu biết khoa học về tư duy giải bài tập toán được vận dụng vào việc phân tích phương pháp giải bài tập cụ thể này và những hiểu biết về đặc điểm các hướng dẫn giải bài tập tuỳ thuộc theo những mục đích sư phạm khác nhau

Một số kiểu hướng dẫn giải bài tập tuỳ theo mục đích sư phạm của việc giải bài tập gồm:

- Hướng dẫn theo mẫu (hướng dẫn Angôrit): Sự hành động theo một

mẫu đã có thường gọi là hướng dẫn theo mẫu hay hướng dẫn Angôrit Hướng dẫn theo mẫu là sự hướng dẫn chỉ rõ cho HS những hành động cụ thể cần thực

hiện và trình tự thực hiện các hành động đó để đi đến kết quả mong muốn Những hoạt động này được coi là những hoạt động sơ cấp được HS hiểu một cách đơn giản và HS đã nắm vững kiểu hướng dẫn này không đòi hỏi HS phải tìm tòi xác định các hoạt động cần thực hiện để giải quyết vấn đề đặt ra mà chỉ đòi hỏi HS chấp hành các hoạt động giáo dục được chỉ ra

Kiểu hướng dẫn Angorit đòi hỏi GV phải phân tích một cách khoa học việc giải bài toán để xác định một trình tự chính xác chặt chẽ của các hoạt động cần thực hiện để giải quyết được bài tập và phải đảm bảo các hoạt động

đó là sơ cấp đối với HS Kiểu hướng dẫn này thường được áp dụng khi cần dạy cho HS phương pháp giải bài tập điển hình nào đó Người ta xây dựng các Angôrit giải cho từng loại bài tập cơ bản điển hình và luyện tập cho HS kỹ năng giải bài tập đó dựa trên việc làm cho HS nắm được Angôrit giải

- Hướng dẫn tìm tòi (hướng dẫn Ơrixtic): Hướng dẫn tìm tòi là kiểu

hướng dẫn mang tính chất gợi ý cho HS suy nghĩ, tìm tòi phát hiện cách giải quyết, không phải là GV hướng dẫn cho HS chấp hành theo mẫu đã có mà là

GV gợi mở để HS giải quyết Kiểu hướng dẫn tìm tòi được áp dụng khi cần giúp đỡ HS vượt qua khó khăn để giải được bài tập đồng thời vẫn đảm bảo yêu cầu phát triển tư duy của HS tự lực tìm tòi giải quyết

- Kiểu hướng dẫn khái quát chương trình hoá: Nó cũng là kiểu hướng

dẫn cho HS tự tìm tòi giải quyết Nét đặc trưng của kiểu hướng dẫn này là GV định hướng tư duy cho HS theo đường lối, khái quát của việc giải quyết vấn

đề Sự định hướng ban đầu đòi hỏi sự tự lực tìm tòi giải quyết của HS, nếu HS không đáp ứng được sự yêu cầu thì sự giúp đỡ tiếp theo của GV là sự phát triển định hướng khái quát ban đầu, cụ thể hóa thêm một bước bằng cách gợi ý thêm cho HS để thu hẹp thêm phạm vi tìm tòi giải quyết cho vừa sức của HS nhưng nếu HS vẫn không đủ năng lực tự lực giải quyết thì hướng dẫn của GV trở thành hướng dẫn theo mẫu để đảm bảo cho HS hoàn thành được một bước sau đó yêu cầu HS tự lực tìm tòi bước tiếp theo cứ như thế cho đến khi giải quyết xong vấn đề đặt ra

Kiểu hướng dẫn này được áp dụng khi có điều kiện, tiến trình hoạt động giải bài tập của HS Nhằm giúp HS tự giải quyết được bài tập đã cho đồng thời dạy cho HS cách suy diễn trong quá trình giải bài tập kiểu hướng dẫn này có

ưu điểm là kết hợp được các yêu cầu: Rèn luyện tư duy của HS trong quá trình giải toán và đảm bảo cho HS giải được bài tập đã cho Tuy nhiên sự hướng dẫn đòi hỏi phải theo sát tiến trình hoạt động giải bài tập của HS không thể chỉ dựa vào những lời hướng dẫn soạn sẵn mà phải kết hợp được việc định hướng với việc kiểm tra kết quả hoạt động của HS để điều chỉnh sự giúp đỡ thích ứng với trình độ của HS

Dạy học giải Toán là một hoạt động trí tuệ khó khăn, phức tạp Nó đòi hỏi sự nỗ lực của cả người dạy lẫn người học bởi một lẽ: Người thầy muốn có được phương pháp hướng dẫn để người học dễ hiểu, đòi hỏi người thầy phải tư duy tích cực trước nội dung bài toán, đối tượng người học cụ thể thì mới tìm ra phương pháp hướng dẫn phù hợp nhất và làm cho người học dễ đi đến lời giải nhanh nhất, độc đáo nhất Còn người HS, để tìm ra và hiểu được thực chất lời giải bài toán, không chỉ cần sự tác động bởi phương pháp gợi mở của thầy mà còn đòi hỏi chính mình phải có một hệ thống kiến thức vững chắc liên quan đến bài toán cần giải cùng với khả năng vận dụng linh hoạt sáng tạo trong giải quyết vấn đề bài toán đặt ra Qua thực tế dạy học Toán ở bậc học phổ thông đã cho chúng ta rõ một điều:

Hình thành năng lực giải Toán cho HS khó khăn hơn nhiều lần so với hình thành kỹ thuật tính vì bài toán là sự kết hợp đa dạng của nhiều khái niệm, quan hệ Toán học Để hình thành cho HS năng lực giải toán, người GV phổ thông cần phải hiểu được rằng:

Dạy học giải Toán không chỉ làm cho HS nhớ mẫu rồi áp dụng mà còn phải làm cho học ngày càng phát triển năng lực vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào giải quyết các vấn đề trong bài toán cũng như thực tiễn cuộc sống Để đạt được yêu cầu trên phương pháp tốt nhất trong dạy học

giải Toán là phải tạo cho HS tư duy độc lập, chủ động để tìm ra các cách giải bài toán GV không bao giờ chỉ ra lời giải cho HS một cách thụ động Chính vì thế, trong giờ dạy học giải toán, HS phải được hoạt động tích cực chủ động; còn GV phải biết tổ chức điều khiển bằng nhiều cách khác nhau như: tổ chức cho HS thảo luận nhóm, tập trình bày các ý kiến riêng của nhóm, của cá nhân hoặc dùng hệ thống các câu hỏi vấn đáp gợi mở, vấn đáp củng cố để đi đến cách giải tốt nhất hoặc kết luận cần thiết cho mỗi giờ dạy học giải Toán hoặc mỗi bài toán cụ thể

1.2 Quan điểm khắc phục khó khăn và sai lầm của học sinh trong một số phương pháp dạy học

1.2.1 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết hành vi

Thuyết hành vi quan niệm rằng: Sai lầm của HS là một hiện tượng tiêu cực, có hại cho việc lĩnh hội kiến thức và do đó cần tránh, nếu gặp thì cần khắc phục Trong dạy học, một số nhà giáo dục người Đức mà tiêu biểu là Aphơgut

Lai cũng cho rằng "Việc chú ý đến các sai lầm của HS trong giờ học có ảnh

hưởng xấu đến việc tiếp thu bài giảng" [25] Đặc biệt, quan điểm này đề nghị

không viết lời giải sai lên bảng vì điều này làm củng cố thêm sai lầm trong ý thức của HS Còn nguyên nhân sai lầm thường được cho là HS mơ hồ, không nắm vững kiến thức đã học, do thiếu hụt kiến thức, do vô ý không cẩn trọng, Đôi khi, thuyết Hành vi cho rằng GV trình bày không chính xác, dạy quá nhanh hay giải thích không đủ rõ ràng,

Để dạy học phù hợp với quan niệm này là: Mục tiêu dạy học được phân nhỏ thành các mục tiêu bộ phận, đến lượt nó lại được phân thành các mục tiêu con, giúp HS có thể lĩnh hội kiến thức cần giảng dạy bằng cách đi dần dần, lần lượt từ đơn giản đến phức tạp mà không phạm sai lầm nào Người ta tìm mọi cách để tránh sai lầm Còn nếu lỡ sai lầm xuất hiện, thì cách thông thường là dạy ôn lại hay cung cấp các kiến thức bổ trợ cho đến khi HS có câu trả lời đúng

VD: Nguyên nhân sai lầm của học sinh THPT khi giải toán Đại số và Giải tích thường là do không nắm vững các khái niệm, định lí, thiếu các kiến

thức về logic, Biện pháp sửa chữa sai lầm này là: Truyền thụ đầy đủ và chính xác các khái niệm, định lí; dự đoán và phòng tránh sai lầm, biết sử dụng các qui tắc suy luận,

1.2.2 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo thuyết kiến tạo

Những sai lầm của HS trong các giờ học toán thường khiến GV lo ngại

vì khó làm chủ được tình hình Vì thế, nhiều GV có kinh nghiệm thường tìm cách tránh để HS làm sai hay phát biểu sai trong giờ học Mặc dù HS đã được

GV hướng dẫn kĩ lưỡng, làm mẫu cẩn thận, nhưng khi làm bài, nhiều HS vẫn không nhớ được, vẫn còn mắc nhiều sai lầm, thậm chí nhiều sai lầm lặp lại Từ

đó, có nhiều GV cho rằng: "Đã làm mẫu rồi mà HS vẫn không làm nổi, vẫn sai

lầm, vậy nếu không làm mẫu thì HS còn sai lầm đến đâu?" Vì thế, đương nhiên

phải làm mẫu Mà đã làm mẫu thì phải lựa chọn nhiều loại, nhiều dạng bài tập

để khi gặp lại, hi vọng HS có thể giải được, nếu không trọn vẹn thì cũng được phần nào Do đó lượng tri thức cần truyền thụ, những điều cần nhắn nhủ cho

HS thì nhiều mà thời gian cho tiết học thì có hạn, nên không thể để các em hoạt động và càng không thể để HS mắc sai lầm trong quá trình hoạt động

Có thể thấy rằng trong các giờ học mà GV dạy theo phương pháp dạy học truyền thống, HS ít có cơ hội bộc lộ những sai lầm, nhưng nếu có sai lầm nào bộc lộ thì nhiều khi bị gạt ngay đi không có sự giải thích Thực ra thì

những sai lầm của HS có thể gây khó khăn cho GV trong quá trình dạy học nhưng nó cũng có thể là những cơ hội để tạo ra những tình huống gợi vấn đề,

nhờ đó GV có thể khai thác để đổi mới PPDH theo hướng hoạt động hoá người

học.Vậy làm thế nào để có thể biến khó khăn thành cơ hội?

Trong quá trình dạy và học toán ở trường THPT, việc phát hiện và khai thác các tình huống sai lầm mà HS hay mắc phải trong quá trình chiếm lĩnh tri thức là một biện pháp sư phạm quan trọng góp phần phát huy tính tích cực nhận thức của HS Do đó, khi xây dựng hệ thống bài tập GV cần chú ý tận dụng khai thác các tình huống dễ mắc sai lầm, giúp HS phát hiện, khắc phục

các khó khăn và sửa chữa các sai lầm đó R H Chiristian, J C Thomas nói

rằng “Trẻ em đôi khi có xu hướng tìm sự tối nghĩa để diễn tả rằng chúng muốn

biết về một điều khó hiểu nào đó của đối tượng hoặc đưa ra những lời phát biểu có nhiều nghĩa về đối tượng đó”.[29]

Sự phân tích sự tối nghĩa dựa trên nguyên tắc: khuyến khích HS dùng sự tối nghĩa để tự đặt câu hỏi, tự phát hiện và sáng tạo ra vấn đề mới Kỹ thuật giảng dạy tương ứng là: sử dụng ngay sự tối nghĩa đó của HS – GV yêu cầu

mô tả, một khái niệm nào đó, rồi giải thích sai có chủ ý câu trả lời chưa đầy đủ của HS Đây là cách đặt vấn đề rất đặc biệt, giữ lại một điểm nổi bật (trong tập hợp từ ngữ của HS) và tập trung vào đó, còn những điều kiện và chi tiết khác thì lờ đi Có thể nói, đó là cơ hội tốt để hoàn thành một kiến thức và kĩ thuật

xác định một vấn đề Các tác giả đánh giá “Những lời phát biểu chưa đầy đủ

của HS còn khá hơn một sự giải quyết sai” Nó được xem như một nét nổi bật

– chưa đủ nhưng vô cùng cần thiết cho năng lực phát hiện vấn đề của HS

Với sự tối nghĩa, ta không đơn thuần coi nó như một sai lầm mà phải sử dụng nó một cách có hiệu quả Thủ thuật này không chỉ là sự nhấn mạnh sự không đầy đủ trong lời phát biểu của HS, mà thêm vào đó là việc tập trung chú

ý của HS vào dấu hiệu đặc trưng, giúp chúng nhận ra dấu hiệu này Từ đó giúp cho khả năng trao đổi thông tin được chính xác hơn Thực tế cho thấy, sự tối nghĩa là không tránh khỏi Tốt nhất, nó nảy sinh ở đâu, ta nên làm cho nó có lợi hơn là cố gắng làm nó yếu đi Rồi dần dần sự tối nghĩa sẽ giảm, ngược lại tính ham hiểu biết, trí tưởng tượng sáng tạo lại được sinh ra và phát triển

Quan niệm sai lầm của HS về bản chất đó là tri thức sẵn có của HS, nó tồn tại trong ý thức của họ trước khi làm việc với GV để giải quyết một nhiệm

vụ nhận thức cụ thể Quan niệm sai lầm của HS trong học tập môn Toán có nhiều nguồn gốc khác nhau Đối với quan niệm sai lầm của HS, nếu GV có thái độ bác bỏ, áp đặt sẽ khó giúp họ thay đổi chúng một cách tự giác Dạy học theo quan điểm kiến tạo rất coi trọng việc xem xét các quan niệm sai lầm đang

tồn tại ở HS , dùng chúng làm cơ sở cho việc thiết kế các kế hoạch dạy học, trong đó quá trình dạy học được xem là sự “đối chọi” giữa các ý kiến xung khắc, HS phải tự bộc lộ các quan niệm sai lầm và tự giác thay thế hoặc bổ sung bằng các kiến thức mới

Thuyết Kiến tạo quan niệm rằng "sai lầm không đơn giản do thiếu hiểu

biết, mơ hồ hay ngẫu nhiên sinh ra mà còn là hậu quả của một kiến thức trước đây đã từng có hữu ích và đem lại thành công, nhưng bây giờ tỏ ra sai hoặc đơn giản là không còn thích hợp nữa Trong hoạt động của giáo viên cũng như của học sinh, sai lầm bao giờ cũng góp phần hình thành nên nghĩa của kiến thức lĩnh hội được".[26]

Ngoài việc chỉ ra nguồn gốc căn bản của sai lầm, thuyết Kiến tạo cũng xét đến các nguyên nhân khác như hạn chế về tâm lí, về nhận thức của chủ thể, Theo thuyết này thì sai lầm thực sự đóng vai trò quan trọng cho học tập Đặc biệt, vì nó là hậu quả của những chướng ngại hình thành từ kiến thức cũ Vấn đề không phải phòng tránh sai lầm, mà chủ động tổ chức cho HS gặp sai lầm và sửa chữa nó Quan điểm đó phù hợp với R A Axanop: Việc tiếp thu tri thức một cách có ý thức được kích thích bởi việc tự HS phân tích một cách có suy nghĩ nội dung của từng sai lầm mà HS phạm phải, giải thích nguồn gốc của các sai lầm này và tư duy, lí luận về bản chất của các sai lầm Bên cạnh đó A

A Soliar cũng đã đặt ra một số bài toán phương pháp giảng dạy mà trong đó liên quan các tình huống HS dễ mắc sai lầm khi giải toán và khẳng định cần phải có biện pháp dạy học môn Toán dựa trên các sai lầm, khi các sai lầm của

HS xuất hiện G.Bachelard cũng nhấn mạnh "Cần phải tổ chức dạy học thông

qua việc phá huỷ một cách có hệ thống các sai lầm" [26]

Điểm khác biệt cơ bản giữa thuyết Hành vi và các quan điểm khác là cách thức sửa chữa sai lầm Trong khi thuyết Hành vi nhấn mạnh việc dạy lại

và gia tăng luyện tập củng cố, và do đó nhấn mạnh đến vai trò của giáo viên, thì các quan điểm khác chủ trương sửa chữa sai lầm bằng cách đặt HS vào

những tình huống học tập gắn liền với sai lầm đó Tình huống nhằm tạo ra ở

HS những xung đột nhận thức, cho phép họ tự nhận ra không chỉ sai lầm mà chủ yếu là nhận ra các qui trình hay quan niệm mà họ đã vận dụng sẽ dẫn tới những kết quả mâu thuẫn hay nghịch lí Các quan điểm này nhấn mạnh vai trò chủ thể của người học trong việc sửa chữa sai lầm điều này hoàn toàn phù hợp với định hướng đổi mới PPDH hiện nay

1.2.3 Quan điểm trong phương pháp dạy học theo Thuyết tình huống

Sai lầm ở đây có thể hiểu theo các chướng ngại của thuyết Tình huống, ở đây chủ yếu chúng ta quan tâm tới những chướng ngại mà HS có thể tránh được trong quá trình tìm kiếm tri thức Toán học nói chung và giải Toán nói riêng

Các quan điểm nhằm phát hiện và sửa chữa sai lầm đã phân tích trên đều dựa trên quan điểm hoạt động của Nguyễn Bá Kim Do đó các nguyên tắc sửa chữa sai lầm cho HS khi giải Toán thì cần phải tạo động cơ học tập sửa chữa các sai lầm HS thấy việc sửa chữa sai lầm là một nhu cầu và cần phải tham gia như một chủ thể một cách tự nguyện, say mê hào hứng Tạo cho HS có động

cơ hoàn thiện tri thức Cần lấy hoạt động học tập của HS để làm cơ sở cho quá trình lĩnh hội tri thức Hơn nữa các nguyên tắc phải tập trung vào phát triển hoạt động, rèn luyện các kĩ năng học tập của HS

Ngoài ra, PPDH giải quyết vấn đề dựa trên tình huống có vấn đề trong dạy học Khi HS mắc sai lầm là xuất hiện tình huống có vấn đề, có thể do GV tạo ra hoặc tự nó nảy sinh từ lôgíc bên trong của việc giải Toán Sai lầm của

HS tạo ra mâu thuẫn và mâu thuẫn này chính là động lực thúc đẩy quá trình nhận thức của HS Sai lầm của HS làm nảy sinh nhu cầu cho tư duy mà theo X

L Rubinstêin: “Tư duy sáng tạo luôn bắt đầu bằng một tình huống gợi vấn đề”

[7] Theo Nguyễn Anh Tuấn, thuộc nhóm năng lực phát hiện và giải quyết vấn

đề trong học Toán có “Năng lực phát hiện và sửa chữa sai lầm, nhược điểm

trong cách giải bài toán, trong quá trình tìm hiểu giới hạn cách giải quyết vấn

đề và năng lực sửa chữa sai lầm” [4]

Sai lầm của HS xuất hiện thì sẽ khêu gợi được hoạt động học tập mà HS

sẽ được hướng đích, gợi động cơ để tìm ra sai lầm và đi tới lời giải đúng Tìm

ra cái sai của mình đều là sự khám phá Từ sự khám phá này HS chiếm lĩnh được kiến thức một cách trọn vẹn hơn

1.3 Dạy học giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường Trung học phổ thông

1.3.1 Vai trò và ý nghĩa của nội dung Tổ hợp - Xác xuất trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông

Những yếu tố về Tổ hợp tạo điều kiện đưa một số yếu tố của Thống kê

và Xác suất vào nhà trường phổ thông Do đó khi nói đến vai trò và ý nghĩa của Thống kê và Xác suất thì trong đó bao hàm cả vai trò và ý nghĩa của Tổ hợp

1.3.1.1 Vai trò của Tổ hợp – Xác suất trong hoạt động thực tiễn của loài người

Trong cuốn Từ điển bách khoa phổ thông Toán học 2, tác giả

X.M.Nikolxki nói đến khái niệm Giải tích tổ hợp "là ngành toán học nghiên

cứu những vấn đề khác nhau liên quan đến việc sắp xếp các bộ phận khác nhau của một tập hợp đã cho, thường là tập hữu hạn" [7] Một dạng của bài

toán tổ hợp là bài toán chọn, thuộc lớp bài toán chọn này khá đặc trưng đối với nhiều mặt hoạt động của con người

Chẳng hạn, giả sử trong một chuyến bay trong vũ trụ, ta cần thực hiện n loại công việc nào đó (VD như sửa chữa các công việc khác nhau, quan sát thiên văn, các thí nghiệm sinh học và vật lý,…) Để thực hiện chuyến bay người ta chọn m ứng viên đã qua các tập luyện cần thiết Mỗi ứng viên có thể thực hiện được một số trong các công việc đòi hỏi Nhưng số thành viên tham gia chuyến bay được giới hạn rất ngặt Vì vậy phát sinh câu hỏi: có thể chọn tối thiểu bao nhiêu người trong m ứng viên để nhóm đó có thể thực hiện tất cả các nhiệm vụ đặt ra? Bài toán này là một trong những trường hợp riêng của bài toán tổ hợp về cực trị - bài toán phủ

"Thống kê toán và Lý thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hêt các

ngành khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kỳ thuật, vào quản lí kinh tế và

tổ chức nền sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp người lao động : kĩ sư, bác sĩ, GV, công nhân, nông dân,…" [8] V.I Lenin đã đánh giá

cao giá trị của thống kê: "Thống kê kinh tế - xã hội là một trong những vũ khí

hùng mạnh nhất để nhận thức xã hội"

Từ những năm 50 của thế kỉ XX, nhiều nhà Toán học và Giáo dục học trên thế giới đã nhận thấy sự cần thiết phải cho HS học một số yếu tố của Lí thuyết xác suất Nhiều hội nghị quốc tế về Toán học và Giáo dục học đều có sinh hoạt thảo luận vấn đề đó trong tiêu chuẩn về dạy học, chẳng hạn như các hội nghị: Năm 1969 ở Lyon (Pháp), năm 1972 ở Exeter (Anh), năm 1976 ở Karlsrrube (Cộng hòa liên bang Đức), năm 1980 ở Berlby (Mỹ), năm 1982 ở Seffin (Anh), Năm 1993, UNESCO đã tổng kết phong trào cải cách giáo dục Toán học trên thế giới và nêu rõ rằng xác suất là 1 trong 9 quan điểm chủ chốt sau đây để xây dựng nội dung học vấn Toán học ở phổ thông (trong phạm vi quốc tế) : Tập hợp, số, biến thiên, quan hệ và hàm số, đo đạc, không gian và quan hệ không gian, phép chứng minh, cấu trúc, xác suất

Trong việc tăng cường ứng dụng trong giảng dạy ở trường phổ thông -

một vấn đề có ý nghĩa lí luận và thực tiễn sâu sắc, "là một yêu cầu có tính

nguyên tắc, nhằm phản ánh được tinh thần và xu thế phát triển của Toán, mà một trong những phương hướng chủ yếu của nó là Toán ứng dụng Đặc biệt trong giai đoạn hiện nay, do nhu cầu của quá trình tự động hóa trong sản xuất, những ngành liên quan tới 3 hướng: hữu hạn, ngẫu nhiên và cực trị là những yếu tố phát triển mạnh nhất của Toán học hiện đại" [1] Lí thuyết xác

suất là một trong những môn học của Toán học ứng dụng, sau đây là một số ứng dụng của Lí thuyết xác suất: Trong vật lí phân tử, để nghiên cứu các hệ rất nhiều phân tử, phương pháp động lực học là bất lực, mà phải sử dụng phương pháp Thống kê – xác suất Lí thuyết xác suất được sử dụng rộng rãi trong sinh vật học Và hiện nay di truyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rãi các phương pháp Thống kê xác suất Sự vận dụng các phương pháp Thống kê xác

suất trong việc tổ chức và điều khiển nền sản xuất đã mang lại cho nền kinh tế quốc dân nhiều lợi ích rất to lớn

1.3.1.2 Vai trò và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xác suất vào môn Toán trong chương trình phổ thông

Việc tăng cường và làm rõ mạch ứng dụng Toán học được coi là một trong những quan điểm chủ đạo, xuyên suốt toàn bộ quá trình dạy học môn Toán ở trường phổ thông, chẳng hạn như : Một số yếu tố về thống kê mô tả, Lí

thuyết tổ hợp, Xác suất,… "Các vấn đề về phương pháp và kĩ thuật tính toán, lí

thuyết tối ưu, tổ hợp, xác suất được đưa vào một cách tường minh hay ẩn tàng

là nhằm mục đích giới thiệu mặt "tính toán" của Toán học hiện đại khi áp dụng giải quyết những bài toán thực tiễn phức tạp của cuộc sống thực vốn đã khác xa những vấn đề thực tiễn của các giai đoạn trước, các giai đoạn mà các nhà Toán học xây dựng và phát triển lí thuyết về phương trình, về hàm số, về phép tính vi phân và tích phân" [11]

Xu thế chung của giáo dục Toán học phổ thông hiện nay trên thế giới là tăng cường thực hành ứng dụng cho HS Vì vậy đa số các nước trên thế giới đã

có sự thống nhất về nội dung dạy học, và lựa chọn những tri thức có nhiều ứng dụng nhưng Thống kê toán và Lí thuyết xác suất Nội dung dạy học đó thường bao gồm những vấn đề về các yếu tố của Thống kê mô tả và một số yếu tố của Giải tích tổ hợp và một số yếu tố của Lí thuyết xác suất

Theo Nguyễn Bá Kim thì "Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại có

nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh Bởi vậy ngay từ những năm cuối thập kỉ 50 của thế kỉ XX, nhưng kết quả nghiên cứu của các nhà Toán học và Sư phạm trên thế giới đã khẳng định một

số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vào học vấn phổ thông, tức là khẳng định sự cần thiết đưa một số yếu tố của các lĩnh vực đó vào môn Toán ở trường phổ thông" [11]

Vũ Đình Hòa khẳng định "Sự chuyển hướng xây dựng Toán học hiện đại

dựa trên cơ sở lí thuyết tập hợp được mở ra ở cuối thế kỉ XIX Một trong

những ảnh hưởng mạnh mẽ nhất của lí thuyết tập hợp là lí thuyết tính toán với tập hợp hữu hạn : tổ hợp, hoán vị, chỉnh hợp, các bài toán trong hình học tổ hợp…" Các bài toán tổ hợp "là một bộ phận quan trọng của toán học có nội dung rất phong phú và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng như trong đời sống hằng ngày của chúng ta" và "Ngày nay, trong các kì thi quốc gia và quốc tế thường không vắng bóng các bài toán tổ hợp, nhất là trong các kì thi học sinh giỏi Toán Thông thường dây là các bài toán khó không chỉ đối với HS Việt Nam mà cả với HS quốc tế nói chung" [7]

Từ trước những năm 90 của thế kỉ XX, các công trình nghiên cứu của B.V Gnhedenko, V.V Firsov cùng các nhà sư phạm và Toán học Xô Viết khác đã thu được những kết quả đáng chú ý sau đây:

- Đã khẳng định được sự cần thiết của việc đưa các yếu tố của Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất vào môn Toán ở trường phổ thông

- Mực đích của dạy học Thống kê toán và Lí thuyết xác suất ở trường

phổ thông là : "Phát triển có hệ thống ở HS những tư tưởng về sự tồn tại trong

tự nhiên những quy luật của một thiên nhiên rộng lớn, bao la hơn cái thiên nhiên của thuyết quyết định luận cổ truyền nghiêm ngặt Đó chính là những quy luật thống kê"

- Việc hình thành cho HS một hệ thống nguyên vẹn những tri thức Thống kê – Xác suất phải được phối hợp thực hiện trong những giờ học của các môn học khác [33] Chính vì vậy, dạy học chủ đề Tổ hợp và Xác suất là góp phần tạp lập được trong tư tưởng của HS một bức tranh gần đúng của thế giới hiện thực, để tận dụng khả năng của Lí thuyết xác suất trong sự nghiệp giáo dục và đào tạo thế hệ trẻ, từ đó góp phần chuẩn bị tốt hơn cho học sinh bước vào cuộc sống lao động và học tập sau này Việc dạy học Xác suất phải tạo điều kiện cho HS vượt ra ngoài khuôn khổ của quyết định luận cơ học, hình thành cho các em những tư tưởng về biến cố ngẫu nhiên và xác suất, về

mối quan hệ biện chứng giữa tất nhiên và ngẫu nhiên, chằng hạn : "Khi một

hiện tượng xảy ra một cách ngẫu nhiên thì ta có thể coi đó là tín hiệu của một hay nhiều quy luật mà hiện nay khoa học chưa biết đến, hoặc mới biết đến nửa vời" Cho nên người ta thường nói "cái tất nhiên bộc lộ ra bên ngoài cái ngẫu nhiên" [25]

1.3.2 Nội dung chủ đề Tổ hợp - Xác xuất trong chương trình môn Toán ở trường Trung học phổ thông

Trong khoa học cũng như trong đời sống hàng ngày chúng ta thường gặp các hiện tượng ngẫu nhiên Đó là các hiện tượng mà ta không thể nói một cách chắc chắn rằng chúng xảy ra hay không xảy ra Ngẫu nhiên hiển diện mọi nơi, mọi lúc và luôn tác động đến chúng ta Ngẫu nhiên là một phần tất yếu của cuộc sống Việc nghiên cứu hiện tượng ngẫu nhiên là cần thiết để phát hiện tính quy luật của chúng Khoa học thống kê đã hình thành và phát triển, đặc biệt khi cơ sở Toán học là Lý thuyết xác suất cũng phát triển mạnh, để cuối cùng thống kê Toán học với nền tảng là Lý thuyết xác suất thực sự trở thành một ngành Toán học ứng dụng Vì thế nó đóng một vai trò cực kì quan trọng trong nhiều ngành khoa học, nhất là trong các ngành khoa học thực nghiệm như y khoa, sinh học, nông nghiệp, kinh tế Đặc biệt thống kê rất cần cho các cấp lãnh đạo, các nhà quản lý, các nhà hoạch định chính sách Khoa học thống

kê cung cấp cho họ các phương pháp thu thập, xử lý và diễn giải các phân tích

về dân số, kinh tế, giáo dục… để từ đó có thể vạch chính sách và ra các quyết định đúng đắn Do tầm quan trọng của Tổ hợp, Xác suất - Thống kê và theo xu thế phát triển chung của giáo dục Thế giới, đến nay các chủ đề trên đã được đưa vào giảng dạy một cách có hệ thống nhằm tăng cường những nội dung kiến thức về chủ đề này cho HS Cụ thể nội dung Tổ hợp, Xác suất - Thống kê được đưa vào chương trình môn Toán ở trường phổ thông qua các lớp như sau:

- Ở bậc tiểu học (ở các lớp 3,4,5 ): HS được làm quen với các số liệu

thống kê, bảng thống kê ở dạng đơn giản Sắp xếp lại số liệu theo mục đích, yêu cầu cho trước Hoặc dựa trên số liệu cho trước thực hành lập bảng số liệu, tính số trung bình cộng…

Ví dụ 1.1: ( SGK lớp 3, bài 1 trang 136 )

Dựa vào bảng trên hãy trả lời các câu hỏi sau:

a Lớp 3B có bao nhiêu HS giỏi? lớp 3D có bao nhiêu HS giỏi ?

b Lớp 3C có nhiều hơn lớp 3A bao nhiêu HS giỏi ?

c Lớp nào có nhiều HS giỏi nhất? Lớp nào có ít HS giỏi nhất?

Ví dụ 1.2: ( SGK lớp 5, bài 5 trang 20 )

Cho các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5

a Viết số lớn nhất có sáu chữ số đó ?

b Viết số nhỏ nhất có sáu chữ số đó ?

- Ở bậc THCS (Chủ yếu là ở lớp 7): Đưa vào SGK lớp 7 một chương

thống kê nhằm trang bị cho HS những kiến thức cơ bản của thống kê toán học gồm: dấu hiệu điều tra, đơn vị điều tra, tần số, bảng giá trị tần số, biểu đồ, số trung bình cộng…

- Ở bậc THPT (Chủ yếu là ở lớp 10 và 11):

+ Lớp 10: Tiếp tục cung cấp cho HS một cách có hệ thống những kiến

thức, kĩ năng của phương pháp trình bày số liệu thống kê, phương pháp thu gọn số liệu thống kê nhờ các số đặc trưng của bảng số liệu Cụ thể bao gồm những nội dung sau: Bảng phân bố tần số, bảng phân bố tần suất, bảng phân bố tần số ghép lớp, bảng phân bố tần suất ghép lớp, biểu đồ hình cột, biểu đồ hình quạt, đường gấp khúc tần số (tần suất), số trung vị, mốt, số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn

+ Lớp 11: Trang bị cho HS những kiến thức cơ bản của đại số tổ hợp

gồm các quy tắc cộng và nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp (không lặp), khai triển Niutơn Về nội dung xác suất, HS được tìm hiểu định nghĩa cổ điển của xác suất, mô tả không gian mẫu, mô tả các biến cố liên quan với phép thử, tính

xác suất theo định nghĩa, các quy tắc cộng xác suất, nhân xác suất, mối liên hệ giữa các biến cố đối, biến cố độc lập…

Đối với nội dung Tổ hợp – xác suất ở lớp 11 theo chương trình cơ bản yêu cầu HS phải đạt được chuẩn kiến thức kĩ năng sau [17] :

* Nội dung Tổ hợp:

- Về kiến thức: Biết được quy tắc cộng, quy tắc nhân, hoán vị của n phần

tử, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử, công thức nhị thức Niutơn

- Về kĩ năng: Bước đầu vận dụng được quy tắc cộng và quy tắc nhân Tìm được số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử Biết khai triển nhị thức Niutơn với một số mũ cụ thể Tìm được hệ số của k

x trong khai triển nhị thức Niutơn thành đa thức

* Nội dung Xác suất:

- Về kiến thức: Biết được phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu, biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên, định nghĩa cổ điển của xác suất của biến

cố, định nghĩa thống kê của xác suất Biết được các khái niệm: biến cố hợp, biến cố xung khắc, biến cố đối,biến cố giao, biến cố độc lập Biết được tính chất: P( ) 0; ( ) 1; 0P P A( ) 1 Biết được quy tắc cộng và nhân xác suất

- Về kĩ năng: Xác định được phép thử ngẫu nhiên, không gian mẫu và biến cố liên quan đến phép thử ngẫu nhiên Biết vận dụng quy tắc cộng và nhân xác suất trong bài tập đơn giản Biết sử dụng máy tính bỏ túi hỗ trợ tính xác suất

1.3.3 Một số vấn đề lưu ý trong dạy học giải toán Tổ hợp - Xác suất ở trường Trung học phổ thông

Trong quá trình giảng dạy cần rèn luyện cho HS nắm vững bản chất của các khái niệm, các kí hiệu, phân biệt các khái niệm; rèn luyện kĩ năng, phương pháp bộ môn ở mức độ phổ thông, cơ bản, theo yêu cầu sát với thực tiễn: Chẳng hạn, với quy tắc cộng thì trên thực tế HS đã làm quen từ lớp dưới một cách chưa có ý thức Bản chất Toán học của quy tắc cộng là công thức tính số

phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Nếu A và B là hai tập hợp

hữu hạn không có phần tử chung thì A B A B Tuy nhiên quy tắc cộng

trong SGK được trình bày dưới dạng mô tả: Giả sử có một công việc có thể được thực hiện theo phương án A hoặc phương án B Có n cách thực hiện theo phương án A và m cách thực hiện theo phương án B Khi đó công việc được thực hiện theo n + m cách Quy tắc này đơn giản nhưng do không nắm vững nên HS vẫn hay mắc sai lầm, trong cuộc sống hàng ngày có rất nhiều VD vận dụng quy tắc cộng, chẳng hạn:

Ví dụ 1.3: Nếu có 8 đầu sách Toán và 5 đầu sách Lý thì một học sinh có

8 + 5 = 13 cách để mượn một quyển Toán hoặc một quyển Lý từ thư viện

Một quy tắc nữa mà HS được học đó là quy tắc nhân, bản chất Toán học của quy tắc nhân là công thức tính số phần tử của một tích Đêcác của hai tập hợp hữu hạn Trong SGK, quy tắc nhân được mô tả như sau: Giả sử một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể làm theo n cách, với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo m.n cách

Với quy tắc nhân thầy giáo có thể thiết lập mô hình giải toán như sau:

- Chỉ ra các công đoạn để thực hiện công việc

- Tính số cách thực hiện trong từng công đoạn

- Kết quả bằng tích của các công đoạn

Ví dụ 1.4: Có 4 người A, B, C, D cần chọn vào chức Giám đốc, Kế toán

trưởng và Chủ tịch HĐQT Giả sử việc chọn nhân sự phải thoã mãn: Ông A không thể chọn là Giám đốc, chức Chủ tịch HĐQT phải là ông C hoặc ông D, hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Ta phân tích lời giải như sau:

Việc chọn 3 vị trí Giám đốc, Kế toán trưởng và Chủ tịch HĐQT tiến hành theo 3 công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn Chủ tịch HĐQT: có 2 cách chọn là ông C hoặc ông D Công đoạn 2: Chọn Giám đốc: Ta luôn có 2 cách chọn dù ở công đoạn 1

Trong nội dung và PPDH thực hiện mối liên hệ với thực tiễn; vận dụng các kiến thức đã học vào thực tiễn: Thực hiện mối liên hệ với thực tiễn là thể

hiện bản chất của quan điểm dạy học: “vượt ra ngoài các mô hình Xác suất, để

định hướng cho việc dạy học” Liên hệ với thực tiễn nhưng phải đảm bảo tính

hợp lí, tức là phải “vừa đủ” với thời gian cho phép và các ứng dụng thực tiễn

phải vừa sức với HS; đồng thời việc thực hiện mối liên hệ này phải có dụng ý

rõ ràng, và phải được thực hiện cả trong nội dung và PPDH

Trong chương trình Toán phổ thông, dựa vào các công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Niutơn người ta trình bày một số kiến thức về Xác suất theo quan điểm thống kê Do đó, những yếu tố về Xác suất được trình bày như những ứng dụng của Tổ hợp và mang tính cách là những kiến thức thực hành

Thực hiện mối liên hệ trong nội dung dạy học và trong nội bộ môn Toán: Thực hiện mối liên hệ với thực tiễn ngay trong nội dung dạy học như:

Các “quy tắc cộng” và “quy tắc nhân” gắn liền với các phép đếm trong thực tế;

“số hoán vị”, “số chỉnh hợp”, “số tổ hợp” gắn liền với việc đếm số phần tử, chọn số phương án trong thực tiễn; các “biến cố ngẫu nhiên” và “xác suất”

được hình thành trong sự gắn bó với các phép thử ngẫu nhiên trong thực tế Trong nội dung dạy học, các bài toán được khảo sát cũng được lấy từ thực tiễn vui chơi, thực tiễn học tập các môn học khác của HS, thực tiễn lao động sản

xuất Điều này cho thấy để hình thành hầu hết các kiến thức trừu tượng cần cung cấp cho HS phải kết hợp giữa quy nạp và suy diễn (cả trong nội dung lẫn PPDH) Đồng thời hình thành và phát triển cho HS vốn trực quan cảm tính và làm chỗ dựa cho nhận thức lí tính của HS

Ví dụ 1.5: Để hình thành khái niệm Hoán vị, sách giáo khoa hiện hành

trước tiên đưa ra một ví dụ cụ thể có nội dung thực tiễn: Ba vận động viên An, Bình và Châu chạy thi Nếu không kể trường hợp có 2 vận động viên cùng về đích một lúc thì các khả năng sau đây đều có thể xảy ra:

Thực hiện mối liên hệ với một số môn học khác: Thực hiện mối liên hệ với một số môn học khác là thể hiện tinh thần của Toán học phổ thông trong cải cách giáo dục Do đó, mối liên hệ với một số môn học khác cũng phải được thể hiện trong nội dung và phương pháp dạy học Tổ hợp và Xác suất Ứng dụng của Tổ hợp và Xác suất vào các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Sinh học, các ứng dụng được thể hiện trong các bài toán của các môn học đó

Ví dụ 1.6: Cho hai con lai cơ thể thuần chủng, khác nhau bởi n cặp tính

trạng tương phản ( n 1) Chứng minh rằng ở thế hệ con lai thứ hai chúng ta có:

C