của cỏc khỏi niệm, quy tắc, ký hiệu trong sỏch giỏo khoa từ đú vận dụng trong giải toỏn Tổ hợp - Xỏc suất
Hiện nay, trong SGK cỏc tri thức Tổ hợp - Xỏc suất được trỡnh bày sao cho ngầm phản ỏnh được tinh thần của Lớ thuyết Tổ hợp và Xỏc suất. Cụ thể là:
- Dẫn dắt cỏc khỏi niệm một cỏch sinh động, đi từ thực tế đến toỏn học một cỏch tự nhiờn, cú nhiều vớ dụ về cỏc tỡnh huống thực tế cú nội dung Tổ hợp và Xỏc suất.
- Tiếp tục sử dụng ngụn ngữ và kớ hiệu của lớ thuyết tập hợp mà HS quen dựng ở cỏc lớp dưới
- Thể hiện tinh thần của cấu trỳc khụng gian Xỏc suất , ,A P , trong
đú là khụng gian cỏc biến cố sơ cấp, A là đại số cỏc biến cố (đại số cỏc tập
con của ), P là độ đo xỏc suất của A. Cụ thể là: Trong lớ thuyết được trỡnh bày rừ ràng và cú trọng tõm về cỏc phộp toỏn cơ bản trờn tập hợp cỏc biến cố
ứng với cựng một phộp thử (thực chất đú là cỏc phộp toỏn trờn một đại số Bun- Lơ cỏc biến cố).
* Với kiến thức Tổ hợp:
Với quy tắc cộng thỡ trờn thực tế HS đó làm quen từ lớp dưới một cỏch chưa cú ý thức. Bản chất toỏn học của quy tắc cộng là cụng thức tớnh số phần tử của hai tập hợp hữu hạn khụng giao nhau: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn
khụng cú phần tử chung thỡ A B A B . Tuy nhiờn quy tắc cộng trong
SGK được trỡnh bày dưới dạng mụ tả: Giả sử cú một cụng việc cú thể được thực hiện theo phương ỏn A hoặc phương ỏn B. Cú n cỏch thực hiện theo phương ỏn A và m cỏch thực hiện theo phương ỏn B. Khi đú cụng việc được thực hiện theo n + m cỏch. Quy tắc này đơn giản nhưng do khụng nắm vững nờn HS vẫn hay mắc sai lầm. Trong cuộc sống hàng ngày cú rất nhiều VD vận dụng quy tắc cộng, chẳng hạn:
Vớ dụ 2.1: Nếu cú 8 đầu sỏch Toỏn và 5 đầu sỏch Lý thỡ một học sinh cú 8 + 5 = 13 cỏch để mượn một quyển Toỏn hoặc một quyển Lý từ thư viện
Một quy tắc nữa mà HS được học đú là quy tắc nhõn, bản chất Toỏn học của quy tắc nhõn là cụng thức tớnh số phần tử của một tớch Đờcỏc của hai tập hợp hữu hạn. Trong SGK, quy tắc nhõn được mụ tả như sau: Giả sử một cụng việc nào đú bao gồm hai cụng đoạn A và B. Cụng đoạn A cú thể làm theo n cỏch, với mỗi cỏch thực hiện cụng đoạn A thỡ cụng đoạn B cú thể làm theo m cỏch. Khi đú cụng việc cú thể thực hiện theo m.n cỏch.
Để khắc sõu cho HS hiểu quy tắc nhõn, GV cú thể biễu diễn bằng sơ đồ cõy trong từng vớ dụ cụ thể. Trong mụ hỡnh của ta gồm việc thực hiện liờn tiếp cỏc cụng đoạn, số cỏch thực hiện ở cụng đoạn tiếp theo phải như nhau với mọi cỏch đó được thực hiện ở cụng đoạn hiện tại. Do khụng nắm vững khỏi niệm
và kớ hiệu HS vẫn thường núi: Tổ hợp chập k của n là Cnk, hoặc: Chỉnh hợp
chập k của n là Ank. Đú là cỏch núi hoàn toàn sai. Cú thể tạo tỡnh huống để HS
Vớ dụ 2.2: Cho tập A = {1, 2, 3, 4}.
a) Hóy chỉ ra cỏc chỉnh hợp chập 3 của tập hợp A b) Tớnh số chỉnh hợp chập 3 của tập hợp A
c) Hóy chỉ ra cỏc tổ hợp chập 3 của tập hợp A d) Tớnh số tổ hợp chập 3 của tập hợp A
Việc liệt kờ ra cỏc chỉnh hợp rất mất thời gian nhưng HS được rốn luyện tớnh kiờn trỡ cũng từ đú HS cú cỏi nhỡn sõu sắc về sự phõn biệt cỏc chỉnh hợp khỏc nhau là như thế nào, tương tự như đối với tổ hợp. Cú thể cho HS trả lời cõu hỏi: Hai chỉnh hợp khỏc nhau khi nào? Hai Tổ hợp khỏc nhau khi nào?
Khi dạy cỏc cụng thức về tổ hợp, cú thể HS rất lỳng tỳng khi nhớ cỏc
cụng thức tớnh Pn, Ank , Cnk, nhờ đú ta cú thể đặt cõu hỏi: Cú cỏch gỡ để nhớ
được cỏc cụng thức trờn mà khụng bị nhầm lẫn?
Để trả lời cho cõu hỏi đú HS sẽ phải tớch cực suy nghĩ tỡm ra cỏch nhớ nhanh nhất và thầy giỏo cú thể nhận được rất nhiều phương ỏn. Cũng nhờ quỏ trỡnh tỡm tũi đú HS đó nhớ cụng thức rồi.
Sai lầm phổ biến của HS trong giải toỏn Tổ hợp là hay nhầm lẫn giữa cỏc quy tắc nhõn và cộng, lỳng tỳng khụng biết khi nào sử dụng chỉnh hợp và khi nào sử dụng tổ hợp.
Vớ dụ 2.3: Một lớp học cú 40 học sinh, cần cử ra một ban cỏn sự lớp gồm một lớp trưởng, một lớp phú và 3 uỷ viờn. Hỏi cú mấy cỏch lập ra ban cỏn sự.
Đối với bài toỏn này, để định hướng cỏch giải người GV cú thể nờu lờn cõu hỏi: Để chọn được một ban cỏn sự cần thực hiện mấy cụng đoạn? Nhỡn vào yờu cầu của bài toỏn cú thể HS sẽ trả lời được: Ta cần thực hiện cỏc cụng đoạn sau: chọn một lớp trưởng, chọn một lớp phú và chọn 3 uỷ viờn. Cuối cựng ta sẽ yờu cầu HS tỡm số cỏch chọn trong mỗi cụng đoạn:
Cụng đoạn 1: Chọn 1 lớp trưởng cú 40 cỏch
Cụng đoạn 2: Chọn 1 lớp phú trong 39 HSsau khi đó chọn lớp trưởng cú 39 cỏch
Cụng đoạn 3: Chọn 3 uỷ viờn trong 38 HScũn lại (3 uỷ viờn khụng cần cú thứ tự nờn dựng tổ hợp) cú 3
38
C .
Để biết được cú tất cả bao nhiờu cỏch chọn ban cỏn sự ta dựng quy tắc nào? Đến đõy HS sẽ biết dựng quy tắc nhõn để đưa ra kết quả số cỏch lập ra
ban cỏn sự lớp là: 40.39. 3 13160160
38
C cỏch
Bài toỏn này cú thể giải theo cỏch khỏc được khụng? Bõy giờ ta thực hiện cỏch chọn như sau:
Cụng đoạn 1: Chọn 2 HS để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phú, khi đú cỏch chọn này cú thứ tự nờn số cỏch chọn là 2
40
A
Cụng đoạn 2: Chọn 3 HS trong 38 HS cũn lại làm uỷ viờn, cỏch chọn này khụng cú thứ tự nờn số cỏch chọn là 3
38
C .
Vậy số cỏch chọn ban đại diện lớp là: 2 40
A . 3
38
C = 13160160 cỏch.
Khi phối hợp sử dụng cỏc kiến thức về hoỏn vị, chỉnh hợp, tổ hợp để giải cỏc bài toỏn, GV cần lứu ý HS cỏc đối tượng đếm khụng bị lặp lại. Đõy cũng là sai lầm rất dễ mắc phải.
Vớ dụ 2.4: Giải phương trỡnh: A3 Cx 2 14x
x x .
Học sinh sẽ giải như sau:
Ta cú: ! ! 14 3 ! 2! 2 ! x x x x x ( 1) ( 1)( 2) 14 2 x x x x x x 5 2 2 5 25 0 5 2 x x x x . Phương trỡnh cú 2 nghiệm 5; 5 2 x x Do khụng nắm vững khỏi niệm chỉnh hợp và tổ hợp nờn đó khụng đặt
điều kiện cho Ax3 và Cxx 2 cú nghĩa, tức là điều kiện x 3 và x Z . Khi đú
Cụng thức nhị thức Niu-tơn được vận dụng vào giải rất nhiều cỏc dạng toỏn. HS được tiếp cận cụng thức bằng phương phỏp quy nạp khụng hoàn toàn,
từ việc khai triển a b1, a b 2, a b 3, a b 4, sau đú tổng quỏt thành
cụng thức 0 n n k n k k a b C an b k
(1) với sự quy ước a0 b0 0 mà khụng
chứng minh. Tuy nhiờn HS sẽ rất khú khăn trong việc nhớ cụng thức nếu việc dạy học chỉ dừng lại ở đõy. Dạy học khụng chỉ dạy cho HS ghi nhớ cụng thức một cỏch mỏy múc mà dạy cho HS biết vận dụng cụng thức vào giải Toỏn. Do đú để HS cú thể vận dụng cụng thức nhị thức Niu-tơn vào giải cỏc bài toỏn cần cho HS hoạt động tỡm ra quy luật và những đặc trưng của cụng thức, đõy cũng là điều kiện để truyền thụ cho HS những tri thức phương phỏp cần thiết.
Nguyễn Bỏ Kim đó từng viết: “Tri thức phương phỏp đúng một vai trũ đặc biệt
quan trọng vỡ chỳng là cơ sở trực tiếp định hướng cho hoạt động” [12].
GV cho HS hoạt động bằng những cõu hỏi:
Em hóy nhận xột về quy luật của số mũ của a và số mũ của b trong cụng thức (1)?
Muốn cho cú quy luật ngược lại thỡ làm thế nào?
Nhận xột về cỏc hệ số trong khai triển nhị thức Niu-tơn?
Tỡm hệ số của an k kb ?
Mong đợi HS sẽ tỡm ra cỏc quy luật và đặc điểm sau:
- Trong cụng thức (1) số mũ của a giảm dần, số mũ của b tăng dần. - Muốn cú quy luật ngược lại (tức là cho số mũ của a tăng cũn số mũ của b giảm) thỡ ta viết như sau:
0
n
n n k k n k
a b b a C a bn
k .
- Cỏc hệ số trong khai triển đều là số nguyờn dương; cỏc hệ số ở đầu cựng bằng đơn vị; hệ số cỏc số hạng cỏch đều hai đầu cựng là như nhau; cỏc hệ số tăng từ cỏc biờn vào đến chớnh giữa.
- Hệ số của an k kb là Cnk
Hóy viết khai triển của a b n ? Đặc biệt viết khai triển của 1 x n
theo luỹ thừa tăng của x và theo luỹ thừa giảm của x?
Viết khai triển của 1 x n, từ đú hóy tớnh tổng của cỏc hệ số trong khai
triển nhị thức Niu-tơn?
* Với kiến thức Xỏc suất:
Với ý nghĩa thực tiễn sinh động của Lớ thuyết xỏc suất, cỏc biến cố đầu tiờn được mụ tả bằng lời tức là bằng một mệnh đề. Mỗi một biến cố như vậy xỏc định duy nhất một tập con của khụng gian mẫu và ngược lại, mỗi tập con của khụng gian mẫu cho ta biết khi nào một biến cố được phỏt biếu bằng lời tương ứng xảy ra và khi nào khụng. Vỡ thế trong nhiều tài liệu đó đồng nhất một biến cố với tập con tương ứng của khụng gian mẫu; điều đú đưa đến định nghĩa biến cố là một tập con của khụng gian mẫu và do đú cỏc phộp toỏn trờn cỏc biến cố là cỏc phộp toỏn trờn cỏc tập hợp. Tuy nhiờn, để khụng mất đi tớnh trực quan sinh động vốn cú của khỏi niệm biến cố, SGK hiện nay đó khụng định nghĩa biến cố một cỏch hỡnh thức như vậy. Dựa trờn cỏc phộp toỏn của lớ thuyết tập hợp, trong quỏ trỡnh dạy học GV cú thể lưu ý cho HS rằng: Biến cố A xảy ra khi cú một kết quả của phộp thử là phần tử thuộc A. Ngược lại, nếu kết quả của phộp thử khụng thuộc A thỡ ta núi A khụng xảy ra. Áp dụng bước suy luận sau:
- A A nờn A khụng xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra
- A B A
B nờn A B xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B
xảy ra.
- A B A
B nờn A B xảy ra khi và chỉ khi cả A và B cựng
xảy ra.
Trong VD dẫn đến định nghĩa cổ điển của Xỏc suất, biến cố sơ cấp ứng với phộp thử T (hay là một kết quả trực tiếp cú thể cú của phộp thử T) được giới thiệu như là một phần tử của tập hợp cỏc biến cố ngẫu nhiờn (ứng với
phộp thử T) cú tớnh chất sau đõy: Kết quả trực tiếp của việc thực hiện phộp thử T là và chỉ là biến cố ngẫu nhiờn trong tập hợp cỏc biến cố ngẫu nhiờn này. Đồng thời sau định nghĩa cổ điển của Xỏc suất, HS được tiếp tục tỡm hiểu (trong lớ thuyết và trong bài tập) cỏc tớnh chất sau đõy của tập hợp cỏc biến cố sơ cấp (ứng với phộp thử nào đú).
Nếu , ,...,
1 2 n là tất cả cỏc biến cố sơ cấp ứng với phộp thử T thỡ:
;i j
i j ( là biến cố khụng thể cú)
...
1 2 n ( là biến cố chắc chắn)
Ngoài ra được ngầm hiểu và sử dụng một cỏch “tự nhiờn” kết quả sau đõy: Khi xột đối với cựng một phộp thử, mỗi một biến cố là tổng của cỏc biến cố sơ cấp thuận lợi cho nú xảy ra.
Định nghĩa cổ điển của Xỏc suất là phương tiện để thực hiện những điều sau: - Đưa ra khỏi niệm Xỏc suất và cỏch tớnh trực tiếp xỏc suất trong trường hợp thoó món được điều kiện của định nghĩa này.
- Chứng minh cỏc tớnh chất cơ bản của xỏc suất.
Cũn định nghĩa thống kờ của xỏc suất chỉ ra điều kiện tồn tại của xỏc suất và cho phương phỏp ước lượng gần đỳng nú. Nhưng việc tớnh (gần đỳng) Xỏc suất theo định nghĩa thống kờ đũi hỏi phải thực hiện những dóy đủ lớn cỏc phộp thử như nhau. Trong khi cỏc giả thiết trong định nghĩa cổ điển bị vi phạm
ta phải sử dụng tới định nghĩa thống kờ của Xỏc suất. Trong SGK viết: “Người
ta chứng minh được rằng khi số lần thử N càng lớn thỡ tần suất của biến cố
càng gần với một số xỏc định số đú gọi là xỏc suất của A”. Đõy là một cỏch
phỏt biểu trực quan về một định luật quan trọng của xỏc suất cú tờn là Luật số
lớn như sau: “Gọi f ( )A
N là tần suất của biến cố A trong N phộp thử. Khi đú
ta cú: Lim fN( )A P A( )
N ”.
Tuy nhiờn, khụng thể định nghĩa theo kiểu này cho HS vỡ HS chưa được học về giới hạn. Định nghĩa này là một trong những cụng cụ đắc lực để điều tra, nghiờn cứu, phỏt hiện ra cỏc quy luật thống kể trong hiện thực khỏch quan.
“Đồng thời, cựng với ý nghĩa thống kờ của xỏc suất, nú cho những hiểu biết đầy đủ hơn và cụ thể hơn về Xỏc suất, về khả năng xảy ra của biến cố ngẫu
nhiờn” [8].
Vớ dụ 2.5: Dưới đõy là bảng số liệu của cỏc thớ nghiệm được thực hiện kể từ thế kỉ XVIII nhằm xỏc định tần suất của biến cố “xuất hiện mặt sấp” trong cỏc dóy gồm một số lớn cỏc phộp thử “gieo đồng xu đồng chất và đối xứng”
Ngƣời làm thớ nghiệm Số lần thực hiện thớ nghiệm Số lần xuất hiện mặt sấp
Tần suất của biến cố “xuất hiện mặt sấp” Boffon K.Pirson K.Pirson De Morgan Dgiewnx Romanovxki Pheller 4040 24000 12000 4092 20480 80640 10000 2048 12012 6019 2048 10379 39699 4979 0,5070 0,5005 0,5016 0,5005 0,5068 0,4923 0,4979
Theo số liệu này chỳng ta thấy cỏc tần suất của biến cố “xuất hiện mặt sấp” trong cỏc dóy rất nhiều phộp thử “gieo đồng xu đồng chất và đối xứng” là
cú tớnh ổn định, khi biến thiờn rất ớt xung quanh hằng số 1
2 với độ lệch khụng
đỏng kể (nhỏ hơn 0,01).
Trong khi định nghĩa cổ điển của Xỏc suất phải thoó món cỏc điều kiện: phộp thử chỉ cú một số hữu hạn kết quả và cỏc kết quả của phộp thử phải đồng khả năng. Thỡ định nghĩa thống kờ của Xỏc suất cú thể ỏp dụng cho bất kỡ phộp thử nào (chẳng hạn với phộp thử mà số kết quả của nú là vụ hạn hoặc kết quả của nú khụng đồng khả năng). Do đú, việc nờu rừ ý nghĩa thống kờ của Xỏc suất khụng chỉ cho HS nhận thức được đầy đủ hơn về Xỏc suất (do đú cú khả năng tốt hơn trong việc sử dụng cỏc suy luận hợp lớ và cỏc suy luận diễn dịch để học tốt về cỏc biến cố ngẫu nhiờn), mà cũn cú ý nghĩa gúp phần hỡnh thành cho HS quan niệm về quy luật thống kờ dạng đơn giản và sự tồn tại của nú trong hiện thực khỏch quan [33].
Tuy nhiờn việc nờu rừ ý nghĩa thống kờ của xỏc suất cho HS cú thực hiện được hay khụng? Muốn thực hiện được thỡ phải vượt ra ngoài khuụn khổ núi trờn, bước vào thực tiễn để tỡm quy luật thống kờ cho HS. Nhưng thật là khú khăn nếu như bảo HS tỡm kiếm quy luật thống kờ trong thực tiễn với những kiến thức như khỏi niệm Xỏc suất, cụng thức cộng, cụng thức nhõn Xỏc suất; vỡ những kiến thức này khụng trực tiếp thấy được những chỉ dẫn cho việc tỡm kiếm này; và từ trước tới nay HS chưa được tỡm hiểu gỡ về quy luật thống