ngữ toỏn học cho học sinh khi giải toỏn Tổ hợp - Xỏc suất
Dạy học Toỏn học núi chung và dạy học chủ đề Tổ hợp và Xỏc suất núi riờng cần chỳ ý đến nhiệm vụ gúp phần phỏt triển tư duy Toỏn học cho HS. Điều này được thực hiện thụng qua hệ thống cỏc bài tập và qua cỏc Bài đọc thờm trong chương này của SGK.
Hệ thống bài tập được phõn làm 3 loại như sau:
Loại 1: là cỏc bài tập để củng cố và bổ sung cho lớ thuyết;
Loại 2: là cỏc bài tập dựng để dạy cho HS vận dụng những điều đó học vào giải cỏc bài toỏn cú nội dung thực tiễn. Vỡ để phỏt triển tư duy toỏn học, cần thiết phải rốn luyện cho HS ứng dụng kiến thức Toỏn học và đặc biệt là ứng dụng kiến thức Toỏn học vào giải quyết cỏc bài toỏn thực tiễn. Chẳng hạn, đối với khả năng nắm cấu trỳc hỡnh thức của bài toỏn thỡ, việc nắm được cấu trỳc hỡnh thức của bài toỏn thuần tỳy toỏn học khụng khú khăn bằng việc nắm cấu trỳc hỡnh thức của bài toỏn thực tiễn tương ứng (kiến thức Toỏn học bản chất của hai bài toỏn là như nhau)- do bài toỏn thực tiễn liờn quan nhiều đến số liệu, dữ liệu, đối tượng khỏc nhau của thực tiễn, tạo nờn cỏi vỏ hỡnh thức phong
phỳ, đa dạng hơn. Do đú, việc rốn luyện cho HS khả năng vận dụng kiến thức Toỏn học vào thực tiễn gúp phần phỏt triển tư duy toỏn học cho HS.
Loại 3: là một số bài tập thuộc loại 2 nhưng được soạn ở mức độ cao hơn để gúp phần phỏt triển năng lực tư duy Toỏn học của HS, mà năng lực đú thể hiện ở mặt trớ tuệ và mặt định hướng của năng lực học Toỏn là: Cú tư duy khỏi quỏt hoỏ, phõn tớch, tổng hợp, tư duy logic; tư duy cú tớnh linh hoạt, sỏng tạo; sử dụng thành thạo cỏc kớ hiệu toỏn học thụng thường; biết ghi nhớ chọn lọc cỏc kiến thức toỏn học cơ bản; biết tự kiểm tra và vận dụng được kiến thức toỏn học vào giải quyết cỏc bài toỏn được đặt ra (mặt trớ tuệ). Say mờ giải toỏn, thớch phỏt hiện cỏc quy luật toỏn học, kiờn nhẫn quyết tõm giải cỏc bài toỏn khú (mặt định hướng).
Vớ dụ 2.21: Từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 cú thể tạo thành bao nhiờu số cú 5 chữ số sao cho cỏc chữ số đụi một khỏc nhau đồng thời và
a) Hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau
b) Hai chữ số 2 và 3 khụng đứng cạnh nhau c) Giữa hai chữ số 2 và 3 cú hai chữ số
Để giải bài toỏn này HS phải biết phõn tớch kĩ yờu cầu của đề:
Với cõu a) hai số 2 và 3 đứng cạnh nhau thỡ cú hai khả năng xảy ra: Hoặc số 3 đứng bờn phải số 2 thỡ cú 4 vị trớ xếp cặp 32; hoặc số 3 đứng bờn trỏi số 2 thỡ cú 4 vị trớ xếp cặp 23. Vậy cú 2.4 cỏch chọn cặp (2; 3) đứng cạnh nhau.ứng với mỗi đoạn chọn đú cú 3! cỏch xếp 3 phần tử cũn lại vào 3 vị trớ cũn lại. Do đú cú 2.4.3! = 48 số cú 5 chữ số sao cho cỏc chữ số đụi một khỏc nhau và hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau.
Với cõu b) ta chỉ cần lấy phần bự của kết quả tớnh được ở cõu a)
Với cõu c) ta lập một bộ 4 gồm hai phần tử gồm 2 và 3 và 2 phần tử trong cỏc phần tử cũn lại. Ứng với mỗi cặp (2; 3) cú 4 bộ trong đú cú hai phần
tử trong cỏc phần tử cũn lại nằm ở giữa 2 và 3. Như vậy cú 2
3
4.C = 12 bộ.
Mỗi bộ 4 đú cộng với phần tử cũn lại tạo thành một tập hợp gồm hai phần tử mà số hoỏn vị là 2!. Vậy số chữ số cú thể lập được là 12.2! = 24 số.
Từ bài toỏn này cú thể gợi ý cho HS nờu bài toỏn tổng quỏt:
ở trờn là ta tớnh số hoỏn vị của 5 phần tử với những điều kiện nhất định, vậy hóy tổng quỏt với n phần tử? Hai số 2 và 3 là hai số bất kỡ trong n phần tử đú? Và bài toỏn tổng quỏt hi vọng HS cú thể nờu được là:
Cho tập hợp A cú n phần tử trong đú cú hai phần tử a1 và a2. Hóy tớnh
số hoỏn vị của n phần tử đú trong cỏc trường hợp sau:
1
a và a2 đứng cạnh nhau
1
a và a2 khụng đứng cạnh nhau
Giữa a1và a2 cú hai phần tử
Đối với bài toỏn tổng quỏt này cú khú khăn hơn nhờ đú HS phải nỗ lực hoạt động phõn tớch, tổng hợp, so sỏnh, tương tự hoỏ để đưa ra cỏch giải tổng quỏt:
a) Ta cũng phải xột: Với a2 đứng bờn phải a1 thỡ a1 cú n – 1 vị trớ. Với
2
a đứng bờn trỏi a1 thỡ a1 cú n – 1 vị trớ. Như thế cú bao nhiờu cỏch chọn cặp
1
a , a2 đứng cạnh nhau? (cú 2(n-2) cỏch). ứng với mỗi đoạn đú cú bao nhiờu cỏch xếp n – 2 phần tử cũn lại? (vỡ cũn n – 2 vị trớ nờn cú (n – 2)! cỏch xếp ). Cú thể đưa ra đỏp số cú 2(n -1)(n – 2)! hoỏn vị trong đú a1 và a2 đứng cạnh nhau.
b) Số hoỏn vị của n phần tử trong đú a1 và a2 khụng đứng cạnh nhau là
n! – 2(n -1)(n – 2)! ( yờu cầu HS giải thớch điều này).
c) Tương tự như bài toỏn cụ thể ta lập một bộ 4 gồm hai phần tử a1, a2
và hai phần tử ai, aj trong cỏc phần tử cũn lại. Và cũng tương tự ứng với mỗi cặp a1, a2 cú 4 bộ trong đú ai, aj nằm giữa a1, a2 là (a1,ai,aj, a2), (a1,aj,ai, a2), (a2,ai,aj, a1), (a2,aj, ai, a1). Cú bao nhiờu cỏch chọn 2 phần tử ai, aj trong n -2 phần tử cũn lại? (cú 2 2 n C cỏch ). Như vậy cú 2 2 4.Cn = 2(n – 2)(n – 3) bộ 4. Mỗi bộ 4 đú cựng với cựng với n - 4 phần tử cũn lại tạo thành tập hợp gồm n – 3 phần tử, hóy tớnh số hoỏn vị tử n – 3 phần tử này? (là (n -3)!). Từ đú tớnh được số hoỏn vị cần tỡm là: 2(n – 2)(n – 3)(n – 3)!
Cỏc bài tập về ứng dụng của Lớ thuyết xỏc suất cú bao hàm những mối liờn hệ phức tạp, độc đỏo, đũi hỏi ở HS một tư duy tớch cực sỏng tạo trong quỏ trỡnh tỡm tũi lời giải của chỳng. Khi dạy học cỏc bài tập thuộc loại này, để gúp phần phỏt triển năng lực Toỏn học của HS, PPDH phải chỳ ý rốn luyện và phỏt triển năng lực hoạt động trớ tuệ cho HS bằng cỏch: thường xuyờn hướng dẫn HS thực hiện cỏc thao tỏc tư duy phõn tớch, tổng hợp, so sỏnh, tương tự hoỏ, và dặc biệt hoỏ để tự mỡnh tỡm ra lời giải của cỏc bài tập đó cho, và khai thỏc lời giải đó tỡm được. Đồng thời chỳ trọng phỏt triển trực giỏc xỏc suất cho HS, vỡ rằng trực giỏc xỏc suất phỏt triển cho khả năng “trực tiếp” định hướng được trong cỏc tỡnh huống xỏc suất mới, mà thực chất đú là sự phỏt minh, là biểu hiện của một năng lực toỏn học phỏt triển.
Vớ dụ 2.22: Chứng minh rằng khi thực hiện một số lớn lần lai hai cơ thể bố, mẹ thuần chủng khỏc một cặp tớnh trạng tương phản, và xột trong trường hợp trội hoàn toàn, thỡ ở thế hệ con lai thứ hai (F2) đều cú biểu hiện cả tớnh trạng trội lẫn tớnh trạng lặn theo tỉ lệ trung bỡnh 3 trội, 1 lặn.
Việc hướng dẫn HS giải bài tập này được thực hiện như sau:
Khi sử dụng cỏc suy luận hợp lớ , cú thể phõn tớch kết luận của bài toỏn theo cỏch sau đõy: “Theo tỉ lệ trung bỡnh 3 trội, 1 lặn” cú nghĩa là: Về trung bỡnh, cứ 4 con lai ở thế hệ con lai thứ 2 được sinh ra thỡ cú 3 con mang tớnh trạng trội, 1 con mang tớnh trạng lặn. Do đú ý nghĩa thống kờ của xỏc suất thể
hiện ở chỗ: Xỏc suất xuất hiện tớnh trạng trội ở F2 bằng 3
4; xỏc suất xuất hiện
tớnh trạng lặn ở F2 bằng 3 4.
Khi đó chứng minh được bài toỏn trờn hướng dẫn HS liờn hệ với định luật phõn tớnh của Menđen.
Trong chương trỡnh dạy học núi chung và chương trỡnh dạy học chủ đề Tổ hợp và Xỏc suất núi riờng, cỏc bài đọc thờm cú tỏc dụng hoàn thiện hơn nội dung dạy học, làm cho nú đỏp ứng nhiều hơn những yờu cầu của giỏo dục và đào tạo. Do những bài đọc thờm cú nội dung mở rộng kiến thức nờn cú khú hơn. Mặc dự vậy, để bồi dưỡng HS cú năng khiếu và lũng say mờ học về Tổ
hợp và Xỏc suất, GV cần phải giới thiệu một cỏch thớch hợp, nhằm gúp phần tốt hơn cho cỏc em tiếp tục nghiờn cứu và ứng dụng, vỡ đõy là một trong những nội dung của Toỏn học ứng dụng.
Chẳng hạn bài đọc thờm “Mở rộng quy tắc cộng và cụng thức cộng xỏc suất”: Quy tắc cộng, HS đó biết tớnh số phần tử của hai tập hợp hữu hạn khụng giao nhau. Tuy nhiờn trong nhiều bài toỏn Tổ hợp yờu cầu phải tớnh số phần tử của hai tập hợp hữu hạn A và B cú giao khỏc rỗng. Nhờ quy tắc cộng mở rộng này HS cú thể vận dụng giải nhiều bài toỏn tổ hợp cú nội dung thực tiễn phong phỳ, gúp phần mở rộng tầm hiểu biết của HS. Cũng từ sự mở rộng này GV hướng dẫn HS mở rộng quy tắc cộng cho n tập hợp hữu hạn cú giao khỏc rỗng, trong quỏ trỡnh này năng lực tư duy logic, khỏi quỏt hoỏ của HS được phỏt triển.
Vớ dụ 2.23: Một lớp cú 20 HS dự trại hố được chơi 2 mụn thể thao: cầu lụng và búng bàn. Cú 30 bạn đăng kớ chơi cầu lụng, 28 bạn đăng kớ chơi búng bàn và 10 bạn khụng đăng kớ chơi mụn nào. Hỏi cú bao nhiờu bạn:
a) Đăng kớ chơi cả 2 mụn b) Chỉ đăng kớ chơi một mụn
Hướng dẫn HS giải bài tập này, trước hết gọi A và B lần lượt là tập hợp HS đăng kớ chơi cầu lụng và búng bàn.
Tập hợp HS đăng kớ chơi cả hai mụn là tập nào? ( tập A B)
Tập hợp HS đăng kớ chơi ớt nhất một mụn là tập nào? ( tập A B)
Yờu cầu HS tớnh: N(A), N(B), N(A B)
Áp dụng quy tắc cộng mở rộng, hóy tớnh N(A B)?
Số bạn chỉ đăng kớ chơi một băng số bạn đăng kớ chơi ớt nhất một mụn trừ đi số bạn khụng đăng kớ chơi mụn nào. Từ gợi ý này HS đưa ra kết quả.
Cụng thức cộng xỏc suất mở rộng dựa trờn quy tắc cộng mở rộng. HS đó biết quy tắc cộng xỏc suất trong trường hợp hai biến cố xung khắc cựng liờn quan đến một phộp thử. Bõy giờ xột hai biến cố bất kỡ A và B cú cụng thức cộng mở rộng. Nhờ cụng thức cộng mở rộng này mà nhiều bài toỏn xỏc suất cú nội dung thực tiễn được giải quyết.
Đồng thời, hạn chế về mặt ngụn ngữ Toỏn học cũng cú nhiều trường hợp dẫn đến sai lầm như sau:
Vớ dụ 2.24: Cho 10 điểm trong mặt phẳng trong đú khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng. Xột tập hợp cỏc đường thẳng đi qua 2 điểm của 10 điểm đó cho. Số giao điểm khỏc 10 điểm đó cho, do cỏc đường thẳng này tạo thành nhiều nhất là bao nhiờu?
HS cú thể giải như sau: Mỗi đường thẳng đi qua đỳng 2 điểm trong số 10 điểm đó cho (do khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng).
Do đú số cỏc đường thẳng cú được là 2
10
C = 45.
Để số giao điểm tạo thành từ cỏc đường thẳng trờn khỏc 10 điểm đó cho là nhiều nhất thỡ cỏc đường thẳng này khụng cú cặp đường thẳng nào song song và khụng cú 3 đường nào đồng quy.
Khi đú cứ 2 đường thẳng thỡ cú 1 giao điểm, do đú số giao điểm tạo
thành là 2
45
C , trong đú cú 10 điểm đó cho nờn số giao điểm nhiều nhất khỏc 10
điểm đó cho là 2
45
C - 10 = 980 điểm.
Sai lầm: Với mỗi điểm đó cho, khi nối 9 điểm cũn lại sẽ cú 9 đường thẳng và 9 đường này đồng quy. Do đú giả thiết cỏc đường thẳng khụng cú 3 đường nào đồng quy là khụng thể xảy ra và đõy chớnh là nguyờn nhõn dẫn đến sai lầm của lời giải. GV cần thiết phải làm rừ cho HS thấy rằng giả thiết cỏc đường thẳng khụng cú 3 đường nào đồng quy ngoài 10 điểm đó cho mới là chớnh xỏc, qua đú lời giải đỳng như sau:
Mỗi đường thẳng cú được tạo thành từ 2 điểm bất kỳ trong số 10 điểm
đó cho nờn số đường thẳng cú là 2
10
C = 45.
Nếu cứ 2 đường thẳng cho 1 giao điểm thỡ sẽ cú 2
45
C giao điểm. Nhưng
mỗi điểm đó cho cú 9 đường thẳng đi qua nờn điểm này là giao của 2
9
C cặp
đường thẳng. Như vậy với 10 điểm đó cho được tớnh thành 10. 2
9
C giao điểm
trong 2
45
C giao điểm ở trờn.
Do đú số giao điểm nhiều nhất được tạo thờm ngoài 10 điểm đó cho là
2 45
C - 10. 2
9
2 đường thẳng nào song song và khụng cú 3 đường thẳng nào đồng quy ở ngoài 10 điểm đó cho.
2.2.6. Biện phỏp 6: Đưa học sinh vào cỏc tỡnh huống thử thỏch với những khú khăn và sai lầm, từ đú cú cỏc phản vớ dụ cần thiết để học sinh điều ứng sơ đồ nhận thức đó cú
Một trong những phương thức cho HS thử thỏch thường xuyờn với những bài toỏn dễ dẫn đến sai lầm trong lời giải đú là cài đặt cỏc bài toỏn cú chứa cỏc “bẫy”. Mỗi khi HS mắc sai lầm là đồng nghĩa với việc sa bẫy, "bẫy" trong cỏc bài toỏn là cỏc tỡnh huống được cỏc tỏc giả cài đặt mà nếu HS khụng vững kiến thức cơ bản thỡ sẽ mắc phải sai lầm.
Trước khi đưa ra bài toỏn để thử thỏch sai lầm của HS, dĩ nhiờn GV cần cú một sự hỡnh dung trực giỏc rằng, chỗ này, chỗ kia HS cú thể mắc sai lầm. Nhờ sự hỡnh dung trực giỏc ấy GV thiết kế bài toỏn tương thớch. Qua thực tiễn trỡnh bày lời giải bài toỏn ấy sẽ cung cấp cho GV một sự nhận định sỏt thực tế hơn so với cảm nhận trực giỏc ban đầu, và khi khẳng định chắc chắn sự sai lầm của HS thỡ một khõu đặc biệt quan trọng là phải dành thời gian thớch đỏng để nhấn mạnh kiến thức cần lưu ý cú thể liờn quan trực tiếp đến những sai lầm vừa mắc, thực chất là sự thể chế húa một lần nữa.
GV cần lưu ý rằng khụng nờn lặp lại quỏ trỡnh nhiều lần đối với một vấn đề vỡ như vậy sẽ tạo ra tớnh ỳ, mất hứng thỳ cho HS.
Trong cỏc vớ dụ được nờu ra sau đõy chỉ là 1 trong những hỡnh thức thử thỏch HS, trong đú trong cựng 1 bài toỏn, GV cú thể đưa ra nhiều lời giải khỏc nhau sau đú cho HS phõn tớch và lựa chọn lời giải đỳng.
Vớ dụ 2.25: Một tổ cú 12 HS nữ và 10 HS nam. Cần chọn ra 6 HS (3 nam, 3 nữ) để ghộp thành 3 đụi biểu diễn văn nghệ. Hỏi cú bao nhiờu cỏch ghộp?
Lời giải 1: - Số cỏch chọn thứ tự 3 nữ trong 12 nữ là 3
12
A (cỏch)
- Số cỏch chọn thứ tự 3 nam trong 10 nam là 3
10
A (cỏch)
- Vậy số cỏch chọn 3 đụi nam nữ là: 3
12
A . 3
10
A (cỏch)
Lời giải 2: - Số cỏch chọn 3 nữ trong 12 nữ là 3
12
- Số cỏch chọn 3 nam trong 10 nam là 3 12
C (cỏch)
- Vậy số cỏch chọn 3 đụi nam nữ là: 3
12
C . 3
12
C (cỏch)
Lời giải 3: - Số cỏch chọn 3 nữ trong 12 nữ là 3
12
C (cỏch)
- Số cỏch chọn 3 nam trong 10 nam là 3
12 C (cỏch) - Do đú số cỏch chọn 6 HS (3 nam, 3 nữ) là: 3 12 C . 3 12 C (cỏch)
- Vỡ một đụi cú hai bạn (1 nam, 1 nữ) nờn chọn ra 1 bạn nam (trong 3 bạn nam) và một bạn nữ (trong 3 bạn nữ) thỡ cú: 3.3 = 9(cỏch) - Vậy số cỏch chọn thoả món là: 9 3 12 C . 3