Sai lầm ở đõy cú thể hiểu theo cỏc chướng ngại của thuyết Tỡnh huống, ở đõy chủ yếu chỳng ta quan tõm tới những chướng ngại mà HS cú thể trỏnh được trong quỏ trỡnh tỡm kiếm tri thức Toỏn học núi chung và giải Toỏn núi riờng.
Cỏc quan điểm nhằm phỏt hiện và sửa chữa sai lầm đó phõn tớch trờn đều dựa trờn quan điểm hoạt động của Nguyễn Bỏ Kim. Do đú cỏc nguyờn tắc sửa chữa sai lầm cho HS khi giải Toỏn thỡ cần phải tạo động cơ học tập sửa chữa cỏc sai lầm. HS thấy việc sửa chữa sai lầm là một nhu cầu và cần phải tham gia như một chủ thể một cỏch tự nguyện, say mờ hào hứng. Tạo cho HS cú động cơ hoàn thiện tri thức. Cần lấy hoạt động học tập của HS để làm cơ sở cho quỏ trỡnh lĩnh hội tri thức. Hơn nữa cỏc nguyờn tắc phải tập trung vào phỏt triển hoạt động, rốn luyện cỏc kĩ năng học tập của HS.
Ngoài ra, PPDH giải quyết vấn đề dựa trờn tỡnh huống cú vấn đề trong dạy học. Khi HS mắc sai lầm là xuất hiện tỡnh huống cú vấn đề, cú thể do GV tạo ra hoặc tự nú nảy sinh từ lụgớc bờn trong của việc giải Toỏn. Sai lầm của HS tạo ra mõu thuẫn và mõu thuẫn này chớnh là động lực thỳc đẩy quỏ trỡnh nhận thức của HS. Sai lầm của HS làm nảy sinh nhu cầu cho tư duy mà theo X.
L. Rubinstờin: “Tư duy sỏng tạo luụn bắt đầu bằng một tỡnh huống gợi vấn đề”
[7]. Theo Nguyễn Anh Tuấn, thuộc nhúm năng lực phỏt hiện và giải quyết vấn
đề trong học Toỏn cú “Năng lực phỏt hiện và sửa chữa sai lầm, nhược điểm
trong cỏch giải bài toỏn, trong quỏ trỡnh tỡm hiểu giới hạn cỏch giải quyết vấn
Sai lầm của HS xuất hiện thỡ sẽ khờu gợi được hoạt động học tập mà HS sẽ được hướng đớch, gợi động cơ để tỡm ra sai lầm và đi tới lời giải đỳng. Tỡm ra cỏi sai của mỡnh đều là sự khỏm phỏ. Từ sự khỏm phỏ này HS chiếm lĩnh được kiến thức một cỏch trọn vẹn hơn.
1.3 Dạy học giải toỏn Tổ hợp - Xỏc suất ở trƣờng Trung học phổ thụng
1.3.1 Vai trũ và ý nghĩa của nội dung Tổ hợp - Xỏc xuất trong chương trỡnh mụn Toỏn ở trường Trung học phổ thụng mụn Toỏn ở trường Trung học phổ thụng
Những yếu tố về Tổ hợp tạo điều kiện đưa một số yếu tố của Thống kờ và Xỏc suất vào nhà trường phổ thụng. Do đú khi núi đến vai trũ và ý nghĩa của Thống kờ và Xỏc suất thỡ trong đú bao hàm cả vai trũ và ý nghĩa của Tổ hợp.
1.3.1.1 Vai trũ của Tổ hợp – Xỏc suất trong hoạt động thực tiễn của loài người
Trong cuốn Từ điển bỏch khoa phổ thụng Toỏn học 2, tỏc giả
X.M.Nikolxki núi đến khỏi niệm Giải tớch tổ hợp "là ngành toỏn học nghiờn
cứu những vấn đề khỏc nhau liờn quan đến việc sắp xếp cỏc bộ phận khỏc
nhau của một tập hợp đó cho, thường là tập hữu hạn" [7]. Một dạng của bài
toỏn tổ hợp là bài toỏn chọn, thuộc lớp bài toỏn chọn này khỏ đặc trưng đối với nhiều mặt hoạt động của con người.
Chẳng hạn, giả sử trong một chuyến bay trong vũ trụ, ta cần thực hiện n loại cụng việc nào đú (VD như sửa chữa cỏc cụng việc khỏc nhau, quan sỏt thiờn văn, cỏc thớ nghiệm sinh học và vật lý,…). Để thực hiện chuyến bay người ta chọn m ứng viờn đó qua cỏc tập luyện cần thiết. Mỗi ứng viờn cú thể thực hiện được một số trong cỏc cụng việc đũi hỏi. Nhưng số thành viờn tham gia chuyến bay được giới hạn rất ngặt. Vỡ vậy phỏt sinh cõu hỏi: cú thể chọn tối thiểu bao nhiờu người trong m ứng viờn để nhúm đú cú thể thực hiện tất cả cỏc nhiệm vụ đặt ra? Bài toỏn này là một trong những trường hợp riờng của bài toỏn tổ hợp về cực trị - bài toỏn phủ.
"Thống kờ toỏn và Lý thuyết xỏc suất, chỳng xõm nhập vào hầu hờt cỏc
tổ chức nền sản xuất, chỳng cú mặt trong cụng việc của mọi lớp người lao
động : kĩ sư, bỏc sĩ, GV, cụng nhõn, nụng dõn,…" [8]. V.I. Lenin đó đỏnh giỏ
cao giỏ trị của thống kờ: "Thống kờ kinh tế - xó hội là một trong những vũ khớ
hựng mạnh nhất để nhận thức xó hội".
Từ những năm 50 của thế kỉ XX, nhiều nhà Toỏn học và Giỏo dục học trờn thế giới đó nhận thấy sự cần thiết phải cho HS học một số yếu tố của Lớ thuyết xỏc suất. Nhiều hội nghị quốc tế về Toỏn học và Giỏo dục học đều cú sinh hoạt thảo luận vấn đề đú trong tiờu chuẩn về dạy học, chẳng hạn như cỏc hội nghị: Năm 1969 ở Lyon (Phỏp), năm 1972 ở Exeter (Anh), năm 1976 ở Karlsrrube (Cộng hũa liờn bang Đức), năm 1980 ở Berlby (Mỹ), năm 1982 ở Seffin (Anh),... Năm 1993, UNESCO đó tổng kết phong trào cải cỏch giỏo dục Toỏn học trờn thế giới và nờu rừ rằng xỏc suất là 1 trong 9 quan điểm chủ chốt sau đõy để xõy dựng nội dung học vấn Toỏn học ở phổ thụng (trong phạm vi quốc tế) : Tập hợp, số, biến thiờn, quan hệ và hàm số, đo đạc, khụng gian và quan hệ khụng gian, phộp chứng minh, cấu trỳc, xỏc suất.
Trong việc tăng cường ứng dụng trong giảng dạy ở trường phổ thụng - một vấn đề cú ý nghĩa lớ luận và thực tiễn sõu sắc, "là một yờu cầu cú tớnh nguyờn tắc, nhằm phản ỏnh được tinh thần và xu thế phỏt triển của Toỏn, mà một trong những phương hướng chủ yếu của nú là Toỏn ứng dụng. Đặc biệt trong giai đoạn hiện nay, do nhu cầu của quỏ trỡnh tự động húa trong sản xuất, những ngành liờn quan tới 3 hướng: hữu hạn, ngẫu nhiờn và cực trị là
những yếu tố phỏt triển mạnh nhất của Toỏn học hiện đại" [1]. Lớ thuyết xỏc
suất là một trong những mụn học của Toỏn học ứng dụng, sau đõy là một số ứng dụng của Lớ thuyết xỏc suất: Trong vật lớ phõn tử, để nghiờn cứu cỏc hệ rất nhiều phõn tử, phương phỏp động lực học là bất lực, mà phải sử dụng phương phỏp Thống kờ – xỏc suất. Lớ thuyết xỏc suất được sử dụng rộng rói trong sinh vật học. Và hiện nay di truyền học hiện đại đang tiếp tục sử dụng rộng rói cỏc phương phỏp Thống kờ xỏc suất. Sự vận dụng cỏc phương phỏp Thống kờ xỏc
suất trong việc tổ chức và điều khiển nền sản xuất đó mang lại cho nền kinh tế quốc dõn nhiều lợi ớch rất to lớn.
1.3.1.2 Vai trũ và ý nghĩa của việc đưa chủ đề Tổ hợp và Xỏc suất vào mụn Toỏn trong chương trỡnh phổ thụng.
Việc tăng cường và làm rừ mạch ứng dụng Toỏn học được coi là một trong những quan điểm chủ đạo, xuyờn suốt toàn bộ quỏ trỡnh dạy học mụn Toỏn ở trường phổ thụng, chẳng hạn như : Một số yếu tố về thống kờ mụ tả, Lớ
thuyết tổ hợp, Xỏc suất,… "Cỏc vấn đề về phương phỏp và kĩ thuật tớnh toỏn, lớ
thuyết tối ưu, tổ hợp, xỏc suất được đưa vào một cỏch tường minh hay ẩn tàng là nhằm mục đớch giới thiệu mặt "tớnh toỏn" của Toỏn học hiện đại khi ỏp dụng giải quyết những bài toỏn thực tiễn phức tạp của cuộc sống thực vốn đó khỏc xa những vấn đề thực tiễn của cỏc giai đoạn trước, cỏc giai đoạn mà cỏc nhà Toỏn học xõy dựng và phỏt triển lớ thuyết về phương trỡnh, về hàm số, về
phộp tớnh vi phõn và tớch phõn" [11]
Xu thế chung của giỏo dục Toỏn học phổ thụng hiện nay trờn thế giới là tăng cường thực hành ứng dụng cho HS. Vỡ vậy đa số cỏc nước trờn thế giới đó cú sự thống nhất về nội dung dạy học, và lựa chọn những tri thức cú nhiều ứng dụng nhưng Thống kờ toỏn và Lớ thuyết xỏc suất. Nội dung dạy học đú thường bao gồm những vấn đề về cỏc yếu tố của Thống kờ mụ tả và một số yếu tố của Giải tớch tổ hợp và một số yếu tố của Lớ thuyết xỏc suất.
Theo Nguyễn Bỏ Kim thỡ "Thống kờ Toỏn và Lớ thuyết xỏc suất lại cú
nhiều khả năng trong việc gúp phần giỏo dục thế giới quan khoa học cho học sinh. Bởi vậy ngay từ những năm cuối thập kỉ 50 của thế kỉ XX, nhưng kết quả nghiờn cứu của cỏc nhà Toỏn học và Sư phạm trờn thế giới đó khẳng định một số tri thức cơ bản của Thống kờ toỏn và Lớ thuyết xỏc suất phải thuộc vào học vấn phổ thụng, tức là khẳng định sự cần thiết đưa một số yếu tố của cỏc lĩnh
vực đú vào mụn Toỏn ở trường phổ thụng" [11]
Vũ Đỡnh Hũa khẳng định "Sự chuyển hướng xõy dựng Toỏn học hiện đại
những ảnh hưởng mạnh mẽ nhất của lớ thuyết tập hợp là lớ thuyết tớnh toỏn với tập hợp hữu hạn : tổ hợp, hoỏn vị, chỉnh hợp, cỏc bài toỏn trong hỡnh học tổ
hợp…". Cỏc bài toỏn tổ hợp "là một bộ phận quan trọng của toỏn học cú nội
dung rất phong phỳ và nhiều ứng dụng trong thực tiễn khoa học kĩ thuật cũng
như trong đời sống hằng ngày của chỳng ta" và "Ngày nay, trong cỏc kỡ thi
quốc gia và quốc tế thường khụng vắng búng cỏc bài toỏn tổ hợp, nhất là trong cỏc kỡ thi học sinh giỏi Toỏn. Thụng thường dõy là cỏc bài toỏn khú
khụng chỉ đối với HS Việt Nam mà cả với HS quốc tế núi chung" [7]
Từ trước những năm 90 của thế kỉ XX, cỏc cụng trỡnh nghiờn cứu của B.V. Gnhedenko, V.V. Firsov cựng cỏc nhà sư phạm và Toỏn học Xụ Viết khỏc đó thu được những kết quả đỏng chỳ ý sau đõy:
- Đó khẳng định được sự cần thiết của việc đưa cỏc yếu tố của Thống kờ Toỏn và Lớ thuyết xỏc suất vào mụn Toỏn ở trường phổ thụng.
- Mực đớch của dạy học Thống kờ toỏn và Lớ thuyết xỏc suất ở trường
phổ thụng là : "Phỏt triển cú hệ thống ở HS những tư tưởng về sự tồn tại trong
tự nhiờn những quy luật của một thiờn nhiờn rộng lớn, bao la hơn cỏi thiờn nhiờn của thuyết quyết định luận cổ truyền nghiờm ngặt. Đú chớnh là những
quy luật thống kờ".
- Việc hỡnh thành cho HS một hệ thống nguyờn vẹn những tri thức Thống kờ – Xỏc suất phải được phối hợp thực hiện trong những giờ học của cỏc mụn học khỏc [33]. Chớnh vỡ vậy, dạy học chủ đề Tổ hợp và Xỏc suất là gúp phần tạp lập được trong tư tưởng của HS một bức tranh gần đỳng của thế giới hiện thực, để tận dụng khả năng của Lớ thuyết xỏc suất trong sự nghiệp giỏo dục và đào tạo thế hệ trẻ, từ đú gúp phần chuẩn bị tốt hơn cho học sinh bước vào cuộc sống lao động và học tập sau này. Việc dạy học Xỏc suất phải tạo điều kiện cho HS vượt ra ngoài khuụn khổ của quyết định luận cơ học, hỡnh thành cho cỏc em những tư tưởng về biến cố ngẫu nhiờn và xỏc suất, về mối quan hệ biện chứng giữa tất nhiờn và ngẫu nhiờn, chằng hạn : "Khi một
hiện tượng xảy ra một cỏch ngẫu nhiờn thỡ ta cú thể coi đú là tớn hiệu của một hay nhiều quy luật mà hiện nay khoa học chưa biết đến, hoặc mới biết đến nửa vời". Cho nờn người ta thường núi "cỏi tất nhiờn bộc lộ ra bờn ngoài cỏi ngẫu nhiờn" [25]
1.3.2 Nội dung chủ đề Tổ hợp - Xỏc xuất trong chương trỡnh mụn Toỏn ở trường Trung học phổ thụng trường Trung học phổ thụng
Trong khoa học cũng như trong đời sống hàng ngày chỳng ta thường gặp cỏc hiện tượng ngẫu nhiờn. Đú là cỏc hiện tượng mà ta khụng thể núi một cỏch chắc chắn rằng chỳng xảy ra hay khụng xảy ra. Ngẫu nhiờn hiển diện mọi nơi, mọi lỳc và luụn tỏc động đến chỳng ta. Ngẫu nhiờn là một phần tất yếu của cuộc sống. Việc nghiờn cứu hiện tượng ngẫu nhiờn là cần thiết để phỏt hiện tớnh quy luật của chỳng. Khoa học thống kờ đó hỡnh thành và phỏt triển, đặc biệt khi cơ sở Toỏn học là Lý thuyết xỏc suất cũng phỏt triển mạnh, để cuối cựng thống kờ Toỏn học với nền tảng là Lý thuyết xỏc suất thực sự trở thành một ngành Toỏn học ứng dụng. Vỡ thế nú đúng một vai trũ cực kỡ quan trọng trong nhiều ngành khoa học, nhất là trong cỏc ngành khoa học thực nghiệm như y khoa, sinh học, nụng nghiệp, kinh tế. Đặc biệt thống kờ rất cần cho cỏc cấp lónh đạo, cỏc nhà quản lý, cỏc nhà hoạch định chớnh sỏch. Khoa học thống kờ cung cấp cho họ cỏc phương phỏp thu thập, xử lý và diễn giải cỏc phõn tớch về dõn số, kinh tế, giỏo dục… để từ đú cú thể vạch chớnh sỏch và ra cỏc quyết định đỳng đắn. Do tầm quan trọng của Tổ hợp, Xỏc suất - Thống kờ và theo xu thế phỏt triển chung của giỏo dục Thế giới, đến nay cỏc chủ đề trờn đó được đưa vào giảng dạy một cỏch cú hệ thống nhằm tăng cường những nội dung kiến thức về chủ đề này cho HS. Cụ thể nội dung Tổ hợp, Xỏc suất - Thống kờ được đưa vào chương trỡnh mụn Toỏn ở trường phổ thụng qua cỏc lớp như sau:
- Ở bậc tiểu học (ở cỏc lớp 3,4,5 ): HS được làm quen với cỏc số liệu thống kờ, bảng thống kờ ở dạng đơn giản. Sắp xếp lại số liệu theo mục đớch, yờu cầu cho trước. Hoặc dựa trờn số liệu cho trước thực hành lập bảng số liệu, tớnh số trung bỡnh cộng…
Vớ dụ 1.1: ( SGK lớp 3, bài 1 trang 136 )
Lớp 3A 3B 3C 3D
Số HS giỏi 18 13 25 15
Dựa vào bảng trờn hóy trả lời cỏc cõu hỏi sau:
a. Lớp 3B cú bao nhiờu HS giỏi? lớp 3D cú bao nhiờu HS giỏi ?
b. Lớp 3C cú nhiều hơn lớp 3A bao nhiờu HS giỏi ?
c. Lớp nào cú nhiều HS giỏi nhất? Lớp nào cú ớt HS giỏi nhất?
Vớ dụ 1.2: ( SGK lớp 5, bài 5 trang 20 ) Cho cỏc chữ số : 0, 1, 2, 3, 4, 5
a. Viết số lớn nhất cú sỏu chữ số đú ?
b. Viết số nhỏ nhất cú sỏu chữ số đú ?
- Ở bậc THCS (Chủ yếu là ở lớp 7): Đưa vào SGK lớp 7 một chương thống kờ nhằm trang bị cho HS những kiến thức cơ bản của thống kờ toỏn học gồm: dấu hiệu điều tra, đơn vị điều tra, tần số, bảng giỏ trị tần số, biểu đồ, số trung bỡnh cộng…
- Ở bậc THPT (Chủ yếu là ở lớp 10 và 11):
+ Lớp 10: Tiếp tục cung cấp cho HS một cỏch cú hệ thống những kiến
thức, kĩ năng của phương phỏp trỡnh bày số liệu thống kờ, phương phỏp thu gọn số liệu thống kờ nhờ cỏc số đặc trưng của bảng số liệu. Cụ thể bao gồm những nội dung sau: Bảng phõn bố tần số, bảng phõn bố tần suất, bảng phõn bố tần số ghộp lớp, bảng phõn bố tần suất ghộp lớp, biểu đồ hỡnh cột, biểu đồ hỡnh quạt, đường gấp khỳc tần số (tần suất), số trung vị, mốt, số trung bỡnh cộng, phương sai, độ lệch chuẩn.
+ Lớp 11: Trang bị cho HS những kiến thức cơ bản của đại số tổ hợp
gồm cỏc quy tắc cộng và nhõn, hoỏn vị, chỉnh hợp, tổ hợp (khụng lặp), khai triển Niutơn. Về nội dung xỏc suất, HS được tỡm hiểu định nghĩa cổ điển của xỏc suất, mụ tả khụng gian mẫu, mụ tả cỏc biến cố liờn quan với phộp thử, tớnh
xỏc suất theo định nghĩa, cỏc quy tắc cộng xỏc suất, nhõn xỏc suất, mối liờn hệ giữa cỏc biến cố đối, biến cố độc lập…
Đối với nội dung Tổ hợp – xỏc suất ở lớp 11 theo chương trỡnh cơ bản yờu cầu HS phải đạt được chuẩn kiến thức kĩ năng sau [17] :
* Nội dung Tổ hợp:
- Về kiến thức: Biết được quy tắc cộng, quy tắc nhõn, hoỏn vị của n phần tử, chỉnh hợp, tổ hợp chập k của n phần tử, cụng thức nhị thức Niutơn.