bài tập xác suất thống kê chương 3

3.1 Xác suất để một máy sản xuất được mộtsản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,9.. Tính xác suất để có ítnhất 5 sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong 6 sảnphẩm do máy sản xuất... Nếutrong 10 sản phẩm sản

3.1 Xác suất để một máy sản xuất được một

sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,9 Cho máysản xuất 6 sản phẩm Tính xác suất để có ítnhất 5 sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong 6 sảnphẩm do máy sản xuất

- 2010

X: số sp đạt tiêu chuẩn trong 6 SP được SX.

X~B(6; 0,9)

Cần tính P(X ≥ 5)

P(X ≥ 5) = P(X=5) + P(X=6)

= 0,35429 + 0,53144 = 0,88574

3.2 Trong một đợt thi tay nghề, mỗi công

nhân dự thi phải sản xuất 10 sản phẩm Nếutrong 10 sản phẩm sản xuất ra có từ 8 sảnphẩm loại I trở lên thì được nâng bậc thợ.Giả sử đối với công nhân A, xác suất để sảnxuất được sản phẩm loại I là 0,7 Tính xácsuất để công nhân A được nâng bậc thợ

- 2010

X: số sp loại I trong 10 sp được sản xuất.

X~B(10; 0,7)

P(X ≥ 8) = P(X=8) + P(X=9) + P(X=10)

= 0,23347 + 0,12106 + 0,02825

3.3 Một cuốn sách có 420 trang, trong đó có

210 lỗi Tính xác suất để một trang sáchchọn ngẫu nhiên từ cuốn sách này có 2 lỗi

- 2010

X: “số lỗi mỗi trang sách”

X~P(210/420) = P(0,5)

P(X=2) = 0,52

3.12 Một loại chi tiết máy do một phân

xưởng sản xuất được coi là đạt tiêu chuẩn kỹthuật nếu đường kính của nó sai lệch so vớiđường kính thiết kế không quá 0,012 mm vềgiá trị tuyệt đối Tính số chi tiết đạt tiêuchuẩn kỹ thuật trung bình khi phân xưởngsản suất 100 chi tiết Biết đường kính củaloại chi tiết máy do phân xưởng sản xuất làđại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn vớiđộ lệch chuẩn là 0,006 mm

- 2010

X: “đường kính chi tiết máy được SX”

X~N(μ, 0,0062)

P( |X − μ| < 0,012) = 2Φ(0,012/0,006) = 2Φ(2)Số chi tiết đạt chuẩn trong 100 chi tiết:

100×0,9545 = 95,45

3.15 Một lô trái cây có 500 trái (trong đó có

80 trái kém chất lượng) Một người muahàng chọn ngẫu nhiên 20 trái Tìm xác suấtcó ít nhất 2 trái kém chất lượng trong số 20trái mà người khách đó đã mua

- 2010

X: “số trái cây kém chất lượng”.

X~H(500, 80, 20)

P(X ≥ 2) = 1 − P(X=0) − P(X=1)

= 1 − 0,0284 − 0,1133 = 0,8583

3.16 Một lô hàng gồm 1.000 hộp Tỷ lệ sản

phẩm loại A của mỗi hộp như nhau và đềubằng 0,8 Tiến hành kiểm tra lô hàng theocách sau: Từ lô hàng chọn ngẫu nhiên khônghoàn lại ra 100 hộp, rồi từ các hộp đã chọnlấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm để kiểmtra Nếu thấy có ít nhất 72 sản phẩm loại Atrong số 100 sản phẩm lấy ra kiểm tra thìnhận lô hàng Tính xác suất nhận lô hàng

- 2010

X: “số SP A có trong 100 SP lấy từ 100 hộp”.

3.17 Một máy dệt có 800 ống sợi Xác suất

để một ống sợi bị đứt trong khoảng thời gian

1 giờ máy hoạt động là 0,25% Tìm xác suấtđể trong khoảng thời gian 1 giờ máy hoạtđộng có không quá 2 ống sợi bị đứt

- 2010

X: số ống sợi bị đứt trong 800 ống.

3.20 Có 3 kiện hàng, mỗi kiện có 10 sản

phẩm Số sản phẩm loại I của kiện thứ nhất,thứ hai, thứ ba tương ứng là: 9; 8; 7 Người

ta lần lượt lấy từ mỗi kiện ra 3 sản phẩm đểkiểm tra (lấy không hoàn lại) Nếu cả 3 sảnphẩm lấy ra kiểm tra đều là loại I thì mua lôhàng đó Tìm xác suất để có 2 kiện hàngđược mua

- 2010

Theo công thức siêu bội:

XS kiện 1 được mua: p1 = 0,7

XS kiện 2 được mua: p2 = 0,46667

XS kiện 3 được mua: p3 = 0,29167

XS có 2 kiện được mua:

p = 0,3×0,46667×0,29167

+ 0,7×(1−0,46667)×0,29167

+ 0,7×0,46667×(1−0,29167) = 0,38111

3.21 Có 3 kiện hàng, mỗi lô có 10 sản phẩm.

số sản phẩm loại I của kiện thứ nhất, thứhai, thứ ba tương ứng là 9; 8; 7 Người ta lầnlượt lấy từ mỗi lô ra 3 sản phẩm để kiểm tra(lấy không hoàn lại) Nếu cả 3 sản phẩm lấy

ra kiểm tra đều là loại I thì mua lô hàng đó.Tìm xác suất để kiện hàng có 7 sản phẩmloại I được mua Biết rằng chỉ có một kiệnđược mua

- 2010

Theo công thức siêu bội:

XS kiện 1 được mua: p1 = 0,7

XS kiện 2 được mua: p2 = 0,46667

XS kiện 3 được mua: p3 = 0,29167

XS có 1 kiện được mua:

p = 0,7×(1−0,46667)×(1−0,29167)

+ 0,3×0,46667×(1−0,29167)

+ 0,3×(1−0,46667)×0,29167 = 0,41028

3.22 Trọng lượng của các bao gạo do một

máy đóng bao sản xuất là đại lượng ngẫu

nhiên X Cho biết X~N(50; 0,16) Bao gạo là

loại I nếu trọng lượng của nó từ 49,8 kg trởlên Tìm tỷ lệ bao loại I do máy này đóngbao

- 2010

3.23 Tung một con xúc xắc cân đối và đồng

chất 5 lần Gọi X tổâng là số chấm của 5 lầntung Tính kỳ vọng toán của X

- 2010

Y : toång soá chaám 1 laàn tung X = 5Y

E(X) = 5E(Y) = 5 (1+2+3+4+5+6) / 6 = 17,5

3.24 Tỷ lệ thứ phẩm của sản phẩm A là

20% Người ta tiến hành kiểm tra sản phẩm

A trước khi đưa ra bán trên thị trường bằngmột thiết bị tự động Thiết bị kiểm tra tựđộng có độ chính xác 90% đối với chínhphẩm, 95% đối với thứ phẩm Sản phẩm Ađược đưa ra bán trên thị trường nếu thiết bịkiểm tra tự động coi là chính phẩm Mộtngười mua 5 sản phẩm A Tính phương saicủa số chính phẩm có trong 5 sản phẩm này

- 2010

A1, A2: “SP được kiểm tra là CP, PP”.

B: “SP đem kiểm tra được thiết bị báo là CP”

3.25 Có hai kiện hàng Mỗi kiện có 20 sản

phẩm Kiện thứ nhất có 16 sản phẩm loại I.Kiện thứ hai có 12 sản phẩm loại I Từ mỗikiện lấy ngẫu nhiên không hoàn lại ra 5 sảnphẩm Gọi X là tổng số sản phẩm loại I cótrong 10 sản phẩm lấy ra từ hai kiện Tìmphương sai của X

- 2010

X1, X2: số SP A trong 5 SP lấy từ kiện I, II.var(X) = var(X1+X2) = var(X1) + var(X2)

X1, X2 là PP Siêu bội

3.26 Một máy sản xuất hàng loạt một loại

sản phẩm Sản phẩm được coi là đạt tiêuchuẩn nếu trọng lượng của nó sai lệch so vớitrọng lượng qui định không quá 0,36 về giátrị tuyệt đối Biết rằng trong lượng của loạisản phẩm do máy sản xuất là đại lượng ngẫunhiên có phân phối chuẩn với phương sai là0,04 Tính xác suất để có ít nhất 9 sản phẩmđạt tiêu chuẩn trong 10 sản phẩm do máysản xuất

- 2010

X: trọng lượng sản phẩm A X~N(µ, 0,22)

XS gặp SP đạt chuẩn:

p = P(|X − µ| < 0,36) = 2Φ(0,36/0,2) = 2Φ(1,8) = 0,9282

Y: số SP đạt chuẩn trong 10 SP Y~B(10; p)

P(Y ≥ 9) = P(Y=9) + P(Y=10)

= 0,3672 + 0,4747 = 0,8419

3.27 Khoảng thời gian từ khi sản phẩm được

sử dụng đến khi bị hư hỏng do lỗi của nhàsản xuất của một loại sản phẩm là biến ngẫunhiên X Cho biết X có phân phối chuẩn vớikỳ vọng toán là 15 tháng và độ lệch chuẩnlà 3 tháng Nếu quy định thời gian bảo hànhlà 12 tháng thì tỷ lệ bảo hành là bao nhiêu?

- 2010

X: tuổi thọ (tháng) của SP X~N(15; 32)

P(X < 12) = 0,5 + Φ((12−15)/3) = 0,5 − Φ(1)

= 0,5 − 0,1413 = 0,1587 = 15,87%

3.28 Khoảng thời gian từ khi sản phẩm được

sử dụng đến khi bị hư hỏng do lỗi của nhàsản xuất của một loại sản phẩm là biến ngẫunhiên X Cho biết X có phân phối với kỳvọng toán là 15 tháng và độ lệch chuẩn là 3tháng Nếu muốn tỷ lệ sản phẩm phải bảohành là 2,28% thì phải quy định thời gianbảo hành là bao nhiêu tháng?

- 2010

X: tuổi thọ (tháng) của SP X~N(15; 32)

t: thời gian bảo hành

3.29 Một người cân nhắc giữa việc mua cổ

phiếu của công ty A và công ty B hoạt độngtrong hai lĩnh vực độc lập nhau Biết lãi suấtcổ phiếu (tính theo %) của hai công ty là cácđại lượng ngẫu nhiên phân phối theo phânphối chuẩn với các tham số đặc trưng sau:

Kỳ vọng toán Độ lệch chuẩn

Một người muốn hạn chế rủi ro bằng cáchmua cổ phiếu của cả hai công ty thì nên muatheo tỷ lệ bao nhiêu để mức độ rủi ro về lãisuất là nhỏ nhất?

- 2010

X1, X2: lãi suất Cty I (II) X: tổng lãi suất.t: tỷ lệ đầu tư vào Cty I X = tX1 + (1−t)X2

f(t) = var(X) = t2var(X1) + (1−t)2var(X2)

3.30 Gọi XA, XB là ĐLNN biểu thị lãi suấthàng năm khi đầu tư vào hai ngành A, B.

XA, XB độc lập, XA~N(12, 9); XB~N(15, 16).

Một người đầu tư 30% vào ngành A và 70%vào ngành B Gọi Z là lãi suất thu được đốivới phương án đầu tư này Tính phương saicủa Z

- 2010

Z = 0,3XA + 0,7XA

var(Z) = 0,32var(XA) = 0,72var(XA)

= 0,09×9 + 0,21×16 = 8,65

3.32 Trong một đợt thi tay nghề, mỗi công

nhân dự thi sẽ chọn ngẫu nhiên một tronghai máy và với máy đã chọn sản xuất 10 sảnphẩm Nếu trong 10 sản phẩm sản xuất racó từ 9 sản phẩm loại I trở lên thì được nângbậc thợ Giả sử đối với công nhân A, xácsuất để sản xuất được sản phẩm loại I đốivới hai máy tương ứng là 0,7 và 0,9 Tínhxác suất để công nhân A được nâng bậc thợ.(lấy 4 số thập phân khi tính)

- 2010

X, Y: số SP loại I công nhân A SX được trên

máy 1, 2 X~B(10; 0,7) Y~B(10; 0,9).

A1, A2: “Máy I, II được chọn”

B: “công nhân A SX được 9SP loại I trở lên”

A1, A2 ĐĐ&XK Theo công thức XSĐĐ:

P(B) = P(A1)P(X ≥ 9) + P(A2)P(Y ≥ 9)

= 0,5×0,1493 + 0,5×0,7361 = 0,4427

3.33 Sản phẩm (SP) của một nhà máy sau

khi sản xuất xong được đóng thành từnghộp Mỗi hộp chứa 10 SP Số SP loại I cótrong một hộp có phân phối XS như sau:

Tỷ lệ hộp 20% 30% 40% 10%

Từ một hộp sản phẩm do nhà máy sản xuất,chọn ngẫu nhiên 2 SP để kiểm tra thì thấycả hai SP đều là loại I Nếu cũng từ hộp đólấy tiếp một SP nữa để kiểm tra thì xác suấtlấy được SP loại I là bao nhiêu?

- 2010

B: “Lấy 2 SP, được 2 SP loại I”.

C: “Lấy tiếp 1 SP, được SP loại I”

Cần tính P(C/B) Ta có: P(C/B) = P(CB)/P(B)P(B) = P(BΣAi) = ΣP(BAi) =

= 0,2×(C /72 C )102 ×(5/8) + + 0,1×(C /102 C )102 ×(8/8)

3.34 Đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu trong đó

phần xác suất thống kê có 25 câu, mỗi câu có

4 cách trả lời trong đó chỉ có một cách trảlời đúng Kết quả trả lời mỗi câu hỏi khôngảnh hưởng đến câu khác Mỗi câu trả lờiđúng được 0,2 điểm Sinh viên A trả lời đúng

10 câu trong phần xác suất thống kê, các câucòn lại trả lời một cách ngẫu nhiên (cầumay) Tính xác suất để sinh viên A được ítnhất 3 điểm phần xác suất thống kê (Kếtquả lấy 4 số thập phân)

- 2010

10 câu XSTK trả lời đúng: 2 điểm.

SV cần từ 1 điểm trở lên cho 15 câu XSTKcòn lại, tức là trả lời đúng ít nhất 5 câu

Gọi X là số câu trả lời đúng trong 15 câuXSTK còn lại thì X~B(15, 1/4)

P(X ≥ 5) = 1 − P(X < 4) = 0,3135

3.35 Xác suất để máy thứ nhất sản xuất

được sản phẩm loại I là 0,7 Đối với máy thứhai xác suất này là 0,6 Cho mỗi máy sảnxuất hai sản phẩm Tìm xác suất để có 3 sảnphẩm loại I

- 2010

X, Y: số SP loại I do máy thứ 1, thứ 2 SX.

X~B(2; 0,7) Y~B(2; 0,6)

Cần tính P(X+Y=3)

P(X+Y=3) = P(X=1)P(Y=2) + P(X=2)P(Y=1)

= 0,42×0,36 + 0,49×0,48 = 0,3864