Cơ sở giải tích lồi

CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒI Huỳnh Thế Phùng Đại học Khoa học, Đại học Huế Mục lục Lời nói đầu 5 Chương 1 Tập lồi trên không gian vec-tơ 7 1.1 Tập affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Nón và Quan hệ thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4 Định lí Carathéodory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5 Định lí Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.6 Điểm bọc, điểm dính tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.7 Hàm cỡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.8 Định lí tách trong không gian vec-tơ . . . . . . . . . . . . 25 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Chương 2 Không gian tôpô lồi địa phương 31 2.1 Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2 Không gian vec-tơ tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Không gian tôpô lồi địa phương . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.4 Tôpô lồi địa phương mạnh nhất . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.5 Không gian tích - Phần bù tôpô . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.6 Sự liên tục của hàm cỡ - Nửa chuẩn . . . . . . . . . . . . . 50 Mục lục 3 2.7 Các tính chất tôpô của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.8 Nón lùi xa của tập lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Chương 3 Không gian liên hợp 61 3.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.2 Định lí Tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.3 Tôpô yếu trên X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4 Tôpô yếu* trên X ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.5 Cặp đối ngẫu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.6 Trường hợp không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 76 3.7 Nón liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Chương 4 Hàm lồi 87 4.1 Định nghĩa hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.2 Các phép toán trên hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4.3 Hàm nửa liên tục dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.4 Hàm lồi liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 4.5 Biểu diễn hàm lồi theo hàm affine . . . . . . . . . . . . . . 101 4.6 Hàm tựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 4.7 Hàm liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.8 Hàm K−lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4 Mục lục Chương 5 Dưới vi phân 115 5.1 Định nghĩa dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 5.2 Mối liên hệ với khái niệm đạo hàm . . . . . . . . . . . . . 117 5.3 Các phép toán qua dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . 124 5.4 Các định lí giá trị trung bình . . . . . . . . . . . . . . . . 130 5.5 Tính đơn điệu của dưới vi phân và gradient . . . . . . . . 135 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Chương 6 Các điều kiện tối ưu 139 6.1 Sự tồn tại nghiệm của hệ bất đẳng thức lồi . . . . . . . . . 139 6.2 Bài toán tối ưu - Các định lí tồn tại cơ bản . . . . . . . . . 145 6.3 Nón tiếp xúc và nón pháp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . 148 6.4 Hướng chấp nhận được và hướng giảm . . . . . . . . . . . 158 6.5 Điều kiện tối ưu cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 6.6 Các điều kiện tối ưu điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . 163 6.7 Các điều kiện tối ưu dạng điểm dừng . . . . . . . . . . . . 168 6.8 Điều kiện tối ưu dạng điểm dừng suy rộng . . . . . . . . . 175 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Tài liệu tham khảo 179 Danh mục kí hiệu 179 Danh mục từ khoá 182 LỜI NÓI ĐẦU Từ những công trình đầu tiên trên tập lồi của Minkowski, Helly đến nay giải tích lồi đã trải qua gần tròn một thế kỷ hình thành và phát triển, và hiện đã trở thành một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của toán học hiện đại, ở đó xuất hiện ngày càng nhiều các kết quả đẹp mà có thể được sử dụng như các công cụ sắc bén trong việc khảo cứu các lĩnh vực khác của toán học như phép tính biến phân, phương trình đạo hàm riêng, lí thuyết xác suất và đặc biệt là lí thuyết tối ưu. Những nhà toán học có nhiều đóng góp quan trọng vào lĩnh vực này có thể kể đến F. Berstein, A. Brønsted, F. Browder, C. Carathéodory, Ky Fan, W. Fenchel, D. Gale, E.G. Goldstein, B. Gr¨umbaum, P.C. Ham- mer, E. Helly, R. Holmes, B. Jensen, P.J. Kelly, V.L. Klee, Đ.T. Lục, H. Minkowski, J.J. Moreau, T.S. Motzkin, J P. Penot, B. Pshenichnyi, R.T. Rockafellar, S.N. Robinson, E.G. Strauss, H. Tietze, A.W. Tucker, Hoàng Tụy, F.A. Valentine, D.E. Varberg . . . Một điều thú vị là, mặc dù rất gần gũi với một lĩnh vực khá trừu tượng là giải tích hàm, hầu hết các kết quả sâu sắc trong giải tích lồi đều có liên quan hoặc phụ thuộc vào đặc điểm hình học của tập lồi, nên thường được giải thích, minh họa một cách sáng sủa. Cũng nhờ vậy, qua giải tích lồi, nhiều kết quả quan trọng trong giải tích hàm đã được làm sáng tỏ một cách không ngờ. Giáo trình này nhằm cung cấp cho độc giả những kết quả cơ bản nhất của giải tích lồi, mà đã trở thành kinh điển của giải tích hiện đại, thông qua sự sắp xếp của tác giả dựa trên kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm cho sinh viên và học viên cao học ngành toán. Mặc dù phần lớn các kết quả vẫn còn đúng cho các không gian trên trường số phức, toàn bộ giáo trình này chỉ khảo sát trên không gian vec-tơ và không gian lồi địa phương thực. Nội dung 6 Lời nói đầu giáo trình gồm 6 chương. Chương Một trình bày các khái niệm và tính chất của tập lồi trên không gian vec-tơ (không có tôpô) cùng các định lí quan trọng như Định lí Carathéodory, Định lí Hanh-Banach và Định lí Tách cơ bản. Chương Hai khảo sát các tính chất tôpô của tập lồi trong không gian lồi địa phương. Chương Ba giới thiệu không gian liên hợp và các định lí tách tập lồi. Các tôpô yếu và cặp đối ngẫu cũng được khảo sát tỉ mỉ trong chương này. Chương Bốn trình bày khái niệm hàm lồi, các kết quả cơ bản về tính liên tục, hàm liên hợp, hàm tựa và các phép toán trên hàm lồi. Khái niệm dưới vi phân của hàm lồi cùng các phép toán trên dưới vi phân được trình bày trong Chương Năm. Các định lí giá trị trung bình và tính đơn điệu của dưới vi phân cũng được thiết lập trong chương này. Chương cuối cùng dành để khảo sát các điều kiện tối ưu sử dụng công cụ giải tích lồi. Tài liệu này được viết dành cho sinh viên, học viên cao học ngành toán và cả những nhà nghiên cứu có sử dụng công cụ giải tích lồi. Người đọc cần có các kiến thức đại số tuyến tính, tôpô đại cương và một ít kiến thức giải tích hàm trước khi đọc giáo trình này. Tuy vậy, để tài liệu mang tính độc lập tương đối, ngoại trừ các kết quả cơ bản của tôpô đại cương ở đầu Chương Hai, hầu hết các kết quả nêu trong giáo trình đều được chứng minh chi tiết. Để tạo điều kiện cho người đọc củng cố kiến thức và tự mình khám phá sâu hơn, rãi rác trong từng chương và cuối mỗi chương chúng tôi có đưa thêm các bài tập, mà một số trong chúng có thể được sử dụng lại như những bổ đề để chứng minh các kết quả khác. Vì tính sư phạm, phần lớn các bài tập cho không gian vô hạn chiều chỉ sử dụng các không gian l p . Người đọc có kiến thức tốt về lí thuyết độ đo có thể dễ dàng phát biểu lại các bài tập này trên các không gian L p (Ω) tương ứng và giải. Một số hình vẽ minh hoạ trong tài liệu cũng nằm trong nỗ lực của chúng tôi nhằm làm cho người đọc trực nhận vấn đề nhanh hơn. Mặc dù đã cố gắng hết sức, tài liệu vẫn khó tránh khỏi các thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được các ý kiến đóng góp từ quý đồng nghiệp và các bạn. Chương 1 Tập lồi trên không gian vec-tơ 1.1 Tập affine Cho X là một không gian vec-tơ trên trường số thực và x, y ∈ X, ta kí hiệu L(x, y), [x, y], (x, y) và [x, y ) lần lượt là đường thẳng đi qua x, y, đoạn thẳng, khoảng mở và nửa khoảng nối hai điểm x và y. Tức là L(x, y) = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ R}, [x, y] = {λx + (1 − λ)y | λ ∈ [0, 1]}, (x, y) = [x, y] \{x, y}, [x, y) = [x, y] \{y}. Vậy, nếu x = y thì [x, y] = L(x, y) = {x}, còn [x, y) = (x, y] = (x, y) = ∅. x y xx x y x y L(x, y) [x, y] [x, y) Hình 1.1. Đường thẳng, đoạn thẳng và nửa khoảng 8 1.1. Tập affine Một tập con M của X được gọi là đa tạp affine, hay đơn giản là tập affine, nếu với mọi cặp điểm x, y ∈ M ta có L(x, y) ⊆ M. Chẳng hạn trong không gian ba chiều, tập hợp một điểm, đường thẳng, mặt phẳng là các tập affine. Trong khi đó, hình cầu, hình đa giác nói chung không phải là tập affine. M x y Hình 1.2. M là tập affine Từ định nghĩa này ta có ngay tính chất sau: Mệnh đề 1.1. Giao của một họ bất kì các tập affine là một tập affine. Cho A ⊆ X là một tập con của X. Ta gọi bao affine của A, kí hiệu aff A, là giao của tất cả các tập affine chứa A. Từ Mệnh đề 1.1, aff A là tập affine và là tập affine bé nhất chứa A. Thật ra tập aff A có thể được biểu diễn một cách tường minh hơn. Ta gọi vec-tơ có dạng x = m  i=1 λ i a i , với λ i ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, thoả mãn m  i=1 λ i = 1, là một tổ hợp affine của các vec-tơ {a 1 , . . . , a m }. Ta có kết quả cơ bản sau: Mệnh đề 1.2. a) Một tập affine thì chứa mọi tổ hợp affine của các vec-tơ của nó, b) aff A = {x | x là tổ hợp affine của các vec-tơ thuộc A}, c) A là tập affine khi và chỉ khi A = aff A, d) A là tập affine khi và chỉ khi với mọi a ∈ A, A − a là một không gian con của X. Nói cách khác, A = a + V với V là một không gian con của X. Hơn nữa, không gian V được xác định duy nhất bởi A. Chương 1. Tập lồi trên không gian vec-tơ 9 Chứng minh. (c) được suy ra trực tiếp từ định nghĩa của bao affine. a) Giả sử A là tập affine. Với mọi a i ∈ A và λ i ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, sao cho  λ i = 1, ta chứng minh x = m  i=1 λ i a i ∈ A. Trường hợp m = 1 hoặc m = 2 là tầm thường. Giả sử khẳng định là đúng với m = k − 1 ≥ 2 ta chứng minh cho trường hợp m = k. Vì không thể xảy ra trường hợp λ i = 1 với mọi i, ta có thể giả thiết λ k = 1. Đặt λ = k−1  i=1 λ i = 1 −λ k = 0. Lúc đó, theo giả thiết qui nạp, b := k−1  i=1 λ i λ a i ∈ A. Vì vậy x = λb + (1 − λ)a k ∈ A. b) Đặt B là tập ở vế phải. Dễ kiểm chứng được rằng B là tập affine và B ⊇ A. Vì vậy B ⊇ aff A. Mặt khác, theo a) ta cũng có bao hàm thức ngược lại. d) Giả sử A là tập affine và a ∈ A. Ta chứng minh V = A − a là một không gian con. Với mọi u, v ∈ A −a và λ, µ ∈ R, ta có u = a 1 − a, v = a 2 − a với a 1 , a 2 ∈ A, do đó λu + µv = λa 1 + µa 2 + (1 −λ −µ)a − a ∈ A −a (vì λa 1 + µa 2 + (1 −λ −µ)a là một tổ hợp affine các vec-tơ thuộc A). Vậy A − a là một không gian con của X. Giả sử ngược lại, A = a + V với V là không gian con. Với mỗi x, y ∈ A và λ ∈ R ta có λx + (1 − λ)y = λ(x −a) + (1 − λ)(y − a) + a ∈ V + a = A. Vậy A là tập affine. Để chứng minh tính duy nhất của V ta lấy bất kì a, a 1 , a 2 ∈ A. Lúc đó a − a 1 + a 2 ∈ A, vì đó là một tổ hợp affine các vec-tơ 10 1.1. Tập affine thuộc A. Từ đây suy ra A−a 1 +a 2 ⊆ A, hay A−a 1 ⊆ A−a 2 . Do bao hàm thức đúng với mọi a 1 , a 2 ∈ A nên V = A −a không phụ thuộc vào a. Không gian con (duy nhất) V trong mệnh đề trên được gọi là không gian con song song với A. Ta gọi chiều và đối chiều của A chính là chiều và đối chiều của V , tức là dim A := dim V và codim A := codim V. Nếu codim A = 1 ta nói A là một siêu phẳng. Một ánh xạ F từ X vào một không gian vec-tơ thực Y được gọi là ánh xạ tuyến tính nếu F (λx 1 + µx 2 ) = λF (x 1 ) + µF (x 2 ), ∀x 1 , x 2 ∈ X, λ, µ ∈ R. Có thể kiểm chứng được tập hợp L(X, Y ) các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y cũng là một không gian vec-tơ thực với các phép toán cộng ánh xạ và tích của ánh xạ với số vô hướng. Khi Y = R, ta ký hiệu X # := L(X, R), là không gian các phiếm hàm tuyến tính trên X. Có thể chứng minh được rằng, với mọi F ∈ L(X, Y ), tập Ker F := {x ∈ X | F (x) = 0} là một không gian con của X. Đặc biệt, nếu f ∈ X # \ {0} thì Ker f là một không gian con có đối chiều bằng 1. Tổng quát hơn ta có kết quả sau: Mệnh đề 1.3. Một tập con A của X là siêu phẳng khi và chỉ khi tồn tại f ∈ X # \ {0} và α ∈ R sao cho A = f −1 (α) = {x ∈ X | f(x) = α}. Chứng minh. Giả sử A là siêu phẳng, ta có A = a + V với V là không gian con có đối chiều bằng 1. Lấy x 0 ∈ X \ V ta có X = V + span{x 0 }, trong đó span{x 0 } là không gian sinh bởi x 0 . Với mọi x ∈ X, tồn tại duy nhất v ∈ V và λ ∈ R sao cho x = v + λx 0 . Bằng cách đặt f(x) = λ ta có f là một phiếm hàm tuyến tính trên X với Ker f = V . Bây giờ đặt . vậy, qua giải tích lồi, nhiều kết quả quan trọng trong giải tích hàm đã được làm sáng tỏ một cách không ngờ. Giáo trình này nhằm cung cấp cho độc giả những kết quả cơ bản nhất của giải tích lồi, . vực khá trừu tượng là giải tích hàm, hầu hết các kết quả sâu sắc trong giải tích lồi đều có liên quan hoặc phụ thuộc vào đặc điểm hình học của tập lồi, nên thường được giải thích, minh họa một cách. CƠ SỞ GIẢI TÍCH LỒI Huỳnh Thế Phùng Đại học Khoa học, Đại học Huế Mục lục Lời nói đầu 5 Chương 1 Tập lồi trên không gian vec-tơ 7 1.1 Tập affine .