Vận dụng hàm số vào việc giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình SKKN toán 12

Hàm số là một trong những khái niệm cơ bản của toán học nói chung và chương trình toán phổ thông nói riêng. Các bài toán khó về hàm số, phương trình, bất phương trình thường có mặt trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi các cấp... Lý thuyết về hàm số, phương trình, bất phương trình và hệ phương trình được trình bày khá rõ ràng trong SGK Đại số lớp 10 của nhà xuất bản Giáo dục ( Sách chỉnh lý hợp nhất năm 2000, sách phân ban năm 2006) và một số sách tham khảo khác.

   !"!#$ %!&  '() Ng*+, /0.,12 Taàn Theá Anh L   !"# $% &'!()%*! 3.42..5267642.82.,129:-;.<0 Naêm hoïc 2011 - 2012   =>=?=@$A BCDEF BG9HI252.J$2. BKHL <2K2M6(,2.+, /-/01. NB,O,-P2.23! QB!RS0.T#45#6#789:; UB!,12 VW,.0/1<.=,>/ XBYSZ[[BB\6S,]-S2 \S2.^U^_`K6S,]B0V6 aB.b09c _B!d29R032K-<0#45#6#789:;B B!e!" G09Rf.Vg00.hLI2632-i42.jk0SV2.l-m?@%3 M62.:2no2K+ + .hLI22K.H2.jHV-WV# B$A =p2.9/00.hLI26320q;,2.2K.,16# )2M60q;,2.2K.,160A! <0(<2K;,J2;,2.2K.,16j'0q-iV2KU2M6K52jrL.,   = eD iS2K 6B2C$DEFG6H27I#JC, 6B2CC2KCEL2MGNO7I#JC #;4;4P%(Q;8, O#RS8%T%A, 3#RSU 9T%AU +7V;SU >!W3(Q;8< ,< 6B2CCC#XG6YG#6ZG6C[27I#JC< CG\]R< CC2 (Q;8= O$;:;= C#)((^_;4`8!\V_;4`Pa;_;4` ba;W38!\V = CC8!\V^R;4c_a; ;4c= dd8;R1 CY(e;%"3;3!\V1 CCY(e;%"3;3!\V/. Gd8;R(Q`/> 6B2Cf9g#Lh7i#7jkG&OL96C#6ZG6C[27I#JC/, 6B2Cf9g#$Ll2/U #JC$C[L#6Om96hF/<   s!E  B=?A!E 68!\V8! ;;4n%^!W3;T8 ;4c;o;"T4G8;%TQ8!\V_;4c_a; ;4c;5T!p;;4%q;(_3(r_;\b a$;:;Q8!\V_;4c_a;;4c8^;4c(S ;4c8%4s48;4&M97\VP/.W38ta;Mu& vSa;A!+ _\@3A!+ <w8! ;\V\;3!% % #T88!\VT4TQ4a;x3;4;4 (5\Vy;48%3%&M9(\VP/.W38 ta;u&vSa;A!+ 8\@3A!+ < w(z;4c84a;4sQ(`38;)a;W38!\V_;4c_a; ;4c8^;4c#4;4c;R !";)] ;4c/+_W(Q8!\V:!! ;`;4)(p^;x3;4#4a ;4{(Q;;V;^83(r_(_W(Q8y:!! ;\V (e!;(VP#_(3\V|!v{;@!%3;8; %\;8}(~;`8!\V88;x3#4!(Q;8;" P;^! ;\Vx3;4W3%\;8!\Vx:; ! ;\VP8;%;4(Q;(y8;R;4\ %3_8\8;R(T8 • t u"vuw$!E B $BD=>xy SB.h:2]z, {7|.PS0.*d2K-i42.   !;(VP_~!;8 ;4c\%3 #6#&V;:;;4;4c;(VQ 7Q;88yT;e^^;(_~€\ b;c!;•8;^8;!P {7|.PSK,<V9,I2 7zT\'`((e;4e%3(Q;8! ;^x;"x3 )88;R;4\%3_(Q;(88;R;4 \;3!% {7|.PS.G0(,2. 6‚:;|!(3;c!;•_(`P;4c_a; ;4c_^;4c88!\V(e%q;;V;^_(83 (rfcR\4a;;{_W( ;)%;4e%3W (Q8 nB.q;.M2 {70.*d2K-i42. !4 _;;(V(3{_8; ;3!\V(•b\T;;V;(e@;) {7|.PSK,<V9,I2 #a;W3;45(Q4a;x3;@!(:‚8!\V8(‚; "\8‚84a;T;4^!8^;;c#_; @3W:ƒ!;4;4c@38;4(Q;();p ;48;R\%3%";\(\@ {7|.PS.G0(,2.   mp;ƒ%:;%"(~(Q_8;T;3!\V;c(•b \T;;V;!P@;)(S_;„(T!P8!\V8(e B!>s}D 6\P/+O/_/+O+;45#6#789:; Y;)((^{\;V;;4c_a;;4c 8^;4c B"w$!E 7Q;8(S_;?^!;4!P/+O/_/+O+;45#6# 789:; 7V/+O+_;?^!/+O/ Bs}D 2;8^\%3_\_\;3!% E5_;43(oP(~^(eTQ3 #43(oP|!\Q;4c_a;;4c8^ ;4c(e:;PW3|!_;„(Ta|!! ;P ;V; #^!8%e!;43 #4x;4c(Q;8_;"(z;:8;^!P/+O/_/+O+ W3;45 B~}u!E B =?=D !W,()^j'jR2.2K.pS|.*d2K-i42.9Hnl-|.*d2K-i42.6k-•22.* (Sh G38!\V…utw P ;R t(`  Y _utwP;Rt(`  L 7p; yf DDD ∩= #3(p;a(Q;c!;4` Da ∈ \3 wu3w…u3wuw_uwu >= agaf  9(T;3T4ƒ(r;…utw†utw8! ;;4cua;(r;…utw ‡utw8! ;a;;4cw! ;' &V;3(S8! ;^!W3;4cua;;4cw_8;R t(`W3;4cua;;4cw   M;4cua;;4cw8;c!;a;^!W3T7` 3;4(@!Vx3^nn3%^!8!\V_;4c 8a;;4c 6^;4cua;;4cw~!Q;4cua;;4cw S;8 &M9;)/+/_+y(z;;4e‚8!\V(z(St@ ];4cP/.! ;^;V838! 2843(@y8! ;;4n%:;;4;@!W3;4c#6# T4a;Q8!"y\;3!%(QR;P7p^; (@8‚T\V(e!P;4(Q;;V;^_3(r8( \‚%ˆ8\@(e;3!3%q;(;^x;V; BeD!E $B=?D€& SB•!!Du@@=v‚ƒ w$ G8!\V†…utwt(`;4E By=fuxw(~:;4E⇔ Dxx ∈<∀ +/ ;3T ( ) ( ) / + f x f x< By=fuxw`:;4E⇔ Dxx ∈<∀ +/ ;3T ( ) ( ) / + f x f x> NBy=fuxw(~:;4E⇔ƒ′uxw≥. Dx ∈∀ (~;5ƒ′uxw=.;! ;\Vn (e!∈E QBy=fuxw`:-E⇔ƒ′uxw≤. Dx ∈∀ (~;5ƒ′uxw=.;! ;\Vn (e!∈E UBCực trị hàm số :68!\V(;;4`;(e! ( ) k x x f x ′ = ⇔ (oa%x3 k x u chú ý hàm số liên tục tại k x w XBM;4`Pa;8ba;W38!\V • M\?y=ƒuxw;;4‰a_bŠ(~;5(;;4`; ( ) / __ _ n x x a b ∈  9(T [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } / _ m3t m3t __ _ _ ‹ n x a b f x f x f x f a f b ∈ = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } / _ m  m  __ _ _ n x a b f x f x f x f a f b ∈ = • 2:y=fuxw(~:-‰a_bŠ;c [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) _ _ m ‹ m3t x a b x a b f x f a f x f b ∈ ∈ = = • 2:y=fuxw`:-‰a_bŠ;c [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) _ _ m ‹ m3t x a b x a b f x f b f x f a ∈ ∈ = =   nB=D  B2^!W3;4cuuxw=vuxw88( 3(e!W3(~;` ( ) y u x = P (~;` ( ) y v x =  B2^!W3a;;4cuuxw≥vuxw8 ‚8( ;P‚ (~;` ( ) y u x = ƒ!])3;4 \P‚(~;` ( ) y v x =  NB2^!W3a;;4cuuxw≤vuxw8 ‚8( ;P‚(~;` ( ) y u x = ƒ!])3P\P‚(~;` ( ) y v x =  QB2^!W3;4cuuxw=m88(  3(e!W3(5;ry=mP(~;` ( ) y u x =  UBd#uuxw≥m^!({∀x∈C⇔ ( ) C m x u x m ∈ ≥ XBd#uuxw≤m ({∀x∈C⇔ ( ) C m3t x u x m ∈ ≤ aBd#uuxw≥mT^!x∈C⇔ ( ) C m3t x u x m ∈ ≥ _Bd#uuxw≤mT^!x∈C⇔ ( ) C m x u x m ∈ ≤ .„…Hàm tăng giảm nghiêm ngặt. Mệnh đề 1: Xét phương trình f(x) = m, m là hằng số x D ∈ . Nếu trên miền D hàm số f(x) đồng biến ( Hoặc nghịch biến) và phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Mệnh đề 2: Xét phương trình f(x) = g(x) với x D ∈ . Nếu trên miền D hàm f(x) đồng biến và g(x) nghịch biến và nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. B} SB}C}$$ H,.V|.*d2K-i42. U + + / .x x x − − − = u/wG!;4cT ^!a;u7Q%VE+ ,w ,8, #3T U + u /wx x = + u+w_;„u+w + . t . utŒ/w /x khi⇒ ≥ ≥ ⇒ ≥ _R•;„u+w;3T U / /x x ≥ ⇒ ≥  2R!^!W3;4cu/wu:Tw;c /x ≥ 2 U + u w + / . u/w / f x x x x x  = − − − = ⇔  ≥  u>w #3T , , , , Žu w U + + u+ + w u+ +w . /f x x x x x x x x= − − = − + − + > ∀ ≥ mp;%…utw; /x ∀ ≥ _\438!\V…utw(~: /x ∀ ≥ u•w m8…u/w…u+w•.u+•w α β b x a v(x) u(x) a b x y = m   #„u•w8u+•w\43;4cu/wT^!a; 2Rt‘;7Qx3;4%888\Rt‘;(S ;4cT^!;c /≥x 8:;R(`343 H,,8,.1|.*d2K-i42. > / / + / x y x y y x  − = −    = +  u/wu9VO+ >w M fP(%  .x y ≠ _;3T > > > u+w + / . / u wu/ w . u/w / u/ w . + / u>w + / x y x x x y xy y x xy y x  =    − + =    − + =   ⇔ ⇔    + =   = +      = +   Mu+w / U / U u ‹ w ’u/‹/w‹u ‹ w“ + + x y − ± − ± = Mu>w_ , / + . y x x x −  =    + + =  ”‘;8!\V…utw† , +x x + + P .x ≠ m…utw‡. .x ∀ ≠ _^;4cu>w"^! Chú ý: Rất nhiều học sinh giải bài toán theo hướng : 7p; + / / u w Žu w / ._f t t f t t R t t = − ⇒ = + > ∀ ∈ …utw†…uw†‡t†4~;:8 ;4c•;4^(Q 7@8! ;\3‚!;5!•W3|!\%\? 8_]c8!\V…u;w(;;†.  Nhận xét: fP f Dxxf ∈∀≥ _.wuŽ 8†…utw;;4 f D ;c     = = ⇔    = = .w‹u.w‹u wuwu yxF yx yxF yfxf  H,N,8,|.*d2K-i42. / 0. / + > +x x− + − = ,8, fP(Q%^ > + x ≥ _t‘;8!\V / 0. 00 10 / 0. / / > / + > u w_ Žu w . + / u /w ,U u+ >w x x f x f x x x x − + − = = + > ∀ > − − _!88!\V; > + x∀ ≥ \438!\V(~:;4 > ‰ ‹ w + +∞    mp;%_;4cT^!t†+fRt†+8^!a;W3 ;4c H,Q,8,|.*d2K-i42. + > ,u +w‰ u >w  u +wŠ /Uu /wu/wx x x x − − + − = + ,8, 7%^t‡>_P(%;u/w + > /Uu /w u w  u >w  u +w u w ,u +w x f x x x g x x + ⇔ = − + − = = −  #3T + / / Žu w ._ > u >w + u +w > U Žu w ._ > ,u +w f x x x x g x x x = + > ∀ > − − − < ∀ > − fRPt‡>;c\V…utw(~:_8 utw`:mp;%…u//w†u//w†U_R;4cT^!a; t†// H,UMa;;4c ( ) + > + , + / / < /U /,x x x x x x − − + > − + − u<w ,8, u<w ( ) ( ) + > + / + / > + > <x x x x   ⇔ − − + > − + −   ( ) ( ) > > + / > + / + > +x x x x ⇔ − + − > − + − ”‘;8!\V…u;w†; > Œ>;_E†R #3T…–u;w†>; + Œ+‡.…(~:;4R ( ) ( ) + / + + / +f x f x x x − > − ⇔ − > −  ”‘;t+•.;cd#^!({ ”‘;t+ ≥ .;c+t/‡.d# + / +x x ⇔ − > − /x ⇔ > − ({ fR;R^!&†R H,aMa;;4c + \ + \+ >  + U . < > x x    ÷   + − ≥ u=w ,8, #3T [...]... = 12 x∈[ 0,3] 7 SKKN: VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 Nhận xét: Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán là một trong những phương pháp tối ưu khi giải các bài toán trong các đề thi đại học phần phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, đặc biệt là các bài toán tham số Tuy nhiên, trong phạm vi bài viết này tôi chỉ nêu một số ít bài toán. .. giáo dục Phương Pháp dạy học bộ môn Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác 1.Tính mới - Có giải pháp hoàn toàn mới SKKN: VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 - Có giải pháp cải tiến,đổi mới từ giải pháp đã có 2.Hiệu quả - Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn nghành có hiệu quả cao: - Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã... nghiên cứu các ứng dụng thực tiễn trong cuộc sống sau này Trong quá trình trình bày đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếu sót Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp để các đề tài sau của tôi được tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn SKKN: VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 V TÀI LIỆU THAM KHẢO: 1 “Khảo sát hàm số và các vấn đề liên... ( x) = m Vậy ∀m > 0 , phương trình x 2 + 2 x − 8 = Bài 4 (Đề TSĐH khối D, 2007): Tìm m để hệ phương trình có nghiệm m ( x − 2) có hai nghiệm phân biệt SKKN: VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 x + 1 + y + 1 = 5  x y   3  x + 13 + y 3 + 13 = 15m − 10 x y   Đặt và u = x + 1 ; v = y + 1 ta x y có ( x 3 + 13 = x + 1 x x ) Giải: 3 ( ) − 3 x ×1 x... để bất phương 11 Tìm m để phương trình: x x + x + 12 = m ( 5 − x + 4 − x ) 12 Tìm m để bất phương trình: 13 Tìm m để ( 4 + x ) ( 6 − x ) x 3 + 3x 2 − 1 ≤ m ( x − x − 1 ) ≤ x 2 − 2x + m có nghiệm 3 có nghiệm nghiệm đúng ∀x ∈ [ −4, 6] III KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC SAU KHI THỰC HIỆN ĐỀ TÀI SKKN: VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 Sau khi triển khai đề tài, hầu... và ban khoa học tự nhiên 7 Sách bài tập 8 Bộ đề thi tuyển sinh của bộ giáo dục đào tạo 9 Sách tham khảo của Võ Quốc Anh – Lê Bích Ngọc 10.Các bài toán liên quan trong trong tờ báo toán học và tuổi trẻ 11.Các bài giảng về luyện thi đại học của tác giả Trần Phương 12. Khảo sát hàm số và vấn đề liên quan của tác giả Phan Huy Khải SKKN: VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ... để bất phương trình (4 + x)(6 − x) ≤ x 2 − 2 x + m đúng ∀x ∈ [ − 4;6] 5 Giải bất phương trình x( x 8 + 2 x + 16) > 6(4 − x 2 ) 6 Giải bất phương trình 5 x + 12 x > 13 x 7 Giải các phương trình sau: 8 Giải các bất phương trình sau: − x 3 + 3mx − 2 < −1 nghiệm đúng ∀x ≥ 1 x3 trình m.4 x + ( m − 1) 2 x + 2 + m − 1 > 0 đúng ∀x ∈ ¡ 9 Tìm m để bất phương trình: 10 Tìm m để bất phương 11 Tìm m để phương. .. VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 NGƯỜI THỰC HIỆN TẦN THẾ ANH SỞ GD &ĐT ĐỒNG NAI Đơn vị: THPT Đoàn Kết CỘNG HOÀ Xà HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - tự do - hạnh phúc Tân Phú, ngày 18 tháng 04 năm 2 012 PHIẾU NHẬN XÉT,ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học:2011 - 2 012 Tên đề tài: “VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH” Người viết: Tần Thế Anh ; Đơn vị: Tổ Toán -... ≥ 3 3 Đặt g ( x ) = x 2 + 2 x , x ∈ [ −1;3] Xét các khả năng sau đây: + Nếu x=0 thì bất phương trình trở thành + Nếu x ∈ ( 0;3] thì BPT ⇔ g ( x) ≤ m m.0 = 0 ≥ 3 có nghiệm nên vô nghiệm x ∈ ( 0;3] ⇔ xMin] g ( x ) ≤ m ∈( 0;3 SKKN: VẬN DỤNG HÀM SỐ VÀO VIỆC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN 12 3 Do g ( x ) = ( x + 1) 2 − 1 giảm / ( 0;3] nên ycbt + Nếu x ∈ [ −1; 0 ) Ta có g ′(... tập này, kết quả là các em đã biết vận dụng lý thuyết để giải toán, các em có nhiều tiến bộ, đa số học sinh hiểu và vận dụng tốt vào giải bài tập, thậm chí những bài rất phức tạp Đồng thời, các em cũng tự tìm tòi ra nhiều cách giải hơn về phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Sau khi thử nghiệm và đối chứng, tôi thu được kết quả sau: Đối chứng: Lớp TSHS 12A2 46 Đạt yêu cầu Không đạt yêu . =   Nhận xét:Sử dụng phương pháp hàm số để giải toán là một trong những phương pháp tối ưu khi giải các bài toán trong các đề thi đại học phần phương trình, hệ phương trình và bất phương trình, đặc. ) C m x u x m ∈ ≤ .„… Hàm tăng giảm nghiêm ngặt. Mệnh đề 1: Xét phương trình f(x) = m, m là hằng số x D ∈ . Nếu trên miền D hàm số f(x) đồng biến ( Hoặc nghịch biến) và phương trình có nghiệm thì. thì nghiệm đó là duy nhất. Mệnh đề 2: Xét phương trình f(x) = g(x) với x D ∈ . Nếu trên miền D hàm f(x) đồng biến và g(x) nghịch biến và nếu phương trình có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. B} SB}C}$$ H,.V|.*d2K-i42. U