Giải phương trình, bất phương trình bằng sử dụng tính đơn điệu của hàm số_luyện thi đại học môn toán

WWW.VINAMATH.COM Chuyên đề luyện thi Đại học Thạc sĩ Lê Văn Đồn GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I – KIẾN THỨC CƠ BẢN  Định lí Nếu hàm số y = f (x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục D số nghiệm D phương trình f (x ) = a không nhiều ∀u, v ∈ D : f (u) = f (v) ⇔ u = v  Định lí Nếu hàm số f (x ) g ( x ) đơn điệu ngược chiều liên tục D số nghiệm D phương trình f (x ) = g ( x ) khơng nhiều  Định lí Nếu hàm số f (x ) đồng biến D f (x ) > f (a ) ⇔ x > a , ∀ x, a ∈ D Nếu hàm số f (x ) nghịch biến D f (x ) > f (a ) ⇔ x < a , ∀ x, a ∈ D Lưu ý: Vận dụng linh hoạt định lí trên, từ phương trình ẩn x, ta đưa hai vế ( ) dạng f g (x ) = f  k (x ) (chẳng hạn f x + = f (2x ) ⇔ x + = 2x ) với f (t)     hàm đơn điệu đặc trưng miền D xét Thơng thường dự đốn h (x ) bậc g (x ), từ đồng hệ số để tìm g ( x ) Một số phương pháp đồng thường gặp để biến đổi f g (x ) = f  k (x ) :     Dạng 1: x − b = a ax + b với a > (x ẩn) ⇔ x + ax = ax + b + a ax + b ⇔ f (x) = f ( ) ax + b với hàm đặc trưng f (t) = t3 + at ⇔ x = ax + b ⇔ x = ax + b mà biết cách giải Dạng 2: ax + bx2 + cx + d = n ex + f ⇔ m (px + u) + n (px + u) = m (ex + f ) + n ex + f Với hàm đặc trưng: f (t) = mt3 + nt đồng để tìm hệ số Dạng 3: ax2 + bx + c = ex + d ⇔ m (px + u) + n (px + u) = m (ex + d) + n ex + d Ta xây dựng hàm đặc trưng dạng f (t) = mt2 + nt WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM …………………………… II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA + = 14 3−x 2−x Thí dụ 117 Giải phương trình: (∗) Nhận xét: Vế trái (∗) có dạng tổng, nên có nhiều khả hàm đồng biến theo x miền xác định Khi đó, theo định lí 1, phương trình có nghiệm ta dùng máy tính bỏ túi (SHIFT − SOLVE ) tìm nghiệm x = Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x < ● Xét hàm số f (x ) = f ' (x ) = (3 − x ) 2 (3 − x ) + khoảng (−∞;2), ta có: 3−x 2−x + (2 − x ) (2 − x) > 0, ∀x ∈ (−∞;2) ⇒ f (x ) đồng biến khoảng (−∞;2) ⇒ f (x ) = + = 14 có nghiệm nghiệm 3−x 2−x 3    ● Nhận thấy f (x ) = 14 = f   ⇔ x =   2  ● Thử lại thấy x = Thí dụ 118 Giải phương trình: 3 thỏa phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = 2 3x + + x + 7x + = (∗) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ − ∧ x ≥ − ∧ x + 7x + ≥ (1) ● Xét hàm số f (x ) = 3x + + x + 7x + miền (1) f ' (x) =      + 1 + > 0, ∀x thỏa (1)     3x +  7x +  x + 7x + ⇒ f (x ) = 3x + + x + 7x + đồng biến ∀x thỏa (1) ● Ta có: f (x ) = = f (1) ⇔ x = ● Thử lại thấy x = thỏa phương trình Vậy phương trình có nghiệm x = Thí dụ 119 Giải phương trình: 4x − + 4x − = (∗) WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B, D – Đại học Ngân Hàng khối D năm 2001 Bài giải tham khảo ●   x ≥ 4x − ≥    Điều kiện:  ⇔ ⇔x≥  4x − ≥  1     x ≤ − ∨ x ≥  2   ● Nhận thấy x = nghiệm phương trình (∗) 1   ● Xét hàm số f ( x ) = 4x − + 4x − nửa khoảng  ; +∞     2 f ' (x ) = + 4x − 1  1    > 0, ∀x ∈  ; +∞ ⇒ f (x ) đồng biến  ; +∞         4x − 2 2 4x 1    Mà f (x ) = f   = ⇒ x = nghiệm phương trình (∗) 2   ● Vậy phương trình có nghiệm x = ( ) (1) + 2x − x + − 2x − x = (x − 1) 2x − 4x + Thí dụ 120 Giải phương trình: Đại học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh khối A năm 2001 Bài giải tham khảo (1) ⇒ 2   + − (x − 1) + − − (x − 1) = (x − 1) 2 (x − 1) − 1   (2) ● Điều kiện: − (x − 1) ≥ ⇔ (x − 1) ≤ ● Đặt t = (x − 1) ≥ ⇒ t ∈  0;1 Lúc đó:   (2) ⇔ + − t + − − t = 2t2 (2t − 1) (3) ● VT >     0;  phương trình (3) có  Với t ∈ ⇒ (3) vô nghiệm với t ∈      VP =  2  ● 1  Với t ∈  ;1 , bình phương hai vế (3) ta được: (3) ⇔ + t = 4t4 (2t − 1) 2    ⇔ ● 1 + = 2t3 (2t − 1) t t (4 ) (chia hai vế cho t ≠ ) Nhận thấy t = nghiệm (4) Xét hàm số f (t) = 1 + đoạn t t 1   ;1 2    WWW.VINAMATH.COM    0;      2 WWW.VINAMATH.COM f ' ( t) = − 1  1 + < 0, ∀t ∈  ;1 ⇒ f (t) : nghịch biến   t t 2  1   ;1 2    1  Xét hàm số g (t) = 2t3 (2t − 1) đoạn  ;1 2    1  g ' (t) = 6t2 (2t − 1) + 4t3 (2t − 1) > 0, ∀t ∈  ;1 ⇒ f (t) : đồng biến   2  ● x = Vậy t = nghiệm (4) ⇒ t = (x − 1) = ⇔  x=2  ● 1   ;1 2    Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x = ∨ x = (∗) Thí dụ 121 Giải phương trình: x + = 2x − Bài giải tham khảo Nhận xét: Đây dạng mà trình bày phần lí thuyết (xem cách biến đổi) (∗) ⇔ x + 2x = 2x − + 2x − ⇔ x + 2x = ⇔ f (x) = f ( ( 3 2x − 2x − ) +2 ) (1) 2x − hàm đặc trưng có dạng: f (t) = t3 + 2t ● Xét hàm số f (t) = t3 + 2t liên tục ℝ f ' (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f (t) đồng biến ℝ ● Từ (1), (2) ⇒ f (x ) = f ( (2) ) 2x − ⇔ x = 2x − ⇔ x = 2x + ( ) ⇔ (x − 1) x + x − = ⇔ x =1 ∨ x = −1 ± Lưu ý: Ta giải tốn cách đặt y = 2x − để đưa hệ đối xứng loại II dạng y = 2x −   mà trình bày phương pháp giải cách đặt ẩn phụ   x = 2y −   Thí dụ 122 Giải phương trình: 8x − 36x + 53x − 25 = 3x − (∗) Nhận xét: Ta cần đưa hai vế phương trình dạng f g (x ) = f  h (x ) hàm đặc     trưng có dạng f (t) = mt + nt Ta cần đồng cho biểu thức bên vế phải có dạng: m ( 3 3x − ) +n 3x − so với vế phải PT nên ta chọn n = WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM Cơng việc cịn lại tìm hạng tử vế trái cho m (px + u ) + (px + u) = m ( 3 3x − ) + 3x − Dễ thấy (2x ) = 8x nên m = 1, p = mp3 = có trường hợp sau xảy  m = 8, p = Nếu m = 1, p = f (t) = t3 + t Do đó, cần viết phương trình dạng: m (px + u ) + (px + u) = m ( 3 3x − ) + 3x − ⇔ (2x + u ) + (2x + u ) = 3x − + 3x − ( ) ⇔ 8x + (12u ) x + 6u2 − x + u + u + = 3x − Đồng hệ số với vế trái phương trình, ta hệ: 12u = −36     ⇔ u = −3 Do trường hợp m = 1, p = cho kết nên 6u − = 53    u + u + = −15  ta không xét trường hợp (m = 8, p = 1) Nên ta có lời giải sau: Bài giải tham khảo ( ⇔ f (2x − 3) = f ( 3x − ) (∗) ⇔ (2x − 3) + (2x − 3) = 3 3x − (1) )+ 3x − có hàm đặc trưng f (t) = t3 + t ● Xét hàm số f (t) = t3 + t liên tục xác định ℝ f ' (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ t (t) đồng biến ℝ ● Từ (1), (2) ⇒ f (2x − 3) = f ( (2) ) 3x − ⇔ 2x − = 3x − ⇔ 8x − 36x + 51x − 22 = ( ) ⇔ ( x − 2) 8x − 20x + 11 = ⇔ x = ∨ x = 5± (∗) Thí dụ 123 Giải phương trình: x − 15x + 78x − 141 = 2x − Nhận xét: Như thí dụ trên, ta cần phân tích phương trình (∗) thành dạng m (px + u ) + (px + u ) = m ( 3 2x − ) + 2x − (1) với hàm đặc trưng: f (t) = mt3 + 5t ( ) Do sau khai triễn m (px + u ) có hạng tử mp3 x ∼ x (∗) ⇒ mp3 = nên chọn m = p = Lúc này: WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM (1) ⇔ (x + u) (2) + (x + u ) = 2x − + 2x − Trong khai triễn (x + u) có hạng tử (3u) x ∼ −15x ⇒ u = −5 Lúc này: (2) ⇔ ( x − 5) + (x − 5) = ( 3 2x − ) + 2x − ( 3) Khai triễn (3) phương trình (∗) nên giá trị m = p = hướng Bài giải tham khảo ( ⇔ f ( x − 5) = f ( 2x − ) (∗) ⇔ (x − 5) + ( x − 5) = 3 2x − (1) ) + 2x − với hàm đặc trưng f (t) = t3 + 5t ● Xét hàm số f (t) = t3 + 5t ℝ , có f ' (t) = 3t2 + > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f (t) đồng biến ℝ (2) ● Từ (1), (2) ⇒ f (x − 5) = f ( ) 2x − ⇔ x − = 2x − ⇔ x − 15x + 75x − 125 = 2x − ⇔ x − 15x + 73x − 116 = ( ) ⇔ (x − 4) x − 11x + 29 = ⇔ x = ∨ x = 11 ± Thí dụ 124 Giải phương trình: x − 6x + 12x − = −x + 9x − 19x + 11 (∗) Đề nghị Olympic 30/04/2009 Nhận xét: Cũng giống nhận xét trên, ta cần đưa phương trình dạng: ( ) m (px + u) + (px + u) = m −x + 9x2 − 19x + 11 + −x + 9x2 − 19x + 11 ( ) ( ) ( ) ⇔ mp3 + m x + 3mup2 − 9m x + 3u2 mp + p + 19m x + mu + u − 11m = −x + 9x − 19x + 11 mp3 + m =  p =      3mup2 − 9m = −6    Đồng vế trái với (∗) ta hệ:  ⇔ m =  3u mp + p + 19m = 12     u = −1       mu + u − 11m = −7  Bài giải tham khảo (∗) ⇔ (x − 1) + (x − 1) = ⇔ f (x − 1) = f ( ( 3 ) −x + 9x2 − 19x + 11 + −x + 9x2 − 19x + 11 −x + 9x − 19x + 11 ) (1) có hàm đặc trưng f (t) = t WWW.VINAMATH.COM + t WWW.VINAMATH.COM t + t xác định liên tục ℝ ● Xét hàm số f (t) = t + > 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f (t) đồng biến ℝ f ' (t) = (1), (2) ⇒ f (x − 1) = f ( (2) ) −x + 9x − 19x + 11 ⇔ x − = −x + 9x − 19x + 11 ⇔ (x − 1) = −x + 9x2 − 19x + 11 = ⇔ x = ∨ x = ∨ x = Thí dụ 125 Giải phương trình: 2x + x − 3x + = (3x − 1) 3x − Nhận xét: Thoạt nhìn vế trái có bậc 3, vế phải có bậc (∗) nên khó dùng đơn điệu Nhưng vế phải ta xem y = 3x − vế phải bậc ba theo y, đồng nghĩa ta phân tích (3x − 1) 3x − = ( ) 3x − Phân tích tương tự thí dụ ta có lời giải sau: Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x > (∗) ⇔ 2x ( + x2 = ⇔ f (x ) = f ( 3x − 3x − ) ) +( (1) 3x − ) hàm đặc trưng có dạng: f (t) = 2t3 + t2 ● Xét hàm số f (t) = 2t3 + t2 liên tục khoảng (0; +∞) f ' (t) = 6t2 + 2t > 0, ∀t ∈ (0; +∞) ⇒ Hàm số f (t) đồng biến (0; +∞) ● Từ (1), (2) ⇒ f (x ) = f ( ) 3x − ⇔ x = 3x − ⇔ x = 3x − ⇔ x = ● So với điều kiện, nghiệm phương trình x = x +1 > 3− x + Thí dụ 126 Giải bất phương trình: (2) 3± 3± (∗) Đại học Bách Khoa Hà Nội năm 1999 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ −1 (∗) ⇔ x +1 + x + > (∗ ∗) ● Xét hàm số f (x ) = x + + x + nửa khoảng −1; +∞)  f ' (x ) = x +1 + x+4 > 0, ∀x ∈ −1; +∞) ⇒ f (x ) tăng −1; +∞)  WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM Khi x = f (x ) = ● Vậy phương trình ⇔ f (x ) > f (0) = ⇔ x > ● Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (0; +∞) Lưu ý: Học sinh giải (∗ ∗) cách bình phương hai vế, đưa bất phương trình A > B, kết tương đối dài 5x − + x + ≥ Thí dụ 127 Giải bất phương trình: (1) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ 1   ● Xét hàm số: y = 5x − + x + liên tục nửa khoảng  ; +∞     5 f ' (x ) = + 5x − > 0; ∀x > x+3 1   ⇒ f (x ) đồng biến  ; +∞  5    ● Mặt khác: f (1) = Khi bất phương trình (1) cho ⇔ f (x ) ≥ f (1) ⇔ x ≥ ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x ∈ 1; +∞)  Thí dụ 128 Giải bất phương trình: 3 − 2x + − 2x ≤ 2x − (1) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 0, ∀t ∈ ℝ ⇒ f (t) đồng biến ℝ ● Từ (1), (2) ⇒ f (2x ) < f ( ) x + ⇔ 2x < x + hay (2) x + > 2x  x + ≥ 2x ≥   ⇔ ∨   2x < x + > 4x2     ⇔ −1 ≤ x < ∨ ≤ x < ⇔ −1 ≤ x < + 17 + 17  + 17    ● Vậy tập nghiệm bất phương trình x ∈ −1;      2x + 3x + 6x + 16 < + − x Thí dụ 130 Giải bất phương trình: (1) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: −2 ≤ x ≤ ● Lúc đó: (1) ⇔ 2x + 3x + 6x + 16 − − x < ⇔ f ( x ) < (2) ● Xét hàm số: f (x ) = 2x + 3x + 6x + 16 − − x liên tục đoạn −2; 4   f ' (x) = ( ) x2 + x + 2x + 3x + 6x + 16 + 4−x > 0, ∀x ∈ (−2; 4) ⇒ f (x ) đồng biến (−2; 4) có f (1) = nên (2) ⇔ f (x ) < f (1) ⇔ x < ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x ∈ −2;1)  WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM Thí dụ 131 Giải bất PT: (x + 2)(2x − 1) − x +6 ≤4− (x + 6)(2x − 1) + x +2 (1) Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x ≥ ● Khi đó, phương trình: (1) ⇔ ● Với ( x +2 + x +6 )( ) 2x − − ≤ (2) 2x − − ≤ ⇔ x ≤ ⇒ (2) : ● Với x > : Xét hàm số: f (x ) = ( x +2 + x +6   1    f ' (x ) =  +    2 x + 2 x +   ( )( ) 2x − − liên tục khoảng (5; +∞) ) 2x − − + x +2 + x +6 2x − ⇒ f (x ) ln đồng biến khoảng (5; +∞) có f (7 ) = Do đó: (2) ⇔ f (x ) ≤ f (7 ) ⇔ x ≤ 1  ● Kết hợp với điều kiên, tập nghiệm bất phương trình x ∈  ;  2    BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 441 Giải phương trình: x2 + x − = ĐS: x = x −1 + x + = Bài tập 442 Giải phương trình: ĐS: x = x + x − + x + + x + 16 = 14 Bài tập 443 Giải phương trình: ĐS: x = Bài tập 444 Giải phương trình: x +1 + x +2 + x + = ĐS: x = −2 Bài tập 445 Giải phương trình: 3x + + x + 7x + = ĐS: x = Bài tập 446 Giải phương trình: 5x − + 2x − + x = ĐS: x = Bài tập 447 Giải phương trình: 2x − + x + = − x ĐS: x = Bài tập 448 Giải phương trình: 5x + + − x + 5x + 10 = 61 − 4x WWW.VINAMATH.COM > 0; ∀x > WWW.VINAMATH.COM ĐS: x = Bài tập 449 Giải phương trình: x − + − x + 3x2 + 71 = 30x ĐS: x = 3x + − − x + 3x2 − 14x − = Bài tập 450 Giải phương trình: Đại học khối B năm 2010 ĐS: x = Bài tập 451 Giải phương trình: x + + x + = 2x + + 2x ĐS: x = ∨ x = − Bài tập 452 Giải phương trình: 4x + x − (x + 1) 2x + = Cao đẳng khối A, A1, B, D năm 2012 ĐS: x = 1+ Bài tập 453 Giải phương trình: x (4x + 1) + (x − 3) − 2x = Đề thi thử Đại học 2013 lần khối A – THPT Tuy Phước −1 + 21 HD: PT ⇔ 2x 4x + = (5 − 2x ) + 1 − 2x ⇒ x =   ( Bài tập 454 Giải phương trình: ) 6x + = 8x − 4x − Đề nghị Olympic 30/04 – THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Bà Rịa Vũng Tàu    π 5π 7π  ĐS: x ∈ cos ; cos ; cos     9 9     Bài tập 455 Giải phương trình: (x + 3) x + + (x − 3) − x + 2x = ĐS: Dạng f ( ) ( x +1 = f ) − x với hàm đặc trưng f (t) = t3 + t2 + 2t ⇒ x = Bài tập 456 Giải phương trình: x + 3x − 3 3x + = − 3x Đề nghị Olympic 30 – 04 năm 2009 ĐS: x = −2 ∨ x = Bài tập 457 Giải phương trình: 4x + 18x + 27x + 14 = 4x + ĐS: x = −1 ∨ x = −7 ± Bài tập 458 Giải phương trình: x + 3x + 4x + = (3x + 2) 3x + ĐS: x = ∨ x = Bài tập 459 Giải phương trình: x − 4x − 5x + = 7x + 9x − WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM HD: Đặt y = 7x + 9x − đưa hệ, sau cộng lại ⇒ x = ∨ x = ( Bài tập 460 Giải phương trình: 3x + 9x + ) + (4x + 2)( −1 ± ) + x + x2 + = ĐS: x = − Bài tập 461 Giải phương trình: 3x + = x + 3x2 + x −   x = −1 + cos π     5π  HD: PT ⇔ ( x + 1) + x + = 3x + + 3x + ⇒ x = −1 + cos    x = −1 + cos 7π      ( ) Bài tập 462 Giải phương trình: (2x + 3) 4x + 12x + 11 + 3x + 9x + + 5x + = ĐS: x = − với hàm đặc trưng f (t) = t + t2 + ( ) Bài tập 463 Giải phương trình: −2x + 10x2 − 17x + = 2x2 5x − x2 HD: Chia hai vế x ≠ 1 Biến đổi dạng : f (t) = f   với hàm đặc trưng: f (t) = t3 + 2t   x    ĐS: x = 17 ± 97 12 ( ) Bài tập 464 Giải phương trình: 3x − 6x − 3x − 17 = 3 −3x + 21x + HD: Chia hai vế ⇒ ( x + 2) = 4x ⇔ x = Bài tập 465 Giải phương trình: x − 2x2 + HD: PT ⇔ 81x − 4x + + x − 2x + = 13 x+3 1+ 1− x Hàm số f (t) = −1 x − = 81x −     x −  = f  81x −  ⇔ x − ⇔    HD: f         3      Bài tập 466 Giải phương trình: 2x + − = x − 1 + 2x − t đồng biến ⇒ x = 1+ 4−t WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM x + + 2x + > Bài tập 467 Giải bất phương trình: ĐS: x ∈ (0; +∞) Bài tập 468 Giải bất phương trình: ( x − 2) ( ) 4x − + 2x − ≥ 3x − f x = 4x − + 2x − : ÐB  ( )    ⇒ x ≥ HD:  3x − g (x ) = : NB   ( x − 2)   x − 2x + − x − 6x + 11 > − x − x − Bài tập 469 Giải bất phương trình: ĐS: x ∈ (2; 3  Bài tập 470 Giải bất phương trình: x − + 2x − < 3x + HD: Với x ≤ ⇒ BPT Với x > : xét f (x ) = x − + 2x − − 3x + 7   7  Lưu ý rằng: f (x ) < f   = ⇔ x < ⇒ ÐS : x ∈ −∞;           6 6  Bài tập 471 Giải phương trình: x + x + − 2x + 2x + = x2 + x ( )( ĐS: x = ∨ x = −1 Bài tập 472 Giải phương trình: 8x + 8x − = − 6x ĐS: x = 2+ + 2−5 Bài tập 473 Giải bất phương trình: (x + 2) x + > 27x − 27x + 12x − HD: PT ⇔ (3x − 1) + 3x − < ( x +1 )+ x +1 ( ) Bài tập 474 Giải phương trình: x + 3x2 + 5x + = x2 + HD: PT ⇔ 1 (x + 1) + (x + 1) = 2 ( x2 + ) x2 + + x2 + ⇒ x = WWW.VINAMATH.COM ) x + x + 2x + 2x + ... tập 443 Giải phương trình: ĐS: x = Bài tập 444 Giải phương trình: x +1 + x +2 + x + = ĐS: x = −2 Bài tập 445 Giải phương trình: 3x + + x + 7x + = ĐS: x = Bài tập 446 Giải phương trình: 5x... x = f (x ) = ● Vậy phương trình ⇔ f (x ) > f (0) = ⇔ x > ● Vậy tập nghiệm bất phương trình S = (0; +∞) Lưu ý: Học sinh giải (∗ ∗) cách bình phương hai vế, đưa bất phương trình A > B, kết tương... Khi bất phương trình (1) cho ⇔ f (x ) ≥ f (1) ⇔ x ≥ ● Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm bất phương trình x ∈ 1; +∞)  Thí dụ 128 Giải bất phương trình: 3 − 2x + − 2x ≤ 2x − (1) Bài giải