Giải phương trình, bất phương trình bằng phương pháp lượng giác hóa_luyện thi đại học môn toán

 I – KIẾN THỨC CƠ BẢN  Một lớp các phương trình vô tỷ có thể giải được bằng phương pháp chuyển về phương trình lượng giác (hay ngược lại).  Dấu hiệu nhận biết là trong phương trình xuất hiện các biểu thức 2 2 2 1 x , x 1, x 1, − + −  L ợ i th ế củ a ph ươ ng phá p nà y là đư a ph ươ ng trì nh ban đầ u v ề m ộ t ph ươ ng trì nh l ượ ng giá c c ơ bả n đã bi ế t cá ch giả i nh ư : ph ươ ng trì nh đẳ ng c ấ p, đố i x ứ ng, c ổ đ i ể n, ……  Nh ượ c đ i ể m củ a ph ươ ng phá p nà y là khi chuy ể n v ề l ượ ng giá c lạ i khó tì m đượ c nghi ệ m t ườ ng minh củ a ph ươ ng trì nh.  Vì hà m l ượ ng giá c là tu ầ n hoà n, nên khi đặ t đ i ề u ki ệ n cá c bi ể u th ứ c l ượ ng giá c th ậ t khé o lé o sao cho lú c khai c ă n không có giá trị tuy ệ t đố i, có nghĩ a là luôn luôn d ươ ng (D ự a và o đ i ề u ki ệ n + v ò ng trò n l ượ ng giá c)  M ộ t s ố ph ươ ng phá p l ượ ng giá c hó a th ườ ng g ặ p Bài toán có chứa Lượng giác hóa bằng cách đặt 2 2 a x − x a sin t, ÐK : t ; 2 2 x a cos t, ÐK : t 0;    π π    = ∈ −          = ∈ π       2 2 x a − { } a x , ÐK : t ; \ 0 sin t 2 2 a x , ÐK : t 0; \ cos t 2    π π    = ∈ −             π      = ∈ π               2 2 a x + ( ) x a tan t, ÐK : t ; 2 2 x a cot t, ÐK : t 0;    π π     = ∈ −           = ∈ π   a x a x a x a x + − ∨ − + x a cos 2t, ÐK : cos 2t 1;1   = ∈ −     ( ) ( ) x a b x − − ( ) 2 x a b a sin t = + −    Lưu ý: Xem lại các công thức lượng giác và phương pháp giải phương trình lượng giác (chuyên đề: Phương trình lượng giác và ứng dụng của cùng tác giả). WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Chuyên đề luyện thi Đại học Thạc sĩ Lê Văn Đoàn II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 105. Giải phương trình: ( ) 3 2 4x 3x 1 x − = − ∗ Đề nghị Olympic 30 – 04 – 2003 Bà i giả i tham khả o ● Đ i ề u ki ệ n: 1 x 1 − ≤ ≤ . ● Đặ t 2 2 2 x cos t, t 0; 1 x 1 cos t sin t sin t sin t   = ∈ π ⇒ − = − = = =     . ( ) 3 4 cos t 3 cos t sin t ∗ ⇔ − = cos 3t cos t 2   π    ⇔ = −        ( ) 3t t k2 2 , k 3t t k2 2  π  = − + π  ⇔ ∈  π  = − + + π   ℝ ( ) k t 8 2 , k t k 4  π π  = +  ⇔ ∈  π  = − + π   ℝ ● Do 5 3 2 t 0; x cos x cos x cos 8 8 4 2 π π π   ∈ π ⇒ = ∨ = ∨ = = −     . Thí dụ 106. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 1 1 x x 1 2 1 x + − = + − ∗ Bà i giả i tham khả o ● Đ i ề u ki ệ n: 1 x 1 − ≤ ≤ . ● Đặ t 2 2 2 x sin t, t ; 1 x 1 sin t cos t cos t cos t 2 2   π π   = ∈ − ⇒ − = − = = =     . ( ) ( ) 1 cos t sin t 1 2 cos t ∗ ⇔ + = + 2 t 2 cos sin t sin 2t 2 ⇔ = + t 3t t 2 cos 2sin cos 2 2 2 ⇔ = t 3t 2 cos 1 2 sin 0 2 2      ⇔ − =        t cos 0 2 3t 1 sin sin 2 4 2   =  ⇔  π  = =    WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM ( ) t k 2 2 , k 3t 3t k2 k2 2 4 2 4  π  = + π  ⇔ ∈  π π  = + π ∨ = π − + π   ℤ ( ) t k2 , k k4 k4 t t 6 3 2 3  = π + π   ⇔ ∈ π π π π  = + ∨ = +   ℤ . ● Do t ; t t 2 2 6 2   π π π π   ∈ − ⇒ = ∨ =     . ● Với 1 t x sin 6 6 2 t x sin 1 2 2   π π  = ⇒ = =      π π  = ⇒ = =     . ● Vậy phương trình có hai nghiệm là 1 x x 1 2 = ∨ = . Thí dụ 107. Giải phương trình: ( ) 2 x x 2 2 x 1 + = ∗ − Bài giải tham khảo ● Điều kiện: 2 x 1 0 x 1 x 0   − >   ⇔ >   >    . ● Đặt 2 2 2 2 2 2 1 1 1 cos t sin t sin t x , t 0; x 1 1 cos t 2 cos t cos t cos t cos t   π −    = ∈ ⇒ − = − = = =        . ( ) 1 1 cos t . 2 2 cos t cos t sin t ∗ ⇔ + = 1 1 2 2 sin t cos t 2 2 sin tcos t 2 sin t 2 sin 2t cos t sin t 4   π    ⇔ + = ⇔ + = ⇔ + =        ( ) 2t t k2 4 sin 2t sin t t k2 , k 4 4 2t t k2 4  π  = + + π   π π     ⇔ = + ⇔ ⇔ = + π ∈       π    = π − − + π   ℤ . ● Do 1 t 0; t x 2 2 4 cos 4   π π    ∈ ⇒ = ⇒ = =      π   . ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2 = . Thí dụ 108. Giải phương trình: ( ) 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x − + − + + = + ∗ + − Bài giải tham khảo WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM ● Điều kiện: 1 1 x 2 2 − < < . ● Đặt 2 2 t t 1 2x 1 cos t 2 sin 2 sin 2 2 1 t t x cos t, t 0; 1 2x 1 cos t 2 cos 2 cos 2 2 2 1 2x 1 2x t 1 2x t tan ; cot 1 2x 2 1 2x 2 1 2x     − = − = =         = ∈ π ⇒ + = + = =          − − +  = = =   + −  +   . ( ) t t t t 2 sin 2 cos tan cot 2 2 2 2 ∗ ⇔ + = + t t sin cos t t 2 2 2 sin cos 2 2 t t sin cos 2 2 +      ⇔ + =        t t 2 sin cos 2 0 2 2 sin t          ⇔ + − =              ( ) t 2 cos 0 2 4 sin t 2 L    π     − =       ⇔     =   ( ) t 3 k t k2 , k 2 4 2 2 π π π ⇔ − = + π ⇔ = + π ∈ ℤ . ● Do 1 t 0; , k t x cos 0 2 2 2 π π   ∈ π ∈ ⇒ = ⇒ = =     ℤ . ● V ậ y ph ươ ng trì nh có nghi ệ m duy nh ấ t x 0 = . Thí dụ 109. Giả i ph ươ ng trì nh: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 x 1 x 1 x 1 2x 2x 1 x + + + + = ∗ − Bà i giả i tham khả o ● Đ i ề u ki ệ n: x 0, x 1 ≠ ≠ ± . ● Đặt x tan t, t ; \ 0; 2 2 4       π π π      = ∈ − ±                . ● Ta có: 2 2 2 2 1 1 x 1 tan t 1 x 1 cos t cos t + = + = ⇒ + = . 2 2 2 2 tan t 2x x 1 1 sin 2t 2x sin 2t 1 tan t x 1 + = = ⇒ = + + . ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4x 1 x x 1 1 tan t 1 x 2 cos2t 2 sin2t cos2t sin 4t 1 tan t 1 x 2x 1 x x 1 − + − − = = ⇒ = ⇔ = + + − + . ( ) 1 1 2 cos t sin 2t sin 4t ∗ ⇔ + = WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM 1 1 1 0 cos t 2 sin tcos t 2 sin tcos tcos2t ⇔ + − = ( ) 2 1 1 1 1 0 cos t 2 sin t 2 sin t 1 2sin t     ⇔ + − =     −     ( ) ( ) 2 2 2 sin t 1 2 sin t 1 2 sin t 1 0 ⇔ − + − − = ( ) ( ) ( ) 3 2 sin t 0 L 1 2 sin t sin t sin t 0 sin t N 2 sin t 1 L  =    ⇔ + − = ⇔ =    = −   . ● Với ( ) 1 5 sin t sin t k2 t k2 , k 2 6 6 6 π π π = = ⇔ = + π ∨ = + π ∈ ℤ . ● Do 3 t ; \ 0; x x tan 2 2 4 6 6 3       π π π π π      ∈ − ± ⇒ = ⇒ = =                . ● Vậy phương trình có nghiệm duy nhất 3 x 3 = . Thí dụ 110. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 2 2 5 3 x 1 x 1 6x 20x 6x + + = ∗ − + Bà i giả i tham khả o ● Đ i ề u ki ệ n: x 0 3 x 3 x 3   ≠      ≠ ±      ≠ ±    . ( ) ( ) 3 2 2 2 1 6x 2x 4 1 1 x 1 x x 1      ∗ ⇔ = −      + +   + ● Đặ t x tan t, t ; \ 0; ; 2 2 3 6       π π π π      = ∈ − ± ±                . ( ) 3 1 cost 3 sin 2t 4 sin 2t sin 6t cos 6t 2   π    ⇔ = − = = −        ( ) k2 tt 6t k2 14 7 2 , k k2 t 6t k2 t 2 10 5   π π π   = += − + π   ⇔ ⇔ ∈   π π π  = − + π = −    ℤ . ● Do 5 3 3 5 t ; \ 0; ; t ; ; ; ; ; ; ; 2 2 3 6 14 14 10 14 18 14 14 14           π π π π π π π π π π π π        ∈ − ± ± ⇒ = − − − −                        . WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM 5 3 3 5 x tan ;tan ;tan ; tan ;tan ; tan ; tan ; tan 14 14 10 14 18 14 14 14             π π π π π π π π               ⇒ ∈ − − − −                                     . Thí dụ 111. Giải phương trình: ( ) 3 x 3x x 2 − = + ∗ Đề nghị Olympic 30 – 04 – 2006 Bài giải tham khảo ● Điều kiện: x 2 ≥ . ● Nếu x 2 > thì ( ) 3 2 x 3x x x x 4 x x 2 − = + − > > + nên phương trình đã cho không có nghiệm khi x 2 > . ● Nếu 2 x 2 − ≤ ≤ thì đặt x 2 cos t, t 0;   = ∈ π     . ( ) 3 8 cos t 6 cos t 2 cos t 2 ∗ ⇔ − = + ( ) ( ) 3 2 4 cos t 3 cos t 2 cos t 1 ⇔ − = + 2 t 2 cos 3t 2.2 cos 2 ⇔ = t cos 3t cos 2 ⇔ = ( ) t t 3t k2 3t k2 , k 2 2 ⇔ = + π ∨ = − + π ∈ ℤ ( ) k4 k4 t t , k 5 7 π π ⇔ = ∨ = ∈ ℤ . ● Do 4 4 t 0; t 0 t t 7 5 π π   ∈ π ⇒ = ∨ = ∨ =     . ● Vậy nghiệm của phương trình là 4 4 x 2 x 2 cos x 2 cos 7 5 π π = ∨ = ∨ = . Thí dụ 112. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 2 2 x 1 x x 2 2x + − = − ∗ Bà i giả i tham khả o ● Đ i ề u ki ệ n: 1 x 1 − ≤ ≤ . ● Đặ t x cos t, t 0;   = ∈ π     . ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 cos t 1 cos t cos t 2 1 cos t ∗ ⇔ + − = − ( ) 3 3 2 2 cos t sin t cos t 2 sin t ⇔ + = 3 3 sin t cos t 2 sin tcos t ⇔ + = ( ) ( ) ( ) sin t cos t 1 sin t cos t 2 sin tcos t 1 ⇔ + − = WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM ● Đặt 2 2 u 1 u sin t cos t 2 sin t u 1 2 sin t cos t sin tcos t 4 2   π −    = + = + ⇒ = + ⇔ =        . Do 5 5 1 0 t t sin sin t sin u ; 2 4 4 4 4 4 4 2     π π π π π π      ≤ ≤ π ⇒ ≤ + ≤ ⇔ ≤ + ≤ ⇒ ∈ −            . ( ) 2 2 u 1 u 1 1 u 1 2. 2 2   − −    ⇔ − =        3 2 u 2u 3u 2 0 ⇔ + − − = ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 u 2 N u 2 u 2 2u 1 0 u 2 1 N u 2 1 2 L  =    ⇔ − + + = ⇔ = − +   = − − < −   . ● Với ( ) 2 u 2 sin t 2 sin t 1 t k2 , k x 4 4 4 2     π π π       = + = ⇒ + = ⇔ = + π ∈ ⇒ =               ℤ . ● Với ( ) 2 u sin t cos t 1 2 2 u 1 sin tcos t 1 2 2   = + = −     −  = = −     Theo định lí Viét thì sin t, cos t là nghiệm của phương trình bậc hai: ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 1 2 3 X 1 2 X 1 2 0 X 2 − ± − + − − + − = ⇔ = . Do ( ) ( ) 1 2 2 1 2 3 sin t 0 x cos t 2 − − − + ≥ ⇒ = = . ● Vậy phương trình có hai nghiệm ( ) ( ) 1 2 2 1 2 3 2 x x 2 2 − − − + = ∨ = .    Cách giải khác : Đặ t ẩ n phụ . ● Đ i ề u ki ệ n: 1 x 1 − ≤ ≤ . ● Đặ t 2 t x 1 x = + − . 2 x 2 t' 1 0 x t 1; 2 2 1 x   = − = ⇔ = ⇒ ∈ −     − . ● Khi đó : 2 2 2x 1 x t 1 − = − và ( ) 3 3 2 3 2 x 1 x t 3t      + − = − +        . ( ) ( ) 3 2 t 3t 2 t 1 ∗ ⇔ − + = − WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 t 2 N t 2 t 2 2t 1 0 t 1 2 N t 1 2 L  =    ⇔ − + + = ⇔ = −   = − −   . ● Với 2 2 t 2 x 1 x 2 x 2 = ⇒ + − = ⇔ = . ● 2 1 2 2 2 1 t 1 2 x 1 x 1 2 x 2 − − − = − ⇒ + − = − ⇔ = . ● Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: 2 1 2 2 2 1 x x 2 2 − − − = ∨ = . Thí dụ 113. Giải phương trình: ( ) 2 2 2x 1 x 2x 1 x 1 + − + − = ∗ HSG – Trường THPT Năng Khiếu – Đại học Quốc Gia Tp. Hồ Chí Minh năm 2000 Bà i giả i tham khả o ● Đ i ề u ki ệ n: 1 x 1 − ≤ ≤ . ● Đặ t 2 2 2 t t 1 x 1 cos t 2 sin 2 sin x cos t, t 0; 2 2 1 x 1 cos t sin t     − = − = =    = ∈ π ⇒        − = − =    . ( ) 2 t 2 cos t 2 sin 2cos t.sin t 1 2 ∗ ⇔ + + = 2 t 2 sin sin 2t 1 2 cos t 2 ⇔ + = − t cos2t sin2t 2 sin 2 ⇔ + = − t 2 cos 2t 2 cos 4 2 2     π π       ⇔ − = +               ( ) t t 2t k2 2t k2 , k 4 2 2 4 2 2 π π π π ⇔ − = + + π ∨ − = − − + π ∈ ℤ ( ) k4 k4 t t , k 2 3 10 5 π π π π ⇔ = + ∨ = − + ∈ ℤ . ● Do 7 t 0; x cos 0; x cos 2 10 π π   ∈ π ⇒ = = =     . ● V ậ y ph ươ ng trì nh có hai nghi ệ m: 7 x 0 x cos 10 π = ∨ = . Thí dụ 114. Giả i ph ươ ng trì nh: ( ) ( ) ( ) 2 4 2 8x 2x 1 8x 8x 1 1 − − + = ∗ Bài giải tham khảo WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 8x 2x 1 2 2x 1 1 1 2   ∗ ⇔ − − − =       ● Trường hợp 1. x 1 ≥ ⇒ Vế trái ( ) 1 2 : > ⇒ vô nghiệm ( ) 1 : ⇔ vô nghiệm. ● Trường hợp 2. x 1 ≤ − ⇒ vế trái ( ) 0 2 : < ⇒ vô nghiệm ( ) 1 : ⇔ vô nghiệm. ● Trường hợp 3. 1 x 1 : − ≤ ≤ đặt x cos t, t 0;   = ∈ π     . ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 8 cos t 2 cos t 1 2 2 cos t 1 1 1   ⇔ − − − =       ( ) 2 8 cos t.cos 2t 2 cos 2t 1 1 ⇔ − = 8 cos t.cos2t cos 4t 1 ⇔ = 8 sin tcos t.cos 2t.cos 4t sin t ⇔ = 4 sin 2t cos2t cos 4t sin t ⇔ = 2 sin 4t cos 4t sin t ⇔ = sin 8t sin t ⇔ = ( ) k2 t 8t t k2 7 , k 8t t k2 k2 t 9 9  π  =  = + π   ⇔ ⇔ ∈   = π − + π π π    = +   ℤ ● Do 2 4 6 5 7 t 0; t ; ; ; ; ; 7 7 7 9 9 9     π π π π π π     ∈ π ⇒ ∈             . 2 4 6 5 7 x cos ; cos ; cos ; cos ; cos ; cos 7 7 7 9 9 9     π π π π π π   ⇒ ∈         . Thí dụ 115. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 128x 4x 1 8x 1 1 2x 0 − − + − = ∗ với 1 x 0 2 − < < . Học Viện Quân Y năm 2001 Bài giải tham khảo ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2x 1 128x 2x 1 8x 1 1 0 32 2x 2x 1 2 4x 1 1 1 1 x 0 x 0 2 2           − + − − =   + − =                 ∗ ⇔ ⇔       − < < − < <         ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 t 64 cos cos t cos 2t 1 2x cos t, t ; 2 2 2x cos t, t ; 32 cos t cos t 1 2cos t 1 1 2       π     =   = ∈ π             ⇔ ⇔     π        = ∈ π    + − =            2 2 2 2 2 2 2 2 t 2x cos t, t ; sin 0 2x cos t, t ; 2 2 2 t t t t 64 sin cos cos t cos 2t sin sin 4t sin 2 2 2 2         π π         = ∈ π ⇒ > = ∈ π                     ⇔ ⇔         = =       WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM 1 x cos t, t ; 2x cos t, t ; 2 2 2 4 6 8 2 cos 8t cos t t ; ; ; 7 7 9 3     π         = ∈ π π           = ∈ π             ⇔ ⇔           π π π π     = =                 1 4 1 1 1 x cos ; cos ; cos ; 2 7 2 7 2 9 4     π π π   ⇔ = − − −         . Thí dụ 116. Giả i b ấ t ph ươ ng trì nh: ( ) 2 x 1 x 1 x 2 4 + + − ≤ − ∗ Bà i giả i tham khả o ● Đ i ề u ki ệ n: 1 x 1 − ≤ ≤ . ● Đặ t x cos t, t 0;   = ∈ π     . ( ) 2 cos t 1 cos t 1 cos t 2 4 ∗ ⇔ + + − ≤ − 2 2 t t t 2 cos 2 sin cos 2 4 2 4 2 4       π π π          ⇔ − ≤ − − −                      2 2 t t t 2 cos 2 1 cos cos 2 4 2 4 2 4         π π π            ⇔ − ≤ − − − −                            4 2 t t t cos cos 2 cos 2 0 2 4 2 4 2 4       π π π          ⇔ − − − − − + ≥                      ( ) 2 2 t t t cos 1 cos 2 cos 2 0 2 4 2 4 2 4           π π π              ⇔ − − − + − + ≥ ∗ ∗                                  ● Vì ( ) ∗ ∗ luôn đú ng t 0;   ∀ ∈ π     nên t ậ p nghi ệ m củ a ( ) ∗ là x 1;1   ∈ −     . BÀI TẬP TƯƠNG TỰ Bài tập 413. Giả i ph ươ ng trì nh: 3 8x 6x 3 0 − − = . Đ S: 11 13 x cos x cos x cos 18 18 18 π π π = ∨ = ∨ = . Bài tập 414. Giả i ph ươ ng trì nh: 2 2 1 1 x 2 1 x + − = + − . HD: x cos t, t 0;   = ∈ π     . Bài tập 415. Giả i ph ươ ng trì nh: 1 1 x 1 1 x 1 1 x + = + − − − . HD : Đ i ề u ki ệ n 0 x 1, x cos t, t 0; 2   π    < ≤ = ∈      WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM [...]...WWW.VINAMATH.COM Bài tập 416 Giải phương trình: 1 + x2 = 5 2 1 + x2 +x  π π   HD: x = tan t, t ∈ − ;     2 2  x Bài tập 417 Giải phương trình: x + ĐS: x = x2 − 1 35 12 = 5 5 ∨ x= 3 4 Bài tập 418 Giải phương trình: ĐS: x = cos 1 − x2 = x 4x − 1 2 π 5π 2 ∨ x = cos ∨ x= 8 8 2 Bài tập 419 Giải phương trình: 1 − x2 = x 16x − 12x 2 + 1 4    π π 2 5π 5π  ĐS:... 420 Giải phương trình: ( ) 1 − x2 16x 4 − 12x2 + 1 = 4x 3 − 3x  2    ; cos π ; cos 5π ; cos 9π ; cos 13π   ĐS: x ∈    2 16 16 16 16        ( ) Bài tập 421 Giải phương trình: 2x + 4x2 − 1 ĐS: x = ± 1 − x2 = 4x 3 + 1 − x2 2 2 Bài tập 422 Giải phương trình: 1 − x 1 − x 2 = 1 − 2x 2 2 Đề nghị Olympic – THPT Chuyên Lê Quý Đôn – Quảng Trị ĐS: x = 2 1 ∨ x= 2 4 Bài tập 423 Giải phương trình: ... 1 2 Bài tập 427 Giải phương trình:  3 1 + 1 − x  (1 + x) −  2 HD: Đặt x = cos t, PT ⇔ (2 + sin t) Bài tập 428 Giải phương trình: ĐS: x = cos (  2 1 − x2 = + (1 − x)  3 3  3 ) 6 cos t − 1 = 0 ⇒ x = 1 − x = 2x2 − 1 + 2x 1 − x2 3π 10 Bài tập 429 Giải phương trình: 64x 3 − 112x2 + 56x − 7 = 2 1 − x ĐS: x = cos2 3π 5π π ∨ x = cos2 ∨ x = cos2 18 18 18 Bài tập 430 Giải phương trình: x +1 + 8−... x      Bài tập 431 Giải phương trình: 1 + 2 x (1 − x ) = x + 1 − x 3  π HD: x = cos2 t, t ∈  0;   2   Bài tập 432 Giải phương trình: x 3 + 3 (1 − x ) 2 ( ) = x 2 1 − x2 HD: x = cos t, t ∈ 0; π   Bài tập 433 Giải phương trình: 1 + 2x 1 − x 2 + 2x 2 = 1 2 WWW.VINAMATH.COM 1 6 WWW.VINAMATH.COM HD: x = cos t, t ∈ 0; π   5x Bài tập 434 Giải phương trình: x2 + 1 + 2 = 4 x... Giải bất phương trình: 5 (1 − x ) 2 + x5 ≤ 1  π HD: x = cos t, t ∈ 0;  ⇒ x ∈ −1;1      2 Bài tập 438 Giải phương trình:  3 1 + 1 − x 2  (1 + x ) −    3   (1 − x)  = 2 +    1 − x2 1984 Vietnamese Mathematical Olympiad ĐS: x = 2 2 Bài tập 439 Giải phương trình: x2 + a2 ≤ x + 2a 2 x2 + a2 , (a ≠ 0)  a 3     ĐS: x ∈ − ; +∞    3    Bài tập 440 Giải phương trình: ... 1 1 ⇒x=− sin t Bài tập 424 Giải phương trình: 1 + ( 3 2 x −9 = 1 x2 ) 6+ 2 = 1 x WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM HD: Đặt x = 3 ⇒x=3 2 cos t 1 Bài tập 425 Giải phương trình: 1 + 1− 1− x = 1+ 1+ x 1 1 − x2  t t    2 + 2 cos − sin    2 2  3 HD: Đặt x = cos t ⇒ PT : sin t = 0 ⇒ x =  2 t t    1 + 2 cos − sin  − sin t   2 2  Bài tập 426 Giải phương trình: ĐS: x =   1 + 1 −... Giải phương trình: 64x 3 − 112x 2 + 56x − 7 + 4x = 4  π  3  π π 5π 7π 3π  HD: Đặt x = cos2 t, t ∈  0;  ⇒ x ∈  ; cos2 ; cos2 ; cos2 ; cos2 ; cos2     2 4  18 18 18 10 10       Bài tập 436 Giải bất phương trình: 1 3x > 2 1 − x2 1− x 2 5      π π 2     HD: Đặt x = sin t, t ∈ − ;  ⇒ x ∈  ;1 ∪ −1;            2 2  5 2          Bài tập 437 Giải . thức lượng giác và phương pháp giải phương trình lượng giác (chuyên đề: Phương trình lượng giác và ứng dụng của cùng tác giả). WWW.VINAMATH.COM WWW.VINAMATH.COM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG. PHƯƠNG TRÌNH & BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Chuyên đề luyện thi Đại học Thạc sĩ Lê Văn Đoàn II – CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Thí dụ 105. Giải phương trình: ( ) 3 2 4x 3x 1. THỨC CƠ BẢN  Một lớp các phương trình vô tỷ có thể giải được bằng phương pháp chuyển về phương trình lượng giác (hay ngược lại).  Dấu hiệu nhận biết là trong phương trình xuất hiện các biểu