Các phương pháp giải phương trình, bất phương trinh hệ mũ và logarit BD toán 12

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ DẠNG 1 I. Phương pháp: Phương pháp dùng ẩn phụ dạng 1 là việc sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau: Dạng 1: Phương trình Khi đó đặt điều kiện t>0, ta được: Mở rộng: Nếu đặt điều kiện hẹp t>0. Khi đó: Và CC PHNG PHP GII PHNG TRèNH- BT PHNG TRèNH- H M- LễGARIT CHNG I: PHNG PHP GII PHNG TRèNH- BT PHNG TRèNH- H M CH I:PHNG TRèNH M BI TON 1: S DNG PHNG PHP BIN I TNG NG I. Phng phỏp: Ta s dng phộp bin i tng ng sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 ộ = ờ ờ ỡ ù < ạ = ờ ù ù ớ ờ ù = ờ ù ù ợ ở hoc ( ) ( ) ( ) 0 1 0 ỡ ù > ù ù ớ ộ ự ù - - = ù ờ ỳ ở ỷ ù ợ II. VD minh ho: VD1: Gii phng trỡnh: ( ) ( ) sin 2 3cos 2 2 2 2 - + - = + - Gii: Phng trỡnh c bin i v dng: ( ) ( ) 2 2 2 1 2(*) 2 0 1 0(1) 2 1 sin 2 3cos 0 sin 3cos 2(2) ỡ ù - < < ù ỡ ù ù + - > ù ù ộ ù ù - - = ớ ớ ờ ù ù + - - - + = ờ ù ù ù ù ợ + = ờ ù ở ù ợ Gii (1) ta c 1,2 1 5 2 = tho món iu kin (*) Gii (2): 1 3 sin cos 1 sin 1 2 2 , 2 2 3 3 2 6 ổ ử ữ ỗ ữ + = + = + = + = + ẻ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ nghim tho món iu kin (*) ta phi cú: 1 1 1 2 2 1 2 0, 6 2 6 2 6 ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ - < + < - - < < - = ẻ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ khi ú ta nhn c 3 6 = Vy phng trỡnh cú 3 nghim phõn bit 1,2 3 1 5 ; 2 6 = = . 1 VD2: Giải phương trình: ( ) ( ) 4 3 5 2 2 2 2 3 6 9        + - - + - = - + Giải: Phương trình được biến đổi về dạng: ( ) ( ) ( ) 4 3 5 2 2 2( 4) 2 2 2 3 3 3          + - - + + - é ù - = - = - ê ú ê ú ë û 2 2 2 3 1 4 4 0 3 1 3 4 5 3 5 2 2 2 8 7 10 0             é é - = = ê ê é = ê ê ì ì ê ï ï < - ¹ < ¹ Û Û Û ê ê ï ï ï ï ê = í í ê ê ê ë ï ï - + = + - - + = ê ê ï ï ï ï î î ë ë Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=4, x=5. BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I. Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit theo cùng 1 cơ số cả 2 vế của phương trình, ta có các dạng:  Phương trình: ( ) ( ) 0 1, 0 log           ì ï < ¹ > ï ï = Û í ï = ï ï î  Phương trình : ( ) ( ) ( ) ( ) log log ( ) ( ).log                    = Û = Û = hoặc ( ) ( ) log log ( ).log ( ).              = Û = II. VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: 2 2 2 3 2  - = Giải: Lấy logarit cơ số 2 hai vế phương trình ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 3 log 2 log 2 log 3 1 2 1 log 3 0 2       - = Û - = - Û - + - = Ta có , 2 2 1 1 log 3 log 3 0D = - + = > suy ra phương trình có nghiệm x = 1 2 log 3.± 2 VD2: Gii phng trỡnh: 1 5 .8 500. - = Gii: Vit li phng trỡnh di dng: 1 1 3 3 3 2 3 8 5 .8 500 5 .2 5 .2 5 .2 1 - - - - = = = Ly logarit c s 2 v, ta c: ( ) ( ) 3 3 3 3 2 2 2 2 2 3 log 5 .2 0 log 5 log 2 0 3 .log 5 log 2 0 - - - - ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ - ữ ữ ỗ ỗ = + = - + = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ ( ) 2 2 3 1 3 log 5 0 1 log 5 ộ = ờ ổ ử ữ ỗ ờ ữ - + = ỗ ữ ờ ỗ ữ ỗ = - ố ứ ờ ờ ở Vy phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit: 2 1 3; log 5 = = - Chỳ ý: i vi 1 phng trỡnh cn thit rỳt gn trc khi logarit hoỏ. BI TON 3: S DNG PHNG PHP T N PH- DNG 1 I. Phng phỏp: Phng phỏp dựng n ph dng 1 l vic s dng 1 n ph chuyn phng trỡnh ban u thnh 1 phng trỡnh vi 1 n ph. Ta lu ý cỏc phộp t n ph thng gp sau: Phng trỡnh ( 1) 1 1 0 0 - - + + = Khi ú t = iu kin t>0, ta c: 1 1 1 0 0 - - + + = M rng: Nu t ( ) , = iu kin hp t>0. Khi ú: 2 ( ) 2 3 ( ) 3 ( ) , , , = = = V ( ) 1 - = Phng trỡnh 1 2 3 0 + + = vi a.b=1 3 Khi đó đặt ,   = điều kiện t<0 suy ra 1    = ta được: 2 2 1 3 1 3 2 0 0         + + = Û + + = Mở rộng: Với a.b=1 thì khi đặt ( ) ,    = điều kiện hẹp t>0, suy ra ( ) 1     =  Phương trình ( ) 2 2 1 2 3 0        + + = khi đó chia 2 vế của phương trình cho 2  >0 ( hoặc ( ) 2 , .     ), ta được: 2 1 2 3 0          æö æö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + + = ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø Đặt ,     æö ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç è ø điều kiện t<0, ta được: 2 1 2 3 0   + + = Mở rộng: Với phương trình mũ có chưa các nhân tử: ( ) 2 2 , , .      , ta thực hiện theo các bước sau: - Chia 2 vế phương trình cho 2 0   > (hoặc ( ) 2 , .     ) - Đặt     æö ÷ ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç è ø điều kiện hẹp t>0 Dạng 4: Lượng giác hoá.  Ta sử dụng ngôn từ điều kiện hẹp t>0 cho trường hợp đặt ( )   = vì: - Nếu đặt   = thì t>0 là điều kiện đúng. - Nếu đặt 1 2 2   + = thì t>0 chỉ là điều kiện hẹp, bới thực chất điều kiện cho t phải là 2 ³ . Điều kiện này đặc biệt quan trọng cho lớp các bài toán có chứa tham số. II. VD minh hoạ: VD1: Giải phương trình: 1 cot sin 2 2 4 2 3 0    + - = (1) Giải: Điều kiện sin 0 ,    ¹ Û ¹ Î (*) Vì 2 2 1 1 cot sin    = + nên phương trình (1) được biết dưới dạng: 4 cot 2 2 cot 4 2.2 3 0     + - = (2) Đặt cot 2 2    = điều kiện 1 ³ vì 2 cot 0 2 cot 0 2 2 1     ³ Û ³ = Khi đó phương trình (2) có dạng: 2 cot 2 2 1 2 3 0 2 1 cot 0 3 cot 0 , 2                é = ê + - = Û Û = Û = ê = - ê ë Û = Û = + Î thoả mãn (*) Vậy phương trình có 1 họ nghiệm , 2      = + Î VD2: Giải phương trình: ( ) ( ) 7 4 3 3 2 3 2 0   + - - + = Giải: Nhận xét rằng: ( ) ( ) ( ) 2 7 4 3 2 3 ; 2 3 2 3 1+ = + + - = Do đó nếu đặt ( ) 2 3   = + điều kiện t>0, thì: ( ) 1 2 3   - = và ( ) 2 7 4 3  + = Khi đó phương trình tương đương với: ( ) ( ) 2 3 2 2 1 3 2 0 2 3 0 1 3 0 3 0( )            é = ê - + = Û + - = Û - + + = Û ê + + = ê ë ( ) 2 3 1 0  Û + = Û = Vậy phương trình có nghiệm x=0 Như vậy trong ví dụ trên bằng việc đánh giá: ( ) ( ) ( ) 2 7 4 3 2 3 2 3 2 3 1 + = + + - = Ta đã lựa chọn được ẩn phụ ( ) 2 3   = + cho phương trình Ví dụ tiếp theo ta sẽ miêu tả việc lựa chọn ẩn phụ thông qua đánh giá mở rộng của a.b=1, đó là: . . 1       = Û = tức là với các phương trình có dạng: . . 0       + + = 5 Khi ú ta thc hin phộp chia c 2 v ca phng trỡnh cho 0 ạ , nhn c: . 0 ổử ổử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ + + = ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ t ú thit lp n ph , 0 ổử ữ ỗ ữ = > ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ v suy ra 1 ổử ữ ỗ ữ = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ VD3: Gii phng trỡnh: 2 1 2 2 2 2 2 9.2 2 0 + + + - + = Gii: Chia c 2 v phng trỡnh cho 2 2 2 0 + ạ ta c: 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 9 2 9.2 1 0 .2 .2 1 0 2 4 - - - - - - - + = - + = 2 2 2 2 2.2 9.2 4 0 - - - + = t 2 2 - = iu kin t>0. Khi ú phng trỡnh tng ng vi: 2 2 2 2 1 2 2 4 2 2 2 1 2 9 4 0 1 2 1 2 2 2 - - - ộ ộ = ộ ộ ờ = - = = - ờ ờ ờ ờ ờ - + = ờ ờ ờ ờ = - = - = ờ ờ =ờ ở ờ ở ở ở Vy phng trỡnh cú 2 nghim x=-1, x=2. Trong vớ d trờn, vỡ bi toỏn khụng cú tham s nờn ta s dng iu kin cho n ph ch l t>0 v chỳng ta ó thy vi 1 2 = vụ nghim. Do vy nu bi toỏn cú cha tham s chỳng ta cn xỏc nh iu kin ỳng cho n ph nh sau: 2 1 2 4 4 2 1 1 1 1 2 2 2 4 4 2 - ổ ử ữ ỗ ữ - = - - - ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ VD4: Gii phng trỡnh: ( ) 3 3 1 1 12 2 6.2 1 2 2 - - - + = Gii: Vit li phng trỡnh cú dng: 3 3 3 2 2 2 6 2 1 2 2 ổ ử ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ - - - = ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ố ứ ố ứ (1) t 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3.2 2 6 2 2 2 2 ổ ử ổ ử ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ = - ị - = - + - = + ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố ứ ố ứ Khi ú phng trỡnh (1) cú dng: 3 2 6 6 1 1 2 1 2 + - = = - = 6 t 2 , 0 = > khi ú phng trỡnh (2) cú dng: 2 1(1) 1 2 0 2 2 2 1 2 2 ộ = - ờ - = - - = = = = ờ = ờ ở Vy phng trỡnh cú nghim x=1 Tip theo chỳng ta s quan tõm n vic s dng phng phỏp lng giỏc hoỏ. VD5: Gii phng trỡnh: 2 2 1 1 2 1 2 1 2 .2 ổ ử ữ ỗ + - = + - ữ ỗ ữ ố ứ Gii: iu kin 2 2 1 2 0 2 1 0 - Ê Ê Nh vy 0 2 1 < Ê , t 2 sin , 0; 2 ổ ử ữ ỗ ữ = ẻ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Khi ú phng trỡnh cú dng: ( ) 2 2 1 1 sin sin 1 2 1 sin 1 cos 1 2cos sin 3 3 2cos sin sin2 2cos 2sin cos 2cos 1 2sin 0 2 2 2 2 2 2 1 cos 0(1) 1 2 2 6 2 0 3 2 2 1 sin 2 2 2 ổ ử ữ ỗ + - = + - + = + ữ ỗ ữ ố ứ ổ ử ữ ỗ ữ = + = - = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ ộ ộ ộ ờ ờ = = ộ ờ = - = ờ ờ ờ ờ ờ ờ ờ ờ = ờ ờ ờ = ờ ở = = ờ ờ ở ờ ở ở Vy phng trỡnh cú 2 nghim x=-1, x=0. BI TON 4: S DNG PHNG PHP T N PH- DNG 2 I. Phng phỏp: Phng phỏp dựng n ph dng 2 l vic s dng 1 n ph chuyn phng trỡnh ban u thnh 1 phng trỡnh vi 1 n ph nhng cỏc h s vn cũn cha x. Phng phỏp ny thng s dng i vi nhng phng trỡnh khi la chn n ph cho 1 biu thc thỡ cỏc biu thc cũn li khụng biu din c trit qua n ph ú hoc nu biu din c thỡ cụng thc biu din li quỏ phc tp. Khi ú thng ta c 1 phng trỡnh bc 2 theo n ph ( hoc vn theo n x) cú bit s D l mt s chớnh phng. II. VD minh ho: 7 VD1: Gii phng trỡnh: ( ) 2 3 2 9 .3 9.2 0 - + + = Gii: t 3 = , iu kin t>0. Khi ú phng trỡnh tng ng vi: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 2 9 9.2 0; 2 9 4.9.2 2 9 2 ộ = ờ - + + = D = + - = + ị ờ = ờ ở Khi ú: + Vi 9 3 9 2 = = = + Vi 3 2 3 2 1 0 2 ổử ữ ỗ ữ = = = = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Vy phng trỡnh cú 2 nghim x=2, x=0. VD2: Gii phng trỡnh: ( ) 2 2 2 2 9 3 3 2 2 0 + - - + = Gii: t 2 3 = iu kin 1 vỡ 2 0 2 0 3 3 1 = Khi ú phng trỡnh tng ng vi: ( ) 2 2 2 3 2 2 0 + - - + = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 3 4 2 2 1 1 ộ = ờ D = - - - + = + ị ờ = - ờ ở Khi ú: + Vi 2 3 3 2 2 3 2 log 2 log 2 = = = = + Vi 2 2 2 1 3 1 = - = - ta cú nhn xột: 2 2 1 1 3 1 0 1 1 1 1 ! ! ỡ ù ỡ ỡ ù ù = ù = ù ù ù ị = ớ ớ ớ ù ù ù = - = ù ù ù ợ ợ ù ợ Vy phng trỡnh cú 3 nghim 3 log 2; 0 = = BI TON 5: S DNG PHNG PHP T N PH- DNG 3 I. Phng phỏp: Phng phỏp dựng n ph dng 3 s dng 2 n ph cho 2 biu thc m trong phng trỡnh v khộo lộo bin i phng trỡnh thnh phng trỡnh tớch. II. VD minh ho: 8 VD1: Giải phương trình: 3 2 6 5 2 3 7 2 2 2 4 4 4 1      - + + + + + + = + Giải: Viết lại phương trình dưới dạng: 3 2 2 6 5 3 2 2 6 5 2 2 2 2 4 4 4 .4 1        - + + + - + + + + = + Đặt 3 2 2 6 5 2 2 4 , , 0 4         - + + + ì ï ï = ï ï > í ï ï = ï ï î Khi đó phương trình tương đương với: ( ) ( ) 1 1 1 0    + = + Û - - = 3 2 2 2 2 6 5 2 2 1 1 4 1 3 2 0 2 1 1 2 6 5 4 1 5               - + + + é = ê é é ê é ê = = - + = = ê ê ê ê Û Û Û Û ê ê ê ê = = - + + ê ê ê =ê ë ë ê ë = - ê ë Vậy phương trình có 4 nghiệm. VD2: Cho phương trình: 5 6 1 6 5 2 2 .2 2 2.2 (1)     " " - + - - + = + a) Giải phương trình với m=1 b) Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt. Giải: Viết lại phương trình dưới dạng: ( 5 6) 1 5 6 1 7 5 5 6 1 5 6 1 5 6 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 .2 2 2 .2 2 2 .2 2 2 .2                 " " " " " " æ ö ÷ ç ÷ - + + - ç ÷ ç ÷ - + - - - + - è ø - + - - + - + = + Û + = + Û + = + Đặt: 5 6 1 2 2 2 , , 0 2        - + - ì ï ï = ï ï > í ï ï = ï ï î . Khi đó phương trình tương đương với: ( ) ( ) 5 6 1 1 2 2 2 3 1 2 1 1 0 2 2 2 (*)       "   "   "   " " " - + - - é ê é = é ê ê = = ê ê ê + = + Û - - = Û Û Û = ê ê ê = ê ê =ê ë ë ê = ê ë Vậy với mọi m phương trình luôn có 2 nghiệm x=3, x=2 a) Với m=1, phương trình (*) có dạng: 1 2 2 2 2 1 1 0 1 1     - = Û - = Û = Û = ± 9 Vy vi m=1, phng trỡnh cú 4 nghim phõn bit: x=3, x=2, x= 1 b) (1) cú 4 nghim phõn bit (*) cú 2 nghim phõn bit khỏc 2 v 3. (*) 2 2 2 2 0 0 1 log 1 log " " " " ỡ ỡ ù ù > > ù ù ù ù ớ ớ ù ù - = = - ù ù ù ù ợ ợ . Khi ú iu kin l: ( ) 2 2 2 0 0 2 1 log 0 1 1 1 0;2 \ ; 1 log 4 8 256 8 1 log 9 1 256 " " " " " " " " " ỡ ù > ù ỡ ù ù > ù ù < ù ù ù ù ỡ ỹ - > ù ù ù ù ù ù ù ù ẻ ớ ớ ớ ý ạ ù ù ù ù - ạ ù ùù ù ợ ỵ ù ù ù ù - ạ ù ù ù ợ ù ạ ù ù ợ Vy vi ( ) 1 1 0;2 \ ; 8 256 " ỡ ỹ ù ù ù ù ẻ ớ ý ù ù ù ù ợ ỵ tho món iu kin u bi. BI TON 6: S DNG PHNG PHP T N PH- DNG 4 I. Phng phỏp: Phng phỏp dựng n ph dng 4 l vic s dng k n ph chuyn phng trỡnh ban u thnh 1 h phng trỡnh vi k n ph. Trong h mi thỡ k-1 thỡ phng trỡnh nhn c t cỏc mi liờn h gia cỏc i lng tng ng. Trng hp c bit l vic s dng 1 n ph chuyn phng trỡnh ban u thnh 1 h phng trỡnh vi 1 n ph v 1 n x, khi ú ta thc hin theo cỏc bc: Bc 1: t iu kin cú ngha cho cỏc biu tng trong phng trỡnh. Bc 2: Bin i phng trỡnh v dng: ( ) , 0 # ộ ự = ờ ỳ ở ỷ Bc 3: t ( ) $ #= ta bin i phng trỡnh thnh h: ( ) ( ) ; 0 $ $ # ỡ ù = ù ù ớ ù = ù ù ợ II. VD minh ho: VD1: Gii phng trỡnh: 1 1 1 8 2 18 2 1 2 2 2 2 2 - - - + = + + + + 10 [...]... VD minh ho: ỡ 3x - 3y = y - x(1 ù ) ù VD1: Gii h phng trỡnh: ù 2 ớ ù x + xy + y2 = 12( 2) ù ù ợ Gii: Xột phng trỡnh (1) di dng: 3x + x = 3y + y (3) Xột hm s f (t) = 3t + t ng bin trờn R Vy phng trỡnh (3) c vit di dng: f ( x) = f ( y) x = y Khi ú h cú dng: ỡx =y ù ù ớ 2 ù x + xy + y2 = 12 ù ù ợ ỡx =y ù ù ớ 2 ù 3x = 12 ù ù ợ ỡx =y ù ù ớ ù x = 2 ù ợ ộ =y =2 x ờ ờ =y =- 2 x ờ ở Vy h phng trỡnh cú 2... ùớ ùù ờ ờ f (x) < loga b ùù ù ờở ợ ởợ Dng 3: Vi bt phng trỡnh: af (x) > bg(x) lgaf (x) > lgbg(x) f (x).lga > g(x).lgb hoc cú th s dng logarit theo c s a hay b II VD minh ho: VD: Gii bt phng trỡnh: 49.2x2 > 16.7x Gii: Bin i tng ng phng trỡnh v dng: 2x- 4 > 7x- 2 Ly logarit c s 2 hai v phng trỡnh ta c: 20 2- 4 log2 2x > log2 7x- 2 x2 - 4 > ( x - 2) log2 7 f (x) = x2 - x log2 7 + 2log2 7 - 4 > 0 2... 3 x +1 x2 - 5 + . nghiệm của bất phương trình là: ( ) ( ) 3; 5 1; 5- - È BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LOGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I. Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit. ë Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt x=4, x=5. BÀI TOÁN 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP LÔGARIT HOÁ VÀ ĐƯA VỀ CÙNG CƠ SỐ I. Phương pháp: Để chuyển ẩn số khỏi số mũ luỹ thừa người ta có thể logarit. logarit hoá theo cùng 1 cơ số cả hai vế của bất phương trình mũ. Chúng ta lưu ý 1 số trường hợp cơ bản sau cho các bất phương trình mũ: Dạng 1: Với bất phương trình: ( )   < ( với b>0) (