Các phương pháp tính tích phân BD toán 12

PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH. 2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ. 3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN. 4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN. 5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ. PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

PHẦN 1:CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

1. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH.

2. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ.

3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN.

4. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN.

5. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ.

PHẦN 2: PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

4 0

J=∫(3x e )dx.−

Giải:

a/ Ta có:

2 2

2

1 1

b/ Ta có:

4 x

x

x 1

=+

2

0 0

Ta có: sinx A B cosx sinx (A B)cosx (A B)sin x

a u t

b u t a x

b x

)()

('.)

a u

b a

dt t f dx x u x u f

I (tiếp tục tính tích phân mới)

CHÚ Ý: +, Khi gặp dạng f(x) có chứa ( 1, ln x)

x thì đặt t = lnx.

+, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x)

+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu

Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức và vận dụng hợp lý.

1 dxcos x

+

∫ ; 8) 4

0

1 dxcosx

π

dx x x

x ; 17) ∫3

4

2sin

)ln(

(

π

dx x

sin

π

dx x

π

dx x

x

x ; 22)

2 0 sin cos )cos(

π

xdx x

1

lnln31

; 25)

∫ +−

4 0

2

2sin1

sin21

π

dx x

b x

+) Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được

=∫ =β∫ [ ]

α f ϕ t ϕ t dt dx

x f

I b

a

)(')()

( (tiếp tục tính tích phân mới)

Î çè ÷÷ø, hoặc x = a cot t với t Î (0;p ) +, ( 2 2)n

2 0

dxI

Đặt x = sint, khi đó: dx = costdt Đổi cận: với

x= 0 t = 0 2

0 0

dxI

33

Do đó:

/ 2 / 2

cosdxI

sin x 5sinx 6

π π

Khi đó:

3 / 2

3 / 2

1/ 2 1/ 2

2 0

9 3x dxx

+

∫ 7))

1

5 0

1(1 x dx)

x

−+

∫ 8)

2 2 2 3

1

1 x dx x

++

x x

III TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:

A Phương pháp:

* Kiến thức:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:

dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx

* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:

+, d(a.x b) a.dx dx d(a.x b)(a 0)

2

x x

−

∫ dx; 3)

3 0

21

x x

sincos

x x

dx2e + 3

b

a v x u x dx x

v x u dx x v x

u( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

Hay: b∫ =[ ] −∫

a

b a

b

a vdu v

)(')

('

)(

x v v

dx x u du dx x v dv

x u u

b

a vdu v

u

Chú ý:

+)Đặt u = f(x), dv = g(x)dx(hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

b x a

e sin axdxa

ò ,

b x a

v2

ìï =ï

ln(1 x)dxx

IV PHUƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT LIÊN TỤC VÀ TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM SỐ

VD1: Tính tích phân

Giải: nhận xét hs = −

+

1 xf(x) cosx.ln( )

3 2

1b)J ( t an (sin x)).dx

I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

(t t )dt

æ ö÷ç

= ò - =ççè - ÷÷ø = Vậy I 2

15

=

3 Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.

Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc

=

Tổng quát:

2 2

0 2

cos xdx 2 cos xdx 2

p -

I 2 t cos t dt 2 t sin t cos t 2

x dxI

Biến đổi I về dạng:

x dxJ

π π

II TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải toán

1 Dạng 1 tính tích phân

b

a

I = ò f(x) dx+) lập bảng xét dấu f(x) : giả sử bxd f(x) là

x a x 1 x b2

f(x) + 0 - 0 + +) Tính

Bước 1 Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).

Bước 1 Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x)- g(x) trên đoạn [a; b].

Bước 2

+ Nếu h(x) > 0 thì max f(x), g(x){ } = f(x) và min f(x), g(x){ } = g(x)

+ Nếu h(x) < 0 thì max f(x), g(x){ } = g(x) và min f(x), g(x){ } = f(x)

Ví dụ 1 Tính tích phân { }

4

2 0

I = òmin 3 , 4- x dx

Giải

Đặt h(x) = 3x - (4- x) = 3x + x - 4.Bảng xét dấu

x 0 1 2h(x) – 0 +

Biến đổi ax2 +bx+c về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta

sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ

a) a2 +t2 Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u Î æç-ç p p÷ö÷

÷

çè 2 2; ø (hoặc u∈(0; ).p) b) a2 −t2 Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u é p pù

ê- úÎ

ë 2 2; û (hoặc uÎ [0; p] c) t2 −a2 Đặt t =

ë 2 2; û-{ }0 )Chú ý công thức:

∫ x dx2 +a = lnx+ x2 +a +C (C là hằng số tuỳ ý)

Chứng minh:

Đặt t = x + x2 +a dx

a x

dx t

dx t

6

sin1

cos

t dt t

1

x

x d

2

412ln2

+

215

457ln21

2 1

412ln2

+

−+

21ln2

12

1

)21(2

12

x d x

dx

= - ln521

2.Tích phân dạng : ∫ ax Ax2++B bx dx+c

)(

Với a.A ≠0

Cách làm:

Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là ax2 +bx+c,một tích phân có tử

là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số

Tức là tách: ∫ ax Ax2++B bx dx+c

)(

++

+

dx c bx ax

b ax

x

32

6)22(

+

−+

x

dx x

= = x2 +2x−3+3lnx+1+ x2 +2x−3 C+

x x

dx x

x x

dx x

= 2

1

∫

++

0

2)22(

dx x x

x x

dx x

x = 1 ⇒t =

21

lnt+ t + =

51

)21(2ln

++

x = 3 thì t =

21

và dx = - 2

t dt

2

111

t

t t

1

t

t d

2 1 2 1 2

2

1ln2

+

52

103ln21

Ví dụ 3:Tính K = ln∫2 + − +

x

e e e

dx e

Đặt t = ex ⇒ dt = exdx.Khi : x = 0 ⇒ t = 1

3

12

121213

1

u

u d

1

3 1

2

12

12

12

1ln3

63

32

322ln21

4.Tích phân dạng:∫ ax f2 +x bx dx+c

)(

Với a≠0 bậc f(x)≥2,f(x) là đa thức

Cách làm:Tách ∫ ax f2 +x bx dx+c

)(

+

x x

dx x

Tách : ∫ ( 2 21) 3

2

++

+

x x

dx x

+

32

1

2

2

x x

x

A. x2 +2x+3 +

32

)1)(

(

++

x x

x B Ax

+

32

x x

22

1

2 3

Ta có : ∫ +− ++ dx

x x

x x

22

-65

⇔

4A+3B+C =-1 C=

61

25

= (2 5 1) 2 26

dx x x

x x x

Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:

dx x x

x x x

x x

1

dx x x

x x

2

3221

526

1

−+++++

+++

426

)

∈N a c n

m

Cách làm:Đặt n

m

d cx

b ax

13

+

x

45

13

2

2

)45(

7.45

13.32

x

21

2)45

dt x

++

1

45

1345

x

x x

dx

= 27∫8

8

1 21.3

2

t t

dt

=

= t 3dt

4 27 8

8 1

6.Tích phân dạng: ∫ ++ dx

d cx

b ax

Với (a.c≠0)

Cách làm: Cách 1: Đặt

d cx

b ax t

Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt t = 3−x

x

dx dt

dt x

82

4 Cos ydy Cos y dy = ( ) 3

4

224

Π

Π+ Sin y

3 + −Π

dx x x

dx x

x

= ∫1 +−0

2

3 5

−++

−

1

0

2 2

2 3 4 6

1

61

666666

t t

t t

t t t t

Tích phân này dễ dàng tính được

Ví dụ2 :Tính J = ∫3 + ++ −+ +

21

dx x

x x x

Đặt t = x+1⇒2tdt=dx

J = ∫3 + ++ −+ +

21

dx x

x x

x

=∫2 −+1

4

)2(2

t t

tdt t

= ∫2 −+1

42

dt t

2 t ∫2 −−+

1

22

dt t t

−

+

−+2

1

2

1 2 2

2

1211

)1(

3

2ln

2

t t

t d t

t

t t

3

2ln

Tính L bằng cách đặt t tgu

2

32

1 =

− Ta có đáp số là: I =

333

1 2

4

t t

dt t

1)

1(

1(2

dx x

(a>0)

Ta có: J = ∫x a−x −2 dx

3 2

xdx t

t

tdt t

t

a at t

2 2

t

a at

Ta có: N = ∫ 3 ax−x3dx = x a x 3dx

1 2 3

1

)( −

∫

Do

.3

1

;2

2 2

3 2 3

31

t

a x

t x

32

1

=− ∫ 33+ 2

)1(2

3

t

dt t a

= = ∫ 

+

2 2 -2 -1

2 0

ln

e x dx x

2 3 2

4 2 6

1 - 9

dx x

∫

C=2

2 2 0

∫D=

ln x

dx x

dx x

−

4 1

11

∫

Bài 6:Tính:

2

2 0

D=∫ ( − )2 + − 2

21

x x

11

11

G=∫1+ x2 +2x+2

dx

(Đặt x2 +2x+2 = x+t) H=∫(x+1()2 x−21+) 3x+3

dx x

x x

dx x

Bài 8: Tính

P = −∫

++

23

dx x x x

x x x

L = ∫

−

2 7