HÀM LŨY THỪA HÀM MŨ VÀ HÀM LOGARIT và phương trình và bất phương trình SỐ MŨ VÀ LOGARIT

Mục lục Trang HÀM SỐ LŨY THỪA-HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A LÝ THUYẾT 2.1 Lũy thừa-Hàm số lũy thừa 2.1.1 Chương PHẦN HÀM SỐ LŨY THỪA-HÀM SỐ MŨ-HÀM SỐ LOGARIT 2.1.2 2.2 2.3 Lũy thừa α Hàm số lũy thừa: y = x Logarit 2.2.1 Kiến thức Hàm số mũ-Hàm số logarit x 2.3.1 Hàm số mũ: y = a , (0 < a = 1) 2.3.2 Hàm số logarit: y = loga x, (0 < a = 1, x > 0) 2.3.3 Bảng đạo hàm B BÀI TÂP TỰ LUẬN 2.4 Bài tập lũy thừa 2.4.1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức 2.4.2 Dạng 2: Đơn giản biểu thức 2.4.3 Dạng 3: Lũy thừa hữu tỉ 2.4.4 Dạng 4: So sánh cặp số 10 2.4.5 Dạng 5: Bài toán thực tế 11 2.5 2.6 Bài tập logarit 12 2.5.1 Dạng 1: Tính giá trị biểu thức 12 2.5.2 Dạng 2: Biến đổi logarit 13 2.5.3 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức logarit 17 2.5.4 Dạng 4: So sánh cặp số 18 2.5.5 Dạng 4: Bài toán thực tế 18 Bài tập hàm số mũ-hàm số logarit 18 2.6.1 Dạng 1: Tập xác định hàm số 18 2.6.2 Dạng 2: Đạo hàm 19 2.6.3 Dạng 3: Chứng minh hàm số cho thỏa hệ thức cho trước 20 2.6.4 Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình 21 2.6.5 Dạng 5: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 21 PHẦN PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 22 A PHƯƠNG TRÌNH 22 2.7 Phương trình mũ 22 2.7.1 Phương trình mũ 22 2.7.2 Một số phương pháp giải phương trình mũ 23 Hàm số mũ hàm số logarit 2.7.3 2.8 Giải tích 12 2.7.2.1 Phương pháp đưa số 23 2.7.2.2 Phương pháp logarit hóa 24 2.7.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 25 2.7.2.3.1 Dạng 1: 25 2.7.2.3.2 Dạng 2: 25 2.7.2.3.3 Dạng 3: 25 2.7.2.4 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 29 2.7.2.5 Phương trình tích 30 Bài toán liên quan tham số m 31 Phương trình logarit 32 2.8.1 Phương trình logarit 32 2.8.2 Một số phương pháp giải phương trình logarit 32 2.8.3 2.8.2.1 Phương pháp đưa số 32 2.8.2.2 Phương pháp mũ hóa 32 2.8.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ 33 2.8.2.4 Sử dụng tính đơn diệu hàm số 34 Bài toán liên quan tham số m 39 B BẤT PHƯƠNG TRÌNH 39 2.9 Bất phương trình mũ bất phương trình logarit 39 2.9.1 Bất phương trình mũ 39 2.9.2 Bất phương trình logarit 40 2.10 Hệ phương trình mũ logarit 40 2.11 Các ví dụ 41 2.12 Bài tập bất phương trình, hệ phương trình mũ logarit 43 2.12.1 Giải bất phương trình 43 2.12.2 Giải hệ phương trình 46 Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang Chương HÀM SỐ LŨY THỪA-HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT A LÝ THUYẾT 2.1 Lũy thừa-Hàm số lũy thừa 2.1.1 Lũy thừa Với a, b số thực dương, m, n số thực tùy ý n a = a · a · a···a a b an n lần am · an = am+n am = am−n ⇒ a−n = n n n a (am )n = (an )m = am·n (a · b)m = am · bm am = m = b √ = n am Å ãm m Ç å−m b a   ∀u(x) [u(x)] = ⇒ x0 = 1,  x=0 √ √ √ n n n a · b = ab √ √ m n 10 ( n a) = am Nếu a < am xác định ∀m ∈ Z Nếu a > am > an ⇔ m > n ! Nếu < a < am > an ⇔ m < n √ √ bậc n (với n bội số chung Để so sánh n1 a n2 n Ta đưa cho√về √ n n n1 n2 )⇒ Hai số so sánh√mới A B Từ so sánh A B ⇒ √ kết so sánh n1 a n2 b Công thức lãi kép: Lãi kép phần lãi kì sau tính số tiền gốc kì trước cộng với phần lãi kì trước n Số tiền nhận gốc lãi sau n kì hạn gửi A(1 + r) Số tiền lãi nhận sau n kì hạn gửi A(1 + r)n − A = A [(1 + r)n − 1] 2.1.2 Hàm số lũy thừa: y = xα α>0 Tập xác định: D = (0; +∞) α−1 Sự biến thiên: y = α.x >0 Giới hạn đặc biệt lim+ xα = 0; lim xα = +∞ x→0 α loga c ⇔ b > c Nếu < a < loga b > loga c ⇔ b < c b log b loga = loga a = loga a = b a a = b 3) Các qui tắc tính logarit Cho a > b, c > Ç Ta å có: b loga (b.c) = loga b + loga c 10 loga = loga b − loga c c α 11 loga b = α loga b 12 loga b = loga |b| 4) Các công thức đổi số Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang Hàm số mũ hàm số logarit 13 15 17 19 22 2.3 Giải tích 12 Cho a, b, c > a, b = Ta có: loga c logb c = 14 loga b = loga b logb a ln b loga b logb c = loga c 16 loga b = ln a logaα b = loga b, (α = 0) 18 log b = − loga b a α β β logaα a = 20 logaα b = loga b; α α log c log a 23 a b = c b logab = 1 + loga c logb c 21 logaα aβ = β α Hàm số mũ-Hàm số logarit 2.3.1 Hàm số mũ: y = ax , (0 < a = 1) a>1 Tập xác định: D = R x Sự biến thiên: y = a ln a > Giới hạn đặc biệt: lim ax = 0; lim ax = +∞ x→−∞ 02 Ç å√ Ví dụ So sánh cặp số sau: Lời giải  Ç å√2 Ç å√3   √ 2  3> Ç å√2 Đáp số Ç å√ > Ví dụ So sánh cặp số sau: 2π 3π Lời giải  3 > Ta có  ⇒ 3π > 2π π>0 Đáp số 3π > 2π Ví dụ So sánh cặp số sau: Lời giải √  2< √ Ta có  π Ä√ ä−π Ä√ ä−π Đáp số Ä√ ä−π > Ä√ ä−π Bài So sánh cặp số sau: a) 4− √ √ 4− −1 d) (0, 013) √ b) Ç å√ Ç å1,4 e) c) 2−2 và 21,7 Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Ç åπ f) Ç å3,14 Trang 10 Hàm số mũ hàm số logarit (1)⇔ log2 (2x − 1) = log2 2−2 ⇔ 2x − = Giải tích 12 ⇔ x= (nhận) Ví dụ 41 Giải phương trình: log2 (9 − 2x ) = − x Lời giải Điều kiện: − 2x > ⇔ 2x < (*) (1)⇔ log2 (9 − 2x ) = log2 23−x ⇔ − 2x = 23−x ⇔ 2x + (2) − = (**) 2x  t=1 Đặt 2x = t > 0, phương trình (**) trở thành t + − = ⇔ t2 − 9t + = ⇔  t t=8 • Với t = ⇒ 2x = ⇔ x = thay vào điều kiện (*) thỏa • Với t = ⇒ 2x = ⇔ x = thay vào điều kiện (*) thỏa Nghiệm phương trình cho x = 0; x = 2.8.2.3 Phương pháp đặt ẩn phụ Đặt điều kiện cho phương trình: ! Biến đổi phương trình cho dạng: [α · loga f (x)]2 + β · loga f (x) + c = (∗) Đặt loga f (x) = t Phương trình (*) trở thành: α · t2 + β · t + c = (**) Giải phương trình (**), tìm nghiệm t ⇒ nghiệm x Ví dụ 42 Giải phương trình: log22 x − · log2 x + = Lời giải Điều kiện: x > (3)  Đặt log2 x = t, phương trình (3) trở thành t2 − 4t + = ⇔  t=1 t=3 • Với t = ⇒ log2 x = ⇔ x = • Với t = ⇒ log2 x = ⇔ x = Nghiệm phương trình cho x = 2; x = Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang 33 Hàm số mũ hàm số logarit 2.8.2.4 Giải tích 12 Sử dụng tính đơn diệu hàm số Phương trình: f (x) = g(x) (1) y = f (x) đồng biến (hoặc nghịch biến) tập xác định D y = g(x) nghịch biến (hoặc đồng biến) tập xác định D f (x0 ) = g(x0 ) ⇒ x = x0 nghiệm (1) D ! Lưu ý:   đồng a) Hàm số y = loga x :  biến khi: a > nghịch biến khi: < a <   đồng b) Hàm số y = ax + b :  biến khi: a > nghịch biến khi: a < Ví dụ 43 Giải phương trình: log x = x − (4) Lời giải Điều kiện: x > Đặt f (x) = log x nghịch biến (0; +∞) a = < g(x) = x − đồng biến (0; +∞) a = > Ta có f (3) = g(3) ⇒ x = nghiệm phương trình (4) Bài 55 Giải phương trình logarit (đưa số mũ hóa) a) log2 (x + 2) − log2 (x − 2) = b) log(x2 + 2x − 3) + log(x + 3) = log(x − 1) c) · log25 (3x − 11) + log5 (x − 27) = + log5 d) log5 x3 + log0,2 x + log √ 25 x = e) log2 x + log2 (x − 1) = f) log2 x−5 + log2 (x2 − 25) = x+5 g) log4 (log2 x) + log2 (log4 x) = h) log3 (3x+1 − 26) = − x √ i) log4 (x + 3) − log2 x − = − log4 j) log4 Å ã2 x − log2 (4x)4 + 10 = k) · log3 (x − 2) + log3 (x − 4)2 = l) · log (x + 2)2 − = log (4 − x)3 + log (x + 6)3 4 m) log2 |x − 2| + log2 |x + 5| + log = n) √ 2 · log2 (3x − 4)6 · log2 x3 = · (log2 x) + [log2 (3x − 4)2 ] Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang 34 Hàm số mũ hàm số logarit Giải tích 12 Bài 56 a) log2 (9 − 2x ) = − x Đáp số: x = 0; x = b) log (x − 1) + log (x + 1) − log √1 (7 − x) = c) Đáp số: x = 3 log (x + 2)3 − = log (4 − x)3 + log (x + 6)3 4 2 d) log2 (x + 2) + log4 (x − 5) + log = Đáp số: x = 6; x = e) log2 |x − 2| + log2 |x + 5| + log = f) log4 (x − 1) + log2x+1 = √ 33 Đáp số: x = 2; x = − Đáp số: x = −3; x = 6; x = √ + log2 x + 2 √ 3± 3± √ 17 17 Đáp số: x = g) log5−x (x2 − 2x + 65) = Đáp số: x = −5 Bài 57 Giải phương trình logarit sau (đưa số) a) log2 [x(x − 1)] = b) log2 x + log2 (x + 1) = c) ln x + ln(x + 1) = d) log3 [7 + log3 (x − 2)] = e) log5 x + log25 x = log0,2 √ f) log5 (x2 + 1) + log = log5 (x + 2) − log (x − 2) 25 log(2x − 3) = − log 25 √ i) log2 (x − 2) − · log 3x − = j) log2 (x − 3) + log2 (x − 1) = k) log4 (x + 3) − log4 (x − 1) = − log4 l) log(x − 2) + log(x − 3) = − log g) log(x + 6) − m) log8 (x − 2) − log8 (x − 3) = h) log5 x = log5 (x + 6) − log5 (x + 2) n) log √ 5x − + log √ x + = + log 0, 18 log5 o) log3 (x2 − 6) = log3 (x − 2) + p) log2 (x + 3) + log2 (x − 1) = q) log4 x + log4 (10 − x) = r) log5 (x − 1) + log (x + 2) = s) log2 (x − 1) + log2 (x + 3) = log2 10 − t) log9 (x + 8) − log3 (x + 26) + = Bài 58 Giải phương trình logarit sau (đưa số) Ä√ ä Ä√ ä a) log2 x2 + + x + log0,5 x2 + − x = b) log2 (x2 + 3) + log0,5 = log0,25 (x − 1) − log2 (x + 1) c) log3 x + log√3 x + log x = d) + log(x2 − 2x + 1) − log(x2 + 1) = log(1 − x) e) log4 x + log x + log8 x = 16 Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang 35 Hàm số mũ hàm số logarit Giải tích 12 f) + log(4x2 − 4x + 1) − log(x2 + 19) = log(1 − 2x) g) log2 x + log4 x + log8 x = 11 h) log (x − 1) + log (x + 1) = + log √1 (7 − x) 2 i) log2 log2 x = log3 log3 x j) log2 log3 x = log3 log2 x k) log2 log3 x + log3 log2 x = log3 log3 x l) log2 log3 log4 x = log4 log3 log2 x m) log2 x + log3 x + log4 x = log20x n) log2 x + log3 x + log5 x = log2 x · log3 x · log5 x Bài 59 Giải phương trình logarit sau (đưa số) a) (log2 x) · log3 Å b) log 1 − √ x3 − log3 √ = + log2 x x … xã x + log2 − = ñ ô x+3 c) log(x + 2x − 3) + log =0 x−1 Ä Ä Ä ä ä ä √ √ √ d) log2 x − x2 − · log3 x + x2 − = log6 x − x2 − e) log(x+3) + log0,25 (4 − x) =1 log2 (x + 3) f) log2 |tan x| + log4 ï ò cos x =0 cos x + sin x g) log(2x + 1) + log(3 − x) = log x h) log4 {2 log3 [1 + log2 (1 + log2 x)]} = i) ln(x + 1) + ln(x + 3) = ln(x + 7) Bài 60 Giải phương trình logarit sau (đưa số) a) log2 (9 − 2x ) = − x b) log3 (3x − 8) = − x c) log7 (6 + 7−x ) = + x d) log3 (4 · 3x−1 − 1) = 2x − e) log2 (9 − 2x ) = 5log5 (3−x) f) log2 (3 · 2x − 1) = 2x + g) log2 (12 − 2x ) = − x h) log5 (26 − 3x ) = i) log2 (5x+1 − 25x ) = j) log4 (3 · 2x+1 − 5) = x k) log √1 (5x+1 − 25x ) = −2 l) log √1 (6x+1 − 36x ) = Bài 61 Giải phương trình logarit (đưa số) Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang 36 Hàm số mũ hàm số logarit Giải tích 12 a) log5−x (x2 − 2x + 65) = b) logx−1 (x2 − 4x + 5) = c) logx (5x2 − 8x + 3) = d) logx+1 (2x3 + 2x2 − 3x + 1) = e) logx−3 (x − 1) = f) logx (x + 2) = g) log2x (x2 − 5x + 6) = h) logx+3 (x2 − x) = i) logx (2x2 − 7x + 12) = j) logx (2x2 − 3x − 4) = k) logx (x2 − 2) = l) log3x+5 (9x2 + 8x + 2) = m) log2x+4 (x2 + 1) = n) logx o) logx2 (3 − 2x) = p) logx2 +3x (x + 3) = q) logx (2x2 − 5x + 4) = r) logx2 16 + logx 64 = 15 = −2 − 2x Bài 62 Giải phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ hồn toàn) √ a) log3 (3x+1 − 26) = − x b) log4 (x + 3) − log2 x − = − log4 c) log4 Å ã2 x − log2 (4x)4 + 10 = e) − log3 x + log2 x = − log x » d) · log3 (x − 2) + log3 (x − 4)2 = f) log22 x − log2 x + = » g) log3 (27x) − log3 x − = h) log23 + log23 x + − = i) log2√2 x + log2 x + log x = j) logx − log4 x + k) log21 4x + log2 x2 =8 m) logx2 16 + log2x 64 = o) log7 x − logx =2 » q) log2 x − log2 4x = » √ x + log2 x = u) log22 x + log4 = x s) log2 =0 l) log2√2 x + log2 x + log x n) log5 x − logx p) log5 =2 √ x − = logx » r) log3 x − log3 3x − = t) log2 √ x− » log2 x = − v) log22 (2 − x) − log (2 − x) = √ √ + log2x w) log25 x + log25 5x − = x) logx y) logx2 + log9 x = z) log3 (3x − 1) · log3 (3x+1 − 3) = + logx 5x = Bài 63 Giải phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ hoàn toàn) Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang 37 Hàm số mũ hàm số logarit Giải tích 12 a) log√3 (x − 2) · log5 x = log3 (x − 2) » √ c) logx 5x = − logx b) log2 (2x + 1) · log2 (2x+1 + 2) = e) logcos x · logcos2 x = f) g) d) logsin x · logcos2 x = + =1 − log x + log x h) + =1 + log2 x − log2 x + =1 − log x + log x i) log24 x + log4 x2 + = √ √ k) logx 5 − 1, 25 = log2x j) log3x 10 + log2x 10 − logx 10 = m) log2 (2x)2 · log2x = n) log2 (3x + 3) − log3x +3 = o) log 2 + log2 4x = p) logx · log x3 + log 81x = x q) log2x x2 − 14 log16x x3 + 40 log4x s) l) log2 (5x − 1) · log24 (5x − 1) = √ x=0 log x = − log x + log x − log x − r) log2 |x + 1| − logx+1 64 = t) log x − + = log x + 3 Bài 64 Giải phương trình logarit (đặt ẩn phụ, dạng đặt ẩn phụ khơng hồn tồn) a) log25 (x + 1) + (x − 5) log5 (x + 1) = 16 b) log23 x + (x − 12) log3 x + 11 = c) log2 x − log x · log2 4x + log2 x = d) · 9log2 x + · x2 = 13 · xlog2 e) x · log22 x − 2(x + 1) log2 x + = f) log22 x + (x − 1) log2 x = − 2x g) (x + 2) log23 (x + 1) + 4(x + 1) log3 (x + 1) = 16 h) (x + 3) log23 (x + 2) + 4(x + 2) log3 (x + 2) = 16 i) logx2 (2 + x) + log√2−x x = j) log23 (x + 1) + (x − 5) log3 (x + 1) = 2x − k) log22 x + (x − 1) log2 x = − 2x » √ l) log3 x − − log3 x = Bài 65 Giải phương trình logarit (sử dụng cơng thức biến đổi, đặt ẩn phụ) a) 4log9 x − · 2log9 x + 2log3 27 = b) 4log3 x − · 2log3 x + 2log3 = c) 2log2 x+1 = x2 log3 x − 48 √ e) log7 x + log3 ( x + 2) d) 2log2 x+1 + 224 = x2 log2 x g) log3 (x + 1) + log5 (2x + 1) = h) log2 x + 3log6 x = log6 x √ j) log2 (1 + x) = log3 x √ √ l) − log x = − log x − i) 4log7 (x+3) = x k) xlog2 = x2 · 3log2 x − xlog2 » m) − log3 x + o) log22 x + » + log3 x = » log2 x + = q) 7x−1 = · log7 (6x − 5) + Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) f) log2 (x − 3) + log3 (x − 2) = Ä ä » n) log32 +2 = 3 log3 x − p) 6x = log6 (5x + 1) + 2x + r) 52(log5 2+x) − = 5log5 2+x Trang 38 Hàm số mũ hàm số logarit Giải tích 12 Bài 66 Giải phương trình logarit (sử dụng tính đơn điệu hàm số) a) log2 (3x − 1) = −x + b) log x = x − c) x + log3 x = d) 2x + log x = e) log3 x = −x + 11 f) 2log5 (x+3) = x √ h) log2 (1 + x) = log3 x g) 3log2 (x−3) = x i) 2x − 21−x = log2 1−x x j) x + xlog2 = xlog2 (x > 0) k) x2 + 3log2 x = 5log2 x l) log5 (x + 3) = − x m) log2 (3 − x) = x n) log5 (x + 3) = − x √ √ √ p) log6 ( x + x) = log4 x o) x + · 3log2 x = √ √ q) log2 ( x + x) = log3 x 2.8.3 Bài toán liên quan tham số m Bài 67 Bài tốn liên quan đến tìm tham số a) Tìm tham số m để phương trình: log2 (4x − m) = x + có hai nghiệm phân biệt b) Tìm tham số m để phương trình: log3 (9x + 9m3 ) = có hai nghiệm phân biệt c) Tìm tham số m để phương trình: log23 x − (m + 2) · log3 x + 3m − = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1 · x2 = 27 Bài 68 Tìm tham số m để phương trình: log4 (2x2 − x + 2m − 4m2 ) = log2 (x2 + mx − 2m2 ) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa: x21 + x22 > Bài 69 Cho phương trình: log23 x + » log23 x + − 2m − = a) Giải phương trình khi: m = √ b) Tìm m để phương trình có nghiệm 1; B BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2.9 Bất phương trình mũ bất phương trình logarit 2.9.1 Bất phương trình mũ Khi giải bất phương trình mũ, ta cần ý đến tính đơn điệu hàm số mũ af (x) > ag(x) ⇔ Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn)  a >    f (x) > g(x)     0 < a <   f (x) < g(x) Trang 39 Hàm số mũ hàm số logarit Giải tích 12 Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: aM > aN ⇔ (a − 1) · (M − N ) > Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình mũ: • Đưa số • Đặt ẩn phụ • Sử dụng tính đơn điệu: 2.9.2  y = f (x) đồng biến D thì: f (u) < f (v) ⇒ u < v y = f (x) nghịch biến D thì: f (u) < f (v) ⇒ u > v Bất phương trình logarit Khi giải bất phương trình logarit, ta cần ý đến tính đơn điệu hàm số logarit loga f (x) > loga g(x) ⇔  a >    f (x) > g(x) >     0 < a <   < f (x) < g(x) Trong trường hợp số a có chứa ẩn số thì: • loga B > ⇔ (a − 1)(B − 1) > loga A > ⇔ (A − 1)(B − 1) > • loga B Ta thường sử dụng phương pháp giải tương tự phương trình logarit: • Đưa số • Đặt ẩn phụ • Tính đơn điệu hàm số 2.10 Hệ phương trình mũ logarit Hệ phương trình mũ logarit Khi giải hệ phương trình mũ logarit, ta dùng phương pháp giải hệ phương trình học như: Phương pháp Phương pháp cộng đại số Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp dùng tính đơn điệu hàm số Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang 40 Hàm số mũ hàm số logarit 2.11 Giải tích 12 Các ví dụ Giải bất phương trình hệ phương trình sau Ç å9x2 −17x+11 Ví dụ 44 Giải bất phương trình: Ç å7−5x ≥ (1) Lời giải (1)⇔ 9x2 − 17x + 11 ≤ − 5x ⇔ 9x2 − 12x + ≤ ⇔ x = Ç åx Ví dụ 45 Giải bất phương trình: 2x > x+1 (2) Lời giải Điều kiện: x = −1 Ç å 2x 2x (2) ⇔ >3 ⇔ −2x > ⇔ + 2x < ⇔ 2x +1 0 x+4 x+4 x +x x +x       log6 >0 >1 x+4 x+4  −41⇔ >6⇔ >0⇔ x+4 x+4 x+4 x>8 Kết hợp với điều kiện, nghiệm bất phương trình là: x ∈ (−4; −3) ∪ (8; +∞)   2x + 2y = 12 Ví dụ 50 Giải hệ phương trình:  x+y =5 Lời giải (1) (2) 32 = 12 (∗) x  t=4 Từ (2)⇒ y = − x thay vào phương trình (1) ta được: 2x + 25−x = 12 ⇔ 2x + Đặt 2x = t > 0, phương trình (*) trở thành t + 32 = 12 ⇔ t2 − 12t + 32 =  t t=8 • Với t = ⇒ 2x = ⇔ x = ⇒ y = • Với t = ⇒ 2x = ⇔ x = ⇒ y = Nghiệm hệ phương trình là: (x; y) = (2; 3), (3; 2)  x + y √ = (1) Ví dụ 51 Giải hệ phương trình:  log3 (xy) = (2) Lời giải Điều kiện: x · y > Từ phương trình (2)  √ ⇒ xy = x + y = Ta có  Khi x, y nghiệm phương trình: xy = √ √ X − 3X + = ⇔ x = = y √ √ Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y) = ( 3; 3) Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang 42 Hàm số mũ hàm số logarit 2.12 Giải tích 12 Bài tập bất phương trình, hệ phương trình mũ logarit 2.12.1 Giải bất phương trình Bài 70 Giải bất phương trình mũ (đưa số) x2 −2x a) c) 3x Ç å2x−x2 −2· 1 > −1 − 3x−1 √ x2 −2x−x √ −7·3 e) √ g) 32x − · 3x+ √ x+4 i) k) b) 2x + · 5x − < 10x ≤3 √ +2 x2 −2x−x−1 √ x+4 2x+4 √ d) −9·9 ≤2 x+4 >0 x − 21− √ f) · √ √ x+ x x 49 · 10x − > 13 32−x + − 2x ≥0 4x − Bài 71 a) 23−6x > b) 16x > 0, 125 Ç å√x+2 2x2 −3x+6 c) (0, 3) e) (0, 1)4x √ 8x g) −2x−2 < 0, 00243 d) ≤ (0, 1)2x+3 f) h) 2x > 4096 Ç å4x2 −15x+13 i) √ k) 3>9 −3x−4 j) < 3x −3x−4 25 2+5x < Ç å√x6 −2x3 +1 Ç åx−|x−1| ≥ > 3−x Ç å 6x−5 Ç å4−3x < x2 −2x √ x+1 l) Ç å1−x < m) 5x − 3x+1 ≥ (5x−1 − 3x−2 ) n) 7x − 5x+2 < · 7x−1 − 118 · 5x−1 o) 2x+2 − 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2 p) q) 9x −3x+2 − 6x −3x+2 w) Ä√ 10 + √ x2 −2x x−1 < Ä√ √ +3 x−1 √ −3 x−2 ≤ 11 t) 2x−1 · 3x+2 > 36 ä x+1 10 − x+3 v) Ä√ 2+1 äx+1 ≤ 2x−1 x2 −1 y) (0, 4) ä x−3 x r) 62x+3 ≤ 2x+7 · 33x−1 (0, 6) z) (0, 2) x2 +2 x2 −1 > 25 Bài 72 Giải bất phương trình mũ (đặt ẩn phụ) Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang 43 Hàm số mũ hàm số logarit √ x a) √ +3 x−1 Giải tích 12 √ +3 x−2 b) 2x + 2−x − < < 11 √ c) 4−x+0,5 − · 2−x − < e) d) 52 2x−1 − 25 l) 52x+1 + 6x+1 > 30 + 5x · 30x m) 6x − · 2x − · 2x + ≥ n) 27x + 12x > · 8x 1 s) 4x+ √ x−1 Ç å2 u) +1 X y) >9 x x + 92x−x +1 √ − · 2x+ ≥ 34 · 252x−x x−1+1 + 16 ≥ r) 32x − · 3x+ 1 +3· √ x2 + 2x − ≥ 11 · 3x−1 − 31 ≥5 · 9x − 11 · 3x−1 − x+4 √ −9·9 x+4 >0 Ç å3x > 12 √ t) x +1 + 22− x < Ç å +1 x w) (22x+1 − · 2x ) · x p) 3x+1 − 22x+1 − 12 < o) 49 x − 35 x ≥ 25 x q) 252x−x + 91+ v) Ç åx−1 − − 128 ≥ x) 21−x − 2x + ≤0 2x − z) − · 5x ≤ 2x+1 x − 12 · + Bài 73 Giải bất phương trình mũ (sử dụng tính đơn điệu) x a) 2x < + b) 21−x − 2x + ≤0 2x − c) · 3x − 2x+2 ≤1 3x − 2x d) e) 32−x + − 2x ≥0 4x − f) √ x+4 √ +2 2x+4 > 13 3x + x − >0 x2 − x − Bài 74 Giải bất phương trình logarit (đưa số) a) · log3 (4x − 3) + log (2x + 3) ≤ b) log5 (4x + 144) − · log5 log5 (2x−2 + 1) x2 + x log6 x+4 Ç d) log0,5 e) log [log4 (x2 − 5)] > f) log log2 logx−1 g) log3 (1 − 2x) ≥ log3 (5x − 2) i) log5 (1 − 2x) < + log√5 (x + 1) h) log5 (1 − x) < log5 (x + 3) √ j) log − x < log (3 − x) k) log2 log x > l) log2 (3x + 4) > log2 (5 − x) 3 Ç m) log + 2x log2 1+x ỵ Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) 0 Ä n) log0,4 + å c) log log (x − x − 6) ≥ < >0 x+7 < log0,4 (5 − x) 2x + Trang 44 Hàm số mũ hàm số logarit Giải tích 12 o) log [log4 (x2 − 5)] > p) log7 (2 − x) ≤ log7 (3x + 6) q) log (x + 4) < log (x2 + 2x + 2) r) (x2 − 4) log x > 3 log26 x s) +x log6 x ≤ 12 t) log2 (x + 3) ≥ + log2 (x − 1) u) 2log2 x + xlog2 x < v) log3 log ≥ w) log8 (x − 2) + log (x − 3) > 2x − x) log ≥0 x + Bài 75 Giải bất phương trình logarit (đặt ẩn phụ) a) log2 x + logx − ≤ b) log5 (1 − 2x) < + log√5 (x + 1) c) log5 x − logx 125 < d) log2x 64 + logx2 16 ≥ e) logx · log2x · log2 4x > f) log21 x + log x2 < 2 g) log x − log2 x + ≤ − log x > − log x h) i) logx 100 − log100 x > j) log23 x 1+ >1 + log3 x Bài 76 Giải bất phương trình logarit (đặt ẩn phụ) log4 x log2 x + > − log2 x + log2 x − log22 x b) + ≤1 + log2 x − log2 x a) c) » log23 x − log3 x + ≥ log3 x − d) + log3 x · log3 2x + − Bài 77 Giải bất phương trình logarit (sử dụng tính đơn điệu hàm số) 5+x log a) > b) x − x < log2 (x + 1) log3 (x + 1) − 3x + √ c) log7 x < log3 ( x + 2) d) 2−|x−2| · log2 (4x − x2 − 2) ≥ Bài 78 Giải bất phương trình logarit (sử dụng tính đơn điệu hàm số) a) (x + 1) log20,5 x + (2x + 5) log0,5 x + ≥ b) log2 (2x + 1) + log3 (4x + 2) ≤ c) (x + 1) log21 x + 2(x + 3) log x + ≤ 3 −x log3 (x−1)−log3 (x−1)(2x+1) d) (4 · 3x + ) >1 log5 (x2 − 4x − 11)2 − log11 (x2 − 4x − 11)3 ≥0 − 5x − 3x2 Ä√ ä f) log2 x2 − 5x + + + log3 (x2 − 5x + 7) ≤ e) Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn) Trang 45 Hàm số mũ hàm số logarit Giải tích 12 Bài 79 Giải bất phương trình logarit a) x2 · logx 27 · logx > x + √ x−5 c) √ log (x − 4) − Ç ålog2 x 1 e) b) log3 log (x2 − 4x + 3) ≥ 16 d) ≤ x3 f) log2 (x + 1)2 − log3 (x + 2)3 >0 x2 − 3x − log √ 2x2 − 3x + Ç g) i) log√ x2 log3 x + − 3) ≥0 − 4x − (x h) j) log√3 x2 − 2x + 16 Ä√ log (x + 1) å Ç log7 1 √ + >0 log (2x − 1) log2 x − 3x + 2 > å ä sin 2x − cos 2x ≤ Bài 80 Giải bất phương trình logarit a) log5 (x2 − 4x + 11)2 − log11 (x2 − 4x + 11) √ ≥0 − 5x − 3x2 log2 (x2 − 2x − 7) − log3 (x2 − 2x − 7)8 ≤0 3x2 − 13x + ä Ä√ 27 √ c) log 9x − x2 + > log3 √ −3 9x − x + − x2 Ä√ ä √ d) log2 x2 − 4x + > log √ +1 x − 4x + x + + b) 2.12.2 Giải hệ phương trình Bài 81 Giải hệ phương trình mũ sau   2x · 5y = 20 a)  x y · = 50    4−2x d)   + 42y = x =9 g)  x 81 = 243 · 3y   3x + 3y = 28 j)  x+y = 27   x + 3y−1 m)  =2 3x + 9y = 18 · 3y = 12   2y + 200 · 5y    3x − 2y = 77 b)  x y · = 18 x+y =1   27x   2x e)  x+y =1 h)   y2 x 32 − 2 =   x + 2y+1 =3 k)  4x + 4y = 32   y2 = 4x + n)  x+2 +y+1=0 Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn)   xy −7y+10 c)  x+y =8 =1 , (x > 0) f)   y−x=2    3x · 2y =   64x + 642y = 12 √ i)  x+y 64 =4  x   3 · l)    2x + · 3y = − 3y = − 11 4   4(x−y)2 −1 =1 o)  3x−2y−3 = 125 Trang 46 Hàm số mũ hàm số logarit   xx+y Giải tích 12   32x = 128 p)  3x−2y−3 =1   4x   2x + 22y+2 = 17 v)  · 3x+1 + · 2y = + · 3y = 2, 75 y)  x − 3y = −0, 75  √  x+1 w)  √ x+1 =1 , (x > 0)   2x + 3y = 17 + · 3x+y = 56 u)  · 2x + 3x+y+1 = 87 t)  · 2x − · 3y = s)  x x · = 144   · 2x r)  x−y =2 q)  x y − 22 = − 3y =   32x+2  2  xx −y −16 − 2y = 77   7x − 2y = −4 − 2y+1 = −1 − 16x = x)  x − 49x =   8x = 10y z)  x = 5y Bài 82 Giải hệ phương trình logarit sau:   xy   logy x − log2 y = b)  log4 x − log4 y = = 64 a)  logx y =   xlog2 y + y log2 x = 16   xlog3 y + · y log3 y = 27 c)  log2 x − log2 y = e)  log3 y − log3 x =   logx (2x + y − 2) = g)  logy (2y + x − 2) =    i)   logy x + logx y = log6 (x2 + y ) = y − log2y x = x k)   log (y − x) =    logxy   logy x + logx y = m)  x2 + y = 12 √  y + log x = o)  y − log x2 =   3x · 2y = 972 q)  log√3 (x − y) =  log (x+y)   0,5 log5 (x+y) =5 s)   log2 x + log2 y = Hight school iShool Rach Gia (Sưu tầm biên soạn)   log2 (x2 + y + 6) = d)  logx + log3 y =   · xlog2 y = 10 f)  log4 x + log2 y =    log2 (xy) = h)  x  log2 = y   log2 x = log2 y + log2 (xy) j)  log2 (x − y) + log x · log y =   logxy (x − y) = l)  logxy (x + y) = √  y + log x2 = n)  y + log x = 28   log(x + y) − log(x − y) = p)  x + y = 12  2  3x +y = 81 r)  log2 x + log4 y =  Ä√ äx−y    Ç åx−2y t)    log (x + y) + log (x − y) = 2 = Trang 47