Giáo án BDHSG giải toán trên máy tính casio – lớp 8

CHUYÊN ĐỀ I: DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ SỐ THẬP PHÂN A. Mục tiêu: HS nắm được các dạng toán cơ bản về phân số, công thức đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn về phân số. Thực hiện thành thạo dạng toán tính giá trị của các biêủ thức đại số. Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập.

CHUYÊN ĐỀ I: DẠNG TOÁN VỀ PHÂN SỐ - SỐ THẬP PHÂN

Nếu F = 0,4818181 là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kỳ là 81

Khi F được viết lại dưới dạng phân số thì mẫu lớn hơn tử là bao nhiêu?

Giải:

Ta có: F = 0,4818181 = 0, 4 81( ) 0, 4 81 53

990 110

Vậy khi đó mẫu số lớn hơn tử là: 110 - 53 = 57

Ví dụ 3: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321)

Khi thực hành ta chỉ thực hiện phép tính như sau cho nhanh:

315321 315 315006 52501

99900 99900 16650

 Chú ý: Khi thực hiện tính toán ta cần chú ý các phân số nào đổi ra được số

thập phân ta nên nhập số thập phân cho nhanh.

 Ví dụ: 4/5 = 0,8

II CÁC DẠNG BÀI TẬP:

I Tính giá trị của biểu thức:

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức:

2 15 , 25 57 , 28 : 84 , 6

4 81 , 33 06 , 34 2

, 1 8 , 0 5 , 2

1 , 0 2 , 0 : 3 :

1 2 5

2 ( ) 25

33 : 3

1 3 ( : ) 2 ( , 0 ) 5 ( ,

3 Hãy so sánh A với B; C với D

b) E = 0,3050505… là số thập phân vô hạn tuần hoàn được viết dưới dạng phân số

tối giản Tổng của tử và mẫu là (đánh dấu đáp số đúng)

2 2 4

1 3 9

5 6

7

4 : 25

2 08 , 1

25

1 64 , 0

25 , 1 5

4 : 8 , 0

343

1 49

1 7

1 1

27

2 9

2 3

2 2 : 343

4 49

4 7

4 4

27

1 9

1 3

1 1

− +

−

+ + +

− +

−

+ + +

3

4 : ) 3

1 2 5

2 ( ) 25

33 : 3

1 3 ( : ) 2 ( , 0 ) 5 ( ,

α α α

α α

α α

α

sin 2 sin 3 sin cos cos

cos 2 cos sin cos

3 sin

3 2

3

2 3

3

+

− +

− +

5

142431 1990

79 2 3

2

− +

−

+ +

x x

x

x x

; Q =

5 2006

+

x

c x

b ax

1) Xác định a, b, c để P = Q với mọi x ≠ 5 2) Tính giá trị của P khi

07 2007200720

200 197

17 14 14 11 11 8

399

4

63

4 35

4 15 4

3 3

+

+ + +

b) Tính giá trị của biểu thức M với α = 25030', β = 57o30’

M= 1+tgα 1+cotg β + 1-sin α 1-cos β 1-sin ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 α) (1-cos β 2 )

(Kết quả lấy với 4 chữ số thập phân)

36

7 5 3

36 5

3 1

36

+ +

16

1 1 9

1 1 3

- Thực hiện thành thạo dạng toán tính giá trị của các biiêủ thức có điều kiện, bài toán tìm x.

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

B Phương tiện:

- GV: giáo án, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

II Tính giá trị biểu thức có điều kiện:

x= ; 7

2

y= ;4

a/ Tìm số dư khi chia đa thức x4 − 3x2 − 4x+ 7 cho x-2

b/ Cho hai đa thức:

5 3 8 57

20 12 64 5 3

8− + − × + ; Y = 33 4 4 33

81 2

9 9 2 2 3

2 9

−

− + +

−

Tính X.Y chính xác đến 0,001 ?b) Tính

b) Cho biết a = 13,11;b = 11,05;c= 20,04 Tính giá trị của biểu thức M biết rằng:

M = (a2 - bc)2 + (b2 - ca)2 + (c2 - ab)2 + (ab + bc + ca)

4

3 3 3

8cos 2sin tan3

2 cos sin sin

B

Như vậy các luỹ thừa của 103 có chữ số tận cùng liên tiếp là: 3, 9, 7, 1 (chu kỳ 4).

2006 2(mod 4)≡ , nên 1032006 có chữ số hàng đơn vị là 9

Bài 3: Tìm 2 số tự nhiên nhỏ nhất thỏa: ( ag )4 = ∗∗∗∗∗ a g

Trong đú ***** là những chữ số khụng ấn định điều kiện

13 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 19 ÷

b) Khi ta chia 1 cho 49 Chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phẩy là chữ số nào? c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61

d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17

Giải:

a) Ta có 250000 13157 17

Vậy chỉ cần tìm chữ số thứ 13 2007 sau dấu phẩy trong phép chia 17 ÷ 19

Ấn 17 ÷ 19 = 0,894736842 ta được 8 số thập phần đầu tiên sau dấu phẩy là:

89473684 (không lấy số thập phân cuối cùng vì có thể máy đã làm tròn )

19 là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì là 18 chữ số

Để thỏa đề bài , ta cần tìm số dư khi chia 13 2007 cho 18

Số dư khi chia 13 2007 cho 18 chính là số có thứ tự trong chu kì gồm 18 chữ số thập phân

Ta có : 13 (13 ) 1 1(mod18)

)18(mod113

669 669

3 2007

c) Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy của phép chia 5 cho 61

d) Chữ số thập phân thứ 2002 sau dấu phẩy là số nào khi chia 1 cho 17

Giải:

Bài 5:

a) Tìm hai chữ số tận cùng của 2081994

b) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của 73411 ĐS : 743

c) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của 8236

d) Gọi a là hệ số của số hạng chứa x8 trong triển khai (-x3 + x2 + 1)9

Bài 8: a) Cho biết 3 chữ số cuối cùng bên phải của 73411 Đ/S : 743

b) Cho biết 4 chữ số cuối cùng bên phải của 8236 Đ/S : 2256

) 1000 (mod 001 001 )

001 ( 249 )

249 ( 249 7

) 1000 (mod 249 7

10 3400 3411

3400

2 2

2 4 10

5376(mod10000)

7376 7376

6624 6624

6624 )

8 ( 8

) 10000 (mod 6624 1824

4576 8

8 8

) 10000 (mod 4576 6976

8

) 10000 (mod 6976 1824

8

) 10000 (mod

1824 8

2 2

4 4

50 200

10 40 50

2 40

2 20

d) Tìm hai chữ số tận cùng của số sau: 9 999+ 999

Bài 10:

a) Trình bày cách tìm và tìm số dư r của 37349 khi chia cho 19

b) Tìm tất cả các số có 10 chữ số có chữ số tận cùng là 4 và luỹ thừa bậc năm của một số tự nhiên

d) Tìm số dư r2 trong chia 2x3 +11x2 −17x+28 cho (x+ 7)

Bài 11:

e) Trình bày cách tìm và tìm số dư khi chia 21000 cho 25

f) Trình bày cách tìm và tìm 2 chữ số cuối cùng số 62005

c) Tìm số dư r2 trong chia 2x3 + 11x2 − 17x+ 28 cho (x+ 7)

d) Tìm số dư r khi chia 17762003 cho 4000

ĐS : x = 11 ; y = 29

Bài 3:

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x; y) có hai chữ số thoả mãn: 3 2

x - y = xy b) Tìm các số nguyên dương x và y sao cho x2 + y2 = 2009 và x > y

.2007

2006.32007.22008.1

)2008

321(

)321(211

++

++

+

+++++++++++

=

2) Cho x và y là hai số dương thoả mãn điều kiện : 2 2

1, 025 2,135

x y

b) Tìm các số tự nhiên thoả mãn phương trình x2 + 2y2 = 2377

c) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x y+ + x y− = 7920

d) Tìmsố tự nhiên n (20349 ≤ ≤n 47238) để 4789655 – 27 n là lập phương của một số

- Rèn kỹ năng sử dụng thành thạo máy tính vào dạng toán này.

Để kiểm tra một số nguyên a dương có là số nguyên tố hay không ta chia số

nguyên tố từ 2 đến a Nếu tất cả phép chia đều có dư thì a là số nguyên tố

Ví dụ 1: Để kiểm tra số 647 có là số nguyên tố hay không ta chia 647 lần lượt cho các

số 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29 các phép chia đều có dư khi đó ta kết luận

số 647 là số nguyên tố

Ví dụ 2 : Chỉ với các chữ số 1, 2, 3, hỏi có thể viết được nhiều nhất bao nhiêu số tự

nhiên khác nhau mà mỗi số đều có ba chữ số ? Hãy viết tất cả các số đó

Giải:

Các số tự nhiên có 3 chữ số được lập từ 3 số 1; 2; 3 là: 27 số

111; 112; 113; 121; 122; 123; 131; 132; 133;

211; 212; 213; 221; 222; 223; 231; 232; 233 311; 312; 313; 321; 322; 323; 331; 332; 333;

Ví dụ 3: Trong tất cả n số tự nhiên khác nhau mà mỗi số đều có bảy chữ số, được viết

ratừ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 thì có k số chia hết cho 5 và m số chia hết cho 2

(Nêu được cơ sở lý thuyết và cách giải 2 điểm; Kết quả 3 điểm)

Do máy cài sẵn chương trình đơn giản phân số nên ta dùng chương trình này

để tìm Ước số chung lớn nhất (ƯSCLN)

Ta có :

b

a B

Tính và ghi kết quả vào ô vuông

Vậy BSCNN: 36.038.079

Ngày soạn: 20/02/2010

Tuần dạy: 25

CHUYÊN ĐỀ III: CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC:

C Mục tiêu:

- HS nắm được các phương pháp cơn bản về các bài toán số học cơ bản như tìm số

dư của khi chia A cho A, tìm ước và bội của số

- Rèn kỹ năng thực hiện phép chia, kỹ năng sử dụng máy tính Casio

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

D Phương tiện:

- GV: giáo án, bài tập, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio

C Nội dung bài giảng:

III TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA A CHO B:

a Lí thuyết: Số dư của phép chia A cho B là: : A B. A

B

 

−    (trong đó:   B A là phần nguyên của thương A cho B)

b) Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 22031234 : 4567

Bài 1: a) Tìm số dư r khi chia 39267735657 cho 4321

b) dư r1 trong chia 186054 cho 7362

c) Tìm số dư r2 trong chia 2x3 + 11x2 − 17x+ 28 cho (x+ 7)

d) Chia 19082007 cho 2707 có số dư là r1 , chia r1 cho 209 có số dư là r2

a) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105

Tìm số dư khi chia 20052006 cho 2005105

b) Viết quy trình ấn phím để tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047

Tìm số dư khi chia 3523127 cho 2047

c) Tìm số dư r của phép chia 2345678901234 cho 4567

Vậy số dư của phép chia là: 956

IV ƯỚC VÀ BỘI:

a) Lí thuyết:

b) Ví dụ: Tìm tất cả các ước của 120

+) Sử dụng máy tính CASIO 500MS

Ta ấn các phím sau:

1 Shift STO A / 120 : A = / A + 1 Shift STO A /= / = /

chọn các kết quả là số nguyên Kết quả: Ư(120) =

Giải:

Quy trình tìm các ước của 60 trên máy tính Casio 570 Esv là

1 SHIFT STO A Ghi lên màn hình A = A + 1: 120 A ÷ sau đó ấn CLR ấn dấu

= liên tiếp để chọn kết quả là số nguyên

Tính trên máy kết hợp với giấy ta có: D = 1038471 3 =1119909991289361111

 Ví dụ 2: (5 điểm) Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )64

Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị

Giải:

Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1

Gọi tổng các hệ số của đa thức là A ta có : A = Q(1) = ( 3+2-7)64 = 264

Để ý rằng : 264 = ( )32 2

4294967296 Đặt 42949 = X ; 67296 = Y Ta có : A = 5 2 2 10 5 2

( X.10 +Y) = X 10 + 2XY.10 + Y Tính trên máy kết hợp với giấy ta có:

X2.1010 = 1 8 4 4 6 1 6 6 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A = 1 8 4 4 6 7 4 4 0 7 3 7 0 9 5 5 1 6 1 6

Vậy A = 18446744073709551616

 Ví dụ 3:

Cho x1000 + y1000 = 6,912; x2000 + y2000 = 33,76244 Tính A = x3000 + y3000

Giải:

Đặt a = x1000, b = y1000 Ta có: a + b = 6,912; a2 + b2 = 33,76244 Khi đó : a3 + b3 = (a + b)3- 3ab(a + b) = (a + b)3 - 3 ( )2 ( 2 2) ( )

4 Bài 4: Tính giá trị của biểu thức sau:

Ngày soạn: 27/02/2010

Tuần dạy: 26

CHUYÊN ĐỀ IV: LIÊN PHÂN SỐ

A Mục tiêu:

- HS nắm được các phương pháp cơn bản về các bài toán liên phân số

- Rèn kỹ năng thực hiện các phép toán liên phân số, kỹ năng sử dụng máy tính Casio

- Rèn tính cẩn thận, tính sáng tạo, chủ động trong học tập

B Phương tiện:

- GV: giáo án, bài tập, tài liệu Casio

- HS: Máy tính Casio.

C Nội dung bài giảng:

Liên phân số (phân số liên tục) là một công cụ toán học hữu hiệu được các nhàtoán học sử dụng để giải nhiều bài toán khó

Bài toán: Cho a, b (a>b)là hai số tự nhiên Dùng thuật toán Ơclit chia a cho b,

phân số ab có thể viết dưới dạng:

Cách biểu diễn này gọi là cách biểu diễn số hữu tỉ dưới dạng liên phân số Mỗi số hữu tỉ

có một biểu diễn duy nhất dưới dạng liên phân số, nó được viết gọn [a ,a , ,a 0 1 n] Số vô

tỉ có thể biểu diễn dưới dạng liên phân số vô hạn bằng cách xấp xỉ nó dưới dạng gầnđúng bởi các số thập phân hữu hạn và biểu diễn các số thập phân hữu hạn này qua liênphân số

Vấn đề đặt ra: hãy biểu diễn liên phân số

0 1

n 1 n

= + + trong đó a và b là các số dương Tính a,b?

Giải

= + + +

Giải -

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím: 3 1 a + b/ c 2 2 1 a = + b/ c Ans 1 1 a = + b/ c Ans = SHIFT a b/ c ( )23

16

Nhận xét:  Dạng toán tính giá trị của liên phân số thường xuất hiện rất nhiều trong

các kỳ thi nó thuộc dạng toán kiểm tra kỹ năng tính toán và thực hành Trong các kỳ thigần đây, liên phân số có bị biến thể đi đôi chút ví dụ như:

Bài 3: (Thi khu vực 2004, lớp 9) Tìm giá trị của x, y từ các phương trình sau:

Bài 5: (Thi khu vực, 2001, lớp 6 – 7, dự bị)

a Lập qui trình bấm phím để tính giá trị của liên phân số sau M 1,1,2,1,2,1,2,1 =[ ] và tính

+

Hãy viết lại A dưới dạng A =[a ,a , ,a 0 1 n]?

Bài 7: Các số 2, 3, π có biểu diễn gần đúng dưới dạng liên phân số như sau:

2 = 1,2,2,2,2,2 ; 3 1,1,2,1,2,1 ; =[ ] π =[3,17,15,1,292,1,1,1,2,1,3] Tính các liên phân số trên

và só sánh với số vô tỉ mà nó biểu diễn?

Bài 8: (Phòng GD Bảo Lâm – Lâm Đồng)

Tính và viết kết quả dưới dạng phân số

4 D=5+

4 6+

4 7+

4 8+

4 9+

10

.1 Bài toán mở đầu: Giả sử thỏ đẻ theo quy luật sau: Một đôi thỏ cứ mỗi tháng để được

một đôi thỏ con, mỗi đôi thỏ con cứ sau 2 tháng lai sinh ra một đôi thỏ nữa, rồi sau mỗitháng lại sinh ra một đôi thỏ con khác v.v… và giả sử tất cả các con thỏ đều sống

Hỏi nếu có một đôi thỏ con nuôi từ tháng giêng đến tháng 2 thì đẻ đôi thỏ đầutiên thì đến cuối năm có bao nhiêu đôi thỏ?

Giải

- Tháng 1 (giêng) có một đôi thỏ số 1.

- Tháng 2 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 2 Vậy có 2 đôi thỏ trong tháng 2

- Tháng 3 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 3, đôi thỏ số 2 chưa đẻ được Vậy có 2 đôi thỏ trongtháng 3

- Tháng 4 đôi thỏ số 1 đẻ đôi thỏ số 4.1, đôi thỏ số 2 để đôi thỏ số 4.2, đôi thỏ số 3 chưa

đẻ Vậy trong tháng 4 có 5 đôi thỏ

Tương tự ta có tháng 5 có 8 đôi thỏ, tháng 6 có 13 đôi thỏ, …

Như vậy ta có dãy số sau: (ban đầu)1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144; 233 (tháng 12)

Đây là một dãy số có quy luật: Mỗi số hạng kể từ số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng trước đó.

Nếu gọi số thỏ ban đầu là u1; số thỏ tháng thứ n là un thì ta có công thức:

u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n ≥ 2)Dãy { }u n có quy luật như trên là dãy Fibonacci un gọi là số (hạng) Fibonacci.

.2 Công thức tổng quát của số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh được số hạng

thứ n của dãy Fibonacci được tính theo công thức sau:

Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã được chứng minh

3 Các tính chất của dãy Fibonacci:

1 Tính chất 1: um = uk.um+1-k + uk-1.um-k hay un+m = un-1um + unum+1

Ví dụ: Để tính số thỏ sau 24 tháng ta chọn n = m = 12 thay vào công thức ta có:

u24 = u12 + u12 = u11.u12 + u12.u13 = 144(89 + 233)

2 Tính chất 2: u = u = u u + u u = u 2 + u 2

Ví dụ: Để tính số thỏ sau 25 tháng ta làm như sau:

4 Tính chất 4: u u 1 + + + + 3 u u 5 2n 1− = u 2n

5 Tính chất 5: ∀ n tacó: u u n 4 n 2+ − − u u n 2 n+ = 3

6 Tính chất 6: ∀ nsố 4u u u u n 2 2 n 2 n 4− + + + 9 là số chính phương

7 Tính chất 7: ∀ n số 4u u u n n k n k 1 n 2k 1+ + −u + + + u u là số chính phương2 2k k 1+

kỳ khu vực

.4 Tính các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tính điện tử

4.1 Tính theo cơng thức tổng quát

Ta cĩ cơng thưc tổng quát của dãy:

1 SHIFT STO B

Lặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A > lấy u3+ u2 = u4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B

Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần

Ví dụ: Tính số hạng thứ 8 của dãy Fibonacci?

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím: 1 SHIFT STO A + 1 SHIFT STO B + ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B

Chú ý:  Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng un của dãy nhưng qui trình trênđây là qui trình tối ưu nhất vì số phím ấn ít nhất Đối với máy fx-500 MS thì ấn ∆ = ,đối với máy fx-570 MS có thể ấn ∆ = hoặc ấn thêm ∆ SHIFT COPY = để tính các sốhạng từ thứ 6 trở đi

Lặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A > lấy u3+ u2 = u4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B + > lấy u4+ u3 = u5 gán vào BBây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần

Ví dụ: (Sở GD Cần Thơ, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n ≥ 2)

Lặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A

ALPHA B SHIFT STO B +

b Sử dụng qui trình trên để tính u13, u17

Ấn các phím: ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = (u 13 = 2584)

∆ = ∆ = ∆ = ∆ = (u 17 = 17711)

Kết qủa: u13 = 2584; u17 = 17711

Dạng 6.3 Dãy Lucas suy rộng dạng

Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1 (với n ≥ 2 a, b là hai số tùy ýnào đó)

Lặp lại các phím: × A + ALPHA A × B SHIFT STO A > Tính u4 gán vào A

ALPHA B SHIFT STO B

Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần

Ví dụ: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n ≥ 2) Lập qui trình bấm phím liêntục để tính un+1?

Lặp lại các phím: × + 3 ALPHA A × 2 SHIFT STO A

3 ALPHA B 2 SHIFT STO B

Dạng 6.4 Dãy phi tuyến dạng

Cho Cho u1 = a, u2 = b, u n 1+ = u2n + u2n 1− (với n ≥ 2)

Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)

Ấn các phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A

2 + a 2 SHIFT STO B

x x > lấy u22+ u12= u3 (u3 = b2+a2) gán vào B

Lặp lại các phím: x2 + ALPHA A x2 SHIFT STO A > lấy u32+ u22= u4 gán vào A

2 + ALPHA B 2 SHIFT STO B

x x > lấy u42+ u32= u5 gán vào B

Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần