Hàng năm thường tổ chức các cuộc thi giải toán trên máy tính Casio từ cấp tỉnh đến cấp quốc gia, tuy nhiên việc hướng dẫn học sinh vận dụng các loại máy tính một cách sáng tạo trong quá trình học tập bộ môn toán nói riêng và các môn tự nhiên khác nói chung còn hạn chế. Nhìn chung học sinh chỉ sử dụng máy tính ở mức độ thực hiện các phép tính đơn giản mà chưa ứng dụng máy tính ở mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy toán học dựa trên công cụ máy tính.
Trang 1A ĐẶT VẤN ĐỀ
Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học công nghệ nói riêng, con người cần có một tri thức, một tư duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng các tri thức đó vào trong cuộc sống hàng ngày Vấn đề nâng cao chất lượng dạy và học, đổi mới phương pháp dạy học đang được chú trọng, do đó người giáo viên cần khai thác và sử dụng đồ dùng dạy học một cách triệt để và có hiệu quả cao nhất Đối với bộ môn toán thì máy tính điện tử là một công cụ hỗ trợ đắc lực cho giáo viên và học sinh trong việc giải toán Nó giúp cho giáo viên và học sinh giải toán nhanh hơn, tiết kiệm thời gian, đồng thời hình thành những thuật toán, góp phần phát triển tư duy cho học sinh
Hàng năm thường tổ chức các cuộc thi giải toán trên máy tính Casio
từ cấp tỉnh đến cấp quốc gia, tuy nhiên việc hướng dẫn học sinh vận dụng các loại máy tính một cách sáng tạo trong quá trình học tập bộ môn toán nói riêng và các môn tự nhiên khác nói chung còn hạn chế Nhìn chung học sinh chỉ sử dụng máy tính ở mức độ thực hiện các phép tính đơn giản mà chưa ứng dụng máy tính ở mức độ cao hơn như dự đoán kết quả, tư duy toán học dựa trên công cụ máy tính
Đứng trước thực tế như vậy và trong quá trình giảng dạy của mình tôi đã đút rút ra những kinh nghiệm của bản thân trong việc hướng dẫn học
sinh biết vận dụng máy tính trong giải toán với đề tài “ HÌNH THÀNH KỸ
NĂNG GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO ĐỐI VỚI DẠNG TOÁN DÃY SỐ ”.
Trang 2B NỘI DUNG
I MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ MÁY TÍNH CASIO
Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm ưu việt có thể
lập trình tính các số hạng của một dãy số là một ví dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý một quy trình bấm phím sẽ cho kết quả nhanh, chính xác Ngoài việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính toán trong một giờ học mà từ kết quả tính toán đó ta có thể dự đoán, ước đoán
về các tính chất của dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số, tính hội tụ, giới hạn của dãy từ đó giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải bài toán một cách sáng tạo Việc biết cách lập ra quy trình để tính các số hạng của dãy số còn hình thành cho học sinh những kỹ năng, tư duy thuật toán rất gần với lập trình trong tin học.Để đọc và hiểu kinh nghiệm này giáo viên phải sử dụng tương đối thành thạo Máy tính Casio fx-570 ES Máy tính Casio fx-500 MS
Trang 3máy tính Casio fx - 570 Sau đây là một số phím chức năng mà tôi sử dụng
trong kinh nghiệm này:
Mỗi một phím có một số chức năng Muôn lấy chức năng của chữ ghi màu vàng thì phải ấn phím SHIFT rồi ấn phím đó Muốn lấy chức năng của phím ghi chữ màu đỏ thì phải ấn phím ALPHA trước khi ấn phím đó
Các phím nhớ: A B C D E F X Y M (chữ màu đỏ)
Để gán một giá trị nào đó vào một phím nhớ đã nêu ở trên ta ấn như sau: Ví dụ: gán số 5 vào phím nhớ A ta bấm 5SHIFT STO A
Khi gán một số mới và phím nhớ nào đó, thì số nhớ cũ trong phím đó
bị mất đi và số nhớ mới được thay thế Chẳng hạn ấn tiếp 14 SHIFT STO
A thì số nhớ cũ là 5 trong A bị thay thế, số nhớ trong A lúc này là 14
Để lấy số nhớ trong ô nhớ ra ta sử dụng phím ALPHA
Ví dụ: 34 SHIFT STO A (nhớ số 34 vào phím A )
24 SHIFT STO C (nhớ số 34 vào phím C ) Bấm tiếp ALPHA A + ALPHA C = (Máy lấy 34 trong A cộng với
24 trong C được kết quả là 58)
Ô nhớ tạm thời: Ans Ví dụ bấm 8 = thì số 8 được gán vào trong ô nhớ Ans Bấm tiếp 5× 6+ Ans = (Máy lấy 5 nhân với 6 rồi cộng với 8 trong Ans được kết quả là 38)
II MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ VÀ VÍ DỤ
1 Tính số hạng thứ n của dãy số:
Ví dụ 1: Cho dãy số (un) được xác định bởi: u1=1; u2=2; u3=3;
un+3= 2un+2 + un+1 - 3un Tìm u15 ?
Thuật toán:
Cách 1: Hơi dở vì sử dụng nhiều biến, xử lý vấn đề chậm nhưng ngắn gọn
về thuật toán:
Trang 4X=X+1:A=2B+C-D: D=C:C=B:B=A
Bấm CALC máy hỏi
X? Bấm 3=
B? Bấm 3=
C? Bấm 2=
D? Bấm 1=
= = =
Trong đó X là số hạng thứ X; A, B, C,D là các giá trị của u X
Cách 2: Hay hơn cách 1 vì sử dụng ít biến, xử lý vấn đề nhanh nhưng thuật
toán dài dòng:
Nhập biểu thức sau vào màn hình máy tính (fx 570MS, fx 570ES):
D=D+1:A=2B+C-3A:D=D+1:C=2A+B-3C:D=D+1:B=2C+A-3B
Bấm CALC máy hỏi
D? Bấm 3=
B? Bấm 3=
C? Bấm 2=
A? Bấm 1=
Cách 3:
Bấm quy trình sau (fx 500MS):
1 SHIFT STO C
2 SHIFT STO B
3 SHIFT STO A
2 ALPHA A + ALPHA B − ALPHA C SHIFT STO C u4
2 ALPHA C + ALPHA A − ALPHA B SHIFT STO B u5
2 ALPHA B + ALPHA C − ALPHA A SHIFT STO A u6
replay(tam giác phía trên) hai lần SHIFT REPLAY = u7; u8…
Trang 52 Dãy số Fibonacci:
2.1 Công thức tổng quát của số Fibonacci: Nhờ truy hồi ta chứng minh
được số hạng thứ n của dãy Fibonacci được tính theo công thức sau:
n
1 1 5 1 5 u
5
+ −
= ÷ ÷ − ÷÷
Chứng minh
Với n = 1 thì 1
1 1 5 1 5
5
+ −
= ÷ ÷ − ÷÷=
1
1 1 5 1 5
5
+ −
= ÷ ÷ − ÷÷ =
Với n = 3 thì
1
1 1 5 1 5
5
+ −
= ÷ ÷ − ÷÷ =
Giả sử công thức đúng tới n ≤ k Khi ấy với n = k + 1 ta có:
k 1 k k 1
1 1 5 1 5 1 1 5 1 5
u u u
1 1 5 1 2 1 5 1 2
+ − + −
= + = ÷ ÷ − ÷÷ + ÷÷ − ÷÷
+ −
= ÷÷ + ÷− ÷÷ + ÷
k 1 k 1
1 1 5 3 5 1 5 3 5
1 1 5 1 5
5
+ + − −
= ÷ ÷ ÷ ÷ − ÷ ÷ ÷÷
+ −
= ÷÷ − ÷÷
Theo nguyên lý quy nạp công thức (*) đã được chứng minh
2.2 Các tính chất của dãy Fibonacci:
1 Tính chất 1: um = uk.um+1-k + uk-1.um-k hay un+m = un-1um + unum+1
2 Tính chất 2: u2n+1 = u(n+1)+n= unun + unun+1 = 2 2
n 1 n
u + + u
u −u u+ = −1 −
Trang 64 Tính chất 4: u u1+ + + +3 u u5 2n 1− =u2n
5 Tính chất 5: ∀n tacó: u un 4 n 2+ − −u un 2 n+ =3
6 Tính chất 6: ∀nsố 4u u u un 2 2 n 2 n 4− + + +9 là số chính phương
7 Tính chất 7: ∀ n số 4u u un n k n k 1 n 2k 1+ + −u + + + u u là số chính phương2 2k k 1+
lim và lim
−>∞ −>∞
+
= ϕ = ϕ trong đĩ ϕ ϕ1; 2là nghiệm của
phương trình x2 – x – 1 = 0, tức là
1 5 1,61803 ; 1 5 0,61803
Nhận xét: Tính chất 1 và 2 cho phép chúng ta tính số hạng của dãy
Fibonacci mà khơng cần biết hết các số hạng liên tiếp của dãy Nhờ hai
tính chất này mà cĩ thể tính các số hạng quá lớn của dãy Fibonacci bằng tay (dùng giấy bút để tính) mà máy tính điện tử khơng thể tính được (kết quả khơng hiển thị được trên màn hình) Các tính chất từ 3 đến 7 cĩ tác dụng giúp chúng ta trong việc chứng minh các bài tốn cĩ liên quan đến dãy Fibonacci thường gặp trong các bài thi, tính chất 8 giúp tìm các số hạng khơng chỉ của dãy Fibonacci mà các số hạng của các dãy biến thể của Fibonacci cĩ tính hội tụ (bị chặn) trong một khoảng nào đĩ Dạng tốn này thường gặp trong các kỳ thi tỉnh và kỳ khu vực
2.3 Tính các số hạng của dãy Fibonacci trên máy tính điện tử
2.3.1 Tính theo cơng thức tổng quát
Ta cĩ cơng thưc tổng quát của dãy:
n
1 1 5 1 5 u
5
+ −
= ÷ ÷ − ÷÷
cơng thức tổng quát số hạng un phụ thuộc n, vì n thay đổi nên ta dùng biến nhớ Ans để thay giá trị n trong phép tính
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 1 =
Trang 7b/ c
1 a 5 ( ( ( 1 + 5 ) ÷ 2 ) ) ^ Ans ( ( 1 − − 5 ) ÷ 2 ) ) ^ Ans ) =
Muốn tính n = 10 ta ấn 10 = , rồi dùng phím ∆ một lần để chọn lại biểu thức vừa nhập ấn =
2.3.2 Tính theo dãy
Ta có dãy Fibonacci: u1 = 1; u2 = 1; un+1 = un + un-1 (với n ≥ 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 1 SHIFT STO A > gán u2 = 1 vào biến nhớ A
1 SHIFT STO B
+ > lấy u2+ u1 = u3 gán vào B Lặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A > lấy u3+ u2 = u4 gán vào A
+ ALPHA B SHIFT STO B > lấy u4+ u3 = u5 gán vào B Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần
Ví dụ 2: Tính số hạng thứ 8 của dãy Fibonacci?
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 1 SHIFT STO A + 1 SHIFT STO B
ALPHA A SHIFT STO A
+
ALPHA B SHIFT STO B
Chú ý: Có nhiều qui trình ấn phím để tính số hạng un của dãy nhưng qui trình trên đây là qui trình tối ưu nhất vì số phím ấn ít nhất Đối với máy
fx-500 MS thì ấn ∆ = , đối với máy fx-570 MS có thể ấn ∆ = hoặc ấn thêm
SHIFT COPY
∆ = để tính các số hạng từ thứ 6 trở đi
3 Dãy Fibonacci tổng quát
i 1
u + F (u )
=
=∑ trong đó u1, u2, …, uk cho trước và Fi(ui) là các hàm theo biến u
Dạng toán này tùy thuộc vào từng bài mà ta có các qui trình lập dãy phím riêng
Trang 8Chú ý: Các qui trình ấn phím trên đây là qui trình ấn phím tối ưu nhất (thao
tác ít nhất) xong có nhiều dạng (thường dạng phi tuyến tính) thì áp dụng qui trình trên nếu không cẩn thận sẽ dẫn đến nhầm lẫn hoặc sai xót thứ tự các số hạng Do đó, ta có thể sử dụng qui trình ấn phím theo kiểu diễn giải theo nội dung dãy số để tránh nhầm lẫn, vấn đề này không ảnh hưởng gì đến đánh giá kết quả bài giải
Ví dụ 3: Cho u1 = a, u2 = b, u n 1+ = A u2n + B u2n 1− (với n ≥ 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: a SHIFT STO A > gán u1 = a vào biến nhớ A
b SHIFT STO B > Tính u2 = b gán vào B Lặp lại các phím: A ALPHA B x2 + B ALPHA A x2 SHIFT STO A > Tính u3 gán vào A
A ALPHA A x2 + B ALPHA B x2 SHIFT STO B > Tính u4 gán vào B
Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 4 lần
Nhận xét: Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều làm
được, rất ít nhầm lẫn nhưng tính tối ưu không cao Chẳng hạn với cách lập như dạng 6.5 thì để tính un ta chỉ cần ấn ∆ = liên tục n – 5 lần, còn lập như trên thì phải ấn n – 4 lần
Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi ta
có thể phát hiện ra quy luật của dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính phương, …) hoặc giúp chúng ta lập được công thức truy hồi của dãy các dãy số
Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này
Tính số hạng thứ n của dãy khi biết công thức truy hồi:
Trang 9Các giải: Nếu lặp theo cơng thức truy hồi mà số lần lặp quá nhiều sẽ dẫn
đến thao tác sai, do đĩ ta sẽ đi tìm cơng thức tổng quát cho số hạng un theo
n sau đĩ thực hiện tính
Ví dụ 4: Cho dãy sốu 0 = 2;u 10 và u 1 = n 1+ = 10u n − u n 1− Tính số hạng thứ u100?
Giải:
Cách 1:
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: 2 SHIFT STO A
10 SHIFT STO B
Lặp lại các phím: 10 ALPHA B − ALPHA A SHIFT STO A
10 ALPHA A − ALPHA B SHIFT STO B Bây giờ muốn tính u100 ta ∆ = 96 lần
Cách 2:
n
u = + 5 2 6 + − 5 2 6
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
( 5 2 + 6 ) 100 ( 5 2$ + − 6 ) 100$ =
Nhận xét: Như vậy cách 2 sẽ nhanh và chính xác hơn nhiều so với cách 1
nhưng sẽ mất thời gian để tìm ra cơng thức tổng quát Do đĩ nếu số hạng cần tính là nhỏ thì ta dùng cách 1, cịn lớn ta sẽ dùng cách 2
4 Dãy Lucas
Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = un + un-1 (với n ≥ 2 a, b là hai số tùy ý nào đĩ)
Nhận xét: Dãy Lucas là dãy tổng quát của dãy Fibonacci, với a = b = 1 thì
dãy Lucas trở thành dãy Fibonacci
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A
+ a SHIFT STO B > lấy u + u = u (u = b+a) gán vào B
Trang 10Lặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A >lấy u3+ u2 = u4 gán vào A
+ ALPHA B SHIFT STO B > lấy u4+ u3 = u5 gán vào B Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần
Ví dụ 5: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = un + un-1 (n ≥ 2)
a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b Sử dụng qui trình trên tính u13, u17?
Giải:
a Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
8 SHIFT STO B
+
Lặp lại các phím: + ALPHA A SHIFT STO A
ALPHA B SHIFT STO B
+
b Sử dụng qui trình trên để tính u13, u17
Ấn các phím: ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = (u 13 = 2584)
∆ = ∆ = ∆ = ∆ = (u 17 = 17711)
Kết quả: u13 = 2584; u17 = 17711
5 Dãy Lucas suy rộng:
Tổng quát: Cho u1 = a, u2 = b, un+1 = Aun + Bun-1 (với n ≥ 2 a, b là hai số tùy ý nào đó)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A
a SHIFT STO B
× A + × B > tính u3 (u3 = Ab+Ba) gán vào B
Lặp lại các phím:
ALPHA A SHIFT STO A
ALPHA B SHIFT STO B
Bây giờ muốn tính u ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần
Trang 11Ví dụ 6: Cho dãy u1 = 8, u2 = 13, un+1 = 3un + 2un-1 (n ≥ 2) Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
Giải:
Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
3 8 2 SHIFT STO B
× + ×
Lặp lại các phím: × + 3 ALPHA A × 2 SHIFT STO A
3 ALPHA B 2 SHIFT STO B
6 Dãy phi tuyến tính:
Cho u1 = a, u2 = b, un 1+ = u2n + u2n 1− (với n ≥ 2)
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
Ấn các phím: b SHIFT STO A > gán u2 = b vào biến nhớ A
x2 + a x2 SHIFT STO B > lấy u22+ u12= u3 (u3 = b2+a2) gán vào B Lặp lại các phím:
x2 + ALPHA A x2 SHIFT STO A > lấy u32+ u22= u4 gán vào A
x2 + ALPHA B x2 SHIFT STO B > lấy u42+ u32= u5 gán vào B Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 5 lần
Ví dụ 7: Cho dãy u1 = 1, u2 = 2, u n 1+ = u2n + u2n 1− (n ≥ 2)
a Lập qui trình bấm phím liên tục để tính un+1?
b Tính u7?
Giải
a Lập qui trình bấm phím
Qui trình ấn máy (fx-500MS và fx-570 MS)
2 + 1 2 SHIFT STO B
Trang 122 + ALPHA B 2 SHIFT STO B
b Tính u7
Ấn các phím: ∆ = (u 6 =750797)
Tính u7 =u62 + u52 = 7507972 + 8662 = 563 696 135209 + 749956 =
563 696 885165
Kết quả: u7 = 563 696 885165
Chú ý: Đến u7 máy tính không thể hiển thị được đầy đủ các chữ số trên màn hình do đó phải tính tay giá trị này trên giấy nháp có sử dụng máy tính
hỗ trợ trong khi tính Ví dụ: 7507972 = 750797.(750.1000+797) = 750797.750.1000+750797.797=563097750.1000+598385209=
563097750000 + 598385209= 563696135209
III KẾT QUẢ
Nhận thấy nếu biết kết hợp việc dạy và học môn Toán với sự trợ giúp của máy tính một cách linh hoạt thì hiệu quả thu được sẽ rất tốt Với ứng dụng của phương pháp này học sinh có thể giải nhanh chóng giải các bài toán về dãy số, giải quyết một phần các dạng bài toán về dãy số
Kết quả thực nghiệm ở lớp 11A, 11B năm học : 2010 - 2011 của trường THPT Anh Hùng Núp đạt kết quả như sau :
học sinh
Số lượng học sinh biết sử dụng
máy để giải
chưa biết sử dụng máy để giải
Trang 13Vì vậy mà kết quả bài kiểm tra thực nghiệm đạt được trong học kì I năm học 2011-2012 :
Số lượng
Số lượng học sinh đạt Điểm
giỏi
Điểm khá
Điểm TB
Điểm trên TB
Điểm yếu, kém
Trang 14C KẾT LUẬN
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng vấn đề đưa máy tính vào trong giảng dạy là một việc làm cần thiết và có hiệu quả tích cực trong việc học tập của các em Với sáng kiến này có thể giúp cho học sinh giải được các bài toán về dãy số Biết khai thác những thế mạnh mà máy tính mang lại sẽ giúp cho học sinh dễ dàng định hướng và làm cho công việc học toán nhẹ nhàng hơn
Trên đây là những nghiên cứu và kinh nghiệm của tôi Hy vọng đề tài sẽ góp phần cho việc học và dạy về “Kỹ năng giải toán trên máy tính Casio đối với dạng toán dãy số” đạt hiệu quả cao hơn, góp phần tích cực trong việc nâng cao chất lượng bộ môn Toán
Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu chưa được nhiều Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quý thầy cô để sáng kiến có thể hoàn chỉnh hơn và có thể áp dụng trong quá trình dạy học của mình
Xin chân thành cảm ơn
Kbang, ngày 09 tháng 03 năm 2012
Người thực hiện
Phan Hồng Huệ