I. Dãy Fibonacc
A LPH x 2+B LPH B x2 SHIFT STO B > Tính u4 gán vào B
b SHIFT STO B ----> Tính u2 = b gán vào B
Lặp lại các phím: A ALPHA B x2 + BALPHA A x2 SHIFT STO A --> Tính u3 gán vào A
A ALPHA A x2 + BALPHA B x2 SHIFT STO B --> Tính u4 gán vào B vào B
Bây giờ muốn tính un ta ∆ một lần và = , cứ liên tục như vậy n – 4 lần.
Nhận xét: Lập qui trình theo kiểu này thì tất cả dạng toán đều làm được, rất ít nhầm lẫn nhưng tính tối ưu không cao. Chẳng hạn với cách lập như dạng 6.5 thì để tính un ta chỉ cần ấn ∆ = liên tục n – 5 lần, còn lập như trên thì phải ấn n – 4 lần.
Nhờ vào máy tính để tính các số hạng của dãy truy hồi ta có thể phát hiện ra quy luật của dãy số (tính tuần hoàn, tính bị chặn, tính chia hết, số chính phương, …) hoặc giúp chúng ta lập được công thức truy hồi của dãy các dãy số.
Đây là dạng toán thể hiện rõ nét việc vận dụng máy tính điện tử trong học toán theo hướng đổi mới hiện nay. Trong hầu hết các kỳ thi tỉnh, thi khu vực đều có dạng toán này.
Bài tập tổng hợp
Bài 1: (Thi khu vực, 2001, lớp 9) Cho dãy u1 = 144; u2 = 233; un+1 = un + un-1. a. Lập một qui trình bấm phím để tính un+1.
b. Tính chính xác đến 5 chữ số sau dấu phẩy các tỉ số 2 3 4 6
1 2 3 5
u u
u ; ;u ;u u u u u u u u
Bài 2: (Thi khu vực, 2003, lớp 9) Cho dãy u1 = 2; u2 = 20; un+1 = 2un + un-1. a. Tính u3;u4; u5; u6; u7.
b. Viết qui trình bấm phím để tính un. c. Tính giá trị của u22; u23; u24; u25.
Bài 3: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho dãy số ( ) (n )n n 2 3 2 3 u 2 3 + − − = a. Tính 8 số hạng đầu tiên của dãy.
b. Lập công thức truy hồi để tính un+2 theo un+1 và un. c. Lập một qui trình tính un.
d. Tìm các số n để un chia hết cho 3.
Bài 4: (Thi khu vực, 2003, lớp 9 dự bị) Cho u0 = 2; u1 = 10; un+1 = 10un – un-1. a. Lập một quy trình tính un+1
b. Tính u2; u3; u4; u5, u6
c. Tìm công thức tổng quát của un.
Bài 5: (Thi vô địch toán Lêningrat, 1967) Cho dãy u1 = u2 = 1; 2 2 n 1 n n 1
u + =u +u − . Tìm số dư của un chia cho 7.
Bài 6: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 1.1999) Cho u1 = 1; u2 = 3, un+2 = 2un+1 – un+1. Chứng minh: A=4un.un+2 + 1 là số chính phương.
Bài 7: (Olympic toán Singapore, 2001) Cho a1 = 2000, a2 = 2001 và an+2 = 2an+1 – an + 3 với n = 1,2,3… Tìm giá trị a100?
Bài 8: (Tạp chí toán học & tuổi trẻ, tháng 7.2001) Cho dãy số un được xác định bởi: u1 = 5; u2 = 11 và un+1 = 2un – 3un-1 với mọi n = 2, 3,…. Chứng minh rằng:
a. Dãy số trên có vô số số dương và số âm. b. u2002 chia hết cho 11.
Bài 9: (Thi giỏi toán, 1995)Dãy un được xác định bởi: u0 = 1, u1 = 2 và un+2 = n 1 n n 1 n u 9u ,n 2k 9u 5u ,n 2k 1 + + + = + = + với mọi n = 0, 1, 2, 3, …. Chứng minh rằng: a. 2000 2 k k 1995 u =∑ chia hết cho 20
b. u2n+1 không phải là số chính phương với mọi n.
Bài 10: (Sở GD Lâm Đồng, 2005) Cho u1 = u2 = 7; un+1 = u12 + un-12. Tính u7=?
Bài 11: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)
Cho dãy u1 = u2 = 11; u3 = 15; un+1 = − − − + + 2 n n 1 n 1 n 5u u 3 u 2 u với n≥3
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy? b. Tìm số hạng u8 của dãy?
Bài 12: (Trường THCS Đồng Nai – Cát Tiên 2005)
Cho dãy u1 = 5; u2 = 9; un +1 = 5un + 4un-1 (n≥2).
a. Lập quy trình bấm phím để tìm số hạng thứ un của dãy? b. Tìm số hạng u14 của dãy?
Bài 13: (Phòng GD Bảo Lâm, 2005)
a.Cho u =1,1234 ; u =1,0123.u (n N; n 1)1 n+1 n ∈ ≥ . Tính u50? b. Cho 2 n 1 n+1 2 n 3u +13 u =5 ; u = (n N; n 1) u +5 ∈ ≥ . Tính u15? c. Cho u0=3 ; u1= 4 ; un = 3un-1 + 5un-2 (n≥2). Tính u12 ?
Bài 14: (Thi khu vực 2002, lớp 9)Cho dãy số xác định bởi công thức
2n n n 1 2 n 4x 5 x x 1 + + = + , n là số tự