Bài giảng Xác suất thống kê kinh tế gồm 3 chương. Nội dung bài giảng lần lượt trình bày về đại số tổ hợp, xác suất và công thức tính xác suất, biến ngẫu nhiên và một số nội dung liên quan khác. Tham khảo nội dung bài giảng để hiểu rõ hơn về các nội dung trên.
XÁC SUẤT THỐNG KÊ KINH TẾ Đoàn Hồng Chương 1 1 Bộ môn Toán - TKKT, Đại học Kinh Tế - Luật Chương 1 NHẮC LẠI VỀ ĐẠI SỐ TỔ HỢP 1.1 Qui tắc cộng Nếu một công việc có thể thực hiện theo k phương án A 1 ,A 2 ,A k và mỗi phương án có n i (i =1, 2, ,k) cách thực hiện thì số cách thực hiện công việc là n = n 1 + n 2 + + n k . (1.1) Ví dụ 1.1. Một người muốn mua một đôi giày cỡ 39 hoặc 40.Cỡ39 có hai màu đen và trắng, cỡ 40 có ba màu đen, trắng và nâu. Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn mua giày? (Đáp số: n =2+3=5). Trang 1 1.2 Qui tắc nhân Nếu một công việc bao gồm k giai đoạn và mỗi giai đoạn có n i (i =1, 2, , k) cách thực hiện thì số cách thực hiện công việc là n = n 1 .n 2 n k (1.2) Ví dụ 1.2. Trong một trò chơi, mỗi thí sinh phải trả lời 5 câu hỏi trắc nghiệm có sẵn của ban tổ chức, mỗi câu hỏi có 4 lựa chọn. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu phương án trả lời? (Đáp số: n =4 5 = 1024). 1.3 Hoán vị Định nghĩa 1.1. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách sắp xếp n phần tử theo một thứ tự gọi là một hoán vị. Trang 2 Tính chất 1.1. Số hoán vị của n phần tử là P n = n! (1.3) • Qui ước: 0! = 1. Ví dụ 1.3. Một bàn có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi? Giải. Vì mỗi cách xếp học sinh vào một bàn dài là một hoán vị nên số cách xếp là P 4 =4!=24. Ví dụ 1.4. Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 5 bạn học sinh vào một bàn dài biết rằng 2 bạn Hoa và Lan muốn ngồi cạnh nhau? Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau? Giải. Nếu 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau thì ta có thể giải bài toán theo 2 bước sau đây: • Bước 1: Xem 2 bạn Hoa và Lan như là 1 người. Khi đó số cách xếp là số hoán vị của 4 phần tử P 4 =4!=24. Trang 3 • Bước 2: Đổi chỗ 2 bạn Hoa và Lan. Khi đó số cách xếp là số hoán vị của 2 phần tử P 2 =2!=2. Vậy số cách xếp là n = P 4 .P 2 =48. Trường hợp 2 bạn Hoa và Lan không ngồi cạnh nhau là phần bù của trường hợp trên. Do đó số cách xếp là hiệu của số cách xếp tùy ý 5 người và số cách xếp 2 bạn Hoa và Lan ngồi cạnh nhau n = P 5 − 48 = 5! − 48 = 72. 1.4 Chỉnh hợp Định nghĩa 1.2. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách xếp k phần tử (1 ≤ k ≤ n) lấy từ n phần tử của tập hợp theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n. Tính chất 1.2. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là A k n = n! (n −k)! . (1.4) Trang 4 Ví dụ 1.5. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 7, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau? Giải. Ý tưởng giải bài toán này là nguyên lý phần bù. Gọi Ω là tập hợp các số gồm 3 chữ số abc trong đó chữ số đầu tiên có thể nhận giá trị 0 và A là tập hợp các số thỏa đề bài. Khi đó A (phần bù của A trong Ω) là tập hợp các số gồm 3 chữ số trong đó chữ số đầu tiên bằng 0. Mỗi phần tử của Ω là một cách chọn có thứ tự 3 số trong tập hợp các số {0, 1, 2, 3, 4, 7}. Số phần tử của Ω là n(Ω) = A 3 6 . Đối với tập hợp A, vì chữ số đầu tiên bằng 0 nên mỗi phần tử của A là một cách chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 4, 7}. Số phần tử của A là n(Ω) = A 2 5 . Khi đó số phần tử của A là n(A)=A 3 6 − A 2 5 = 100. Trang 5 1.5 Tổ hợp Định nghĩa 1.3. Cho tập hợp gồm n phần tử khác nhau. Mỗi cách chọn k phần tử (1 ≤ k ≤ n) từ n phần tử của tập hợp gọi là một tổ hợp chập k của n. Tính chất 1.3. Số tổ hợp chập k của n phần tử là C k n = n! k!(n −k)! . (1.5) Tính chất 1.4. C k n = C n−k n . (1.6) C k n + C k+1 n = C k+1 n+1 . (1.7) Ví dụ 1.6. Một lớp học có 30 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Cần lập ra một đội văn nghệ gồm 5 nam và 5 nữ từ các học sinh nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách thực hiện việc này? (Đáp số: n = C 5 30 .C 5 20 ). Ví dụ 1.7. Từ các chữ số 1, 2, 3, 6, 7, 8, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số trong đó chữ số 8 xuất hiện 2 lần, các chữ số còn lại xuất hiện tối đa 1 lần? Trang 6 Giải. Với mỗi số tự nhiên thỏa mãn đề bài, ta biễu diễn thành một hàng gồm 4 ô, trong đó có 2 ô chứa số 8, 2 ô còn lại là số tùy ý trong tập hợp {1, 2, 3, 6, 7}. Như vậy, bài toán có thể chia thành 2 bước như sau: • B1: Chọn 2 ô trong4ôđểxếpchữsố8.Sốcách chọn sẽ là C 2 4 . • B2: Chọn có thứ tự 2 số trong tập hợp {1, 2, 3, 6, 7}. Số cách chọn là A 2 5 . Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là C 2 4 .A 2 5 = 120. 1.6 Tổ hợp lặp Định nghĩa 1.4. Tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm k phần tử không phân biệt thứ tự, có thể trùng nhau được chọn ra từ n phần tử đã cho. Chú ý:cóthểk<nhoặc k = n hoặc k>n. Ví dụ 1.8. Một cửa hàng có 3 loại sản phẩm a 1 ,a 2 ,a 3 . Một khách hàng muốn mua 2 sản phẩm của cửa hàng. Vì không có điều kiện ràng buộc nên khách hàng đó có Trang 7 thể mua 2 sản phẩm a 1 , hoặc 2 sản phẩm a 2 hoặc 1 sản phẩm a 1 và 1 sản phẩm a 3 . Mỗi trường hợp được liệt kê ở trên chính là một tổ hợp lặp chập 2 của 3 phần tử. Sau đây là liệt kê đầy đủ các trường hợp của bài toán: a 1 a 1 ,a 2 a 2 ,a 3 a 3 ,a 1 a 2 ,a 1 a 3 ,a 2 a 3 . Tính chất 1.5. Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử là C k n = C k n+k−1 . (1.8) Ví dụ 1.9. Có 4 loại bút bi: xanh, đỏ, tím, vàng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn mua 6 chiếc bút? (giả sử số lượng bút bi mỗi loại lớn hơn 6). Giải. Vì khách hàng chọn 6 chiếc bút trong 4 loại và có thể chọn cùng một màu nên mỗi cách chọn là một tổ hợp lặp chập 6 của 4 . Số cách chọn là C 6 4 = C 6 4+6−1 = C 6 9 =84. Ví dụ 1.10. Giả sử có 8 viên bi màu hoàn toàn giống nhau. Nam muốn xếp các viên bi này vào 5 ngăn kéo. Hỏi có bao nhiêu cách xếp? (Đáp số: n = C 8 5 = C 8 13 = 1287) Trang 8 BẢNG TÓM TẮT ĐẠI SỐ TỔ HỢP Trang 9 [...]... việc xác định các thông số trên là có thể nhưng khó khăn hoặc gây thiệt hại về kinh tế (chẳng hạn như: xác định tỉ lệ (xác suất) hộp sữa hỏng trong một kho, xác định xác suất bắn trúng mục tiêu của một xạ thủ, ) Do đó người ta đưa một cách tính xác suất theo quan điểm thống kê như sau: Giả sử một phép thử được tiến hành N lần và biến cố A xuất hiện m lần Xác suất của biến cố A theo quan điểm thống kê. .. A1 Người ta dùng kí hiệu P (A2|A1) (thay vì P (A2)) để chỉ xác suất xảy ra biến cố A2 khi A1 đã xảy ra và kí hiệu P (A2|A1) để chỉ xác suất Trang 31 xảy ra biến cố A2 khi A1 không xảy ra Các xác suất này được gọi là xác suất có điều kiện Định nghĩa 4.1 Xác suất có điều kiện của A, khi B xảy ra (P (B) > 0) là P (A|B) = P (A.B) P (B) (4.1) Xác suất có điều kiện của B, khi A xảy ra (P (A) > 0) là P (A.B)... A + B.A Trang 16 §2 Xác suất và công thức tính Xác suất là một đại lượng thể hiện mức độ xảy ra (thường xuyên hay ít khi) của một biến cố Số gán cho biến cố A, kí hiệu là P (A), gọi là xác suất của biến cố A 2.1 Định nghĩa xác suất Định nghĩa 2.1 Giả sử không gian mẫu Ω của một phép thử gồm có n(Ω) biến cố sơ cấp đồng khả năng và biến cố A gồm có n(A) biến cố sơ cấp Khi đó xác suất của biến cố A là... bất kì Khi đó n P( n P (Ai) − Ai ) = i=1 n i=1 P (AiAj ) + + (−1)n+1P ( i=j Ai) (3.4) i=1 Ví dụ 3.2 Davis tham dự 2 trận đấu Xác suất để anh ấy thắng trận thứ nhất là 0.7; xác suất để anh ấy thắng trận thứ hai là 0.6 và xác suất để anh ấy thắng cả 2 trận là 0.5 Hãy tính xác suất Davis thắng ít nhất 1 trận; thắng đúng 1 trận Trang 28 Giải Gọi A là biến cố "Davis thắng trận thứ nhất", B là biến cố "Davis... các cặp A và B; A và B; A và B cũng là các biến cố độc lập Ví dụ 3.3 Ba xạ thủ bắn độc lập vào một mục tiêu Xác suất bắn trúng của mỗi người là 0.5; 0.6; 0.7 Hãy tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu (Đáp số: P = 1 − 0.5.0.4.0.3 = 0.94) Trang 30 §4 Xác suất có điều kiện 4.1 Xác suất có điều kiện Một hộp có 10 quả bóng khác nhau gồm 4 bóng vàng, 6 bóng đỏ Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai... cộng xác suất - Qui tắc nhân xác suất 3.1 Qui tắc cộng xác suất 3.1.1 Trường hợp các biến cố xung khắc Định lý 3.1 Nếu A, B là các biến cố xung khắc, thì P (A + B) = P (A) + P (B) (3.1) Định lý 3.2 Nếu A1, , An là các biến cố xung khắc đôi một thì P (A1 + + An) = P (A1) + + P (An) (3.2) Ví dụ 3.1 Một lớp học có 15 nam và 23 nữ Chọn ngẫu nhiên một đội 5 người từ lớp nói trên Tính xác suất để... lấy một sản phẩm và không hoàn lại Tính xác suất để lấy được 2 phế phẩm 4.2 Công thức xác suất đầy đủ 4.2.1 Họ đầy đủ Định nghĩa 4.2 Một họ các biến cố A1, A2, , An được gọi là đầy đủ nếu chúng xung khắc đôi một và hợp của chúng là biến cố chắc chắn, nghĩa là n Ai ∩ Aj = ∅ với mọi i = j và Ai = Ω i=1 4.2.2 Công thức xác suất đầy đủ Định lý 4.3 (Công thức xác suất đầy đủ) Cho B1, B2, , Bn là họ đầy... phép thử 600 lần) Hai kết quả trên cho thấy việc thực hiện phép thử càng nhiều lần thì tần suất của biến cố A càng gần với xác suất tính theo công thức cổ điển 2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học Định nghĩa 2.2 Giả sử một điểm được gieo ngẫu nhiên vào một miền D và A là một miền con của D Khi đó xác suất của biến cố "điểm đó rơi vào miền A" là P (A) = S(A) , S(D) (2.3) trong đó S(.) là số... có ai đứng cạnh nhau là 4!×A3 và xác suất 5 4! × A3 2 5 để 3 bạn nam không có ai đứng cạnh nhau là = 7! 7 Lưu ý: Trong ví dụ (2.3) các biến cố "3 bạn nam xếp hàng cạnh nhau" và "3 bạn nam không có ai xếp hàng cạnh nhau" không phải là hai biến cố đối lập (biến cố bù) Trang 20 2.2 Định nghĩa xác suất theo quan điểm thống kê Trong thực tiễn nhiều khi chúng ta không thể xác định được số phần tử n(Ω) của... tính xác suất để câu trả lời của người đó là "tán thành" b) Giả sử bạn gặp một người có câu trả lời là "tán thành" Hãy tính xác suất để người đó là nam Giải Kết quả của cuộc khảo sát trên được mô tả trong bảng sau Trang 33 Tán thành Không tán thành Tổng số Nam 136 104 240 Nữ 224 36 260 Tổng số 360 140 500 a) Gọi A là biến cố "gặp người nữ" và B là biến cố "câu trả lời là tán thành" Khi đó xác suất