3.2.1 Biến cố độc lập
Định nghĩa 3.1. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu xác suất của biến cố này không phụ thuộc vào việc xuất hiện hay không xuất hiện của biến cố kia.
Định lý 3.5. Nếu A, B là các biến cố độc lập thì P(A.B) = P(A).P(B). (3.5) Định lý 3.6. Nếu A1, . . . , An là các biến cố độc lập thì P(A1 . . . An) = P(A1). . . P(An). (3.6) 3.2.2 Tính chất Định lý 3.7. Nếu A, B là các biến cố độc lập thì các cặp A và B; A và B; A và B cũng là các biến cố độc lập.
Ví dụ 3.3. Ba xạ thủ bắn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của mỗi người là 0.5; 0.6; 0.7. Hãy tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng mục tiêu. (Đáp số: P = 1 − 0.5.0.4.0.3 = 0.94)
§4. Xác suất có điều kiện 4.1 Xác suất có điều kiện
Một hộp có 10 quả bóng khác nhau gồm 4 bóng vàng, 6 bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai bóng (mỗi lần lấy xong không trả lại bóng vào hộp). Đặt
• A1 là biến cố "lấy được bóng màu vàng ở lần thứ nhất".
• A2 là biến cố "lấy được bóng màu vàng ở lần thứ hai".
Bảng sau là P(A2) trong trường hợp A1 xảy ra và không xảy ra.
A1 A1 Số bóng vàng còn lại 3 4 Số bóng còn lại 9 9 P(A2) 1 3 4 9
Kết quả trên cho thấy P(A2) phụ thuộc vào việc xuất hiện hay không xuất hiện biến cố A1. Người ta dùng kí hiệu P(A2|A1) (thay vì P(A2)) để chỉ xác suất xảy ra biến cố A2 khi A1 đã xảy ra và kí hiệu P(A2|A1) để chỉ xác suất
xảy ra biến cố A2 khi A1 không xảy ra. Các xác suất này được gọi là xác suất có điều kiện.
Định nghĩa 4.1. Xác suất có điều kiện của A, khi B xảy ra (P(B) > 0) là P(A|B) = P(A.B)
P(B) . (4.1)
Xác suất có điều kiện của B, khi A xảy ra (P(A) > 0) là P(B|A) = P(A.B)
P(A) . (4.2)
Định lý 4.1 (Qui tắc nhân tổng quát). Cho các biến cố A, B. Khi đó
P(A.B) = P(B).P(A|B) = P(A).P(B|A). (4.3)
Định lý 4.2 (Qui tắc nhân tổng quát). Cho các biến cố A1, A2, . . . , An. Khi đó P(A1A2. . . An) = P(A1).P(A2|A1).P(A3|A1A2). . . P(An|A1 . . . An−1). (4.4)
Ví dụ 4.1. Cho A, B là các biến cố thỏa mãn P(A) = 1
4, P(B) = 1 1 3, P(A∪B) = 23 60. Hãy tính xác suất P(A|B) và P(B|A). (Đáp số: P(A|B) = 3 5, P(B|A) = 4 5) Trang 32
Ví dụ 4.2. Một người sẽ thi 2 môn. Xác suất để người đó đậu môn thứ nhất là 80%. Nếu môn thứ nhất đậu thì khả năng đậu môn thứ hai là 65%, ngược lại khả năng đậu môn thứ hai sẽ là 50%. Hãy tính xác suất để người này đậu cả 2 môn.
Giải. Gọi A là biến cố "đậu môn thứ nhất", B là biến cố "đậu môn thứ hai".
Khi đó biến cố "đậu cả 2 môn" là A.B. Áp dụng qui tắc nhân tổng quát, ta có
P(A.B) = P(A).P(B|A) = 80%.65% = 52%.
Ví dụ 4.3. Trong cuộc khảo sát về một quy định mới, người ta hỏi 500 người bao gồm 240 nam, 260 nữ của một vùng và thu được kết quả "có 136 nam và 224 nữ trả lời tán thành".
a) Giả sử bạn gặp một người nữ trong số những người này. Hãy tính xác suất để câu trả lời của người đó là "tán thành".
b) Giả sử bạn gặp một người có câu trả lời là "tán thành". Hãy tính xác suất để người đó là nam.
Giải. Kết quả của cuộc khảo sát trên được mô tả trong bảng sau
Tán thành Không tán thành Tổng số
Nam 136 104 240 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Nữ 224 36 260
Tổng số 360 140 500
a) Gọi A là biến cố "gặp người nữ" và B là biến cố "câu trả lời là tán thành". Khi đó xác suất cần tính là P(B|A). Theo bảng trên ta có
P(B|A) = P(A.B) P(A) = 224 500 260 500 = 56 65.
b) Với điều kiện gặp được người có câu trả lời là tán thành, xác suất để người đó là nam là P(A|B). Theo bảng trên ta có
P(A|B) = P(A.B) P(B) = 136 500 360 500 = 17 45. Trang 34
Ví dụ 4.4. Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 2 sản phẩm xấu. Chọn lần lượt mỗi lần một sản phẩm (không hoàn lại) cho đến khi có đủ 2 sản phẩm xấu được chọn thì dừng. Hãy tính xác suất để quá trình chọn trên dừng lại ở lần thứ 3.
Ví dụ 4.5. Một lô hàng có 20 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên lần lượt hai sản phẩm, mỗi lần lấy một sản phẩm và không hoàn lại. Tính xác suất để lấy được 2 phế phẩm.