Định nghĩa 1.3. Biến ngẫu nhiên X gọi là biến ngẫu nhiên liên tục nếu X(Ω)
là một khoảng, hoặc hợp của nhiều khoảng, hoặc toàn bộ R.
Ví dụ 1.6. "thời gian chờ xe buýt tại trạm", "lượng mưa trong một năm của một vùng".
§2. Biến ngẫu nhiên rời rạc 2.1 Hàm mật độ xác suất
Định nghĩa 2.1. Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc trong không gian mẫu Ω với X(Ω) = {x1, x2, . . . , xn}. Hàm mật độ xác suất của X, gọi tắt là hàm mật độ, là hàm số
fX(x) = P[X = x], với x = x1, x2, . . . , xn. (2.1) Người ta thường biểu diễn hàm mật độ xác xuất của biến ngẫu nhiên rời rạc dưới dạng bảng phân phối xác suất rời rạc.
X x1 x2 . . . xn P[X = x] p1 p2 . . . pn
Tính chất 2.1. Giả sử fX(x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X. Khi đó
• f(xi) ≥ 0, với mọi i = 1, 2, . . . , n.
• n
i=1fX(xi) = 1.
Ví dụ 2.1. Một hộp có 7 quả bóng gồm 4 bóng xanh và 3 bóng đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 bóng trong hộp. Gọi X là số bóng đỏ lấy được. Tìm hàm mật độ xác suất của X.
Giải. Từ giả thiết ta có X(Ω) = {0, 1,2}. Khi đó P(X = 0) = 2 7 P(X = 1) = 4 7 P(X = 2) = 1 − P(X = 0) − P(X = 1) = 1 7.
Vậy hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X là X 0 1 2 fX(x) 2 7 4 7 1 7
Ví dụ 2.2. Có hai kiện hàng. Kiện một có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. Kiện hai có 2 sản phẩm tốt, 3 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ kiện một ra hai sản phẩm và từ kiện hai ra một sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm được lấy. Hãy tìm hàm mật độ phân phối xác suất của X.
Ví dụ 2.3. Có hai hộp đựng bi. Hộp thứ nhất có 5 bi màu vàng, 6 bi màu xanh. Hộp thứ hai có 7 bi màu vàng, 3 bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai và chọn ngẫu nhiên 2 bi từ hộp thứ hai. Gọi X là số bi màu xanh lấy được từ hộp thứ hai. Hãy lập bảng phân phối xác suất của X.