Định lý 4.3 (Công thức xác suất đầy đủ). Cho B1, B2, ..., Bn là họ đầy đủ. Khi Trang 35
đó với mọi biến cố A, P(A) = n i=1 P(Bi).P(A|Bi).
Ví dụ 4.6. Có 3 hộp đựng các sản phẩm mô tả bởi bảng sau
5 phế phẩm 10 phế phẩm 5 phế phẩm 20 sản phẩm tốt 25 sản phẩm tốt 35 sản phẩm tốt
Hộp 1 Hộp 2 Hộp 3
Lấy ngẫu nhiên một hộp và chọn trong hộp đó một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được phế phẩm.
Giải. Gọi Bi (i = 1, 2,3) là biến cố "chọn hộp thứ i". Các biến cố B1, B2, B3
xung khắc nhau đôi một và B1 ∪ B2 ∪ B3 = Ω. Do đó B1, B2, B3 là một họ đầy đủ. Đặt A là biến cố "chọn được phế phẩm". Khi đó xác suất cần tính là
P(A) = P(B1).P(A|B1) + P(B2).P(A|B2) + P(B3).P(A|B3).
Dựa vào bảng số liệu, ta có
P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1 3 P(A|B1) = 5 25, P(A|B2) = 10 35, P(A|B3) = 5 40 Vậy P(A) = 57 280.
Ví dụ 4.7. Một nông trường có 4 đội sản xuất. Sản lượng của đội một bằng 1
3 sản
lượng của nông trường, sản lượng của đội hai bằng 1
4 sản lượng của nông trường,
sản lượng của đội ba bằng 1
6 sản lượng của nông trường. Tỉ lệ phế phẩm tương
ứng của bốn đội là 0,15; 0, 08; 0, 05; 0, 01. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm trong kho của nông trường. Tìm xác suất để lấy được một phế phẩm.
Giải. Gọi B1, B2, B3, B4 tương ứng là biến cố "chọn đội 1", "chọn đội 2", "chọn đội 3", "chọn đội 4" và A là biến cố "chọn được phế phẩm".
Họ B1, B2, B3, B4 xung khắc nhau đôi một và B1 ∪ B2 ∪ B3 ∪ B4 = Ω. Do đó nó là một họ đầy đủ. Khi đó xác suất cần tính là
P(A) =P(B1).P(A|B1) + P(B2).P(A|B2) + P(B3).P(A|B3) + P(B4).P(A|B4) =1 3 × 0, 15 + 1 4 × 0, 08 + 1 6 × 0, 05 + 1 4 × 0, 01 = 97 1200.
Ví dụ 4.8. Có 3 sinh viên nhưng chỉ nhận được 2 vé xem ca nhạc miễn phí. Vì vậy họ làm 3 lá thăm trong đó có 2 là được đánh dấu "×". Mỗi người lần lượt rút 1 là thăm. Ai bắt được thăm có đánh dấu sẽ nhận được vé xem ca nhạc. Theo các em, cách làm này có công bằng hay không?
Ví dụ 4.9. Một hộp có 3 bi đỏ và 7 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 bi. Nếu bi được chọn màu đỏ thì bỏ vào hộp 1 bi xanh; ngược lại thì bỏ vào hộp 1 bi đỏ. Sau đó lấy tiếp 1 bi từ hộp. Tính xác suất để lần thứ 2 lấy được bi đỏ.