Định nghĩa 2.4. Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm mật độ xác định bởi bảng sau:
X x1 x2 x3 ... xn fX(x) p1 p2 p3 ... pn
Phương sai của X, kí hiệu VarX, là đại lượng đặc trưng cho độ phân tán của X và được xác định bởi công thức
VarX = E(X − EX)2 =
n
i=1
(xi − EX)2pi. (2.4)
Độ lệch chuẩn của X, kí hiệu σX, được xác định bởi công thức σX = √
VarX. (2.5)
Để thuận lợi cho việc tính toán phương sai, người ta lập bảng sau
X x1 x2 x3 ... xn
fX(x) p1 p2 p3 ... pn
(X − EX)2 (x1 − EX)2 (x2 − EX)2 (x3 − EX)2 ... (xn − EX)2
Ví dụ 2.9. Một hộp đựng 6 quả bóng trong đó có 2 bóng màu đỏ, 4 bóng màu trắng. Lấy ngẫu nhiên 3 bóng và gọi X là số bóng đỏ lấy được. Tính kỳ vọng và phương sai của X.
Giải. Biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất như sau
X 0 1 2
fX(x) 15 35 15 Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X là EX = 1.
Dựa vào nhận xét ở trên, ta lập bảng sau để tính phương sai của biến ngẫu nhiên X, X 0 1 2 fX(x) 15 35 15 (X − EX)2 12 02 12 Khi đó VarX = 1 5.1 2 + 3 5.0 2 + 1 5.1 2 = 0, 4.
Tính chất 2.4. Giả sử X là biến ngẫu nhiên rời rạc và C là một hằng số. Khi đó a) VarX ≥ 0.
b) VarX = EX2 − E2X. c) VarC = 0.
d) Var(CX) = C2.VarX. e) σ(CX) = |C|.σX.
f) Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì
Var(X ± Y ) = VarX + VarY và σ(X ± Y ) = √
σ2X + σ2Y .
Dựa vào tính chất (b): VarX = EX2 − E2X, ta có cách tính phương sai sau
X x1 x2 x3 ... xn fX(x) p1 p2 p3 ... pn X2 x21 x22 x23 ... x2n
Ví dụ 2.10. Xét trở lại ví dụ 2.9, để tính phương sai của biến ngẫu nhiên X ta lập bảng sau:
X 0 1 2
fX(x) 15 35 15
X2 0 1 4
Dựa theo công thức (b), chúng ta lần lượt tính E2X và X2 như sau: EX = 1 ⇒ E2X = 12. EX2 = x2i.pi = 02.1 5 + 1 2.3 5 + 2 2.1 5 = 7 5. Suy ra VarX = EX2 − E2X = 0, 4.
Ví dụ 2.11. Năng suất của hai máy công cụ tương ứng là các biến ngẫu nhiên X, Y (đơn vị: sản phẩm/phút) có phân phối xác suất là
X 1 2 3 4
fX(x) 0,2 0, 25 0, 35 0,2
Y 2 3 4 5
fY (y) 0, 1 0,4 0, 4 0,1
Hãy tính phương sai của X và Y.
Ví dụ 2.12. Giả sử lợi nhuận (đơn vị %) của một công ty khi đầu tư vào 2 ngành A và B là các biến ngẫu nhiên độc lập X và Y. Nếu EX = 12,VarX = 25 và EY = 14,VarY = 36, thì công ty đó nên đầu tư vào 2 ngành A và B theo tỉ lệ là bao nhiêu để rủi ro là thấp nhất?