Định lý 4.4. Nếu họ các biến cố B1, B2, ..., Bn là đầy đủ thì với mọi biến cố A, P(Bj|A) = P(Bj)P(A|Bj) P(A) = P(Bj)P(A|Bj) n i=1P(Bi)P(A|Bi) .
Ví dụ 4.10. Có 3 hộp đựng các sản phẩm mô tả bởi bảng sau
5 phế phẩm 10 phế phẩm 5 phế phẩm 20 sản phẩm tốt 25 sản phẩm tốt 35 sản phẩm tốt
Hộp 1 Hộp 2 Hộp 3
Lấy ngẫu nhiên một hộp và chọn trong hộp đó một sản phẩm. Tìm xác suất để lấy được phế phẩm của hộp thứ nhất.
Giải. Gọi Bi (i = 1, 2,3) là biến cố "chọn hộp thứ i". Các biến cố B1, B2, B3
xung khắc nhau đôi một và B1 ∪ B2 ∪ B3 = Ω. Vậy B1, B2, B3 là một họ đầy đủ. Đặt A là biến cố "chọn được phế phẩm". Khi đó xác suất cần tính là
P(B1|A) =P(B1)P(A|B1) P(A) = P(B1)P(A|B1) 3 i=1 P(Bi)P(A|Bi) = 1 3 × 5 25 1 3 × 5 25 + 1 3 × 10 35 + 1 3 × 5 40 = 56 171. Ví dụ 4.11. Một xét nghiệm y học về bệnh X có tính chất sau Trang 40
1. Nếu người được xét nghiệm có bệnh X thì phép thử cho kết quả dương tính với xác suất 0, 92.
2. Nếu người được xét nghiệm không có bệnh X thì phép thử vẫn có thể cho kết quả dương tính với xác suất 0, 04.
Giả sử tỉ lệ mắc bệnh X là 0, 1% trên toàn bộ dân số. Nếu một người đi xét nghiệm và kết quả là dương tính thì xác suất để người đó mắc bệnh X là bao nhiêu?
Giải. Gọi A là biến cố "người được xét nghiệm mắc phải bệnh X" và B là biến cố "kết quả xét nghiệm là dương tính". Kết quả của phép thử trên được tóm tắt bằng bảng sau
A A
Kết quả xét nghiệm
0, 92 0, 04
Từ tỉ lệ mắc bệnh X trong toàn bộ dân số là 0, 1% ta có P(A) = 0, 001, P(A) = 0, 999. Từ các giả thiết 1 và 2 ta có P(B|A) = 0, 92, P(B|A) = 0, 04. Xác suất cần tìm là
P(A|B) = P(A).P(B|A)
P(A).P(B|A) + P(A).P(B|A) = 0,0225.
Ví dụ 4.12. Có 3 xạ thủ cùng bắng vào một con mồi (mỗi người bắn 1 viên đạn). Xác suất trúng đích của mỗi xạ thủ lần lượt là 0.7,0.8,0.75. Giả sử con mồi bị trúng 1 viên đạn và chết. Hỏi nên chia thịt con mồi như thế nào cho công bằng?
§5. Dãy phép thử Bernoulli
Giả sử một xạ thủ bắn độc lập n lần vào một mục tiêu (mỗi lần một viên đạn) với xác suất trúng đích là p. Trong mỗi lần bắn của xạ thủ chỉ có 2 khả năng đối nhau xảy ra: hoặc A "trúng mục tiêu" hoặc A "không trúng mục tiêu". Dãy phép thử có tính chất trên được gọi là dãy phép thử Bernoulli.
Định nghĩa 5.1. Dãy n phép thử được gọi là dãy phép thử Bernoulli nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau
(i) Mỗi phép thử chỉ có 2 khả năng đối nhau xảy ra: hoặc A hoặc A. (ii) Dãy phép thử là độc lập.
(iii) Xác suất xảy ra biến cố A luôn là hằng số, nghĩa là P(A) = p.
Định lý 5.1. Xác suất để biến cố A xuất hiện k (0 ≤ k ≤ n) lần trong dãy phép thử Bernoulli là
Pk = Cnkpkqn−k, với q = 1 − p.
Ví dụ 5.1. Một phân xưởng có 5 máy độc lập nhau. Xác suất để trong một ca mỗi máy bị hỏng là 0, 1. Tìm xác suất để trong một ca có đúng 2 máy bị hỏng.
Giải. Gọi Ai là biến cố máy thứ i bị hỏng trong ca làm việc (i = 1,2, ..,5). Ta nhận thấy mỗi máy i chỉ có 2 khả năng đối nhau xảy ra: hoặc xuất hiện
Ai hoặc xuất hiện Ai. Thêm nữa các máy hoạt động độc lập và có xác suất hỏng luôn là hằng số p = 0, 1. Vì vậy dãy phép thử với 5 máy trên là dãy phép thử Bernoulli. Khi đó xác suất để có đúng 2 máy hỏng trong ca làm việc là
P2 = C52p2q3 = 0,0729.
Ví dụ 5.2. Trong một lô thuốc, xác suất để nhận được một lọ thuốc hỏng là p = 0, 1. Lấy ngẫu nhiên 3 lọ để kiểm tra. Hãy tính xác suất để
a) Cả ba lọ đều hỏng.
b) Có hai lọ hỏng và một lọ tốt. c) Có một lọ hỏng và hai lọ tốt. d) Cả ba lọ đều tốt.
Ví dụ 5.3. Trong một lô hàng, tỉ lệ phế phẩm là 2%. Chọn ngẫu nhiên 20 sản phẩm trong lô hàng để kiểm tra. Tính xác suất để
1. có ít nhất 5 phế phẩm trong 20 sản phẩm được kiểm tra. 2. có từ 6 đến 10 phế phẩm trong 20 sản phẩm được kiểm tra.
Ví dụ 5.4. Trong một kì thi, mỗi sinh viên nhận được một đề gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khách quan 4 lựa chọn. Khi làm bài, mỗi sinh viên đều có 2 tình huống như sau: nếu biết rõ câu trả lời thì sẽ chọn ngay câu đúng, ngược lại sẽ chọn ngẫu nhiên một trong 4 lựa chọn. Sinh viên giỏi thường biết rõ câu trả lời của khoảng 80% câu hỏi; sinh viên khá thường biết rõ câu trả lời của khoảng 65% câu hỏi. Điểm bài thi là tổng số câu làm đúng. Hãy tính xác suất để
1. sinh viên giỏi đạt điểm thi trên 5. 2. sinh viên khá đạt điểm thi trên 5.
Chương 3