Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Hình học xạ ảnh của conic

Nhà toán học người Pháp - Girard Desargues cũng nhận ra rằng hai đường conic bat kỳ luôn có thẻ nhận được dưới dang là các phan của một hình nón trong | `, nên có thé trình bày lý thuyết

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

—s9 LI ee

Khóa luận tốt nghiệp

HÌNH HOC XA ANH CUA CONIC

Sinh vién: Nguyễn Dire Thịnh

MSSV: 4501101107

Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Hà Thanh

TP Hỗ Chí Minh ngày 05 tháng 05 năm 2023

TRUONG DAI HỌC SƯ PHAM TP HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN

—#2ÍL] œa—

HÌNH HỌC XA ANH CUA CONIC

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Đức Thịnh

Mã số sinh viên: 4501101107

Giảng viên hướng din: TS Nguyễn Hà Thanh

Lời cám ơn

Lời cảm ơn dau tiên, chân thành sâu sắc nhất, tôi muốn gửi đến TS Nguyễn Hà Thanh - giảngviên hướng đẫn Khóa luận Tốt nghiệp của tôi tại Trưởng Đại học Sư phạm Thành phố Hè ChíMinh Cam ơn Thay một người Thay luôn nghiêm túc trong công việc và là người thay dau tiên

đã dẫn dắt khi tôi tiếp xúc với chuyên ngành hình học ở bậc đại học Cám on thay đã chỉ dạy

tận tỉnh cho tôi, cho tôi lởi khuyên hữu ich dé hoàn thành tốt khóa luận nảy

Trong quá trình thực hiện khóa luận này tôi đã gặp rất nhiều khó khăn vẻ thời gian cũng nhưkiến thức, tuy nhiên tôi luôn nhận được lời động viên từ bạn bè, gia đình và thầy cô tôi xinchân thành cảm ơn các thay, cô Khoa Toán - Tin học Trường Đại học Sư phạm Thành phố HồChí Minh đã trang bị cho tôi những kiến thức Toán học làm nền tang vig chắc cho tôi trên

con đường nghiên cứu.

Mặc di đã cé gắng biên soạn nội dung thật cẩn thận, song với vốn kiến thức vả kinh nghiệmcòn hạn chế, có lẽ không tránh khỏi những sai sót Tôi rất mong nhận được sự góp ¥ dé có thẻrút kinh nghiệm và làm tốt hơn

Sinh viên

Nguyễn Đức Thịnh

te

Giới thiệu tổng quan

Đường conic đã được nghiên cứu từ rất sớm trong lịch sử toán học như một phần của hình nón Nhà toán học người Pháp - Girard Desargues cũng nhận ra rằng hai đường conic bat kỳ luôn

có thẻ nhận được dưới dang là các phan của một hình nón trong | `, nên có thé trình bày lý

thuyết về đường conic theo một cách thông nhất Pascal nghe qua được công trình của

Desargues và nhanh chóng đưa ra một trong những kết quả nôi tiếng nhất trong hình học conic

~ Định lý Pascal, tôi sẽ giới thiệu trong bài luận nảy cùng với một số kết quả khác về đường

conic

Định lý đó cơ ban như sau nếu sáu điểm A,B,C, A’,B’ và C' nam trên một elip, hoặc một

Tại sao một kết quả như định lý Pascal lại áp dụng cho các loại đường conic khác nhau? Một

lý do có thé chúng ta đã biết rằng đường conic được gọi như vậy vì chúng là những hình ma

chúng ta thu được khi cắt các mặt phẳng qua một hình nón kép Cụ thé, các đường conic khôngsuy biến là các elip, parabol và hyperbol, và chúng phát sinh khi chúng ta cắt qua một hình nónkép băng một mặt phẳng không đi qua đỉnh » của hình nón đó

Điều này có một ý nghĩa thú vị đối với hình học xạ ảnh.

Cho bat kỳ hai đường conic không suy biến nao, chăng

hạn như đường tròn và parabol được hiện thị ở hình bên

co một phối cảnh có tâm tại w ánh xạ cái này lên cái kia

Suy ra hai đường conic không suy biến bat kỳ là đồng

dạng xạ ảnh, Do đó, bất kỳ kết quả nảo liên quan đến các

tính chất xạ ảnh của cộng tuyến va đồng quy đúng cho

elip, chẳng hạn, nhất thiết cũng đúng cho parabol và

hyperbol.

Một trong những đặc điểm thú vị của hình học xạ ảnh 1a

tất cả các đường conic không suy biến đều đông dang xạ ảnh Vì vậy, không có sự phân biệt

giữa hình elip, parabol và hyperbol trong hình học này, vì vậy ta chi đơn giản gọi chúng là

conic xạ ảnh.

Trong phan 1, bài luận đưa ra định nghĩa các bẻ mặt trong | * được gọi là conic xạ anh, ta thấy

rang giữa hai conic trong phẳng không suy biến bat kỳ có một phỗi cảnh, và ta lưu ý rằng tat

cả các conic xạ ánh đều đông dang xa ảnh

Trong phan 2 ta quan sát thay rằng tiếp tuyến lả một tính chat xạ ảnh Tôi giới thiệu một ký

hiệu rút gọn của Joachimsthal cho conic xạ ảnh va sử dụng nó để tìm công thức cho các tiếp

tuyến, cặp tiếp tuyến và Đường đối cực với conic xạ ảnh.

Trong phan 3, bai luận giới thiệu hai dạng tiêu chuẩn của phương trình xạ ảnh conic, và sửdụng chúng để chứng minh các định lý như Định lý Pascal.

Mục lục

1 Comic NA ảnhh «event ng ng ng ng ng g1 171119 7

BUM Corin XGianhIi0)0 2 2200202070222009202 09/0 7

Par sci) Ce 1 si ccii2icc6c21021261665160651021250021601116633666E51 12DSB SO COO sicisssssssascssssssccisosisass jimmie L41.4 Conic trong phối cảnh - s22 22222222112221112221112211117211112211112111121111 2 11 re 16

SSI NG IPASCAN GAO 5 sccscsceszsasccssssassesassasscsausacsussascesssaasassasassassesassosaisasssaassesusasscasassssansass Sl

S:4iaznp Canara 37+)? BÊ sccasssassvsssesssessssssasssssssssvsosescsesssesnssvscssnssssssssoossvsnsonasnrassnesssvesaes 55

Nhã 2

Tài liệu tham EO cccrccrcescrocseeseevesseseesesccsecseeceseececeseececeeseeccseesesecsecseeccsecscseeseescoeescsseoeeseeee Ol

1 Conic xạ ảnh

1.1 Conic xạ anh là gì?

Cho bat kỳ hình F (Euclide) nao trong mặt phẳng nhúng Z, ta có thé thu được hình xạ anh

tương ứng bằng cách vẽ tat cá các Điểm của | P? đi qua các điểm của F

Ví dụ, nếu F là đường tròn {(x, yz): vey =l,z= \

nằm trong mặt phing nhúng # với phương trình z =], thi

hình xạ ảnh tương ứng là một hình nón tròn vuông Nếu

ig AER , ¬ : Pat a : x,y 2

một Điểm [x', y',z'] cua JP? năm trên hình nón nay, thi [x

điểm nay nằm trên F , nên nó thõa ()

Nhân với (z9, và bỏ dây phẩy, ta thu được phương trình sau cho hình nón:

x+y=z? (1).

Ngược lại, giả sử rằng ta bat đầu với một hình xạ ảnh Sau đó, ta có thé biểu diễn hình xạ ảnhtrong một mặt phăng nhúng + Tắt nhiên, biểu diễn mà ta có được phụ thuộc vao mặt phăngnhúng ma ta sử dung Ví dụ: nêu hình xạ ảnh là hình nón rỗng x7 + yŸ =z’, thì biểu diễn cóthẻ bị chặn, không bị chặn hoặc thậm chí hai 'nhánh' tủy thuộc vào vi trí của Z

-1-Trong mục 1.4, tôi chi ra rằng những biểu điễn này của hình nón, trên thực tế, lần lượt là hìnhelip, parabol và hyperbol Tuy nhiên, lưu ý rằng trong trường hợp của parabol và hyperbol.bicu diễn không day đủ trừ khi chúng ta bao gồm các Điểm lý tưởng bô sung cho mặt phẳngnhúng có liên quan Parabol yêu cầu một Diém lý tưởng va hyperbol yêu cầu hai Điểm Chúngđược biểu thị bằng các đường đậm trong hình trên.

Bây giờ ta hãy tập trung vào chỉ một mặt phăng nhúng 7, và xem xét các loại hình xạ ảnhtương ứng với đường conic trong 7 Dé đơn giản hóa đại số, ta sẽ chon 7 là mặt phẳng nhúngtiêu chuẩn z =1 Ta đã giải thích cách tìm phương trình của hình xạ ảnh tương ứng với đường

tròn {œ y,z):x + y° =l,z= 1} trong 7, vì vậy bay giờ ta hãy xem xét điều gì sẽ xảy ra khi

ta tìm thay phương trình của hình xạ ảnh tương ứng với một đường conic không giới hạn, chăng

hạn như hyperbol { y,z): y 4x? =l,z= iH :

Mọi điểm [x,vz'] trên hình xạ ảnh tương ứng phải xuyên x tại điểm (= xa) trên

Như trong trường hợp của đường tròn, đây là phương trình của một họ Điềm giống như hình

nón trong | P với đỉnh ở gốc tọa độ, như được hiển thị ở trên Tuy nhiên, lưu ý rằng vi z #0, hai Điểm bị thiểu trong họ Day phải 1a các Điểm có dạng [x, y,0] thỏa mãn phương trình

yŸ =4x? «0 Vì phương trình này ngụ ý rằng y=+2x, nên các Điểm còn thiểu là [1,2,0] và

[I.—2.0].

Nhưng những Điểm này có thực sự bị bỏ qua khỏi hình xạ ảnh không? Xét cho cùng, cả haiĐiểm đều là Điểm lý tưởng cho mặt phẳng nhúng tiêu chuẩn và các hình trong mặt phẳngnhúng thường có các Điểm lý tưởng được liên kết với chúng Trong hình học xạ ảnh, ta choring các Điểm lý tướng [1,2,0] va [1,—2,0] được liên kết với hyperbol yŸ 4x? =1, và do đóhình xạ ảnh tương ứng bao gồm toàn bộ giống hình nón ho các Điểm (+, y, z} thỏa mãn phương

2

trình y°—4x”? =z’.

Bài toán I

Tìm phương trình cho hình xạ ảnh trong | P tương ứng với parabol f(x, Y,z):y=x,z= 1}

trong mặt phẳng nhúng tiêu chuẩn Những điểm lý tưởng có nên được liên kết với parabol?

Nói chung, bat kỳ conic nào trong mặt phẳng nhúng tiêu chuan đều có thẻ được biểu diễn dướidạng f(x, v,z): Ax? + Bry + Cy? + Fx + Gy + H =0,z= I

Vi mọi Điểm [x', y', z'] trên hình xa ảnh tương ứng phải xuyên qua mặt phẳng nhúng tiêu chuẩn

-9-Ax’ + Bry + Cy? + Faz + Gy z+ H:” =0,z #0.

Nếu ta loại bỏ rang buộc z #0 thi ta có thé bao gồm các Điểm lý tưởng đó (có tọa độ thuầnnhất dang [x, y,0]) cho mặt phẳng nhúng tiêu chuẩn sẽ được liên kết với mặt phăng conic.Hình xạ ảnh tương ứng (bao gồm cả các Điểm lý tưởng bô sung) được gọi là conic xa ảnh

Định nghĩa

phương trình cấp hai có dạng

Ax? + Bry + Cy? + Fe +Œyz + Hr?=0 — (2).

Ví dụ, xy+ xz + yz =0 là một conic xạ ảnh, boi vì phương trình có dạng (2) với A=C = H =0

và B=F=G=l Tuy nhiên, x? + yỶ—3y+z? =0 không phải xác định một conic xạ ảnh, bởi

vi nó bao gồm tuyến tinh của y.

Ta nói rằng Điểm P nằm trên md6t conic xạ ảnh, hoặc một

conic xạ ảnh đi qua Điểm P nếu các tọa độ thuần nhất của

P thỏa mãn phương trình của conic xạ ảnh Ví dụ, Diem

[3,4,5] nằm trên conic xạ ảnh x7 + về = zŸ, vì 3? +4? =%°

; tuy nhiên, x°+y°=z” không đi qua Điểm [1,1,1], vi

Perse.

| Dinh nghia

Một conic xạ ảnh là không suy biến nếu nó có thé được biêu diễn bởi một đường conic không

suy biến trong mặt phẳng nhúng chuan

tập hợp rong (nghĩa là 'không có Diém')

Vi du, Một conic xạ ảnh cho bởi phương trình x7 +2y? =z? =0 thì không suy biến bởi vì nó

được biểu diễn trong mặt phẳng nhúng tiêu chuẩn bằng hình elip {(x, y,z): xÌ +2yŸ =1,z =1}

Mat khác, conic xạ ảnh có phương trình 27x’ +30xy—8y? +14yz—3z? =0 là suy biến bởi vì

- 10

-27x? +30xy=8y” +l4yz—=3z? =(9x=2y+3z)(x+4y—=z) do đó, hình nón xạ ảnh cắt mặtphẳng nhúng tiêu chuan thành các đường conic suy bien bao gồm các cặp đường thang sau:

Cho E có phương trình Ax? + Bxy+CvÌ+ Fxz+Gyz+Hz? =0 (2).

Khi đó mọi Điểm năm trên £ đều có tọa độ thuần nhất [x,y,z] thỏa phương trình (2) Nếu

[x' y’,2"] là ảnh của [x, y, z] theo £, thi theo phép biến đổi ngược ta có [x, y,z]=¿ (Lx, y.z})

abe

.Theodénéu)d ef |làma trận liên kết với 7” thì

gh ik

x=ax' +by'+c2’, y= dx'+ey'+ fe c= ex thy +”,

Thay các biéu thức tương ứng cho x,y,z vào phương trình (2) ta thu được phương trình cấp

hai theo x‘, vÍ.z” Suy ra ảnh của theo ¢ là một conic xạ ảnh.

Tiếp theo, tôi chỉ ra rằng ảnh này không suy biến Một ảnh suy biến sẽ bao gồm một cặp Đường,một Đường, Điểm, hoặc tập hợp rỗng (nghĩa là "không có Điểm") Do phép biến đổi xạ ảnh

¡` ánh xạ Đường thành Đường và Điểm thành Điểm nên nó ánh xạ hình suy biến thành hìnhnón suy biến khác Nhưng điều này không xảy ra vì 7” ánh xạ hình trở lại conic xạ ảnh khôngsuy biến £, Điều đó cho thấy (E) không thé nào suy biến

-ll-1.2 Tiếp tuyến của conic xạ ảnh.

Cho E là conic xạ ảnh không suy biến bat kỳ và cho £ là một Đường trong | P? Khi đó #

là một mặt phẳng trong | * đi qua Ø, và E la một mat trong - ` bao gồm một họ các đường

"giống như hình nón" đi qua góc tọa độ O

Theo đó có ba khả năng:

£ có thé cắt E tại cặp Điểm;

£ có thé cắt E tại một Điểm đơn;

£ có thé cat E tại không Điểm

Tài c Dike Tự rà Tele Te kag The

Trong trường hợp thứ 2, £ chi"cham" E doc theo "Điểm tiếp xúc” P Điều này cho thay rằng

trong trường hợp như vậy, chúng ta xác định £ là tiếp tuyến của E tại P

| Dinh nghia

Cho E là hình conic xa anh không suy biến Khi đó một Đường £ là một tiếp tuyên của E tại

P nếu £ cắt E tại một Điểm P, và không còn Điểm khác.

Chúng ta có thé định nghĩa Điểm năm bên trong hay bên ngoài conic xạ ảnh

| Dinh nghia

Cho E là một conic xạ anh không suy biến Một điểm Q nằm bên trong E nếu moi Đường

qua Q cat E tại hai Điểm phân biệt, Một Điểm # nằm ngoải E nếu có một Đường qua R

không cắt E

Tưởng ge Q

oh E

Định lý sau đây cho thấy ring tiếp tuyén’ va 'nằm bên trong hoặc bên ngoải một hình nón xạ

ảnh' là các tính chất xạ ảnh

Định lý 2

Gia sử £ là một phép biến đôi xạ ảnh, và cho Đường £ lả một tiếp tuyến của conic xạ ảnh

không suy biến E tại điểm P Khi đó £(£) là một tiếp tuyển của /(E) tại z(P) Ngoài ra, Nếu

Q là một điểm bên trong E, thì (Q) nằm bên trong /(E); và neu # là Điểm nằm ngoài E,

Chứng mình

Theo định nghĩa của tiếp tuyến, là Điểm chung duy nhất của £ và £ Vì r là ánh xạ một một của | P? lên chính nó nên z(P) là Điểm chung duy nhất của (£) và 4 E) Nói cách khác,i) là tiếp tuyến của /(E) tại r(P)

-Ngoai ra, nếu Ø nằm bên trong E, thi mọi Đường thăng £' qua /(Ø) phải gặp f(E) tại haiĐiểm phân biệt, nếu không thì Đường thăng r'(/') qua Q sẽ không gặp E tại hai Điểm phânbiệt Suy ra /(Ø) nằm bên trong 1(E)

Một lần nữa, nếu / nằm bên ngoài E, thì có một Đường thing £ qua R không cắt E Suy ra1(6) là một Đường thing qua t(R) không cắt í(E), va do đó 1(R) nằm bên ngoài /(E)

-13-liệp tuyên của

Hình trên minh hoa rằng trong một mặt phẳng nhúng các tiếp tuyến với đường conic xạ ảnhtương ứng với các tiếp tuyên với conic trong phẳng và ngược lại, và vì vậy hai khái niệm vẻtiếp tuyển 1a nhất quan

Hơn nữa, vì một phép biến đổi xạ ảnh báo toản tính chất là một tiếp tuyến, nên theo đó chúng

ta có thé sử dụng hình học xạ ảnh đề giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến với conic

trong phăng Bạn sẽ gặp một so vi dụ vẻ điều này sau, nhưng trước tiên chúng ta phải chỉ ra

rằng tat cả các conic xạ ảnh không suy biến đều là đồng dang xạ ảnh

1.3 Một số sơ bộ

Trong chứng minh rằng tat cả các đường conic xạ ảnh không suy biến đều đồng dang xa anh,chúng ta can một số dữ kiện liên quan đến đường conic trong phẳng Dé tập trung vào các ýchính trong chứng minh, bây giờ chúng ta giải quyết các dữ kiện này

Đầu tiên, trong chứng minh của ta, ta sẽ cần tính tâm sai của các đường conic đối xứng quatrục w trong mặt phẳng (u,v) và có tiêu điểm nằm trên trục v Chúng tôi làm điều này bằng

-14-Nếu E có tiêu điểm trên trục w, thì tâm sai e của £ được cho bởi công thức e* =1-C.

F > : §_— ss 5 » 1, - 2 L1 „

Vi dụ, tâm sai e của clip với phương trình ứˆ +v =?vy+4=0 Ta có cˆ “Í- Vì vậy

2

Chứng minh

Đầu tiên giả sử rằng E là một đường tròn Thì € =1, và theo quy ước thi

c=0, vì vậy e° =1-C théa mãn.

Tiếp theo gia sử E không là một đường tròn Vi phương trình của E không

có số hạng nào liên quan đến œ hoặc uv, nên E đối xứng qua trục #' Ngoài

ra, vì E có tiêu điểm F nằm trên trục y, suy ra, theo tính đối xứng đường

chuẩn tương ứng với F thì vuông góc với trục w Do đó Ƒ có tọa độ (0,r)

với r là số thực, và đường chuân có phương trình v= s, với s là số thực.

Cho P(u,v) là một điểm tùy ý thuộc conic, và PQ là đường thang vuông góc hạ từ P đến trục

wr, Khi đó, theo định lý Pythagoras, ta có PF? = FQ’ +QP” =(v—r)) +0’.

Bây giờ cho PD là đường vuông góc hạ từ đến đường chuân Khi đó, theo tinh chất tiêuđiểm - đường chuẩn, ta có PF =e-PD=e-lv—sl, vì thể e(v—s) = PE? =(u-ry +u?

Khai triển dau ngoặc và thu gọn các số hạng, ta được

w +(I=e)v? -2(r-es)v+r° -e*y! =0,

So sánh với phương trình của E trong phát biểu định lý, ta thay rằng C =1-e*, và vì thé

*

e =1-C.

Trong công việc của chúng ta trong phan phụ sau đây, chúng ta cũng sẽ can hiểu biết về môiquan hệ giữa các đường conic có cùng tâm sai Vì vậy, trước tiên, hãy quan sát rằng tất cả cácđường conic không suy biến với khoảng cách d cho trước là khoảng cách giữa tiêu điểm vađường chuẩn, và tâm sai e cho trước, đều đồng dạng Euclide với nhau Điều này có nghĩa là

= I$

kích thước và hình dang của một conic không suy biến hoàn toan được xác định bởi các số e

1.4 Conic trong phối cảnh

Bây giờ ta đi chứng minh rằng, với hai conic phẳng bat ky luôn tồn tại một phối cảnh giữachúng Thật vậy, ta có thê vẽ một hình nón sao cho mỗi conic trong phăng đã cho xuất hiệndưới dang giao tuyến của hình nón với một mặt phẳng phù hợp Theo 46, có một phép biến đỏi

xạ ảnh ánh xạ bat kỳ conic xạ ảnh đã cho nào lên bat kỳ conic xạ ảnh nào khác, vi vậy tinh chất

"là một conic’ là một tinh chat xạ ảnh Điều này cho phép ta chứng minh những kết quả khá bắtngờ về đường conic trong phẳng

Conic trong phẳng

- l6

-Trước đó, ta đã khẳng định rằng ta có thé xây dựng tắt cả các đường conic bằng cách lay cácphan mặt phang khác nhau thông qua các hình nón kép Bay giờ chúng ta biện minh cho tuyên

bo đó và mô tả sự liên quan của nó với hình học xạ ảnh

Đầu tiên, ta tạo ra một hình nón tròn vuông rỗng bằng cách

lay một đường thing đi qua gốc tọa độ trong ˆ ” ở một góc

¢ nao đó so với mặt phẳng (x, y) và xoay đường thang đó

quanh trục z Chúng tôi gọi đường thang là đường sinh của

hình nón.

Tiếp theo, chúng ta cắt hình nón bằng các mặt phăng (không

có mặt phẳng nào đi qua gốc tọa độ) ở các góc khác nhau và

thực hiện các quan sát sau được mình họa bên dưới:

(a) Khi mặt phang nằm ngang, thiết diện là một đường tròn,

(b) Khi mặt phẳng nghiêng, giao tuyến của nó với hình nón trông giống như một hình elip,

(c) Khi mặt phang trở nên song song với một trong các đường sinh của hình nón, giao tuyếncủa nó trông giéng như một parabola,

(d) Khi mặt phăng nghiêng hơn nữa, nó gặp cả hai phan của hình nón và đường cong giao nhautrông giống như một hypebol,

(e) Khi mặt phang thăng đứng, chúng ta thu được hypebol béo nhất có thé có được từ hình nónnày Các tiệm cận của hyperbola nảy song song với một cặp đường trên hình nón đi qua gốc

-17-Vì đường sinh của hình nón đi qua góc phan tư thứ nhất của mặt phẳng (y,z) có hệ số góc

tang, nên đường sinh có phương trình ((x,y,z):z=tanø-y,x=0}, hoặc

ke w.Z):y= ; = ry x= 0) Xoay đường sinh này quanh trục z sẽ cho được toàn bộ hình nón,

an

2

do có có phương trình x? +y?=—— (3phương yoo 8)

Phương trình nay mô tả ca phan trên và phan dưới của hình nón.

Tiếp theo, cho z là mặt phẳng chúng ta quan tâm và cất hình nón, và cho Ø là góc giữa mặt

phẳng (x, y) và + Dé thuận tiện chúng ta sẽ giả sử các trục x y đã được chọn sao cho 7 cắtmặt phẳng (+, y) theo một đường thing song song với trục x Sau đó chúng ta sẽ quay mặt

phẳng (x, y) quanh trục x một góc Ø, thi nó sẽ song song với Z.

Việc xoay này di chuyên các trục x, y,z sang vị trí

mới, ma chúng ta gọi là các trục x’, y',z” Nếu một

điểm trong ˆ ” có tọa độ (x, y,z) và (x”, y%z") đối

với hai bộ trục này, thì mỗi liên hệ giữa các tọa độ

được cho bởi phương trình ma trận

-18-Lưu ý rằng ở đây các cột của ma trận 3x3 cúa phép quay

bao gồm các tọa độ (đối với các true x,y,z ban đầu) của các

điểm đơn vị tương ứng với mỗi trục +, v',z“ (như hình)

Tiếp theo chúng ta tịnh tiến mặt phẳng (x', y} theo khoảng

cách đ song song với trục z' cho đến khi nó trùng với mặt

phẳng Z Phép tịnh tiến này chuyên các trục x’ y",2" đến vị

trí mới mà ta gọi lả các trục ,1U,1.

Nếu cho một điểm trong ˆ' * có tọa độ (x', y's 2") và (,v,w) đối với hai hệ trục nảy thì các tọa

độ có quan hệ với nhau bởi

x u 0

y=} v i410] (5)

z wi \d

Tom lai, từ phương trình (4) và (5) ta có nêu một điểm có tọa độ (+, y,z) với hệ trục (x, y, 2)

vả tọa độ (,w,w) với hệ trục wyow thì

=|0 cosở —sinØ || w +| -dsing

0 sin@ cosở j| w dcos@

Bây giờ, với mỗi điểm trên đường cong noi ma 7 cắt hình non, chúng ta có w=0 Vì vậy tại

những điểm này,

x ] 0 0 tt 0 y|=|0 cosØ =sin0 || v +' =đsinØ|.

-19-Vì các giao điểm nay năm trên hình nón, nên tọa độ (x, y,z) của chúng phải thỏa mãn phương

trình của mặt nón cho ở (3) Do đó, nếu chúng ta thế x, y,z từ phương trình (6) vào phương

(vrsin Ø + đ cos Ø)?

trình (3) ta được u? +(wcosØ— đsin Ø) = :

tan" ở

Sau khi thu gọn lại các số hạng, ta được phương trình có đạng w+Cv+Gv+H=0 (7)

Trong đó C,G,H là các biểu thức liên quan Ø và ở Đặt biệt,

C=co?ø_S ề =cos? oft aon 2) (8)

tan” 6 tan” ở

Vì phương trình (7) là phương trình cấp hai theo và w nên đường cong giao tuyến chắc chắn

là một đường conic trong phẳng Hơn nữa, conic rõ ràng là không suy biến với tiêu điểm nằm

trên trục Nhưng đó lả loại conic nao?

Đầu tiên, giả sử rằng Ø < ở, khi đó # ít dốc hơn so với các đường sinh của hình nón Sau đó,

từ phương trình (8) suy ra C >0 Do đó, nêu chúng ta áp dụng kiểm tra 8 -44C” cho phươngtrình (7), chúng ta thay răng B—4ACŒ =-4-1-C <0, và do đó giao tuyến của đường cong là

Khi Ø tăng từ 0 lên ó, e tăng từ 0 lên 1 (Khi @ tăng lên thi elip trở nên dai hơn va mỏng

hon) Do đó, bằng cách nghiêng 7 qua một góc thích hợp Ø trong nửa khoảng [0,¢) , ta có thểthu được hình elip với bat kỳ độ lệch tâm mong muốn nao trong khoảng từ 0 đến | Nếu tasau đó đi chuyển # song song với chính nó, góc Ø vẫn giữ nguyên va đo đó độ lệch tâm củahình elip vẫn giữ nguyên, nhưng kích thước của hình elip có thé được điều chỉnh bằng bat ky

hệ số giãn mong muốn nào

Theo đó, ta có thê thu được các hình elip với tất cả các độ lệch tâm và kích thước có thẻ bằngcách chọn mặt phẳng cắt nó ở một góc thích hợp và ở khoảng cách thích hợp so với gốc tọa độ

Tiếp theo, gia sử rằng Ø= ổ, do đó 7 song song với một

đường sinh của hình nón Sau đó từ phương trình (8) suy

ra C=0 Do đó, nếu chúng ta áp dụng 'kiểm tra

B~4AC" cho phương trình (7), chúng ta thấy rằng

B`—4AC =-4-I-C=(, và như vậy đường cong giao

nhau là một parabola,

Khi mặt phang di chuyên ra xa gốc tọa độ, kích thước của

parabol tăng lên Theo đó, ta có thé thu được các parabol

với mọi kích thước có thê bằng cách chọn mặt phẳng giao

nhau cách gốc tọa độ một khoảng thích hợp

Cuỗi cùng, giả sử rằng Ø > ó, đo đó x dốc hơn các đường

sinh của hình nón Sau đó, từ phương trình (8) suy ra C <0

Do đó, nếu chúng ta áp dụng 'kiểm tra B* -—4AC' cho

Khi Ø tăng từ ¢ lên > e tăng từ 1 lên ae tyiplöMẽ

Đặc biệt, đối với mỗi giá trị Ø đã cho, tâm sai của các

hyperbol thu được từ tất cả các mặt phẳng có hệ số góc đó

là bang nhau Và khi mặt phẳng di chuyền ra xa góc tọa độ,

kích thước của các hyperbol tăng lên.

Như vậy, bằng cách nghiêng mặt phẳng giao tuyến qua một góc thích hợp Ø trong đoạn |s:|

sing

, chúng ta có thé thu được một hypebol với tâm sai bat kỳ trong khoảng Ệ | , và bằng

cách di chuyển mặt phăng song song với chính nó, chúng ta có thé điều chỉnh kích thước củahyperbola theo bất kỳ hệ số mong muốn nào Nhưng làm thé nào chúng ta có thé có được một

1,

hyperbola với tâm sai lớn hơn ——?

sing

Vang, lưu ý rằng các tiệm cận của mỗi hyperbola song song với hai giao tuyến của hình nón

với một mặt phẳng qua gốc song song với mặt phẳng giao nhau Theo đó, góc giữa các đường

tiệm cận của hyperbola có thể là bất kỳ góc nào từ 0 đến góc giữa các đường giao nhau củahình nón với mặt phẳng thăng đứng qua gốc tọa độ Nói cách khác, chúng không thể cách xa

nhau hơn hai đường sinh đổi điện của hình nón Vì vậy, không phải mọi hyperbola đều cỏ thé

được tim thấy trong mọi hình nón! Do đó, để có được bat kỳ hyperbola đã cho nao đưới dạngmột đường cong giao nhau của một mặt phăng với một hình nón, chúng ta cần chọn một hình

nón ‘du béo' (nghĩa là hình nón có góc ¢ đủ nhỏ).

Điều này hoàn thành việc chứng của định lý sau đây.

của một hình nón phù hợp với một mặt phang phù hợp

Bây giờ chúng ta có thé sử dụng định lý nay để minh họa rằng có một phối cảnh giữa hai đườngconic phẳng không suy biến bất kỳ

Đầu tiên, tôi minh họa tại sao có một phối cảnh giữa hai hình clip E, và E, bat ky Chọn mothình nón tròn phăng bat kỳ có đình ở gốc tọa độ Ø Sau đó, từ các chỉ tiết trong chứng minhcủa Định lý 4, ta có hai mặt phẳng z, và z, có giao tuyến với hình nón là E, và E, Phối cảnhđược yêu cầu chi đơn giản là ánh xạ điểm-điểm của E, lên E, dọc theo các đường sinh của

hình nón.

Tương tự, có một phối cảnh giữa bat kỳ hình elip £, va bất kỳ parabol E, Vì, cho bất kỳ hìnhnón tròn phang có đình ở gốc tọa độ O, theo các giải thích trước đó rằng có hai mặt phẳng n,

va Z, các đường cong của chúng giao với hình nón là E, va Ey.

Theo cách tương tự, có một phối cảnh giữa bat kỳ hình elip E, và bat kỳ hyperbola £, Mộtlan nữa, phối cảnh ánh xạ từng cặp đường cong điểm-điểm doc theo các đường sinh của hìnhnón nhưng lần này chúng ta can chọn một hình nón đủ mập ở vị trí đầu, sao cho một số mặtphẳng cắt hình nón trong hyperbola E,

Nói chung, có một phối cảnh ánh xa bat ky conic phẳng không suy biến đã cho nào lên bat kỳconic phang không suy biến cho trước nào khác, Nó có thé được nhận ra như một ánh xạ diém-

- 23«

điểm đọc theo các đường sinh cia một hình nón đủ to dé tạo ra ca hai hình nón đưới dạng cácphần xuyên qua hình nón.

Tiếp theo, gidng như có một phối cảnh giữa bat kỳ hai đường conic phẳng không suy biến nao,

có một phép biến đôi xạ ảnh ảnh xạ bat kỳ conic xạ ảnh không suy biển nao lên bat kỳ conic

xạ ảnh không suy biến nào khác

Sự tương ứng giữa các đường conic phang trong một mặt phẳng nhúng và đường conic xạ ảnh

trong | PÊ cho phép chúng ta so khớp các định ly Euclide về đường conic trong phăng với cácđịnh lý xạ ảnh về đưởng conic xạ ảnh Với điều kiện là các định lý chí liên quan đến các tínhchat xạ ảnh, thì một định lý Euclide sẽ đúng khi và chỉ khi định lý xạ ảnh tương ứng đúng

Sau này chúng ta sẽ gặp một loạt các ứng dụng của sự đồng dang xạ ảnh của tat ca các đườngconic xa ảnh không suy biến Tuy nhiên, chúng tôi kết thúc phần này với kết quả nôi bật sauday, dé cung cấp cho bạn 'ném thir những điều sắp tới!

Định lý 6 Định lý ba tiếp tuyên

trong ? lần lượt tại các điểm P,Ø,R Khi đó AP, BỘ va CR đồng quy.

Các hình sau minh họa Định lý ba tiếp tuyến cho một hình elip vả một parabol.

4

Chứng minh Định lý liên quan đến đường conic không suy

biến, các tiếp tuyến của nó và các đường đồng quy Vì tat ca

các tính chat này đều là tính chất xạ ảnh nên chi can chứng

minh kết quả cho bat kỳ conic trong phẳng không suy biến lả

đủ Do đó, dé đơn giản, ta coi conic phăng là một đường tròn

Vi theo tính chất đối xứng, hai tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến

một đường tròn có độ dài bằng nhau nên AQ=AR, R Q

BP= BR và CP = CQ do đó đặc biệt,

AR BP CỌ

RB PC QA ` B P C

Băng cách áp dụng điều ngược lại của Định lý Ceva cho

phương trình này, suy ra các đường thăng AP, BQ va CR đồng quy

2 Tiếp tuyến

Nhiều kết quả về conic phẳng va conic xạ anh liên quan đến các tinh chất của tiếp tuyến và cựccủa chúng Trong phan này, chúng tôi giới thiệu một ký hiệu do Joachimsthal có thẻ được sửdụng dé viết ra phương trình của các tiếp tuyên và cực như vậy

Ferdinand Joachimsthal (1818-1861) là một nhà hình học nỗi tiếng người Đức, nôi tiếng vớilỗi trình bày chín chắn vả trau chuốt

2.1 Tiếp tuyến với conic phẳng

Cho P là một điểm trên conic phăng không suy

biển E, và gọi £ là tiếp tuyến tại P cua E Tiếp

theo, gọi P’ la một điểm gần với P trên E, va

gọi £ là đường thăng đi qua P và P’ Nếu

chúng ta để P' tiệm cận P dọc theo đường cong

E, thì hướng của đường thăng ' tiệm cận với

hướng của tiếp tuyến £ Chúng ta có thé diễn

đạt điều này khá long léo như sau: 'hướng của tiếp tuyến là hướng giới hạn của các đây cung'

Chúng ta bắt dau bằng cách nhắc lại rằng một conic trong phang không suy biến có phương

trình dạng Ax? + Bry + Cy? + Fx+Gy +H =0.

= 25.

Nếu chúng ta ký hiệu biểu thức ở vẻ trải của phương trình nay bằng ký hiệu s, thì phương trìnhcủa đường conic có thé được viết rat đơn gián là s=0.

Cách tiếp cận của Joachimsthal là nghiên cứu các phương trình tiếp tuyên và đối cực của đườngconic bằng cách gắn các chỉ số đưởi vào ký higu s một cách có hệ thống Ví dụ, dé kiểm traxem một điểm PB.=Œx.y,) cô nằm trên đường cénic hay không, can phải thay thé các biến x

và y trong s lần lượt là x, va y, Điều này mang lại một số ma chúng tôi biểu thị bang kyhiệu s„; nói cách khác, s,, = Ax? + Bx,y, +CvỶ + Fx, +Gy, +H

Nếu s,, =0, thì chủng ta kết luận rằng nằm trên đường conic và nếu s„ #0, thì PB không

nằm trên đường conic

Tương tự điểm P=(xy,) nằm trên conic nếu và chỉ nếu số

Sy, = ÁA2 + Bx,y, + Cy; + Fx, +Gy,+H có kết quả bằng 0

Ký hiệu của Joachimsthal cũng có thê được sử dụng dé thu được một loại số ‘trung binh' khichúng ta 'trộn' các chỉ số dưới ] va 2 dé xác định một số 5,, được liên kết với hai điểm đã cho

Cho đến nay, chúng tôi đã gắn các chỉ số kép vao ký hiệu s và điều này luôn tạo ra một con

số Tuy nhiên, lưu ý rằng nếu chúng ta loại bỏ chi số thứ hai trong định nghĩa của Sy» thì biểuthức kết qua là một biéu thức tuyến tinh theo x và y, được xác định bởi

đặt một biéu thức tuyến tính trong x va v bằng 0 Hóa ra là đường được xác định bởi $ =0đóng một vai trò đặc biệt quan trọng trong cuộc ban luận của chúng ta vẻ các tiếp tuyến.

Chúng tôi có thé đưa ra một ban tóm tat chung về ký hiệu của Joachimsthal, trong đó chúng tôi

sử dung các ky hiệu i va j dé thay thé cho các chỉ số phụ tủy ý, mỗi chỉ số này có thẻ nhận

các giá trị 1, 2 hoặc 3, như sau.

Kí hiệu của Joachimsthal cho conic phẳng

Cho conic phẳng có phương trình s=0, trong đó s= Ax? + Bry + Cy? + Ft Gy +H ,

trong đó ¿ và j mỗi cái có thé nhận các giá trị 1,2 hoặc 3

Ví dụ 1 Xác định s,,.s,,.5,, và s, cho hypebol với phương trình 3x” =2xy= y? +5x= y=4=0

tại các điềm P =(3,2) và P, =(—-5.—2) Từ đó xác định xem # hoặc P, nằm trên hypcbol

Loi giai

Phương trình của conic có thé được viết bằng ki hiệu của Joachimsthal là s =0, trong đó

s=3x°—2ry= yy? +5x-y-4.

Vi chúng ta có x, =3, y, =2,x, =—5 và y, =—2 chúng ta suy ra được

5,, =3:3?—2-3-2—2°+5-3—-2—4=20,

Sy, =3-(—5)? ~2-(—5)-(—2)—(—2) +5- (—5)—2-(—2)—4= 24

đó một đường thăng £ cho trước gặp s=0.

Nhớ lại ring mọi điểm P trên đường thing £ di qua hai điểm PB =(x,,9,) và P,=(4,,y;)chia đoạn PP, theo ty số &:1, với một số thực & nào đó, và do đó có tọa độ có thé được viết

dưới dịp rung)

k+l k+1

(x, Vị)

Suy ra đường thăng qua h và P, gặp conic có phương trình

(s =)Ax? + Bry + Cy* + Fx+Gy +H =0

tại điểm mà chia hP, theo tỷ số k:1, trong đó

2") +e(SeAÌ[S: T3 )„c( S3) +f[S:*®)+a[ M4) =0

k+l k+1 k+1 k+l k+l k+l

-Ö 285 «

Nếu chúng ta nhân cả hai về của phương trình này với (k +1)? va thu gọn các hệ sé của các số

hạng liên quan đến k*, k và các số hạng không phụ thuộc vào &, thì hóa ra là chúng ta có théviết lại phương trình này theo ký hiệu của Joachimsthal một cách kỳ diệu đơn giản

sk? +2s,k+s,, =0

Phương trình này xuất hiện thường xuyên trong công việc của chúng ta đến mức chúng ta đặt

cho nó một cái tên đặc biệt, Phương trình tiếp tuyến của Joachimsthal.

Vi Phương trình tiếp tuyến của Joachimsthal la một phương trình bậc hai theo k , nên đườngthăng đi qua PB và P, cắt đường cônic tại hai điểm phân biệt, tại một điểm lặp lạt hoặc khôngđiểm nào tùy thuộc vào việc phương trình bậc hai có hai nghiệm thực phân biệt, một nghiệm

thực lặp lại hay không có nghiệm thực, tương ứng.

h›

s=0 s=0

Py Py Py

Có hài oghiém thie Có một sehiệm thy Khiỏoe có aghiém thar

Ví dụ 2 Xác định các tỷ lệ với hypebol có phương trình 3x” =2xy= y* +5x—-y-4=0

chia đoạn thang từ P =(3.2) đến P, =(-5,—2).

Lời giải

Đầu tiên hãy quan sát răng hyperbola và các điểm h va P, giống như các điểm được sử dụngtrong Vi dụ 1, vì vậy chúng ta có thé sử dụng các giá trị s,, =20, s,, =24 và s,, =-34 đượctính trước đó Theo đó, chúng ta có thê viết lại Phương trình tiếp tuyến của Joachimsthal trong

trường hợp này dưới dạng 24k? —68k +20 = 0.

Suy ra k= ; hoặc k= 2 Vi thể, hypebol chia đoạn PP, tại hai điểm phân biệt theo tỷ số =: 1 LU

3

t

va 21 hay 1:3 va 5:2.