Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn - GALOA

Vi dụ: trên mat phẳng hữu hạn thì số điểm của một đường thẳng, số đường thẳng trong mặt phẳng, số tam giác, số hình bình hành, số đường côntc,... của mat phẳng xạ ảnh hữu hạn Chương III

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

CHUYÊN NGÀNH HÌNH HỌC

HỮU HẠN - GALOA

GVHD : PGS-TS Nguyễn Mộng Hy

SVTH : Duong Minh Thành Lớp : Toán4C

THU-VIEN 'Trưởng

Bul tu: Su Bho,

FEE Cont meee ˆ

Niên khoá : 1998 - 2002

Lời nói đầu

Do yêu cầu của sự phát triển khoa hoc ky thuật, cùng uới một số ngành

toán học khác, môn hình học hữu han ra đời va phát triển mạnh mé trong

khoảng những thập niên gắn đây va ngày càng được nhiều nhà toán học trên

thế giới quan tâm nghiên cứu Khác biệt cơ bản với các thử hình học mà ta đã biết, hình học hữu hạn được xây dựng trên các tập hợp hữu han Vi dụ: trên mat phẳng hữu hạn thì số điểm của một đường thẳng, số đường thẳng trong

mặt phẳng, số tam giác, số hình bình hành, số đường côntc, déu là những

tập hợp hữu hạn Từ viée xây dựng hình học trên các trường hữu hạn, người ta

tiếp tục tìm những con đường xây dựng hình học trên các tập hợp hữu hạn

khác

Tuy nhiên, do mới ra đời va phát triển trong những năm gắn đáy va các

công cụ dùng để nghiên cứu hình hoc hữu hạn uẫn còn rất hạn chế nên nhiễu

uấn dé của hình học hữu han uẫn chưa được giải quyết triệt để Do đó, nội

dung khóa luận này cũng chỉ nhằm mục đích giới thiệu một số kết quả nghiên cứu bước đầu trong uiệc xây dựng hình học xạ ảnh hữu hạn.

Với mong muốn tìm hiểu thêm vé toán học hiện dai, cụ thể là các uấn dé vé

hình học hữu hạn, từ đó củng cố thêm các kiến thức có liên quan như hình học

xạ ảnh, đại số Galoa, Vì vậy, tôi chọn dé tài : Mat phẳng xạ ảnh hữu

hạn Galoa Nội dung khoá luận này gồm 4 chương:

Chương 1; ˆ Những khiến thúc cần thiết uê trường Ga loa va không gian vecto

trên trường Galoa để xây dựng hình học hữu han

Chương Il : Mat phẳng xạ ảnh hữu hạn _ giới thiệu mặt phẳng Fano, hệ tiên

dé, một số tính chất, của mat phẳng xạ ảnh hữu hạn

Chương III : Mat phẳng xạ ảnh Galoa _ dé cập cách xây dung mặt phẳng xa

ảnh Galoa vd một số khái niệm liên quan Chương IV : Không gian xạ ảnh hữu hạn _ được xây dựng trên trường Galoa

tương tự như không gian xạ ảnh trên trường số thực

Do bước đấu làm quen uới vite nghiên cứu khoa học cộng với kiến thức còn

hạn hẹp, chưa đủ để tiếp cận uấn đề mới nên khóa luận của em không tránh

khỏi những chổ hạn chế va sai sót, em kính mong nhận được sự chi bảo va góp

ý của quý thầy cô

Em xin bày té lòng biết ơn chân thành tới thay Nguyễn Mộng Hy đã

dành nhiều thời gian hướng dẫn, chi bảo; cùng quý thay cô trong khoa đã tạo

điều kiện cho em hoàn thành khóa luận này

Tp Hồ Chí Minh, tháng 5 nam 2002

§1 Trường Galoa

1.1 Định nghĩa

Trường là vành giao hoán, có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và

các phan tử khác 6 đều có phan tử nghịch đảo.

Như vậy, trên một trường F có 2 phép toán cộng (+) và nhân ( x ) sao cho:

* (F,+) - nhóm Abel

* (F\(9)),x) - nhóm Abel

© XxY +Z)=XxY+XxZ,(X+Y)x2z=XxZ+ÿyxZ, VX,Y,Z€F

Trường hữu hạn là trường có số phần tử hữu hạn, hay còn gọi là

trường Galoa, kí hiệu là GF(q), trong đó : q là số phần tử, hay còn gọi là

cấp của trường Galoa.

1.2 Tinh chất của trường Galoa

(i) — Số phan tử của trường Galoa GF(q) là ly thừa của một số nguyên

tố:

r

q=p

Trong đó, p là số nguyên tố, r là số tự nhiên khác 0.

© Số nguyên tố p được gọi là đặc số của trường, ta có tính chất sau:

X†+x+ +x=Ð8 , Vx e GF(p')

p lin

e Nếu p=2 thì ta có trường Galoa đặc số chẩn

e Nếu p #2 thì ta có trường Galoa đặc số lẻ

(ii) Nếu 2 trường Galoa F, và F; mà q =ÌF; Ì=| FzÌ= p' thì 2 trường đó

đẳng cấu với nhau và đẳng cấu với trường phân rã của đa thức x" — x

(viii) Giả sử m, n là các số nguyên, m, n > 1 Gọi E, F là các trường Galoa

thỏa man; |E| =m và |F| =n Ta có :

FcE = min (ix) Trường Galoa GF(q) với q = pí xem như là một mở rộng đơn của

trường Z„ - trường các lớp déng dư các số nguyên mod p với phép

cộng với phép nhân thông thường.

p(xy) = @(x) py)

Do đó, là một tự đẳng cấu trên trường Galoa F.

e Nếu F=GF(p) thì ọ là ánh xa đổng nhất và là tự đẳng cấu duy

nhất của trường E.

e Nếu F=GF(p) (r>1) thì nhóm các tự đẳng cấu của trường F

là nhóm xyclic cấp r với phan tử sinh là ọ

1.3 Vidu

© Tập hợp Z„ gồm các lớp đồng dư các số nguyên mod p.

nhân cho bởi 2 bảng sau.

thì (F, +, x) lập thành một trường Galoa gồm có 3 phần tử.

s Xét trường Galoa GF(4) = GF(2’) Ta gọi ap, a), a2, a3 là các phan tử

của trường Trong đó :

ao là phần tử trung hòa của phép cộng

a, là phần tử đơn vị của phép nhân

dùng chỉ số 0, 1, 2, 3 thay cho các phần tử ao, a), a;, a3, ta mô tả phép

toán cộng và nhân của trường bằng hai bảng sau

Chú ý : Ta cũng có thể coi GF(4) = Z¿ (a) = {a + ba, với a, b € Z>}

trong đó œ là nghiệm của da thức : Tx? + Tx + T bất khả quy trên Z,, nghĩa là Ta’ + Tœ + 1 = Õ.

Lúc đó : GF (4) = (ao, a;, a2, a3) =(0,T, Tœ, T+ Tơ]

§2 Không gian vectơ trên trường Galoa

2.1 Định nghĩa

Cho một tập hợp V không rỗng, các phần tử của nó gọi là các vectz

_Ắ —_— O — ——

và ký hiệu là a, b, x, y Giả sử cho hai phép toán sau :

(i) Phép cộng hai vectơ :

Nghĩa là : : ứng với mỗi cặp vectơ có thứ ứ tự a, b € V có mot vectd

xác định ceV soi la tổng của vectd a và vectơ b Ký hiệu ;

Tập hợp V cùng với hai phép toán trên gọi là không gian vectơ trên

trường Galoa nếu 8 tiên dé sau đây được thỏa mãn :

Vị Phép cộng có tính chất kết ết hợp:_

(a+b)+c=a+(b+€c); Va,b,ceV

Vạ TổỔn tại vectơ 0 sao cho:

(a+0)=0+a=a " Va eV

Vectơ 0 được gọi là vectơ không.

Vị Với mọi vectơ a déu tổn tại vectd a' sao cho :

Như vậy, (V, +) là một nhóm Abel.

Vs Phép nhân có tính chất phân phối đối với phép cộng của trường

trong đó | là phần tử đơn vị của trường GF(q).

Ung với một trường Galoa GF(q), ta có một không gian vectơ trên

(8i, 8¿, Ay) + (Đị, ba, , bg) = (a; + by, a2 + bạ, , a, + Dy)

A (ât sâm ‹c¡ Mig) = (AB), Ââ+ eo Ada) 4 VA © GF(q)

Với phép công và phép nhân trong trường GF(q), lập thành một không

gian vectơ trên trường GF(q) Chú ý ở đây là q, n cố định cho trước.

s Mô hình 3

Tập hợp các đa thức với hệ số trên trường GF(q) với phép cộng và

phép nhân đa thức với một phan tử của trường GF(q) được hiểu theo nghĩa

cộng và nhân các hệ số trong trường GF(q) lập thành một không gian

vectơ trên trường GF(q).

Như vay, không gian vecto trên trường Galoa được xây đựng tương tự như không gian vectơ trên trường số thực Do đó một số khái niệm như sự độc

lập tuyến tính của một hệ vectơ và các khái niệm có liên quan như cơ sở

của một không gian vectơ, số chiểu của không gian vectơ đó, tọa độ của

một vectơ đối với một cơ sở, cũng được xây dung tương tư như đối với

không gian vectơ trên trường số thực.

a, Hai điểm phân biệt bất kì thuộc một đường thẳng duy nhất

b Hai đường thẳng phân biệt bất kỳ có một điểm chung

c Có 4 điểm trong đó bất cứ 3 điểm nào cũng không thuộc một

đường thẳng

Như chúng ta đã biết, người ta đã xây dựng nên một số mô hình cụ

thể của mặt phẳng xạ ảnh thỏa mãn hệ tiên để liên thuộc trên như mô hìnhvéc tơ, mô hình bó, mô hình số thực, Trước nữa sau thế kỷ 19, việc xây

dung các mô hình của các thứ hình học chỉ dừng lại ở những mô hình vô

hạn, chủ yếu là xây dựng trên trường số thực hoặc số phức là những trường

số vô hạn liên tục Đến năm 1892 nhà toán học người Ý Fano đã tìm ra

mặt phẳng gồm có 7 điểm va 7 đường thẳng thỏa mãn 3 tiên để liên thuộc

trên

Để mô tả mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn Fano dùng mô hình sau đây :

Lấy một hình vuông gồm có 7x7 ô vuông (hình 2.1a) Gọi các cột

của hình vuông là các điểm P;, P;, P¿, P; và các hàng của hình vuông

thì ta nói rằng điểm P, và đường thang |, không thuộc nhau Trên mat phẳng này mỗi đường thẳng đều có 3 điểm và mỗi điểm đều có 3 dườngthẳng đi qua

Qua mô hình này ta thấy rằng các điểm và các đường thẳng trongmặt phẳng Fano nghiệm đúng 3 tiên để liên thuộc đã nêu trên

Ví dụ :

Đường thẳng |, đi qua 3 điểm P, , P,, P; và qua điểm P; ta có 3

đường thẳng |, , ly, Is đi qua Bất cứ hai điểm nào cũng thuộc một đường

thẳng duy nhất và hai đường thẳng nào cũng có điểm chung duy nhất;chẳng hạn: hai điểm P, và P; thuộc một đường thẳng |, duy nhất hai

đường thangl, và |; thuộc điểm P; duy nhất

Xét tứ giác P;P;PsP„ trong đó bất cứ 3 điểm nào của nó cũng không thuộc một đường thẳng (hình 2.1b và 2.Ic ) Qua 4 điểm này ta có 6 đường

thẳng Li, Is, ly, by lạ, ly Bây giờ nếu ta dùng các điểm và các đường thẳng

thông thường để biểu diễn mặt phẳng Fano thì ta thấy các điểm chéo của

tứ giác P;PPsP; là các điểm P), P, P; lại thuộc đường thẳng |) Day là

điểu đặc biệt và không có trong cách biểu diễn thông thường

; ẬN Tạ

FPR Lb,

Hình 2.16 Hình 2.1c

Qua ví dụ, chúng ta thấy rằng mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn được tạo

thành bởi một tập hợp hữu hạn các điểm và các đường thẳng Điều dặc biệt chúng ta nhận thấy là trên mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn thể hiện bằng

mô hình này, số điểm bằng số đường thẳng Để đặc trưng cho tính chất

hữu han, ta cần phải xây đựng một hệ tiên dé riêng cho mat phẳng xa ảnh

hữu hạn

§2 Hệ tiên để của mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn

Chúng ta thống nhất ký hiệu như sau :

>: chỉ mặt phẳng xạ ảnh hữu han.

A, B,C, : chỉ các điểm trong mặt phẳng xa ảnh hữu hạn

a, b,c, : chỉ các đường thẳng trong mặt phẳng xa ảnh hữu han

Nếu đường thằng a và đường thẳng b mà a#b thì có một điểm P sao

cho Pea và

Peb-Tức là : Hai đường thẳng phân biệt trong mat phẳng xa ảnh hữu hạn

có điểm chung

Tiên để 1,

Có 4 điểm trong đó bất kỳ hai điểm nào cũng thỏa man tiên dé I, và

xác định 6 đường thẳng

Chứng minh

Theo tiên dé 1; hai đường thẳng phân biệt a và b có một điểm chung

là P Nếu chúng còn có một điểm chung khác là Q thì theo tiên dé I,

hai đường thẳng a và b trùng nhau và trùng với đường thẳng PQ (vô lý)

Do đó hai đường thẳng phân biệt chỉ có một điểm chung duy nhất 0

có 3 đường thẳng nào đồng quy oO

Tính chất này là mệnh để đối ngẫu của tiên dé I; Trong mặt phẳng

xạ ảnh hữu hạn ta cũng có nguyên tắc đối ngẫu

Định lý 3

Bất kỳ đường thẳng nào cũng có ít nhất là 3 điểm và bất kỳ điểm nào

cũng có ít nhất là 3 đường thẳng đi qua

Chứng minh

Theo tiên để l;, có 4 điểm P4, P;, Py, P wong đó không có 3 điểm nào thẳng hang và xác định một hình 4 đỉnh P.P;P;P¿ trong mặt phẳng

xạ ảnh hữu hạn Trong mặt phẳng này một đường thẳng bất kỳ chỉ có

thể đi qua 2 đỉnh, | đỉnh, hoặc không đi qua đỉnh nào của hình 4 đỉnh

trên (hình 2.2a)

- Nếu đường thẳng | đi qua hai đỉnh của tứ giác, giả sử là đỉnh P›

và P,, khi đó đường thẳng | sẽ có thêm một điểm thứ ba nữa là điểm

SVM STE

K— — ` ae ——” =

chung duy nhất của P,P, và PsP, mà điểm này không trùng với các đỉnh

của tứ giác (điểm A)

- Nếu đường thẳng m chỉ đi qua | đỉnh của tứ giác, giả sử là đỉnh

P, Khi đó các đường thẳng PP; và P,P; cất đường thẳng m tại hai

điểm phân biệt khác với điểm P, (điểm B, C )

- Nếu đường thẳng n không đi qua đỉnh nào của tứ giác thì lúc đó

các đường thẳng P,P, , PsP, , P;P; cắt đường thẳng n tại 3 điểm phân

biệt (điểm D, E, F )

A Pì

Tóm lại , một đường thẳng bất kỳ có ít nhất là 3 điểm Mệnh để còn

lại chính là mệnh dé đối ngẫu của mệnh để vừa chứng minh, nghĩa làbất kỳ điểm nào cũng có ít nhất 3 đường thẳng đi qua n Tiên dé L,

Tén tại đường thẳng bao gồm q+! điểm ( với q là số tự nhiên lớn hơn

I và được gọi là cấp của mat phẳng xạ ảnh hữu hạn chứa đường

thẳng đó)Tiên để này là tiên để đặc trưng cho mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn từ

tiên để này ta có thể suy ra một số tính chất nói lên tính hữu hạn của mặt

phẳng xạ ảnh hữu hạn

Định lý 4

Bất kỳ đường thẳng nào cũng có q+1 điểm

Chứng minh

Gọi đường thẳng | là đường thẳng thỏa mãn tiên để 1, trong mặt

phẳng xa ảnh hữu hạn cấp q, tức là | có q+1 điểm, gọi các điểm đó là

P;, Py , , Pạ., Gọi đường thing I’ là đường thẳng bất kỳ và lel’

Theo tiên để I;, 1 cất I’ tại một điểm , giả sử là điểm P, Ta chọn trên

đường thẳng | một điểm P, z P, và trên đường thẳng |’ ta chọn một điểm

P, #P, diéu này ta có thể thực hiện được vì trên mỗi đường thẳng có ítnhất là 3 điểm, Do đó trên đường thẳng P,P, ta cũng có thể chọn thêmđiểm thứ ba nữa ta gọi là điểm P, Bây giờ ta nối P, với q+l điểm của

đường thẳng | ta sẽ được q+! đường thẳng đi qua P,, q+! đường thẳng

này sẽ cắt I’ tại q+l điểm phân biệt và ngoài ra I’ không có một điểm

nào khác vì chùm đường thẳng đi qua điểm P, chỉ có q+l đường thẳng

này, vì nếu có một điểm Q không nằm trên chùm đường thẳng này thì

qua điểm P có q+2 đường thẳng kể cả đường thẳng PQ là điều vô lý

Suy ra, tổng số điểm của mặt phẳng chính là tổng số điểm nằm trên

chùm đường thẳng qua P này

Mỗi đường thẳng ngoài điểm P ra còn chứa q điểm phân biệt khác

Vậy, tổng số điểm của mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn là :

q(q+l+l=q3+q+l (điểm) I8)

Ta có ngay mệnh để đối ngẫu của định lý 6 là :

Định lý 7

Mat phẳng xạ ảnh hữu hạn gồm có qŠ+q+l đường thẳng

Từ các tiên để và các định lý trên, ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa

Tập hợp các điểm và đường thẳng thỏa mãn hệ tiên đề I=(I;,I„I›,1.)

tạo nên mặt phẳng xạ ảnh hitu hạn cấp q, với q là số nguyên dương lớn

các bảng liên thuộc của các mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn tương ứng

Py Py Py Pa Ps Po Py

¡ Í®LƑ J®[ } fo

BRDODROR

b Jelel [ | jeL)

Chúng ta nhận thấy rằng thực chất về sự khác nhau ở đây là sự sắp

xếp các điểm và các đường thẳng trong các mặt phẳng đó Ví dụ : trong 3,

các điểm P\, Py, P; tạo nên đường thẳng |, còn trong 3` các điểm Pj, P.,P; không nằm trên đường thẳng l, Như vậy, ta có thể xem hai mặt phẳng

hữu hạn như trên là khác nhau được không ?

Để xét vấn để này ta hãy xét các phép toán sau đây :

Ta chia mặt phẳng © ra thành từng cột và mỗi cột ta cho ứng với

một số tự nhiên 1,2, ,7 Ta sẽ thực hiện phép hoán vị sau đây :

@ lI

1) Z⁄ :3: 4: (J: 6G :⁄Ô

Qua phép hoán vị cột 1 được giữ nguyên, cột 7 thay vào vị trí cột

2, cột 2 thay vào vị trí cột 3, , cột 6 thay vào vị trí cột 7.

Ta gọi phép hoán vị này là phép biến đổi theo cột w, sau phép biến

đổi œ ta được bảng (*) sau :

Liele[ je[]_

nhưng đối với các hàng của bảng (*)

Sau khi thực hiện phép biến đổi ơ ta lại được bảng L’

Ta viết : ơ.o(5) = >`

Tacó : ơœ=œ.ơ , vì đây là tích của hai phép tịnh tiến vuông

góc với nhau mà ta ký hiệu t = ơ.0 = œ.ơ ta có thể coi phép biến đổi o

hoặc œ là trường hợp đặc biệt của phép biến đổi t Với một phép biến đổi

t thích hợp thì ta có thể đưa | ô vuông có dấu (s) hoặc không có dấu (s)

bất kỳ về một vị trí tùy ý Từ vấn để cụ thể đã xét trên đây ta nhận thấyrằng bảng £ và 3` chỉ khác nhau một phép + và được gọi là đẳng cấu với

nhau Ta có định nghĩa sau :

Định nghĩa:

Nếu hai bằng liên thuộc đều nghiệm tiên dé liên thuộc và từ bảng này

có thể suy ra bảng kia bằng một phép biến đổi r thì được gọi là đẳng

cấu với nhau

Chú ý : vì phải thỏa mãn tiên dé liên thuộc 1, và lạ nên trong bảng liên

thuộc không thể có 4 dấu (s) ở vào vị trí 4 góc của một hình chữ nhật

$4 Bang liên thuộc chính tắc của mặt phẳng xa ảnh

hữu hạn Chúng ta biết rằng mỗi mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn có thể được biểu diễn bằng rất nhiều bảng liên thuộc khác nhau Tuy nhiên, để thuận tiện

cho việc miêu tả và nghiên cứu cấu trúc của các mặt phẳng xạ ảnh hữuhạn, nhất là trong trường hợp q khá lớn, người ta biểu diễn bảng liên thuộc

các mặt phẳng xạ ảnh dưới dạng chính tắc của chúng Việc xây dựng các

bảng liên thuộc chính tắc được tiến hành như sau

Từ một bảng liên thuộc của một mặt phẳng xa ảnh hữu hạn cấp q

gồm có nxn 6 vuông trong đó n = qỶ + q +1 Bằng các phép biến đổi ‹o và

ơ thích hợp ta tách hàng đầu và cột đầu tạo nên hình vién T, và ghi 2q +1dấu (©) ở góc trái trên Tach q hàng và q cột tiếp theo tạo thành hình viềnthứ hai là > , trong hình vién F; ta để trống hình vuông qxq 6 vuông nằm

góc trên bên trái và trong các hình vuông khác ta đặt ký hiệu (s) theo kiểu

“bac thang”, mỗi “bậc thang” có q dấu (s) Tiếp tục tách q hàng và q cột

tiếp theo tạo hình viền T› , phần còn lại là các hình vuông 1 Mỗi hình

vién F; và T's đều có bể rộng bằng q hàng và q cột Trong hình viền T; với

các hình vuông 0 ta đặt các ký hiệu (®) sao cho trong mỗi hình vuông L1, mỗi hàng va mỗi cột chỉ có một dấu (e) ( người ta gọi các hình vuông này được sắp xếp theo dạng chéo ) và không có 4 dấu (s) ở 4 góc của một hình

chữ nhật Cụ thể ta lập các bảng liên thuộc chính tắc của các mặt phẳng

xa ảnh hữu hạn cấp q với q =2, 3, 4 như ở các hình 2.4 a, b, c sau:

some SEOS | |® | | !® | 88 BOSS |® | | |® | | |® e@| | | |e| | | |e | | |® BSSBLSEESvTE et ete _|® | |®( | ® | |®) BOS O8882 8088 _| | |® |® | |® | | | | 8 aEL 8 BE B|Ồ=it |LỊ jel | |©láiS° | ®|®,

jmxanmnmnmmmmmmmmmmmir›:r7r1 PTT || || ||LL| | |®®ie0e ||, JNHNHNHNHMEHERLDOIDRNNNNNRJHBĂHHEL1DDRRBRBHMRBRBERBRRR eielele' | | | | | | | | | |_ LỊ | |®9_, Obói2 |mimSi fea ® | | | | |® | | | |® |1® | | | | |j®| | |®j |®' _jJ® | |} | |® |® | | |)

Hình 2.4c

Ta gọi bảng liên thuộc được sấp xếp như trên là bảng liên thuộcchính tắc của mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn cấp q Bảng liên thuộc chính tắc

đó được ký hiệu là T(q).

§5 Hệ tọa độ trên mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn

5.1 Tọa độ của điểm và đường thẳng

Trên bảng liên thuộc chính tắc T(q) của mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn

cấp q ta có n cột P;, P;, , P„ và n hàng |, l;, , |, với n=q”+q+l Bây

Bid ta xét các cột Pasa, Pq«x„ , Pa và các hàng lụs¿, loess lạ Các hàng và

các cột này giao nhau tạo thành một bảng hình vuông trong đó có các hình

vuông €” (i, j= 0, 1,2, , q-1 ) sau đây : (xem hình 2.5a)

Mỗi hình vuông C” đều có qỶ ô vuông Trong mỗi hình vuông này, ở

mỗi hàng và mỗi cột đều chỉ có một ký hiệu (¢)

DHNNRSOS88

Các hang va các cột trong bảng hình vuông trên được

ký hiệu như sau:

e Hàng [m,b] với m, b =0, 1, 2, , q-l ;

Đi qua các hình vuông hàng thứ m là C””,C"', ,

- Là hàng thứ b trong các hình vuông kể trên

e Cội (x,y) với x,y=0,1,2, , q-l

- Đi qua các hình vuông cột thứ x là C°*, C!*,

xác định và

oe

: c+!+^

- Là cột thứ y của các hình vuông kể trên

Với cách ký hiệu này ta gọi (x,y) là các toa độ của điểm và [m,b] là

tọa độ đường thẳng trong mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn Tất nhiên với cách

xây dựng tọa độ này ta chưa xác định được tọa độ các điểm P;, P:, ,

P„„¡ và các đường thẳng lạ, l; , l„.;

Vấn dé này ta sẽ giải thích thêm ở phần * So sánh với tọa độ trên

mặt phẳng Euclide thông thường” Ở đây với bộ ba ký hiệu có thứ tự

(x,m,b) và dựa vào bảng liên thuộc F(q) ta sẽ tim được y bằng cách tìm

dấu (s) ở hàng [m,b] trong hình vuông C”* và ký hiệu y cần tìm chính là

ký hiệu số cột có mang dấu (s) trong hình vuông đó

Ta có phép toán F: (x,m,b) > y

Ví dụ : trong bảng [ (4) ta có

F(I,3,1) —> 3 F(2;2.1) —>1

F(3,2,1) —> 0

Ta cũng có thể viết y = F(x,m,b),chẳng hạn y = F(x,2,1) biểu thị cho phương trình đường thẳng hữu hạn trong mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn

5.2 So sánh với tọa độ trên mặt phẳng Euclide thông thường

Trong mặt phẳng xạ ảnh cổ điển, chúng ta đã biết rằng : mặt phẳng

Euclide sẽ biến thành mặt phẳng xạ ảnh nếu chúng ta bổ sung thêm các điểm vô tận và mọi đường thẳng đều có một điểm vô tận duy nhất Các

điểm vô tận này đều nằm trên một đường thẳng vô tận Trên mặt phẳng

xạ ảnh hữu hạn các điểm vô tận là các điểm P, , P;, , P„„, Các điểm

này thuộc đường thẳng vô tận |, và ta không gán được tọa độ cho chúng

Đường thẳng l; = { P\, Pq«;, Pq‹x, , Pager } đóng vai trò trục y, còn đường thẳng l.„›= { P;, P„.; , P;„, ,P } đóng vai trò trục x

Gốc tọa độ là điểm P„„; và điểm đơn vị E(1,1) là điểm P,,; Trong

mặt phẳng Euclide , các trục x và y vuông góc với nhau và chúng ta có hệ

tọa độ vuông góc trong mặt phẳng Euclide , các đường thẳng không song

song với trục y đều có thể xác định bằng các cặp tọa độ [m,b] như sau:

Ta gọi đường thẳng có tọa độ [m,b] là đường thẳng đi qua điểm có tọa độ (0,-b) và có hệ số góc là m Trong mặt phẳng Euclide , đường thẳng [m,b] là tập hợp các điểm thỏa mãn phương trình bậc nhất ;

y=mx-b

Trong mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn, phương trình này ứng với phéptoán F(x,m,b) và ta có thể viết

y = F(x,m,b)

Các đường thẳng song song với trục y trong mat phẳng Euclide làtập hợp các điểm có tính chất x =c

Ta có thể biểu thị q* điểm thông thường của mặt phẳng xạ ảnh hữu

hạn bằng các điểm mắt lưới tọa độ của mặt phẳng Euclide Ta gọi họ các

đường thẳng song song với trục y là |y , , ley, trong đó |; đóng vai trò

là trục y và gọi họ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng nói

trên là l ;, lv.; „ lạ„„¡ trong đó l,.; đóng vai trò là trục x Bằng cáchnày ta biểu diễn được 2q đường thẳng hữu hạn bằng các đường thẳng

Euclide, còn các đường thẳng khác của mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn thì không thể dùng mặt phẳng Euclide để biểu diễn được.

Ví dụ :

Trong hình 2.5b dưới đây đường thẳng l;s dược biểu diễn bằng một

đường cong qua các điểm có tọa độ (0,1), (1,3), (2,2), (3,0) ; tương tự thì đường thẳng |), đi qua các điểm (0,2), (1,0), (2,1), (3.3) ; đường thẳng l;;

đi qua các điểm (0,3), (1,1), (2,0), (3,2),

-§6 Trường Galoa GF(q) và bảng liên thuộc F(q)

Trong bảng liên thuộc F(4), ta hãy xét các hình vuông C'°,C!',CẺ,

CÌ” (xem hình 2.4c) Nếu trong từng hình vuông ta thay dấu (s) bằng chỉ

số thứ 2 của hình vuông đó và đưa các hình vuông đó trượt ngang chồng

lên nhau ta có ngay bảng cộng của trường GF(4).(hình 2.6a)

Bây giờ muốn có bảng nhân của GF(4) ta xét bảng các hình vuông

C° trong bảng liên thuộc F(4) và mỗi hình vuông CTM cho ứng với một chỉ

số bằng cách làm sau đây:

Ta cũng xét hàng hình vuông C'°, C!! , C}Ÿ , và tìm ra được hình

vuông C“ trong bảng liên thuộc F(4) có cách sắp xếp các dấu (e) giống

như hình vuông C° Ta thay hình vuông này bằng chữ số k và làm như vậy với tất cả các hình vuông khác ta sẽ có bảng nhân.

Như vậy, ta thấy rằng xuất phát từ bảng liên thuộc T(q) ta có thể lập

được bảng tính cộng và bảng tính nhân của trường Galoa GF(q) Ngược

lại, từ hai bảng tính cộng và tính nhân của trường Galoa GF(q) ta có thể

xây dựng được bảng liên thuộc I(q) của mặt phẳng xa ảnh hữu hạn cấp q

bằng cách làm như sau :

Gọi A và M là bảng tính cộng và bảng tính nhân của trường Galoa

GF(q), các phần tử của trường Galoa GF(q) được kí hiệu là: GF(q) = (0, 1,2, q-1}, trong đó 0 và 1 là phan tử trung hòa và phần tử đơn vị của

trường.

* 1

Trong các ô vuông của bảng liên thuộc F(q) ta đặt các dấu (®) theo

trình tự sau đây :

- ở các hình viển I, và F; ta đặt dấu (e) theo kiểu “bậc thang”.

- &phdn hình vuông còn lại ta có tất cả q? hình vuông và đặt các

dấu (e) trong mỗi hình vuông C° được tiến hành như sau : theo bảng tính

nhân M ta xét hàng r và cột s ta có r.s = t Bây giờ trong bảng tính công A,

ta tim cấc ô vuông có mang chữ số t và sắp xếp các dấu (s) trong hình

vuông CP ở vị trí giống như vị trí chỉ số t trong bảng tính A

Ví dụ :

Đối với hình vuông C* trong bảng liên thuộc ['(4) căn cứ vào bảng

tính nhân ta có 2.3 = | Bây giờ, ta dựa vào cách sắp xếp của chỉ số |

trong bảng tính cộng ta sẽ đặt được vị trí các đấu (¢) trong hình vuông C”.

Tất nhiên, hình vuông C° có cách sắp xếp giống như hình vuông C” vì cácphép toán cộng và nhân trên trường Galoa đều giao hoán Các bảng tính

cộng A và bảng tính nhân M đều có tính đối xứng qua đường chéo chính

nên toàn bộ bảng liên thuộc F(q) được thành lập như trên cũng có tính

chất đối xứng qua đường chéo chính.

Ta có thể chứng minh được bảng liên thuộc được thành lập như trên

thỏa mãn các tiên để của mặt phẳng xa ảnh hữu han,

§7 Hình vuông Latinh với mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn

7.1 Hình vuông Latinh

Nếu một bảng gồm qxq ô vuông, trong đó mỗi hàng và mỗi cột đều

có q phan tử khác nhau, các phan tử đều được lấy trong tập hợp gồm q

phần tử , ta gọi bang đó là một hình vuông Latinh cấp q Ta thường ký hiệu

các phần tử đó là:

Q={0,1,2, ,q-l } 7.2 Sự vuông góc của các hình vuông Latinh

Trước tiên ta xây dựng một phép toán cho hai hình vuông Latinh.

Gọi L¡ và L; là hai hình vuông Latinh cấp q Từ hai hình vuông này ta lậpđược một hình vuông U bao gồm qxq ô vuông, trong các 6 vuông của U ta

viết một cặp phần tử có thứ tự với phần tử thứ nhất và phần tử thứ hai lần

lượt lấy ở các ô vuông tương ứng của L; và Lạ; Ta viết:

U= Lạ ¥ La

Ví dụ :

Xét hai hình vuông Latinh cấp q = 3

lê Et Ư'

Hình 2.7a

Ta nhận thấy trong hình vuông U, các cặp số được lặp lại còn trong

hình vuông U" thì các cặp số đều khác nhau, trong trường hợp này ta nói

rằng, hai hình vuông L; và L, vướng góc với nhau, hay còn gọi là cặp

hình vuông Latinh trực giao

Người ta cũng đã chứng minh được rằng, không tổn tại cặp hìnhvuông Latinh trực giao cấp 6

Một hệ gồm r hình vuông Latinh được gọi là :rực giao nếu bất kỳ

hai hình vuông nào trong đó cũng đều trực giao với nhau

Định lý

Trong các hình vuông cấp q, nếu ta có một hệ hình vuông la tỉnh trực

giao gỗm r hình vuông thir <qNếu r = q-1 thì ta có hệ hình vuông Latinh trực giao hoàn toàn, và

người te cũng đã chứng minh được rằng : nếu q=p' thì hệ hình vuông cấp q

có hệ trực giao hoàn toàn, tuy nhiên, sự tổn tại của hệ hình vuông Latinh trực giao hoàn toàn trong trường hợp tổng quát hiện vẫn là một bài toán

khó của lý thuyết tổ hợp

7.3 Hệ hình vuông Latinh trực giao hoàn toàn va mặt phẳng xạ

ảnh hữu hạn

Ta hãy xét mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn cấp q=2 , trong bảng liên

thuộc chính tắc T(q) biểu diễn cho ta mặt phẳng này, xét qx(q-1) hình

vuông ở góc trái dưới ( hình 2.7b )

trong mỗi hình vuông này, từ trái sang phải, ta lan lượt ký hiệu các

cột là 0, 1, 2, , q-1, trong mỗi hình vuông đó, mỗi cột đều có một kýhiệu (s), ta thay ký hiệu đó bằng ký hiệu của cột,

Bên cạnh bảng liên thuộc T(q) ta vẽ 1 cột gồm có q-l hình vuông,

mỗi hình vuông có qxq ô vuông, theo thứ tự từng hàng, ta viết lại các số

vào các ô vuông của từng hình vuông và được các hình vuông Latinh

L¡,Lạ Lụ.¡ người ta đã chứng minh được rằng : các hình vuông này là

một hệ hình vuông Latinh cấp q trực giao hoàn toàn

Ngược lại, từ một hệ hình vuông Latinh trực giao hoàn toàn cấp q,

chúng ta cũng có thể xây dựng được các mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn cấp q

Q =(0,1,2, ,q-1)

và đặt : Qo= { 1,2, 3, , q-1]

Các ô vuông trong hình vuông Latinh được biểu diễn bằng bộ ba

(u,V,W), trong đó :

w : là chỉ số của hình vuông Latinh ( we Q› )

u,v : là chỉ số hàng và chỉ số cột trong hình vuông Latinh đó

Ta gọi các cặp chỉ số có thứ tự (x,y) là điển thông thường, còn đối

với các điểm vô tận ta dùng ký hiệu z và œ, (x,y,z e Q) Vậy tổng số điểm

là q’+q+! điểm ta gọi đường thẳng vô tận là đường thẳng chứa các điểm

vô tận : (0), (1), (2), , (œ) còn các đường thẳng thông thường được chia

làm 3 loại :

- loại I: đường thẳng chứa điểm vô tận (œ©) và các điểm thông thường

(x,b) trong đó b cố định cho trước còn x chạy trên Q, như vậy, có q

đường thẳng loại này ứng với q giá trị khác nhau của b_

- loại 2 : đường thẳng chứa điểm vô tận (0) và các điểm thông thường

(a,y) trong đó a cố định còn y chạy trên Q Ta cũng có q đường

thẳng loại này

- loại3: số đường thẳng này được xác dịnh bởi hình vuông Latinh Lw

Ta biết rằng, trong mỗi hình vuông Latinh đó, các ô vuông chứa

phần tử y được sắp xếp dưới dạng chéo, ta có số đường thẳng loại

chéo [j,w] với j e Q và w e Qo là q(q-1) đường thẳng Vậy có tất cả là 1 + q + q + q(g-1) = qŸ + q +1 đường thẳng Người ta đã chứng minh được rằng : các điểm và các đường thẳng

nêu trên thỏa mãn tiên để liên thuộc và do đó ta xây dựng được các mặt

phẳng xạ ảnh cấp q

Trong trường hợp q = 5 ( hình 2.7c), đường thẳng vô tận gồm các điểm (0), (1), (2), (3), (4), (œ) ; các đường thẳng loại | và loại 2 được biểu

diễn bằng hai chùm đường thẳng di qua (0) và (œ), mỗi chùm đường thẳng

gồm có 5 đường thẳng; còn các đường thẳng loại chéo là những đường gấp

khúc, chẳng hạn như đường thẳng [2,3], qua mỗi điểm vô tận (1), (2), (3),

(4) sẽ có 5 đường thẳng gấp khúc

Hình 2.7c

§8 Các phép cộng tuyến của mặt phẳng xa ảnh hữu

hạn

8.1 Định nghĩa

Một song ánh biến mặt phẳng xạ ảnh hitu hạn thành chính nó và biến

đường thẳng thành đường thẳng được gọi là phép cộng tuyến của mat

phẳng xạ ảnh hữu hạn

8.2 Các tính chất của phép cộng tuyến

(i) Mỗi điểm có một điểm ảnh duy nhất.

(ii) Mỗi điểm có một tao ảnh duy nhất.

(ii) Nếu 3 điểm thuộc một đường thẳng thì ảnh của chúng cũng

thuộc một đường thẳng và ngược lại

Ta có các mệnh đề đối ngẫu sau:

(') Mỗi đường thẳng có đường thẳng ảnh duy nhất.

(ii') Mỗi đường thẳng có tạo ảnh là một đường thẳng duy nhất.

(iii') Nếu 3 đường thẳng đồng qui thì ảnh của chúng cũng là 3

an l (oo

Va:

Với một phép hoán vị tùy ý thi chưa chắc tính chất (iii) của phép

cộng tuyến được thỏa mãn, nghĩa là 3 điểm thẳng hàng có thể biến thành

một tam giác và ngược lại một tam giác có thể biến thành 3 điểm thẳnghàng Vậy để biểu diễn phép cộng tuyến ta phải dùng phép hoán vị có tính

chất nếu 3 điểm thuộc một đường thẳng thì ảnh của chúng cũng thuộc một

đường thẳng và ngược lại Ta hãy xét một ví dụ lấy trong mặt phẳng xạ

ảnh hữu hạn cấp 3 (q = 3).

Ta hãy xét phép hoán vị các điểm sau đây:

_f1 2 3 4 567 8 9 10 11 12 13

I2 585111012313 9 4 6 7

Phép hoán vị @ biến 3 điểm thẳng hang P;, P;, Ps € l, thành 3 điểm

thẳng hang Py, Ps, Pạ, € ls và biến tam giác P;P,Py thành tam giác P;PạP;;nhưng mặt khác phép hoán vị œ này còn lại có thể biến 3 điểm

P.,P;,P;el, thành tam giác P)2PsP; và biến tam giác P;P„P„o thành 3 điểmthẳng hàng Pj, P;, Ps Vậy phép hoán vị œ không phải là phép cộng

tuyến

Bây giờ ta xét phép hoán vị x đối với các điểm của mặt phẳng hữu

hạn nói trên, thỏa mãn tính chất (iii) của phép cộng tuyến.

_(1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

dg 9 4 13.6 4 l6 13 2 § [ï $3

BH: 7 § 9 10 11 12 13

I2 9 6 2 10 5 4 § 3 7 E HỦ

Do đó, nếu biết phép x thì ta xác định được phép A và ngược lại,

người ta thường ký hiệu phép công tuyến là <ït, À>.

Đối với phép cộng tuyến <wxÀ> nói trên :

n(Ps) = Py và À(ly) =ly, ta gọi điểm P, là điểm kép và đường thẳng

ly là đường thẳng kép của phép công tuyến Chú ý rằng các điểm của

đường thẳng |, không bắt buộc phải là điểm kép và các đường thẳng qua:

P, cũng không bắt buộc là đường thẳng kép

8.4 Tâm và trục của phép cộng tuyến - phép thấu xạ

Nếu một phép cộng tuyến có một điểm kép và tất cả các đườngthẳng qua điểm kép đó đều là đường thẳng kép thì điểm kép đó là tám của

phép cộng tuyến.

Tương tự, nếu một phép cộng tuyến có một đường thẳng kép và tất

cả các điểm của đường thẳng đó đều là điểm kép thì đường thẳng đó được

gọi là truc của phép cộng tuyến.

Trong vi dụ nay các điểm P, là tâm của phép cộng tuyến va các

đường thẳng |), l›, I), li, his qua nó đều là đường thẳng kép còn đường

thẳng l; là trục vì các điểm của nó là Pạ, Py, Py, Po, Pip đều là điểm kép

Trong vi dụ trên, ngoài các điểm kép P\, Pu, Ps, Po, Pio và các đường thẳng kép |), lạ, lạ, Tia ly; ta có thể sắp xếp các điểm và đường thẳng còn

lại theo từng loại (tạo ảnh, ảnh) như sau:

(P2,P3), (Ps,P2), (Ps,Pi2), (Ps,Pis), (Pị,Pịy), (Pụi,P2),(Ph¿,Ps), (Pis,Po)

(Iz, 14), Clas 12), (Is, Ig), (ls Lio), (ir, Ts), (Is, I), (ld Is), (los họ)

Ta thấy rằng các cặp điểm không kép tạo thành nên các đườngthẳng kép đồng qui tai Py và các đường thẳng không kép tao nên các

điểm kép thuộc đường thẳng l; Phép cộng tuyến có tâm và trục được gọi

là phép thấu xạ Trong ví dụ trên đây ta thấy rằng tâm P, không thuộc trụcl,, cũng có phép thấu xa mà tâm thuộc trục và khi đó ta cũng gọi tâm và

trục đó là tâm và trục của phép thấu xạ.

8.5 Nhóm các phép cộng tuyến trong mặt phẳng xạ ảnh hữu han

Ta biết rằng các phép hoán vị của một tập hợp gồm n phan tử lập

thành một nhóm đối với phép nhân các ánh xạ, vì tích hai tuyến phép côngtuyến là một phép cộng tuyến và nghịch đảo của một phép cộng tuyếncũng là một phép cộng tuyến nên tập hợp các phép cộng tuyến lập thành

một nhóm con của nhóm các phép hoán vị, ta gọi chúng là nhóm cộng tuyến.

Vi dụ : Giả sử trong mặt phẳng xa ảnh cấp q = 2 ta có phép công

tuyến <w,À> như sau:

Trong mặt phẳng xa ảnh cổ điển với 2 tứ giác ABCD và A'B'C'D'

không suy biến, ta có phép công tuyến duy nhất x,,

x=(4 ® C€ Ð

Trong mặt phẳng xa ảnh Galoa định ly này vẫn đúng nhưng trong

mặt phẳng hữu hạn nói chung định lý này không đúng vì ta biết rằng trong

một mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn có thể có hai loại tứ giác :

- Tứ giác thông thường là tứ giác có các điểm chéo tạo thành một

tam giác.

- Tử giác Fano là tứ giác có các điểm chéo thuộc một đường thẳng.

Nếu chọn tứ giác ABCD là một tứ giác thông thường và A'B'C'D'

là một tứ giác Fano thì hai tứ giác đó không xác định cho ta phép cộng

tuyến.

Đối với mặt phẳng xạ ảnh Galoa thì mọi tứ giác trong đó đều hoặc

là tứ giác thông thường (nếu trường Galoa là trường đặc số lẻ), hoặc đều là

tứ giác Fano (nếu trường Galoa là trường đặc số chẳn) nên định lý này vẫn

đúng.

§9 Biểu diễn các mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn

Chúng ta biết rằng với q e Z” \{ | } ta có các mặt phẳng xa ảnh hữu

hạn cấp q song để chứng minh sự tổn tại của các mặt phẳng xạ ảnh hữu

hạn trong trường hợp tổng quát hay nói một cách khác là tìm cách mô tả

biểu diễn tất cả các mặt phẳng xa ảnh hữu hạn cho đến nay vẫn là một

vấn dé chưa giải quyết được của toán học Để chứng minh sự tổn tại của

các mặt phẳng xạ ảnh ta phải xây dựng các mô hình thỏa mãn hệ tiên dé I.

9.1 Cách xây dựng mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn bằng phương pháp

sơ cấp

Trên vòng tròn tâm O ta chia vòng tròn thành n cung bằng nhau:

n=q°+q+l =2C), +1.a

Goi P\, P2, Ps, P„ là các điểm chia lấy theo một thứ tự nào đó trên

đường tròn Các điểm chia là đỉnh của một đa giác đều n cạnh, gọi © là

góc ở tâm chấn các cung bằng nhau ta có:

no) = 21,

Với một cặp điểm P,, P, với i + j ta có một dây cung Ta phân loại

các dây cung này theo độ dài của chúng và tại mỗi điểm bao giờ cũng có

2C?,, dây cung đồng qui tại điểm đó

Bây giờ ta chọn trong n đỉnh của đa giác đều lấy ra q +1 đỉnh và nối

chúng lại sao cho đường gấp khúc được tạo nên gồm các dây cung có độdài không giống nhau và ta có C?,, loại đây cung khác nhau.

Trong trường hợp cụ thể với q = 4 (hình 2.9a) ta có ngũ giác lồi

L= P.P;P‹P;;Py;.

Nếu nối các đỉnh của ngũ giác này ta có đủ 10 dây cung có độ dài

khác nhau, nếu ta quay đa giác L quanh tâm O một góc bằng bội œ theo

hướng nhất định nào đó ta sẽ có một vị trí mới của L Gọi L; là vị trí đầu

tiên và ta xết tập hợp các đa giác L¡, Lạ, L, (trong đó Ly là đa giác được

tạo nên bởi đa giác L; sau khi quay một góc (k - 1)@ theo một hướng nhất

định nào đó )

Giữa tập hợp n điểm P\, P¿, , P, và tập hợp n đa giác Lạ, Lo, , L,

có mối quam hệ sau đây:

a Nếu j,k=l,2, n và j # k thì có một đa giác L, duy nhất

mhận P, và P, làm đỉnh.

b Néuj,k=1, 2, ,n và j z k thì có một điểm P, duy nhất là đỉnh

của đa giác L, và Lạ.

c C6 một tứ giác P,P,P¿P, trong đó không có 3 đỉnh nào thuộc da

giác Lin.

Ở day ta có một sự tương tự giữa các tính chất trên với các tiên để

liên thuộc Ii Nếu ta gọi đa giác đều { P\, P;, , P„ ) là mặt phẳng xa ảnh

hữu hạn, cácc đỉnh của đa giác này gọi là các điểm và các tập con là các đa

giác Lạ, Lạ, Lạ được gọi là các đường thẳng thì các mệnh dé trên chính

là các tiên để I,, lạ, ly áp dụng vào mô hình này.

9.3 Méit phẳng con của mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn

Khiái niệm mặt phẳng con của mặt phẳng xa ảnh hữu hạn là mot khái niệm không có ở trong hình học xạ ảnh cổ điển Xét mặt phẳng xạ

ảnh hữu than cấp q = 4 (hình 2.9b), bây giờ ta chia đa giác đều P có n = 21

cạnh với các đỉnh ký hiệu như sau :

P.=Pba P= A,B,C, ABC, =AUBUC Xét ngũ giác L= {P,, Ps, Ps, Pio P12} = {A;, A2, B;, Ag, C;}

Trong cách biểu diễn mặt phẳng xa ảnh hữu han cấp 4 ta có thể coi

L, là mộtt đường thẳng của mặt phẳng đó Mặt phẳng này gồm có 21 điểm

(P,, P2, , Pạ;).

Từ ngũ giác L ta lấy ra tam giác A;AoAy = P\P¿Pạo = L’, các cạnh

của tam giác này cũng có chiéu dài khác nhau Ta có thể coi L’ là một

đường thing của mặt phẳng hữu han cấp 2 Mặt phẳng này gồm có 7 điểm

A), Az, Az.

Như vậy ta đã phân tích đa giác đều 21 cạnh thành các hình có 7

cạnh đều:.

A ={ A), A>, , Ap )

B ={ Bì, Bạ, B; }

C ={ C;, Co, , Cr }

Ta cói :

P=AUBUC.

ANLsL’cL

BOL=B,

Nếu ita quay hình 7 cạnh đều A xung quanh tâm O một góc = va

+ ta được: B và C Khi đó các đường thẳng của mat phẳng hữu han cấp

hai A này liần lượt biến thành đường thẳng của mặt phẳng hữu hạn cấp hai

B và C, các: mặt phẳng hữu han cấp hai A, B, C được gọi là các mat phẳng

con của mait phẳng hữu hạn cấp 4.

Định ngzhia:

Mat johdng con của một mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn đã cho là một mặt

phẳng xa ảnh hiữu hạn mà mọi điểm của nó là điểm của mặt phẳng ban

đâu và moni đường thẳng của nó là một phân đường thẳng của mặt phẳng ban đầu.

Gọi S là mặt phẳng hữu han cấp q và S” được gọi là mặt phẳng con

cấp p của mitt phẳng S Từ định nghĩa trên ta suy ra m < n (với m, n lần

lượt số điểm của S* và S) Gọi P, P; là hai điểm của SỈ, tất nhiên

Gọi S là mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn cấp q và S” là mặt phẳng con

cấp p của: S Gọi I” là đường thẳng của S”, ta có thể bổ sung thêm các

điểm để 1 trở thành đường thẳng 1 của S

Gọi Y là một điểm của đường thẳng | mà không thuộc đường thẳngthi: Y £S

Ta ký (hiệu: P” = §”\I” = ( X e S”, X eI") là tập hợp gồm (p*+p+l)

-(p+1) =¡p` điểm.

Trong tập hợp các đường thẳng đi qua điểm Y của S nếu không tính

đường thding | thì còn lại q đường thẳng va được ký hiệu L

Chúng: ta sẽ xét sự liên thuộc giữa tập hợp điểm của P” và tập hợp

các đường thẳng L.

Gọi x” là một đường thẳng của S” xác định bởi 2 điểm của P” và x là

đường thaing của S cũng được xác định bởi 2 điểm trên.

Ta có: x cxvax ni*=xnl =XeS.

Vay % z Y (vì Y € S*).

Nếu tậập L có | đường thẳng đi qua 2 điểm của tập P* thì khi đó

đường thẳÏng này sẽ cất đường thẳng | tại 2 điểm phân biệt, điều này vô

lý Do đói không có 1 đường thẳng nào của tập L có thể chứa 2 điểm

của P* mia chỉ có thể chứa nhiều nhất là một điểm của P* (vì các đường

thẳng của: L đã cất nhau tại Y¢ P*) Có hai trường hợp:

- Tập L không có đường thẳng nào không chứa một điểm của P*

Khi đó: q=p”

- Tập L còn có một đường thẳng y không có điểm chung với tập

P* Số đường thẳng của S* có tất cả là p” + p + 1 Ta có thể bổ

sung thêm các điểm còn thiếu để biến các đường thẳng này

thành các đường thẳng của S Khi đó các đường thẳng này đều cất đường thẳng y và không xảy ra trường hợp có 2 đường thẳng

cùng cắt nhau tại một điểm trên y , vì 2 đường thẳng này trước

hết là 2 đường thẳng của S* và do đó chúng sẽ có 1 điểm chung

thuộc S* ngoài ra không có điểm chung nào nữa Như vậy mặt phẳng S* có số đường thẳng luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng số

điểm của đường thẳng y nghĩa là:

q+1>p'+p+l

Hay : q>p'+p n

§1 Mat phang xa anh Galoa

I.I Dinh nghĩa

Cho trường Galoa F = GF(q) với q=p' trong đó p là số nguyên tố và r

là số nguyên dương, ta ký hiệu các phần tử của F là:

Xét một quan hệ tương đương trên Vạ :

Với X.Y € Vo, X được gọi là tương đương với Y nếu tổn tại teF sao

(X\,X2,X3) là toa độ thudn nhất của một điểm Nếu (x;,xX2.x3) là tọa độ

thuần nhất của điểm X thì (tx,.tx;,tx;) với t + 0 cũng là tọa độ thuần nhấtcủa điểm X, ký hiệu : X(x,x;.x:), bộ ba (0,0,0) không là tọa độ thuần nhất

của điểm nào cả Số phan tử của Vụ là qỶ - 1, trong khi đó mỗi lớp tương

đương có q-l phan tử ứng với q-l giá trị t + 0, do đó số điểm của mặt