Khóa luận tốt nghiệp Toán tin: Đánh giá gradient cho phương trình parabolic phi tuyến

MỞ ĐÀUPhương trình đạo hàm riêng PDE là một trong những công cụ toán học quan trọng được sử dụng dé mô hình hóa nhiều lớp bài toán khác nhau trong thực tiễn.. chủ đề này trở thành một tr

TRUONG ĐẠI HỌC SU PHAM THÀNH PHO HO CHÍ MINH

KHOA TOÁN - TIN HỌC

KHÓA LUẬN TÓT NGHIỆP

ĐÈ TÀI:

ĐÁNH GIÁ GRADIENT CHO PHƯƠNG

Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Ngọc Trọng Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thanh Long

Mã số sinh viên: 44.01.101.087

Thành phố Hồ Chí Minh — Năm 2022

M710 ]

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU BÀI TOÁN VÀ MOT SO KIÊN THỨC CHUAN Bl 3

WU, An GOING assesses csassasssaascasssasnsasisssascasscasssasnsasssasssansscasscasscassasnsastsoaascarscasscasseasteaassanasaassc 1.2 Hàm cực đại Hardy:Litlewood - 4

1.3 Miền LiipschhiÉZ 22-2222 E2 E29E21221127212221222117211221221111121112111211121212122 1222220 5

1.4 Điều kiện BMO 2 22 2S H1 THỰ 2212211111 112 1111211021071 1 1 1e n0 yeu 5

MUGS IN UA MONA Meson ascesncsecszacszezsnesszessocsuacacoscasnessbasscessocsnesacsssassezstessiessncsuacouoessctessbedscassiaiond 5

Q.2 Chững mma Ba GM GU oss ass casscsasssascasscacssasssasssesascaascaisssiscasisasascasscasscsascarseavasasaseaancs 18

KETTUN acest cec spc azzeaacanzasecazezsnessteacncasoeavesscasecasasstessecatexanssszacessnesstessscasesanssceanecsnssssesioess 20

TÀI LIEU THAM KHAO 222222222222112111210122102100 1021010110110 ca 2I

MỞ ĐÀU

Phương trình đạo hàm riêng (PDE) là một trong những công cụ toán học quan trọng được

sử dụng dé mô hình hóa nhiều lớp bài toán khác nhau trong thực tiễn Do đó chủ đề này trở

thành một trong những đối tượng nghiên cứu cơ bản của toán học Việc nghiên cứu tính chất

định tính hoặc định lượng của nghiệm đối của các công cụ lí thuyết, còn có ý nghĩa to lớn trongcác ứng dụng thực tiễn Trong đó, tính chính quy nghiệm là một tính chất định tính quan trọng

của PDE.

Lí thuyết Calderon-Zygmund được giới thiệu dau tiên bởi Calderon và Zygmund trong [1]

dé nghiên cứu tính khả tích cho gradient của nghiệm phương trình Possion Lí thuyết này giữ vai

trò quan trọng trong việc nghiên cứu đánh giá chính quy cho phương trình đạo hàm riêng Nói

khái quát, bài toán chính quy Calderon-Zygmund cho một phương trình đạo hàm riêng có thé

được hiéu như sau: Lay u là nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng, bài toán chính quy tìmđiều kiện tốt nhất trên miền được xét và hệ số dé bao hàm thức sau đúng với các dữ liệu phù hợp:

Vu €X

với X là các không gian như không gian Lebesgue có trọng, không gian Morrey, không gian Lorentz, Orlicz, v.v.

Là một trong những lớp PDE phô biến nhất, phương trình parabolic đã nhận được sự quan

tâm nghiên cứu của nhiều nhà Toán học trong và ngoài nước Và do đó, lí thuyết

Calderon-Zygmund cho lớp phương trình Parabolic cũng thu hút và đạt được nhiều kết qua thú vị

Trong khóa luận này, chúng tôi chứng minh tính chính quy hai trọng cho phương trình

parabolic tuyến tính có đạng

u; — div(A(x, t)Vu) = div(F), trong Qr,

{ u=0, trên 0,(Q7),

với A = 2 x (0,T) bị chặn mở trong RN*!, N > 2.

Cụ thẻ hon, chúng tôi chứng minh kết qua sau đây

Trường hợp w = v, kết quả trên đã được đưa ra trong [2].

Nội dung trên cấu thành khóa luận của chúng tôi với tên gọi

Đánh gia gradient cho phương trình Parabolic phi tuyến

Trang |

Cau trúc của khóa luận bao gồm phần mở dau, giới thiệu bài toán và một số kiến thức chuan bị,

hai chương chính, kết luận, và tài liệu tham khảo Ngoài phần giới thiệu bài toán trình bày trongChương 1, kết quả chính của chúng tôi sẽ được trình bay lần lượt trong các Chương 2 và Chương

3 với nội dụng tóm tắt như sau:

Chương 2 trình bày các đánh giá trong và đánh giá biên.

Chương 3 dành cho việc chứng minh định lí chính vẻ tính chính quy hai trọng

Cuối cùng, đề tiện theo dõi, chúng tôi lưu ý rằng trong khóa luận này, ta kí hiệu E° là phan

bù của E và 1g là hàm đặc trưng của E Tat cả các hằng số đương được kí hiệu bởi C, Giá trị của

€ có thé thay đổi trên cùng một dòng hoặc từ đòng nay sang đòng khác

Trang 2

CHUONG 1 GIỚI THIEU BÀI TOÁN VA MỘT SO

KIEN THUC CHUAN BI

Xét phương trình parabolic tuyến tinh dang

® — div(A(x,L)Vu) = div(F), trong +,

với Ny = @ x (0,T) với O bị chặn, mở trong RN, N > 2 và @ là miền Lipschitz với hằng số

Lipschitz nhỏ Ta kí hiệu Ø;(@r) = (8 x (0,T)) U (Q x {t = 0}) Ma trận hàm A: RN x RN ¬

RN? là ham đo được và thoa điều kiện elliptic đều, tức là,

AE]? < (Aœ,ĐК,9) < Alšl? (1.2)

với mỗi š € RN và h.k.n (x,t) € RN x R.A là hang số dương.

Hàm đương w € L{,„(Š?1) được gọi là hàm trọng.

Hàm trọng w được gọi là thuộc Ap, l<=p<o nếu nó thỏa

IwÌa, = oc (am nen Days) Iw" IlLeGay < %

với Q(x, 0) = By (x) x (t— p?/2,t+ p?/2) c RN* Số [w],, được gọi là hằng số A, của w.

Hàm trọng w được gọi là thuộc A„ nếu có hai hằng số đương C và n sao cho

n

w(E) <C (a) w(Q),

Trang 3

với mọi Q = Q, (x, t) và mọi tập con đo được E của Q Cặp số (C,n) được gọi là hằng số A,, của

w và kí hiệu là [W],,, Ta biết rằng lớp này chính là hợp của tất cả các Ay với p € (1,0) Hơnnữa, nếu w € A, với [wla, <M thì tồn tại hằng số cọ = cạ(N,p,M) và hằng số My =

Mo(N, p, M) sao cho [w]A,_„< Mo.

Nếu w là hàm trọng thuộc A,, và E C RN*?! là tập Borel, 1 < p < 00, không gian có trọng

LP (EB) là tập các hàm g đo được trên E sao cho

1

Pp

llell.? ce) := ({tet>waxat) <0,

1.2 Ham cực dai Hardy-Littlewood

Ta kí hiệu M là hàm cực dai parabolic Hardy — Littlewood có tam được định nghĩa cho

hàm khả tích địa phương f trên f#Y*! bai

1

M (f(x, t) = SuprxZ————~r

p>o 1Qo(x, 0| Ö;(&Ð

Nếu q > 1 thì Mf bị chặn từ L1(RỀ+1) vào L*®(Rц1), và nếu có thêm giá thiết w € A, thì ®f

|f(y, s)|dyds, V(x, t) € IRẦ+1,

bị chặn từ LẬ (RŸ?‡) vào chính nó.

Toán tứ cực đại parabolic Hardy — Littkewood không có tâm M được định nghĩa là

M(O(x,t) = sup If(y, s)ldyds, ¥(x, 0) € RẦ*1,

Qr(x.0) 1Q,| Q

Ta có được bat đăng thức sau CM (f) < (0Ð < M (A.

Cho hai ham trong w, o Ta nói (w,o) € Ang neu

| (#1) wdxdt < C | ơ!~4 dxdt < œ,

Q Q

với mọi hình lập phương Q € t*1, Khi w = o ta có (w, w) € Ang © WE Ag.

Trong [6] đã đề cập đến bat đăng thức hai trọng sau đây: Nếu 1 < q < œ và (w,o) € Aya:

thì ta có

IM Olea artsy < C|IflÌLs(p„x+:); VEE L2.cIRN+2)

với C phụ thuộc vào w, o, q, N.

Trang 4

1.3 Miền Lipschitz

Ta gọi 2 là một miền (5, Rạ) — Lip với ồ € (0,1) và Rạ > 0 néu với mỗi x € AQ, tôn tại

hàm số T: RÑ~1 > R sao cho lIVTlÏ(=(gx-+) < 5, và ta có (đổi trục tọa độ néu cần)

2 Br, (Xo) = {(x’, xn) € Br, (Xa): Xn > r(x')}.

1.4 Điều kiện BMO

Cho 6, Ro > 0 Ta nói A(x, t) théa điều kiện (6, Rg) — BMO nều

1 =

[Ala„ = sup |ACx, t)- Ag, (t)| dxdt < 6,

(y,s)EBN*!,rsRo |Q:(y,s)| Qr(y,s)

với Q„(y,s) = B(y) x (s — r?,s) và Ag gy (t) = ao Joy A Dax.

1.5 Nghiệm yếu

Ta nói u € LJ (0, T;Wa” (a)) là nghiệm yếu u của (1.1) nêu

— J ug, dxdt + | A(x, OVuVodxdt = — | FV@dxdt

tự ft f+

với mọi ~ € Cậ({0,T) x 2).

1.6 Kết quả chính

Sau đây là kết quả chính của khóa luận này

Định lý 1.1 Cho 1 < q < 0 và Rg > 0 Giá sử hai hàm trọng W,Ø thỏa mãn w € Ag, (w,v) €

Am,¿ Khi đó, ton tại

5 = ô(N, A,q,[w]a„,) € (0,1)

sao cho nếu 2 là miễn (ô, Rạ) — Lip và [A}x, < ổ, F € LỆ(0r) n 1?(0y) thì ton tại duy nhất

nghiệm yếu u € L2 (0, T; w? (9)) của phương trình (1.1) thỏa mãn

Ill,s cay) < CMF llusua,,

với C = C(N, A,q,wW,0, Tạ /Rạ).

Trang 5

CHƯƠNG 2 ĐÁNH GIÁ TRONG VÀ ĐÁNH GIA BIEN

O phan này, ta chứng minh các đánh giá trong và biên cho nghiệm yếu u của phương trình

(1.1) Sau đó ta dùng các kết qua này dé xây dựng đánh giá toàn cục.

Dinh lý 2.1 ([10])

Cho q > 1,Rpy > 0 và G € L9(2y, R") Khi đó ton tại ồ = ồ(N, A, q) € (0,1) sao cho nếu

2 là một miền (ô,Rạ) — Lip và [AJp, S95 thì ton tại duy nhất nghiệm yếu tu €

La (0, Ti; W4 (2)) của phương trình

(vs — điu(A(x,t)Pu) = div(G), trong Qr, (2.1)

u=0, trên 3, (27) ‘

Hơn nữa,

lIPwll;+¿a„) < €||G ÌÍr«(a„), (2.2)với C = CN, A,q, (diam(0) + T1⁄2)/Rạ)

Với s > 1,Rạ > 0 áp dụng Định lý 2.1 cho G = F và q = s > 1 khi đó tồn tại hằng số5o = 59(N,A,s) € (0, =) sao cho néu 2.14 một miễn (5p, Ro) — Lip va [A]a„ < 5p, phương trình

(1.1) có nghiệm yếu duy nhất u € LẺ (0,T; Wj°(@)) thỏa

lIVullt<¿a„) < CIIF|ÍL=(a„)

với C = C(N,A,q,Tạ/Rạ).

Trong phan này, ta giả sử rằng 2 là miền (55, Ro) — Lip và [A]ạ„ < õạ ở đây 5p được đề

cập phía trên.

Từ [2] ta có quyền gia sử rằng u € L2 (—eo,T; W¿2(0)) là nghiệm yếu của phương trình

(1.1) trên Q x (—œ,T) với F = 0 trên Q x (—œ,0) và F € L?(Qy).

2.1 Đánh giá trong

Lay R € (0, Ra) Bog = Bog(Xo) CC @ và tạ € (0,T) Đặt Qzạ = Bop X (tạ — 4R”, tạ) và

8pQzn = (@Bzp X (tạ — 4R*, to)) U (Bap x {t = to — 4R*}).

Với [Alp < 5 áp dụng Định lý 2.1 cho Ny = Q¿ạ và G = F, phương trình

l& — điv(A(x,t)VW) = div(F), trong Qopr.

W=0, trên 0, Qor (2.3)

Trang 6

có duy nhất nghiệm yêu W € L2 (to — 4R2, tạ; Wo? (Bạn) Hơn nữa, ta có

|VW|Sdxdt < |F|Sdxdt,¥s > 1, (2.4)

IQorl Joan

với C = C(N,A,s) Ở đây (diam(Q) + T1⁄2)/Rọẹ = 6.

Đặt U = u — W, khi đó theo [2], ta có U € LÊ(tạ — 4R?, tp; W}2(B¿ạ)) là nghiệm yếu của

U, — div(A(x, DVU) = 0 trên Qạp (2.5)

Ta cần bỗ đề Gehring đã được chứng minh trong [5] sau đây

thỏa trên mọi Q„(y,s) CC Q;„.

Tiếp theo, theo [2], ta kí hiệu V € LZ(tạ — RẺ, to; W12(Bạ)) là nghiệm duy nhất của

V, — div(Ap, (OVV) =0, — trongQạ,

|IPV IISc <C- |VU|Sdxdt+C- |F|Sdxdt, (2.10)

Như, IQzrl Qan lQzrl Q2r

|IVv|l} (a VII} 20 < vi*dx < x < xdt.: J \?d at) < (a ! |vU|?d ar) <C |VU|dxdt

L*(Qay2) lQal Jag lQal Jog IQorl Jase

Két hop (2.4) ta duge (im) Mặt khác, áp dụng (2.8) và (2.4) thu được (2.11) như sau:

1 1

|V(u — V)|Sdxdt< C— [_ |V(u—U)[Sdxdt + C([AIa,)` IVU|Sdxdt

lQal Qr lQal Qạ IQorl QaR

<C |Fl*dxdt + C([A]a, )` |VU|°dxdt.

IQorl dq„„ IQerl Joon

a

2.2 Danh gia bién

Trong phan nay, 2 là miền (6/4, Ro) — Lip và [A]a„ < 5/4 với 5 < 5p Lay xạ e 80, 0 <

1

R < Rp và tạ € (0,T) Với mỗi n > 0 Bì (0, ¬ :)) ñ B;(0) là miễn (n, nạ) — Lip với một

Vài £ > Ö và No > Ú, ta có quả cầu B bán kính R/8 và £;,£¿ > 0 phụ thuộc vào N sao cho

B;,q(xạ) C B € Ba(Xp) và BN 2 là miền (4, £2R) — Lip.

lIVWIÌs(ạ„ „) < CIF Il usa) (2.13)

với C phụ thuộc vào N, A, s Trong trường hợp nay, ta có hang số (diam(Q) + T1⁄2)/Rạ trong

Định lý 2.1 bằng = (xem [2]).

¿

Ta đặt w = u — W và kiểm tra được (xem [2]) w là nghiệm của phương trình

w, — div(A(x, t)¥w) = 0, trong Qe je,

thỏa với mọi Qs„(2,s) C B x (tạ — (R/8)*, tạ).

Tương tự [2] Ta đặt p = £;R(1 — ồ)/8, vậy 0 < p/(1 — ð) < £¡Rạ/8 Theo định nghĩa

của miền Lipschitz và B;,q(xa) ¢ B, tồn tại hệ trục tọa độ {Y+,Y2, , Yn} với gốc tọa độ 0 € 9

với B2(0) = Ba(0) ñ {y = (V:,V¿, YN):Yn > 0}.

Hơn nữa, ta xét nghiệm duy nhất v € L? (t, — p*, to; W** (a n B,(0))) của phương trình

v=w, trên Ø„ñ,(0),

với ð„(0) = (a A B,(0)) x (tạ — p?, tạ) Ta đặt v = w bên ngoài Ố,„ (0).

Theo Bồ dé 2.3 (cũng có thé xem [10, Bê đề 2.8]) ta có kết quả sau đây

Bo đề 2.6.

Tôn tại hằng số C = C(N, A) > 0 sao cho

Trang 9

Với bat cứ € > 0, ton tại 5; = ồ(N, A,£) € (0,59) sao cho nếu & € (0, ô), ton tại hàm số

VEC (+ — p*,ty; L? (B; (6))) nL? (tc — p*,to; W12 (B; (6)))

Với mọi e > 0, Rạ > 0, ton tại 5, = 5,(N,A,&, S, qạ,£) € (0, 59) sao cho điều sau đây thỏa

mãn: Nếu 2 là một miền (8/4, Rp) — Lip với & € (0,54), ton tại hàm

V €1? (ty — (R/9)?, to; W2 (Ba,s(xu))} n 1° (to — (R/9)5,tạ; WTM” (Bays(%o)))

sao cho:

1

$ s

IVVllj=(e, ,,„,) © CTg~T al} Iva dxdt + C7 ani), -Ififdxd, (2.20)

_ 1 i |f(u — V)|*dxdt TP sool Qe, R/s00

++ (Mle)

< cứ! + (lee) Vga, lØal Jo

với một số C = C(N,A,s) > 0 Ở đây, Q; = Q;%ạ, tạ) với mọi p > 0

|Pu|Sdxdt + C— JF |\Sdxdt, (2.21)

Chứng minh.

Ta có thé giả sử ring & € (0,1/100) Do đó

Q:,n/soo C Qp/e(, to) € Qaa(0, to) C Q;,ạ C Qạ, (2.22)

Trang 10

(có thê xem [2]).

Theo Bỗ đề 2.7, với bat cứ e > 0, ta có thé tìm & = 6(N, A,$, qo, £) € (0, 1/100) sao cho có hàm

số V €lZ (to — p?, ty; W12 (B,()) nL (to — p?, to; WE” (B,(0))) thỏa

IIVvIl? <c-——¬ IVv|?dxdtL®(Qạ¿a(0to)) ~ |Q,(0, tọ)| Qp(0.to) :

1 1

|V(v — V)|?dxdt < £? |Vv|°dxdt,

1Q_(0, to)| Jo, co.0)

Khi đó, theo (2.19) trong Bé dé 2.6, (2.15) trong Bồ đề 2.5 và (2.22), ta có:

1Qo/e(0, to)| Je, 90.20) lQal Jog

Từ đây có được (2.21) và bô đề được chứng minh

Trang 12

CHƯƠNG 3 TÍNH CHÍNH QUY CHO GRADIENT

CỦA NGHIỆM

3.1 Đánh giá good — À

Dé chứng minh đánh giá good-À, ta sử dụng kĩ thuật có trong [4] Chứng minh của bd dé

này bao gdm hệ quả của định lý Lebesgue, bô dé phủ Vitali có trong [3], [9].

Bồ đề 3.1

Cho @ là một miễn (6, Ry) — Lip với < 1/4 và w là một trọng Aq Giả sit rằng dãy các

quả cau {B, Cy) He, với tâm yị 6 2, bán kính r < Ro/4 phủ Q

Đặt s, = T — ir? /2, với mọi i € 0,1, , [=] Goi ECF Cry là các tập đo được thỏa

mãn:

e tồn tại ¢ € (0,1) sao cho

w(E) < ew(Ôy(W,,sy) với mọi i = 1, ,L, j = 0,1, , |]:

¢ tới mọi (x,t) € Ø;, p € (0,2r], ta có Q,(x, t)n 0y C F nếu

w (E NOx, t)) > ew (G(x, t)).

Khi đó w(E) < eBw(F) với hãng số B = B(N, [w],,,)

Đánh giá good - À sau đây đóng vai trò quan trong trong chứng minh kết quả chính

Định lý 3.2.

Cho w € Ay, F € LS(0r,IRŸ)n 12(0r, RẺ), s > 1 Đối với bat kì e > 0, Ry > 0, ta tìm

được 5, = ô;(N,A,s,e,[w]a„„) € (0, 1/2), 52 = ổ;(N, 4,s, e, [W]a„ To/Rạ) € (0,1) và Ap =

Ag(N,A,s) > 0 sao cho nếu 41 là một miễn (ổy, Rạ) — Lip và [A] Ry S Ổi thì ton tại duy nhất

nghiệm u € LS (0, T; Ww ()) n1 (0, T; wi? (2)) của phương trình (1.1) thỏa mãn

w({M(|Pu|Ÿ) > AoA, M(|F|*) < ö;À}n Ør) < Cew((M(PulŠ) > A}n 2,) (3.1)

với mọi A > 0, và C = CN, A,s,Tạ/Rạ,

[W]a,,)-Chứng minh Định lý 3.2.

Theo Định lý 2.1, ta tìm 5) = öa(N,A,s) sao cho ton tại duy nhất nghiệm u€

L* (0,T; W¿°(@) ) của phương trình (1.1) thỏa

Trang 13

với 52 đủ nhỏ phụ thuộc vào N, s, e, [W]a Tọ/Rạ.

Thật vậy, ta có thé giả sử rằng E„s, # Ø, khi đó Ja, |F|°dxdt < C|Qzr„|özÀ kết hop với

tính bị chặn của toán tử M và (3.2), ta có đánh giá

ở đây (c,u) = |wla,

Theo [11] thì tồn tại c, = c¡(N,c,0) và 0; = u¡(Ñ,c,u) sao cho

(Ea) < ca (A) w(6,0.s)) <sw(6u0u3)), Yi

với 6, đủ nhỏ phụ thuộc vào N, s, e, [W]a, To/Ro- Từ đây ta có (3.3).

Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mọi (x,t) € Öy, r € (0,2r9] và À > 0, ta có

Ñ;(x,0n 0y CF,

từ đó dan đén

w (Exs, nŠÕ,(x, t)) > ew (Gc, t)),

với 52 đủ nhỏ phụ thuộc vào N, s, €, [W]4.,

To/Ro-Thật vậy, (x,t) € Ny, < r < 2rạ, đặt Q, = Õ„(x,t),Vp > 0 Giả sử phan chứng

Sử dung M1 (|Vul5)(x,, ty) < A, ta có thé thay rằng

(Vul|S)(y,t') < max{M(1g,, [Vul)(y, t'), 3*2A}, v(y,t) e Q,.

(xem [2])

Vì thế, với mọi A > 0 và Ay > 312,

Ens, ñ Ốy = (M(1ạ,„|Vu|Ê) > AoA, M(IFIS) < õ;A} n 0y n Q, (3.5)

Đặc biệt, nêu Bạ(x) cc RẰNG thì Eys, n Ö, = Ø

Ta xét trường hợp B;,(x) CC 2 và trường hop Bg, (x) N dQ # 6.

e Dau tiên, xét trường hợp Bg, (x) Cc 2, với v trong Mệnh đề 2.4 và Qor = Qe (Xx tạ),

to = min{t + 2r?, T}.

Ta có:

Trang 15

Vu|*dxdt

| Il, (Qar(x.ta)) |Q;r(x, tạ)| ss, |

+C-—D IF|*dxdt (3.6)IQerlx, ty) | Qạr(x,to}

|V(u — v)|°dxdt < C([A]a,) |Vu|Sdxdt

Que, tạ)| Qar(x.tạ) IQay(, to) Qar(x.to}

Nhờ vào M(|Vul®)(x,,t,) SA và AC(IFIS) (Xo, te) < 52A với (xạ,tị) (Xz, tz) € Q, ta

được Qe(x, ty) C Ñ¡zy@Œ¡, tị), Qior (Xe, tạ) va

1 IIVv||.« ; <C-—— |Vu|Sdxdt

Ở đây ta đã sử dụng [A]p, < 5, ở bat đăng thức cuối cùng

Từ (3.7), với Ag = max{3X1?,2C} trong đó C là hằng số ở (3.7), ta suy ra

|Í#(1xg,„IVv|°) > AsA/4} n Q,| = 0

Dẫn đến

JExs, n ,| < |ÍXr(1a,„ IV(u — v)IS) > AsA/4} n Ñ;|

Từ M bị chặn là L2 vào L*” kết hợp với (3.8), Qo © uy, to) ta suy ra