Luận án tiến sĩ Toán học:Một số bài toán ngược cho phương trình parabolic phi tuyến

Theo chúng tôi được biết, số lượng công trình về bài toán ngược cho phương trình parabolic là rất lớn và được công bố trên các tạp chí uy tín của các nhà xuất bản lớn như: Springer, Else

Kết quả chỉnh hóa thứ hai

Trong phần này, chúng tôi đưa ra phương pháp chỉnh hóa với K > 0 bất kỳ Ta đưa ra nghiệm chỉnh hóa như sau:

Vir, (9) = 3` s(t.) - / MF, (VET Tp (0) sửa bn

An>a(e) h với 0 < Tị, < t < Ty 0 thỏa món lim a(e) = e>0+

Kết quả của phan này được thể hiện trong định lí sau.

Dinh lí 2.3.1 Cho day số {T;}, ¡ = 0,1, ,2m thôa man

Tạ =0< Ty =hT < T; = 2hT < < Tom = 2MhT = T, (2.47)

23 trong đó h = + Ta kí hiệu

Nghiệm chỉnh hóa U*(t) được định nghĩa như sau (i = 0,2m — 2)

U*(t) = Mường: (U“(T›„„_Ă))(), nếu Tử„_;—\Ă St < Tom-i, a Tom—i—2,T2m-i (2 49) Ưf() = VEO (UF(T))) (9), nếu 0 0, để thu được rằng

FL (w1) (29 = HE (wa) (-,0)|] < V2Œ, = 8) (PPLPs(wi) + KỈ jw = wl

Bo đề được chứng minh.

Sau đây, dùng các kết quả của các bổ đề trên, ta sẽ đi vào chứng minh các kết quả chính.

Chứng minh Định lí Cho ¿£ € L?(Q), ta đặt

M = yes + 27 Fj] exp (2 In (3) + (2K? +4 yr) > 0, với Fy = sup,elpz ||# (-,#;0)|| Lay R > 871M, ta đặt

T Ps(w) a, h —Nn (3.58) T trong đó, | |¡ là phần nguyên của số thực y. Đặt t;=T—jh, j=0,N.

Ta định nghĩa uÊ(+,f;) = pe? € L*(Q) sao cho |“ ” | < M và

W; = {" EC ([tj+1, ti]; L? (Q)) : 0 (@, tj) = 9" (x), sup gr lu HIS ) tj+1 SfSE;

Bước 1: Với j = 0, ta dat ¿°?(z) = g?(z) € L?(O) Ta sẽ chứng minh bài toán (3.30) có nghiệm us € Cl (t, 7; L?(Q)) Chứng minh của Bước 1 được chia làm ba phần. a) Phần 1: Với t € [H,tạ = TỊ Phương trinh tích phân ằ |0 bs] ) Ln œ n=1

— > / - exp & | “a (7 (r)) ir) Fy, (u*) (5) a gn (x), — (3.59) n=1 uc (x,t) Ì có duy nhất nghiệm us € Œ (Ír¡ T]: L?(Q)) Hon nữa, nếu ue thỏa mãn phương trinh tích phân (3.59) thì nó cũng là nghiệm của bài toán (3.30) trên [h, TỊ.

Ta sẽ chứng minh Bp là ánh xạ co trong Wo Thật vậy, kết hợp (5.42) và (3.47) (lay

T, = tp =T), với w € Wo ta có

8—T ||Bo (0) (-, t)|| < 8-†llvfl|+(T— t) P5(w) < B-1M + hPs(w), te [n.TỊ.

Từ (3.57), ta thay rang suy ra sup 8° ||ụ (0) (-,t)|| < ủR (3.60)

Mặt khác, ta lại có

Bo (0) (x, T) = Ho (w) (2, T) — Ho (0) (ứ,T) = ) vidn(x) — 0 = ÿấ (x), trong đó yf = (y*, bn(x)) Do đó, Bo (Wo) C Wo.

Với wy, we € Wo, sử dung bat đẳng thức tam giác kết hợp với (3.43) và (3.48) ta được

< GF | Po (wi) (8) — Ho (we) (;9)|+ 8ˆ Ê |] Ho (wr) (+4) — Ho (wa) (0)

< Py(T 1) |p| wr — wally + V2 (LF = 9) (PPrP5(w1) + K] |lưn — walls oo

< hws — well oo [Pik + V2 (TPyPs(w1) + k)| we [fT], (3.61)

48 trong đú, từ (ử.60), với mọi Ê € [t,T], ta cú ỉ—7 ||Bo(0)(,7)|| < R, suy ra

Từ (3.61) và (3.62), tồn tại c € |0, 1) sao cho

8—T ||Bo (0x) — Bo (w2)|| < ellwi — wallgo, t € [h,TÌ, điều này dẫn đến Bp là ánh xạ co trong Wo Theo định lí điểm bất động của Banach dẫn đến phương trình Bo(w) = w có duy nhất nghiệm

Tiếp theo ta chứng minh rằng nếu uộ thỏa mãn phương trình tích phân (3.59), thì nó cũng là nghiệm của bài toán (3.30) That vậy, với mọi í¡ 0, để thu được rằng n=1

Dùng (3.87), Bổ đề 3.1.1] ta đánh giá |J¡;| như sau dai 0, ta có ul < Mỹ [Ae A)u(,s)Pas+ [DE (s)|? as T T t t

0, ta được

2L ' € 2 trong đó ta sử dung ||D* (-, T)|] = ||y* — ¿|| < s.

Sử dụng bất dang thức Grửnwall ta được

Doq= +ln (5) > 0 và Dé(z,t) = et” (ut (x, t) — u(a,t)), t € [0,7], ta có lu (,t) — ul, tI] < 8-1; 4 wre 8TePŒ-9

< DeŒ~19g1, trong đó Pg := Bole + — Ta chứng minh xong (3.36) ile

Ta tiếp tục chứng minh (3.37) Thật vậy, Ví € (0,7], ta có

Jue) — ul, OILS ue) = uC, EDI] + llỏ(,Êˆ) — ứẫ,0)| te

Với mọi e > 0, tồn tại duy nhất /Ê € (0,7) sao cho lim fÝ = 0 Xét phương trình

Sử dụng bat dang thức Int > —4, Vt > 0, ta thu được

Khi đó, ta có đánh giá sau

Vậy Định lí đã được chứng minh.

Trường hợp hàm nguồn thỏa điều kiện Lipschitz địa phương 59 5m {8i TT 0 aHAÍ 63

Trong mục này, ta xét hàm nguồn F : Q x [0,7] x R > R thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương, nghĩa là, với mỗi B > 0, tồn tại hằng số K(B) > 0 sao cho

|Ƒ(>z,tf;u) — F(z,t†;0)| < K(B)|u - 0|, (3.93) với moi u,v € R sao cho |u| < B,|v| < ệ.

Cho B > 0, ta xét hàm Fp định nghĩa bởi

Ta chỉnh hóa bài toán (3.1) bởi bai toán sau: tệ +a (Lpue(t)) A°uE = Fee (a, t; u8(2,t)), (x,t) 6Q x (0,7), ỉuấ Oo uÊ (x,T) = ý° (2), rEQ,

(x,t) =0, (x,t) € OQ x (0,T), (3.95) với Bé > 0 thỏa mãn lim,_,9+ B® = +00.

Bổ dé sau đây chứng minh tinh Lipschitz toàn cục của hàm nguồn Fp.

Bổ dé 3.3.8 Với Fz € L®(Q x (0,7) x R), ta có

Fale, tui) — Fa(a,t: w.)| < K(B)|uị — wl (3.96)

Chứng minh Xét hàm số Fz trong (3.94) với các trường hợp sau:

Nếu wu, < —B và uạ < —B thì

\Fo(o, tue) — ZTp(,t; u)| = Fo(o, tua) — Zp(z,t; —B)

Fale, ts 0a) — Zp(z„,t:m)| = Fale, B) — Tpn(z.t; —B)

|Fo(o, tur) — Fp(#,1:w)| = Lfp(œ.1:2) — Fp(z,1:m|

Bo đề được chứng minh. Định lí 3.3.9 Gid sử (Hì) — (Hs) va (3.96) thỏa Với 8 := B (e) € (0,1) thỏa man

(3.35), nếu chọn B® > 0 sao cho lim ,9+ BÊ = +00 va

K(B) < ain (1 (5)) , o€ (0 5) ; (3.97) thi bài toán (3.95) có nghiệm duy nhất u° € Œ' ([0, 7]; L?(Q)) Giả sử rằng nghiệm u của bài toán (3.1) thỏa mãn u € O([0,T];Gayr2) AC" ([0, 7]; L7(Q)) 9 L* (0, 7; L7(Q)).

Khi đó, ta có đánh giá sai sé sau

Hơn nữa, voi e > 0 đủ nhỏ, ton tại t® € (0,T), sao cho lim, t® = 0, ta có đánh giá

€ € Po o 1 T llư(,#ˆ) — u(-,0)|] < | Poe’? In 8 + ||uelle((o,7];22(@)) ( (3.99) n(1 ))

Chứng minh Chứng minh tồn tại, duy nhất nghiệm của bài toán (3.95) là hoàn toàn tương tự như trong chứng minh của Dinh lí và Định lí nên ta không trình bày lại ở đây Ta đi vào chứng minh (3.99) Với u® và u lần lượt là nghiệm của bài toán (3.95) và (3.1) Ta đặt

Biến đổi tương tự như trong chứng minh của Dinh {3.3.3} ta nhận được rằng

2 / c1\5=7)4 (Ip ue(s)) (Aru (x, s) — Au(a,s),D* (2, s)) ds (3.100) t

Tương tự đánh giá của Jy, J13, Jia như trong chứng minh của Dinh 1í|3.3.3| ta có đánh giá J1s, J17, Jig nhu sau:

IJml < spp lflLIlle(ozeu„z2) / ID“ (.5)|| ds, (3.102)

Be 2 Tix 2 isl < si =9 Ielễ(ezieu,2) + f lỡ: c.s|ẽ as (3.103)

Với e > 0 đủ nhỏ, tồn tại Ð° > 0 sao cho lim B® = +00, và e0

Với giá tri BS này ta có

Sit dung tinh Lipschitz Fp- (Bổ đề |3.3.8), ta có

< 1 c1(s=T) | Fo: (-,s;ue) — Fr: (-,s;u)| IP- (-5)| ds t

Kết hợp @.101)- (8.103) và (8.104), ta có

> [24 Fim (SG) =2K09 = Srp lflllllo(nascngray t| PB Cosf a ' Dé

Chon g = zin (5) > 0, va nhan xét rang |D: ( 7)| = ||y* — || < e Khi đó (3.105) trở thành lim PO lhale (arcu) 0 2

+ (BKB) + Fez lftle(ezye,,s.) + 1Ì [ Peale

Sử dung bat dang thức Grửnwall ta được

As _ L với Py := ($+ Her llfll lullo(orpeusns)) 7:

Do q=4In (3) >0 va Dé = el) (uF (wt) — u(2,t)) nên ta có lll 0,T];G M2T:2 t lu (-,t) —u(-, BI < (; ! Ty 2 ) 8#eP exp (K(B°)(T —t))

62 trong đó Pio = = + WN (0716wr2) 8 VT

Mặt khác, tương tự như trong chứng minh của Dinh 1í|3.3.3| với Vt > 0 thỏa mãn lim f# = 0 thì ta có e>0+ e( fe Py K(B°)T T llư“(,#2) — #(,0)|| < | Pioe ”e + || ||c(Ip,7):r2(©)) - (3.107)

Từ (3.97) ta dẫn đến (3.106) và (3.107) trở thành lu°(-,£) — ul-,t)|| < Pre? BF In? (3) vee (0,7), (3.108) t 1

Chứng minh xong định li.

Chương 3 đã giải quyết được các vấn đề sau:

- Dùng phương pháp Quasi-reversibility để chỉnh hóa bài toán trong cả hai trường hợp thuần nhất và phi tuyến.

- Đưa ra được đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa trong trường hợp thuần nhất (Định lí B.2.1) hàm nguồn thỏa mãn điều kiện Lippschitz toàn cục (Định 1|B.3.3) và hàm nguồn Lipschitz địa phương (Dịnh 1[8.3.9)

BÀI TOÁN PARABOLIC VỚI HAM NGUON VA HỆ SỐ

Nội dung chính của chương này là khảo sát bài toán parabolic phi tuyến với hệ số phi tuyến dạng tự — V- (a (x,t; u(x, t)) Vu) =Ƒ(z,t;u(z,t)), (#,t) €Qx (0,7), u(x, t) u(z,T) = @(z), reEQ,

(z,t)eỉ9 x(0,7), (4-4) trong đó y € L?(Q) cho trước, hàm nguồn Ƒ(z,t;u) và a(z,t;u) là hệ số phụ thuộc theo biến không gian z, thời gian t và nghiệm wu Bài toán này là bài toán không chỉnh theo nghĩa của Hadamard, vì vậy cần một phương pháp để chỉnh hóa.

Trường hợp thuần nhất: u, = au„„, với hệ số a > 0 đã được nghiên cứu rất nhiều và gần như triệt để, có thể tham khảo một số công trình của Dinh Nho Hào [27], Dang Đức Trọng và các bài báo sau [85|36/|43||44)149|/60) 62)|81|/82|

Trường hợp tuyến tính: uw = a(t)us, + F(z,f), đã được nghiên cứu bởi Phạm

Hoàng Quân |60] Nguyễn Huy Tuấn [r6lJr7|.

Với a = 1,F = F(z,t;u), Đặng Đức Trọng và đồng tác giả đã nghiên cứu chỉnh hóa bài toán Í4.1) trong trường hợp hàm #' thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương, đây gần như là một trong những kết quả đầu tiên nghiên cứu bài toán (4.1) trong trường hợp hàm nguồn thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương.

Năm 2017, các tác giả trong bài báo đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa cho bài toán phi tuyến w = a(f)uz„ + F'(z, t;u) Tiếp theo đó, Xu va cộng sự đã áp dụng

64 phương pháp tựa giá trị biên có điều chỉnh (Modified-quasi boundary value method) để chỉnh hóa bài toán với trường hợp a = a(t).

Theo chúng tôi được biết, gần như không có kết quả nào nghiên bài toán trong trường hợp a(x, f;u) Don giản hơn, với a(x, t; u) = a(z, t), các bài báo đầu tiên nghiên cứu trường hợp thuần nhất của bài toán (F = 0) là Krein va dude phát triển bởi Dinh Nho Hào và Nguyễn Văn Đức [26] Trong bai báo [26], các tác giả đã dùng phương pháp (QBV) để đưa ra bài toán chỉnh hóa ue — Vừ ng =0, (ứ)c0x(0.7), ve =0, (x,t) € OQ x (0,T), (4.2)

Nhu đã biết, nếu a(z,f; u) := a > 0 hoặc a(z,f;u) := a(t) thì bài toán có thể đưa về phương trình tích phân và ta có thể áp dụng các phương pháp chỉnh hóa trên dạng nghiệm như (57\(69l|77} Tuy nhiên, khi xét bài toán với hệ số dạng a(z, t) hoặc a(z,f;u) hoặc tổng quát hơn a(z,t;u; Vu) thì bài toán không thể chuyển về phương trình tích phân Vì vậy, các phương pháp và kỹ thuật trước đây trên dạng nghiệm không thể áp dụng để xấp xi bài toán (4.1), cần một phương pháp mới để giải bài toán này Mục tiêu của chúng tôi là xây dựng phương pháp tựa đảo có điều chỉnh (Modified quasi-reversibility method) dé chỉnh hóa bài toán (4.1).

Chương này tổng hợp các kết quả được chúng tôi công bố trên tap chí: Journal of Mathematical Analysis and Applications (SCI,Q1) [A3] và hai kết quả mở rộng được đăng trên Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A

(SCI,Q1) [A4] va SIAM Journal on Mathematical Analysis (SCI,Q1) [A5].

Trong toàn bộ chương này, ta kí hiệu || - || và (-,-) lần lượt là chuẩn và tích vô hướng trong không gian L?(Q).

Ta thiết lập các giả thiết sau:

(H,) Tồn tại œi, œ¿ > 0 sao cho ay < ja(w)| 0 là tham số chỉnh hóa.

66 Định lí 4.2.1 Với 8 := B(e) € (0,1— e f3!) thỏa man lim B =0, e>0+ (4 7) lim = =0 ) e30+ ỉ mm Nếu các giả thiết (Hì)-(Hạ) va điều kiện Lipschitz toàn cục (3.34) thỏa thà bài toán (4.4) có nghiệm duy nhất ug € C (|0, TÌ; L2 (Q)) Giá sử rằng bài toán (4.1) có nghiệm duy nhất u thỏa mãn u€ C((0,T]; Ga„r;ứ) ủn LđŠ (0,7; H(6)) AC? (00.71: L7(Q))

Khi đó, ta có đánh giá sai sé sau u(t) — u(-,1)||< PeP2f?, te (0,7), (4.8) trong đó,

Voie > 0 du nhỏ, ton tại t& > 0 sao cho lim,_,9+ tÊ = 0, ta có đánh giá sau

Chú ý 4.2.2 Nếu chọn B = e! vdi € (0, 1] trong (4.8) va (4.9), thd ta được lul[c(o.z;e ) t u5(-,t) — u(-,t)|| < eP2F9 Jel 4 eer | er, /c(0,7], (410 Đà ll#lÌc(oz:e „„ T

Trường hợp hàm nguồn thỏa điều kiện Lipschitz địa phương| 67

Khi hàm nguồn #' thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương (3.93) và với cách xấp xỉ hàm #' như trong (3.94) Khi đó, với B® > 0 thỏa mãn lim, ;g+ B® = +œ, ta xét

Dinh lí 4.2.3 Cho 8 := 6 (e) € (0,1 — exp(—az7Ai)) thỏa va giả sử (Hì) — (H3) va được thỏa Khi đó bài toán có nghiệm duy nhất us € C(|0,T]; L2(9)).

Chon B® > 0 sao cho lim, ;ọ+ BS = +00 va

T 8 trong đó ¢(t) = min {ác sh, ta có đánh giá sai số sau

|Ìu2 (-.2) — w(-, 9) || < Pre BT ln 8 , Vt € (0,7] (4.14)

Với e > 0 đủ nhỏ, ton tại f° > 0 sao cho lim t =0, ta có e0 liệt £)= 6(0)|< | Bác? mS [2] + led — (115) đ\) ) > 11 8 t L&® (0,7;L2(Q)) 1 LY’ ,

L* lulls co (o,~;mle)) va hằng số Py, được định nghĩa trong Dinh lí trong đó Py3 := Ton 4

Chú ý 4.2.4 1) Nếu 8 := B(e) € (0,1 — exp(—a2TA)) thỏa mãn (4.7) thi

|lu2(-,£) — u(-, t)|| tiến dan vé 0 khí e + 0*, uới moit € (0,T).

2) Nếu chọn 0 < ¢(t®) < 1/2 thà vé phải của (4.15) tiến dan vé 0 khi e > 0*.

4.3 Chứng minh các kết qua chính

Trước tiên, ta chứng minh kết quả bổ trợ được dùng trong xuyên suốt chương này.

Bổ đề 4.3.1 (a) Với w € Gasro, ta có lE.„9)|< -lirle, (4.16)

Chứng minh (a) Sử dung bất dang thức In(1 + y) < y, Vy > 0, ta có đánh giá

|IC2„„(ằ)|ẽ = pet ( 1+ Bexp (a2T Ap) )) |, On (x bỈ

(b) Sử dụng đẳng thức Parseval và bất đẳng thức

"(Sen =£h (5) Isột.9IP = 22alla9lễ,.„„ = GWG) et) [P( 6$) = F(t u)] | wa) < KIIwọC.Đ|Ẻ - (433)

[ovat TIIP = Iwas +f gzle(s5)|Š,„„ud›

+ 2 | | (b(a, T 8; uz) — a1) IVw2|?dzds t Jo ee

Với w5(-,T) = y* (x) — g(z), thì (4.35) tương đương với

Iw2(.9|Ê < le? — elP + Sule We ) S lI⁄ ự T U C(I0.7]:Gazz:o)

Từ (4.40), chọn gg = +In (3) > 0, ta thu được ˆ?) lus (,t — LỆ, II < E ˆ+ allele C(I0,7];Ga 27:0)

Sử dụng bat dang thức Grửnwall ta cú

VỚI gg = zIn (3); ta thu được

|lu(,1) — ul, I] < Pre’? r, (4.39) trong đó Đị := © tllc(ozne,„x 0)

Tương tự như trong chứng minh của Dinh 1í|3.3.3| ta có thêm

"} lui.) = u(-,0)|] < (Pre? + Ilnlly~zz24en) Định lí được chứng minh.

Tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán chỉnh hóa được chứng minh hoàn toàn tương tự như trong Bước 1 của Dinh 1í [4.2.1] nên chúng tôi không trình bày lại Ta tiếp tục với đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa u% thỏa bài toán và nghiệm chính xác u thỏa bài toán (4.1) Đặt

Lập luận tương tự như trong chứng minh của Dinh lí 4.2.1| ta thu đươc rằng

= Aj, (W5) + c9?) (4) — eB DY - ((b(œ,1; ug) — D(z, tu) Vu)

+ et(t-T) Fn: (x, t; 05) — F(z, t; u)| : (4.41) và Wƒ?loo =0, W?(z,T7') = ÿŸ() — ¿(z).

Lấy tích vô hướng hai về của (4.41) với W5, ta được sarIWi(.Đ|P = foe t5us)IVW5P(e, de = aalW5C.0P Ld

= [Aion (V5 [Aion 0) Wades Lee TC (0) > Wade rr =:J24 a

Kết quả đánh giá của | Jo3|, | Joa], |J2s| là hoàn toàn tương tự như (4.29), (4.31), (4.32) tương ứng (thay w; bởi W2) Ta đánh giá |Jog|, sử dụng (3.96), ta có đánh giá

| J26 | = | [ewe Fr: (x, t; u3)) — F(e,t;u))| - W?(œ,f)d+ see? {Ze-(.612) — FC.) | Ia < K9)IWjC.0,

Kết hợp (4.29), (4.31), (4.32), và (1.43) thu được

1 = € D € 2 € all Wal ol? — f Mz,ss4)|VWj (2.1) dx — qa|[W5(-,1) |

> pin (G) IWjCG.9If = zslwG9|Š,„„„ = WHOOP ul “WFO |yWC,Đ|?~= aš f |VWG,Đ de ~ K(BE)IW5.08 1

Lấy tích phân hai về của (4.44) theo biến s trên đoạn [0, 7], ta có

WEG, TIP = IIW2(.)| + ef St 5) lễ, „„4s

WSCA? < lhe" — 2+ ShueB SNP ~ PT N“Ne((0,7);Gayr0)

! ! L 2K (Bđ) +1 —2qy | W5(-,s)||2d | (2ằ() mm (B2) +1 2gy | |Wọ( 5) Pas

Từ (4.40), chọn gg = zÌn (3) > 0, ta thu được

Sử dụng bat dang thức Gronwall ta có

VỚI gg = + In (3); ta thu được llus(,#) — uC, 4)

< : + -El*lle6is s.)| exp mm + K(B) + j) (T - ) gr

< Pye TO eK (BIT gr (4.49)

Lập luận tương tự như trong Dinh Ii{4.2.1] ta có đánh giá sau

Thay diéu kién vào các đánh giá và ta thu được các kết quả trong và (4.15), tương ứng Dinh li được chứng minh.

4.4 Các kết qua mở rộng

Các kết quả sau đây là trường hợp mở rộng của bài toán (4.1), chúng tôi không trình bày chi tiết các chứng minh trong luận An này.

Trong bài toán (4.1), lay a(z,t†;) = a(z,£), xét hệ gồm m phương trình sau: ỉrui — V- (ai(e,)Vun) = Fi (x,t; u1; ;Um), (x,t) €Q x (0,T),

Opti — V+ (am(@,t)Vtin) = Fin(@s 3215.3), (1) € 2x (0,7), (4.51) u„(œ,Ê) = 0, (x,t) € OQ x (0,7), với k =1,m.

Dùng phương pháp Quasi-reversibility dé chỉnh hóa bài toán (4.51), ta có kết quả sau:

Dinh lớ 4.4.1 Với m € ẹ”,m > 2, ta cú

UPC.) UCD] izứjằ < COMM A, vớe(0/7] (4.52)

Hon nữa, uới e > 0, ton tại t® € (0,T) sao cho lim,_,9+ t® = 0, ta có ÌIuz¿o" < cenene® 7 trong đó, US? := (ui? up’, ug?) € [C (0, 7]; r2(9))]” la nghiém chinh héa va

U := (uy, U2, ,Um) € [C ((0, 7]; r2(9))]” là nghiệm của bài toán (4.51).

Kết quả trên đây được chúng tôi công bố trên tạp chí Discrete and Continuous

4.4.2 Trường hợp hệ số a := a(z,t; u; Vu)

Trong bài toán (4.1), mở rộng hệ số a(x,t;u) đến trường hợp a(z,f;u; Vu), ta xét bài toán sau:

Dùng phương pháp Quasi-reversibility để chỉnh hóa bài toán (4.54), ta có kết quả sau:

Dinh lí 4.4.2 Voit € (0,7], ta có đánh giá sau ua) — uC O|l pa) S Œx“Œ,8) (4.55)

Hơn nữa, ton tai t© € (0,7) sao cho lim._,9+ © = 0, ta có

||u2(-.12) — ul-, 0)|] 5.4, < C——— (4.56) BY ’ 2(Q) — 1 1 me) In? (9(T,8)) trong đú, ham y : [0,T] x (0,1) sao cho uới 8 := ỉ(e) € (0,1), thỏa man

Kết quả trên đây được chúng tôi công bố trên tạp chí SIAM Journal on Mathe- matical Analysis (SCI, Q1) [A35].

- Dùng phương pháp Quasi-reversibility có điều chỉnh để chỉnh hóa bài toán (4.1).

- Dưa ra được đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa trong hai trường hợp của hàm nguồn thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục và Lipschitz địa phương (Dinh lí và Dinh Ií|4.2.3).

KET LUẬN CHUNG VÀ KIÊN NGHỊ

Trong luận án này, chúng tôi đưa ra được các kết quả sau:

Mot la, ding phương pháp chặt cụt chuối Fourier mới để chỉnh hóa bài toán parabolic phi tuyến có hệ số hằng Kết quả đạt được là các điều kiện tiên nghiệm thuộc các không gian ham đơn giản hon (Hilbert scale, Hilbert)và điều kiện Lipschitz được giảm nhẹ hơn các kết quả trước đó.

Hai là, dùng phương pháp Quasi-reuersibility để chỉnh hóa bài toán ngược thời gian phi tuyến cho phương trình parabolie với hệ số phi địa phương Kết quả về tính tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán chỉnh hóa được xem xét Hơn nữa, sai số hội tụ được đưa ra trong cả hai trường hợp hàm nguồn thỏa mãn điều kiện Lipschitz toàn cục và Lipschitz địa phương.

Ba la, dùng phương pháp Quasi-reversibility có điều chỉnh dé chỉnh hóa bài toán phi tuyến với hệ số phi tuyến Đưa ra đánh giá sai số hội tụ của phương pháp chỉnh hóa.

Kết quả chính của luận án đã được công bố trên 05 bài báo quốc tế (SCI).

Trong thời gian tới chúng tôi sẽ nghiên cứu các vấn đề sau:

1 Tiếp tục nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian có yếu tố ngẫu nhiên.

2 Nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian trong không gian Banach.

3 Nghiên cứu bài toán Cauchy cho hệ phương trình parabolic phi tuyến.

4 Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng có đạo hàm cấp không nguyên theo thời gian.

DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA NGHIÊN CỨU

SINH CÓ LIEN QUAN DEN LUẬN ÁN

[Al] Nguyen Huy Tuan, Mokhtar Kirane, Bessem Samet, Vo Van Au (2016), “A new Fourier truncated regularization method for semilinear backward parabolic problems”, Acta Applicandae Mathematicae, 148(1), pp 143-155, (SCI, Q2).

[A2] Nguyen Huy Tuan, Vo Van Au, Vo Anh Khoa and Daniel Lesnic (2017), “Iden- tification of the population density of a species model with nonlocal diffusion and nonlinear reaction”, Inverse Problems, 33, 055019, (SCI, Q1).

[A3] Vo Van Au, Nguyen Huy Tuan (2017), “Identification of the initial condition in backward problem with nonlinear diffusion and reaction”, Journal of Mathemat- ical Analysis and Applications, 452, pp 176-187, (SCI, Q1).

[A4] Vo Van Au, Mokhtar Kirane, Nguyen Huy Tuan (2019), “Determination of initial data for a reaction - diffusion system with variable coefficients”, Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series A, 39(2), pp 771-801, (SCI, Q1).

[A5] Nguyen Huy Tuan, Vo Anh Khoa, Vo Van Au (2019), “Analysis of a quasi- reversibility method for a terminal value quasi-linear parabolic problem with measurements”, SIAM Journal on Mathematical Analysis, 51(1), pp 60-85, (SCI, Ql).

[1] Nguyễn Văn Đức (2011), Phương trinh parabolic ngược thời gian, Luận án tiễn sĩ toán học.

[2| Đăng Đức Trọng, Phạm Hoàng Quân, Đặng Hoàng Tam, Dinh Ngoc Thanh

(2011), Giải tích ham, NXB Dai Học Quốc Gia Tp Hồ Chí Minh.

[3] Trần Đức Vân (2008), Ly thuyết phương trinh vi phân đạo ham riêng, Nhà xuất bản Dại học Quốc gia Hà Nội.

[4] kK A Ames, G Clark, F Epperson (1998), “A comparison of regularizations for an ill-posed problem”, Math Comp., 67(224), pp 1451-1471.

[5] K A Ames, J F Epperson (1997), “A kernel-based method for the approximate solution of backward parabolic problems”, STAM J Numer Anal., 34(4), pp.127—

|6] K A Ames, R J Hughes (2005), “Structural stability for ill-posed problems in

Banach space”, Semigroup Forum, 70, pp 127-145.

[7] D D Ang (1985), “Stabilized approximate solution of the inverse time problem for a parabolic evolution equation”, J Math Anal Appl., 111, pp 148-155.

[8] H T Banks, K A Murphy (1989), “Estimation of nonlinearities in parabolic models for growth, predation, and dispersal of populations”, J Math Anal Appl.,

[9] N Boussetila, F Rebbani (2007), “A modified quasi-reversibility method for a class of ill-posed Cauchy problems”, Georgian Math J., 14(4), pp 627-642.

[10] C Cao, M A Rammaha, E S Titi (1999), “The Navier-Stokes equations on the rotating 2-d sphere: Gevrey regularity and asymptotic degrees of freedom”, Z.

[11] H Cao, 5 V Pereverzev (2006), “Natural linearization for the identification of a diffusion coefficient in a quasi-linear parabolic system from short-time obser- vations”, Inverse Probl., 22(6), pp 2311-2330.

[12] E F Cara, E Zuazua (2000), “The cost of approximate controllability for heat equations: The linear case”, Adv Differ Equ., 5(4-6), pp 465-514.

[13] M Chipot (2000), Elements of nonlinear analysis, Birkhauser Verlag, Basel.

[14] J Cheng, J J Liu (2008), “A quasi Tikhonov regularization for a two-dimensional backward heat problem by a fundamental solution”, Inverse Probl., 24(6), 065012,

[15] G W Clark, S F Oppenheimer (1994), “Quasireversibility methods for non-well posed problems”, Electron J Differ Equ., 301(8), pp 1-9.

[16] M Denche, K Bessila (2005), “A modified quasi-boundary value method for ill-posed problems”, J Math Anal Appl., 301, pp 419-426.

[I7] P Duchateau, R Thelwell, G Butters (2004), “Analysis of an adjoint problem approach to the identification of an unknown diffusion coefficient”, Inverse Probl.,

[18] L C Evans (1997), Partial Differential Equations, Amer Math Soc., 19, Prov- idence, Rhode Island.

[19] R E Ewing (1975), “The approximation of certain parabolic equations backward in time by sobolev equation”, STAM J Math Anal., 6(2), pp 283-294.

[20| X L Feng, Z Qian, C L Fu (2008), “Numerical approximation of solution of nonhomogeneous backward heat conduction problem in bounded region”, Math.

[21] C L Fu, X T Xiong, Z Qian (2006), “Two numerical methods for solving a backward heat conduction problem”, Appl Math Comput., 179, pp 370-377.

[22] C L Fu, X X Tuan, Z Qian (2007), “Fourier regularization for a backward heat equation”, J Math Anal Appl., 331(1), pp 472-480.

[23] M A Fury (2013), “Modified quasi-reversibility method for nonautonomous semilinear problems”, Electron J Differ Equ Conf., 20, pp 65-78.

[24] D N Hao (1994), “A mollification method for ill-posed problems”, Numer Math.,

[25] D N Hao (1996), “A mollification method for a noncharacteristic Cauchy problem for parabolic”, J Math Anal Appl., 199, pp 873-909.

[26] D N Hao, N V Duc (2011), “Stability results for backward parabolic equations with time-dependent coefficients”, Inverse Probl., 27(2), 025003, 20 pages.

[27] D N Hao, N V Duc, D Lesnic (2010), “Regularization of parabolic equations backward in time by a non-local boundary value problem method”, IMA J Appl. Math., 75(2), pp 291-315.

[28] A Hassanov, J L Mueller (2001), “A numerical method for backward parabolic problems with non-selfadjoint elliptic operator”, Appl Numer Math., 37, pp. 55-78.

[29] 5 Hapuarachchi, Y Xu (2017), “Backward heat equation with time dependent variable coefficient”, Math Meth Appl Sci., 40(4), pp 928-938.

[30] M Hanke, O Scherzer (1999), “Error analysis of an equation error method for the identification of the diffusion coefficient in a quasi-linear parabolic differential equation”, SIAM J Appl Math., 59(3), pp 1012-1027.

B M C Hetrick, R J Hughes (2009), “Continuous dependence on modeling for nonlinear ill-posed problems”, J Math Anal Appl., 349(2), pp 420-435.

Y Huang, Z Quan (2004), “Regularization for ill-posed Cauchy problems associated with generators of analytic semigroups”, J Differ Equ., 203(1), pp 38-54.

Y Huang, Z Quan (2005), “Regularization for a class of ill-posed Cauchy problems”, Proc Amer Math Soc., 133, pp 3005-3012.

M Jourhmane, N S Mera (2002), “An iterative algorithm for the backward heat conduction problem based on variable relaxation factors”, Inverse Probl.

B T Johansson, D Lesnic, T Reeve (2011), “A comparative study on applying the method of fundamental solutions to the backward heat conduction problem”,

B Johansson, D Lesnic, T Reeve (2012), “A method of fundamental solutions for radially symmetric and axisymmetric backward heat conduction problems’,

S G Krein (1957), “On correctness classes for certain boundary problems”, Dokl. Akad Nauk SSSR, 114(6), 1162-1165.

S M Kirkup, M Wadsworth (2002), “Solution of inverse diffusion problems by operatorsplitting methods”, Appl Math Model., 10, pp 1003-1018.

M V Klibanov (2015), “Carleman weight functions for solving ill-posed Cauchy problems for quasilinear PDEs”, Inverse Probl., 31(12), 125007.

M V Klibanov, N A Koshev, J Li, A G Yagola (2016), “Numerical solution of an illposed Cauchy problem for a quasilinear parabolic equation using a Carleman weight function”, J Inverse Ill-Posed Probl., 24(6), pp 761-776.

M V Klibanov, A V Kuzhuget, K V Golubnichij (2016), “An ill-posed problem for the Black-Scholes equation for a profitable forecast of prices of stock options on real market data”, Inverse Probl., 32, 015010.

[42] R Lattes, J L Lions (1967), Methode de quasi-reversibilite et applications,

[43] J Lee, D Sheen (2006), “A parallel method for backward parabolic problems based on the Laplace transformation”, STAM J Numer Anal., 44, pp 1466-

[44] D Lesnic, L Elliott, D B Ingham (1998), “An alternating algorithm for solving the backward heat conduction problem using an elliptic approximation”, Inverse Probl Sci Eng., 6, pp 255-279.

[45] J J Liu (2002), “Numerical solution of forward and backward problem for 2-D heat equation”, J Comput Appl Math., 145, pp 459- 482.

[46] J Liu (2003), “Continuous dependence for a backward parabolic problem”, J.

[47] N T Long, A P N Dinh (1994), “Approximation of a parabolic non-linear evolution equation backwards in time”, Inverse Probl., 10(1994), pp 905-914.

[48] N T Long, A P N Dinh (1996), “Note on a regularization of a parabolic nonlinear evolution equation backwards in time”, Inverse Probl., 12(1996) pp.

[49] N 5 Mera, L Elliott, D B Ingham, D Lesnic (2001), “An iterative boundary element method for solving the one dimensional backward heat conduction problem”, Int J Heat Mass Transf., 44(10), pp 255-279.

[50] N S Mera (2005), “The method of fundamental solutions for the backward heat conduction problem”, Inverse Probl Sci Eng., 13(1), pp 65-78.

[51] I V Mel’nikova (1989), “Regularization of ill-posed differential problem (in Rus- sian)”, Sibirks, Mat Zh., 33, pp 126-134.

[52] I V Mel’nikova, Q Zheng, J Zheng (2002), “Regularization of weakly ill-posed

Cauchy problem”, J Inverse Ill-posed Probl., 10(5), pp 385-393.

[53] K Miller (1973), Stabilized quasi-reversibility and other nearlybest-possible methods for non-well-posed problems, Symposium on non-well-posed problems and logarithmic convexity (Heriot-Watt Univ., Edinburgh, 1972), Lect Notes Math., pp 161-176 316, Springer, Berlin.

[54] I V Melnikova, S V Bochkareva (1993), “C-semigroups and regularization of an ill-posed cauchy problem”, Dok Akad Nauk., 329, pp 270-273.

[55] I V Melnikova, A I Filinkov (2001), The Cauchy problem Three approaches,

Monograph and Surveys in Pure and Applied Mathematics, 120, London - New York: Chapman and Hall.

[56] M T Nair, S V Pereverzev, U Tautenhahn (2005), “Regularization in Hilbert scales under general smoothing conditions”, Inverse Probl., 21(6), pp 1851-1869.

[57] P T Nam (2010), “An approximate solution for nonlinear backward parabolic equations”, J Math Anal Appl., 367(2), pp 337-349.

[58] N T N Oanh (2013), “A splitting method for a backward parabolic equation with time-dependent coefficients”, Comput Math Appl., 65(1), pp 17-28.

[59] S Piskarev (1987), “Estimates for the rate of convergence in the solution of ill- posed problems for evolution equations”, Izv Akad Nauk SSSR Ser Mat., 51, pp 676-687.

|60| P H Quan, D D Trong, L M Triet, N H Tuan (2011), “A modified quasi- boundary value method for regularizing of a backward problem with time- dependent coefficient”, Inverse Probl Sci Eng., 19(3), pp 409-423.

[61] J Lee, D Sheen (2009), “F John’s stability conditions versus A Carasso’s SECB constraint for backward parabolic problems”, Inverse Probl., 25, 055001, 15 pages.

[62] A Shidfar, A Zakeri (2005), “A numerical technique for backward inverse heat conduction problems in one-dimensional space”, Appl Math Comput., 171(2), pp 1016-1024.

R E Showalter (1974), “The final value problem for evolution equations”, J. Math Anal Appl., 74, pp 563-572.

R E Showalter (1983), Cauchy problem for hyper-parabolic partial differential equations, in Trends in the Theory and Practice of Non-Linear Analysis, Elsevier.

T Schroter, U Tautenhahn (1996), “On optimal regularization methods for the backward heat equation”, Z Anal Anwend., 15, pp 475-493.

D D Trong, N H Tuan (2006), “Regularization and error estimates for nonhomogeneous backward heat problems”, Electron J Differ Equ., 04, pp 1-10.

D D Trong, N H Tuan (2008), “A nonhomogeneous backward heat problem: Regularization and error estimates”, Electron J Differ Equ., 33, pp 1-14.

D D Trong, P H Quan, T V Khanh, N H Tuan (2007), “A nonlinear case of the 1-D backward heat problem: Regularization and error estimate”, Z Anal. Anwend., 26, pp 231-245.

D D Trong, N H Tuan (2009), “Regularization and error estimate for the nonlinear backward heat problem using a method of integral equation”, Nonlinear Anal., 71, pp 4167-4176.

N H Tuan, D D Trong, P H Quan (2010), “On a backward Cauchy problem associated with continuous spectrum operator”, Nonlinear Anal., 73(7), pp 1966-

N H Tuan, D D Trong (2010), “Sharp estimates for approximations to a nonlinear backward heat equation”, Nonlinear Anal., 73(11), pp 3479-3488.

N H Tuan, D D Trong (2010), “A nonlinear parabolic equation backward in time: regularization with new error estimates”, Nonlinear Anal., 73(6), pp 1842—

N H Tuan, P H Quan, D D Trong, L M Triet (2013), “On a backward heat problem with time-dependent coefficient: Regularization and error estimates”, Appl Math Comput., 219, pp 6066-6073.

Chứng minh các kết quả chính|

Chứng minh Dinh l|J42.3|