Luận án tiến sĩ Toán học: Khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng phi địa phương

LỜI CAM ĐOANTôi xin cam doan luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích, uới dé tài “Khảo sát một số bài toánbiên cho phương trình sóng phi tuyến chứa sô hạng phi địa phương” là công trình kho

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM : TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐOÀN THỊ NHƯ QUỲNH

KHAO SÁT MOT SO BÀI TOÁN BIEN CHO PHƯƠNG

TRÌNH SÓNG PHI TUYEN CHỨA SO HANG PHI DJA

PHUONG

LUẬN ÁN TIEN SĨ

TP Hồ Chí Minh — Năm 2023

VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH

UNIVERSITY OF SCIENCE

DOAN THI NHU QUYNH

STUDYING SOME BOUNDARY VALUE PROBLEMS FOR

A NONLINEAR WAVE EQUATION CONTAINING

NONLOCAL TERMS

Doctoral Thesis

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐOÀN THỊ NHƯ QUỲNH

KHẢO SÁT MOT SO BÀI TOÁN BIEN CHO PHƯƠNG

TRÌNH SONG PHI TUYẾN CHỨA SO HẠNG PHI DJA

PHƯƠNG

Ngành: Toán giải tích

Mã sô ngành: 9460102

Phản biện 1: PGS TS Mai Đức Thành

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Đình Huy

Phản biện 3: PGS TS Nguyễn Huy Tuấn Phản biện độc lập I: PGS TS Lê Minh Triết Phản biện độc lập 2: TS Nguyễn Văn Ý

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 PGS TS Lê Thị Phương Ngọc

2 TS Nguyễn Thành Long

TP Hồ Chí Minh — Năm 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam doan luận án tiến sĩ ngành Toán giải tích, uới dé tài “Khảo sát một số bài toánbiên cho phương trình sóng phi tuyến chứa sô hạng phi địa phương” là công trình khoa học dotôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của Cô PGS TS Lê Thị Phuong Ngoc va Thay TS Nguyễn

Thành Lơng.

Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác va không trùng lắp

uới các công trình đã công bô trong va ngoài nước Các bài báo đồng tác gid da được các đồngtác gid cho phép sử dung để uiết luận án nay

Nghiên cứu sinh

Đoàn Thị Như Quỳnh

L Ời cảm on

Lời đầu tiên, tôi bay tỏ long biết ơn sâu sắc đến Cô PGS TS Lê Thị Phương Ngọc va Thay

TS Nguyên Thanh Long vé sự tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình học tập, nghiêncứu va hoàn thành luận án Thay, Cô luôn quan tâm, động vién va giúp đỡ tôi trước những khókhăn của viéc học tập cũng như trong cuộc sông

Tời xin cảm ơn TS Nguyễn Hữu Nhân đã luôn hỗ trợ, đọc bản luận án va cho những ý

kiến đóng gdp xác đáng va quý báu giúp tôi hiểu sâu hon

Tôi bay tỏ lòng kính trong va biết ơn đến các Nha Khoa học, Quy Thay Cô trong các Hộiđồng cham luận án tiễn sĩ cap Bộ môn, cap cơ sở Dao tạo, các chuyên gia phản biện độc lập vachính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xét rat bổ ích giúp tôi hoàn thiện tốt luận án

Tôi v6 cùng biết on Quý Thay Cô trong va ngoài Khoa Toán-Tin học, Trường Đại học Khoahoc Tự nhiên, Dai học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh, da truyén đạt kiến thức va kinh nghiệm học

thuật cho tôi trong suốt quá trình học tại trường

Trân trọng cam ơn Ban Giám hiệu, Quý Thay Cô phòng Quản lý Sau Đại học trường Daihọc Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh đã tạo moi điều kiện thuận lợi siúp tôi hoàn thành

Tôi chân thành cảm ơn các Thay Cô, Anh Chị, các Bạn thuộc nhóm Seminar đặc biệt là TS

Võ Thị Tuyết Mai, TS Lê Hữu Ky Son, NCS Bùi Đức Nam, NCS Nguyễn Vũ Dzũng da đóngsóp những y kiến va kinh nghiệm quý báu trong nhiều buổi sinh hoạt học thuật định ky

Cuối cùng, tôi xin dành những lời thân thương nhất giti đến các thành uiên của gia đìnhtôi, những người da luôn bên tôi những lúc khó khăn, luôn động uiên, hỗ trợ va tạo mọi điềukiện thuận lợi nhất để tôi học tập

ii

Mục lục

ee i

eee ii

Trang thong tin luận án tiếng Việt v

Trang thong tin luận án tiếng Anh| - viii

Chuong4 Khảo sát bài toán Robin-Dirichlet không thuần nhất cho phương

trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier chứa sô hạng đàn hồi nhớt

32

11

6.2 Thiết lập thuật giải lặp cap N

TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN

Tên đề tài luận án: Khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa s6 hang phi địa phương

Ngành: Toán giải tích

Mã số ngành: 9460102

Họ tên nghiên cứu sinh: Đoàn Thị Như Quỳnh

Khóa đào tạo: 2020

Người hướng dẫn khoa học:

- PGS TS Lê Thị Phương Ngọc

- TS Nguyễn Thành Long

Cơ sở đào tạo: Trường Dai học Khoa học Tự nhiên, ĐHỌG-HCM

1 TOM TAT NỘI DUNG LUẬN ÁN:

Luận án khảo sát một số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến chứa các

sO hạng phi dia phương và nghiên cứu sự ton tại nghiệm, các tính chất của nghiệmđối với các bài toán này Ngoài phần giới thiệu mở đầu, tổng quan, các phương phápnghiên cứu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận án được trình bày

trong ba chương 4, 5 và 6 tương ứng với các bài toán như sau:

Trong Chương 4, luận án khảo sát bài toán Robin-Dirichlet không thuần nhất chophương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hạng đàn hồi nhớt có dạng

ở

tụ — Au — ~ [By (x,t,u(x,Ð),|Iu(ĐIỂ, lIrs@)|P) a

t 9

+ [ lt) |ta (x,s,m(x,5), Ir{s)|Ê, us(s)|Ủ) nạ(e,s)] ds

=F (tt, lIs(ĐIỂ, Iex(Đ)IỂ, In(Đ|Ê), (1)

0<x<10<t<T,

ux(0,t) — hou(0,t) = go(t), u(1,t) = g1(t),

u(x,0) = fig(x), us(x,0) = (x),

trong đó A > 0, họ > 0 là các hằng số, ƒ,8, 80, 81 tu Hạ, Ho, Hy là các hàm số cho trước

Với các giả thiết phù hợp, bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp

phương pháp Faedo-Galerkin và phương pháp compact, trước hết luận án chứng minh

sự ton tại duy nhất của nghiệm yếu của Bài toán (1p Tiếp theo, luận án thiết lập một

khai triển tiệm cận của nghiệm yếu của Bài toán (1) theo một tham số bé e đến cấp N +

1, ở đây Bài toán (1) được xét với ƒ = ƒ + efi, fi = fi(x,t,u, ux, Ut, IIz(£) |", Il (t)||7,

lIi,(Đ)lÍ).

Trong Chương 5, luận án khảo sát bài toán Dirichlet cho phương trình sóng phi

tuyến chứa số hạng phi địa phương dạng tích chập phi tuyến theo biến thời gian như

sau

a2 t a2 :

tụ — Attai — Soy ÍM(%,t,tx,Ð)|+ [g(t 8) 25 [a (a, 5, u(x,))] ds

= f (x,t, u, up, Ux, Uty), O< x <1,0<t<T, (2)

u(0,t) = u(1,t) =0,

u(x,0) = fig(x), up(x,0) = ñ1(3),

trong đó ƒ, g, 1, ji, ño, ñ là các hàm số cho trước va A > 0 là hang số Trước hết,

luận án phát biểu và chứng minh một định lý liên quan đến sự tổn tại duy nhất của

một nghiệm yếu địa phương của Bài toán (2) Tiếp theo, luận án chứng minh một

điều kiện đủ để nhận được sự phụ thuộc liên tục của nghiệm của Bài toán vàocác hàm yn, 7, ƒ, g Dưới các giả thiết phù hợp, luận án cũng chứng minh sự tổn tại

của nghiệm toàn cục của Bài toán (2) trong trường hợp đặc biệt = p(t,u), fi = u,

ƒ = —Ayu t+ f(u) 5 Dậy(t,w)uệ +F(x,t), đồng thời nghiệm toàn cục này tắt dan

tổng quát với năng lượng ban đầu dương khi t > +o

Trong Chương 6, luận án thiết lập một thuật giải lặp cấp cao cho Bài toán (2) trong

trường hợp ƒ = f(x,t,u) Bằng thuật giải lặp cấp cao này, luận án chứng minh được

sự tổn tại của một dãy lặp, hơn nữa dãy lặp thu được hội tụ bậc N về nghiệm yếu duynhất của bài toán Ngoài ra, một đánh giá về tốc độ hội tụ của dãy lặp về nghiệm của

bài toán đang xét cũng được chỉ ra.

2 NHUNG KET QUA MỚI CUA LUẬN ÁN

- Phát biểu và chứng minh một định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa

phương của Bài toán (1) Thiết lập được khai triển tiệm cận của nghiệm yêu của Bài

toán (1) theo tham số bé e đến cấp N + 1 trong trường hợp ƒ = f + efi, với fi =

falta te u(t) Ies(Đ|Ê, a9).

- Phát biểu và chứng minh một định ly về sự tồn tại va duy nhất nghiệm yếu dia

phương của Bài toán (2) Thiết lập một điều kiện du để thu được sự phụ thuộc liên tục

của nghiệm vào các hàm p, 7, ƒ, g Phát biểu và chứng minh các điều kiện đảm bảo sự

ton tại toàn cục của Bài toán (2), đồng thời nghiệm toàn cục này tắt dan tổng quát khi

ƒ — +©o.

- Thiết lập được một thuật giải lặp cấp cao cho Bài toán (2), trong trường hợp f =

ƒ(x,t,u), để thu được một dãy lặp hội tụ bậc N về nghiệm yếu duy nhất của bài toán

VI

và đánh giá được tốc độ hội tụ của dãy lặp về nghiệm của bài toán đang xét.

3 CAC UNG DỤNG/ KHẢ NANG UNG DỤNG TRONG THUC TIEN HAY

NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIEP TUC NGHIEN CUU

- Tìm kiếm thêm các tính chất của nghiệm của Bai toán (1) như tinh bùng nổ, hoặc

tính tắt dần, tính ổn định của nghiệm;

- Thiết lập một khai triển tiệm cận của nghiệm của Bài toán (2) theo một tham số

bé, hoặc khảo sát tính bùng nổ của nghiệm sau thời gian hữu hạn;

- Thiết lập một thuật giải lặp cấp cao cho Bài toán (2) trong trường hợp ƒ =

f (x,t, u, Up);

- Xây dung các vi du tính số minh họa cho các kết quả lý thuyết đã nêu, tương ứngvới các Bài toán (1), (2)

VI

- Assoc Prof Dr Le Thi Phuong Ngoc

- Doctor of Philosophy Nguyen Thanh Long

At: VNUHCM - University of Science

1 SUMMARY:

This thesis investigates some boundary problems for nonlinear wave equations

con-taining nonlocal terms and focuses on studying the solvability together with the erties of the solutions for these problems In addition to the parts such as the introduc-

prop-tion, literature review, research methods, conclusions and references, the main results

of the thesis is presented in three chapters 4, 5 and 6 corresponding to the above lems as follows:

prob-Chapter 4 considers the following Robin-Dirichlet problem for a nonlinear wave

equation of Kirchhoff - Carrier type with a viscoelastic term

9

tsp — Atsx — [Bey (x.t,1(x,Ð),|t(ĐIỄ, Ius(ĐIỂ) 0

# ỏ 2 2

+ | sứ =) [tạ (x,s,m(x,s), It{s)|Ÿ, Ius(s)|Ÿ) nạ(x,s)| a

=ƒ (x, t, u, Ux, up, ||u(t) ||, Iux()lỄ, Is(0)1Ú) ,0<xz<1,0<t<T,

ux(0,t) — hou(0,t) = go(t), u(1,t) = ø\(Ð,

u(x,0) = fig(x), w;(x,0) = ñ1(*),

(1)

where A > 0, họ > 0 are given constants, ƒ, ø, #0, 81, Hy, Hz, Ho, ñ are given functions.

At first, under suitable conditions, by combining the linearization method for ear terms, the Faedo-Galerkin method and the weak compactness method, the thesis

nonlin-Vili

proves the existence and uniqueness of a weak solution of Prob (1) Next, the thesis

establishes an asymptotic expansion of high order in a small parameter of a weak tion of Prob (1), where f = f + cfu fa = fi(xt,u, x, ue, |Iw()|Ê, |Iex(ĐIỄ, [lee (|?)

solu-Chapter 5 is devoted to the study of existence, uniqueness, continuous dependence, general decay of solutions of the following Dirichlet problem for a viscoelastic wave

equation with strong damping and nonlinear memory term

32 t 32 :

Ute — ÀMxxt — sa [M (x, £, u(x, ))] + [ s(t—)25 Íñ (x,s,u(x,s))] ds

= f (x,t, u,Up,Ux,Uty), O< x <1,0<t<T, (2)

u(0,t) = u(1,t) = 0, u(x,0) = ñg(x), „;(x,0) = 11, (x),

where ƒ, @, H, fi, tio, í are given functions and A > 0 is a given constant At first, the thesis states and proves a theorem involving local existence and uniqueness of a

weak solution Next, the thesis establishes a sufficient condition to get an estimate of the continuous dependence of the solution with respect to the kernel function and the

nonlinear terms The thesis also investigates the general decay of solutions to Prob.

in the specific case p = p(t,u), # = u, f = —Ayu;y + f(u) 5Dậw(, u)u2 + F(x,t).

Under suitable conditions to obtain the global solution, the thesis proves the general decay property with positive initial energy for this global solution.

Chapter 6 constructs a high-order iterative scheme for Prob in the case f =

f(x,t,u) By this high-order iterative scheme, at first, the thesis establishes a recurrent

sequence associated with the proposed problem Next, the thesis proves the gence at N-order rate of the obtained recurrent sequence to a unique weak solution of the problem Furthermore, an estimate of the convergence rate is also given.

conver-2 NOVELTY OF THESIS

- State and prove a theorem related to the existence and uniqueness of a local weak

solution of Prob (1) Establish asymptotic expansion of high order in a small parameter

£ of a weak solution for Prob (1), where f = f +efi, fi = filx,t,u, Ux, ur, ||u(t)|l?,

Iuz(ĐIÊ, In(Đ)|2):

- State and prove a theorem related to the existence and uniqueness of local weak

solutions of Prob (2) Establish a sufficient condition to obtain a continuous

depen-dence of the solution on the functions pi, 7, f, g State and prove the conditions which

guarantee the global existence of Prob (2), and then, prove the general decay property

with positive initial energy for this global solution.

- Construct a high-order iterative scheme for Prob (2) in the case f = f(x,t,u) to

obtain a recurrent sequence which converges at N-order rate to a unique weak

solu-tion of the proposed problem Furthermore, an estimate of the convergence rate is also

1x

3 APPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE

- Studying other properties of solutions of Prob (1) such as blow-up, decay, stability;

- Establishing an asymptotic expansion of solutions of Prob (2) in a small parameter,

investigating the blow-up in finite time of solutions for Prob (2);

- Constructing a high-order iterative scheme for Prob (2) in the case of f = f (x,t, u, ut);

- Giving the numerical examples to illustrate obtained results.

D*ƒ = Bạc aay với4 = (Ai,:':,N) € ZN

Ký hiệu đa chi số, đơn thức nhiều biến

Cho một đa chỉ số a = (a\,: ,an) € ZN, vax = (x1, -, xn) € RN, ta đặt

Ja] =a, + -+ay, a! = ãỊl -#NÍ,

x* = xf1-+- x = đơn thức bậc |a|,

a, BEZN, a < Ba; <B, Vi=l,-,N

xi

Chương 1

MỞ ĐẦU

Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng là một trong nhữnglĩnh vực quan trọng của toán lý thuyết và toán ứng dụng Một trong những bài toán

biên được nghiên cứu sâu rộng bởi nhiều nhà toán học là bài toán giá trị biên cho

phương trình sóng phi tuyến chứa số hạng phi địa phương liên kết với các loại điềukiện biên khác nhau Các bài toán này xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khoa học ứng

dụng như trong Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật,: - - Việc nghiên cứu các bài toán

biên dạng này góp phần vào sự phát triển của nhiều kết quả của giải tích hàm phituyến về mặt lý thuyết, cũng như các phương pháp

Hiện nay, các công cụ trong giải tích hàm phi tuyến phối hợp với một số công cụkhác đã giải quyết được một số bài toán biên phi tuyến cụ thể Tuy vậy, thực tế cho thay

rang, không tổn tại một phương pháp tổng quát nào để giải được mọi bài toán biên phi

tuyến, còn rất nhiều bài toán biên chưa giải được hoặc chỉ giải được một phần tương

ứng với từng số hạng phi tuyến cụ thể Nói cách khác, còn nhiều dạng bài toán biên

phi tuyến vẫn là "bài toán mở" Khi có số hạng phi tuyến xuất hiện, bài toán khôngphải lúc nào cũng dé dang để giải mà nhiều khi còn khá phức tạp, đòi hỏi phải lựa

chọn các công cụ toán học thích hợp kèm theo nhiều kỹ thuật tính toán, để tìm kiếm

nhiều thông tin về nghiệm như sự tổn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, tính ổn địnhcủa nghiệm đối với các dữ kiện trong mô hình bài toán, hoặc thiết lập khai triển tiệmcận theo các tham số nhiễu của nghiệm, - -

Luận án sẽ chứng minh tính giải được của một số bài toán giá trị biên và ban đầu

cho phương trình sóng chứa số hạng tắt dần mạnh và các số hạng phi địa phương dạng

Kirchhoff-Carrier và dạng tích chập theo biến thời gian, có nguồn gốc từ các mô hìnhtoán học của các bài toán trong khoa học kỹ thuật Hơn nữa, về mặt toán học thuần tuý,luận án sẽ cung cấp thêm một số công cụ mang tính chất kỹ thuật đã được vận dụngkhi chứng minh các kết quả.

Chính vì vậy, vấn dé khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi

tuyến chứa các số hạng phi địa phương là cần thiết và có ý nghĩa về mặt lý thuyết và

áp dụng.

Luận án này trình bày các kết quả sự tổn tại, duy nhất nghiệm địa phương và một

số tính chất của nghiệm cho hai dạng bài toán biên sau đây

Bài toán thứ nhất là bài toán biên cho phương trình sóng chứa số hạng tắt dầnmạnh và các số hạng phi địa phương kiểu Kirchhoff-Carrier và số hạng dạng tích chập

có dạng

ở

tụ — Atye — 5 [py (Xe, (xe) [eet us(ĐIÊ) a

+ sŒt =9) [tạ (x56), llu(s)IP Iea()IP) ux(s)] ds 01

=f (tt, [CEI Ies(Đ)IỂ, In(9IÊ),

0< x<1,0< †<TT, liên kết với điều kiện biên Robin-Dirichlet không thuần nhất

ux(0,t) — hạw(0,1) = go(Є #(,) = gilt), (1.0.2)

va diéu kién dau

u(x,0) = ño(*), ur(x,0) = ti (x), (1.0.3)

trong đó f, %, 80, gu Hy, Hạ, flo, fy là các hàm cho trước va A > 0, ho > 0 là các hằng

số cho trước Các số hang phi tuyến xuất hiện ở hai về của (1.0.1) chứa các số hạng phi địa phương dạng tích phân như sau

1

|u|? = [ x2G,94%, a(t? = [ sã(,Ð4x, ll P = [ vậ(x,Ð4x, (09

số hạng —Auxx thường được gọi là số hạng tắt dần mạnh Trong bài toán nay, chúng

tôi sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp Faedo-Galerkin,

cùng với các đánh giá tiên nghiệm để chứng minh sự tổn tại và duy nhất của nghiệm

yêu địa phương Hơn nữa, một khai triển tiệm cận theo một tham số bé của nghiệmyêu cũng được thiết lập

Bài toán thứ hai là bài toán biên cho phương trình sóng chứa số hạng tat dan mạnh

và số hạng phi địa phương dạng tích chập phi tuyến theo biến thời gian có dạng

và điều kiện đầu

u(x,0) = fig(x), uz(x,0) = mi (x), (1.0.7)

trong đó , jt, ƒ, 8, fio, ñ là các hàm cho trước va A > 0 là hằng số cho trước Đối với

bài toán này, chúng tôi chứng minh sự tôn tại duy nhất của nghiệm yếu địa phương,

sự phụ thuộc liên tục của nghiệm yếu này vào các dữ kiện của bài toán và thiết lập

điều kiện đủ để bài toán có nghiệm toàn cục và tắt dan tổng quát khi thời gian tiến ra

vô cùng Hơn nữa, chúng tôi cũng thiết lập một thuật giải lặp cấp cao hội tụ nhanh về

nghiệm yếu của bài toán (1.0.5), (1.0.6), tương ứng với f = f(x,t,u).

Toàn bộ các kết quả được trình bày trong luận án đã được công bồ trong [q1]-{a3].Ngoài ra, một phần các kết quả này đã được báo cáo tại Hội nghị khoa học lần thứ XI

của Trường Dai học Khoa học Tự nhiên, DHQG-HCM, 09-10/11/2018; Đại hội Toán

học Việt Nam lần thứ 9 tại Nha Trang, 14-18/8/2018; Hội nghị Toán học Miền Tây Nguyên lần thứ 3, Trường Đại học Tây Nguyên, 02-04/08/2019 và Hội nghị Toánhọc Miễn Trung-Tây Nguyên lần thứ 4, Trường Dai học Sư phạm Hué, 25-27/08/2022

Trung-Chương 2

TỔNG QUAN

Luận án nghiên cứu các lớp bài toán giá trị biên và ban đầu cho phương trình sóng

chứa số hạng phi địa phương dạng Kirchhoff-Carrier hoặc tích chập theo biến thời

gian Các bài toán này xuất phát từ các nghiên cứu thuộc lĩnh vực Cơ học, Vật lý được

một số nhà khoa học trong lĩnh vực này và một số nhà toán học quan tâm, - - -, rất

nhiều kết quả thu được đã được công bồ ở các tạp chí quốc tế uy tín

Khi A =0, ƒ = g = 0,80) = gilt) = 0,1 = #(I|0x()|Ÿ), phương trình (1.0.1) trở

thành phương trình dưới đây được thiết lập bởi Kirchhoff vào năm 1876 (xem [114])

2 2is) 5x2! (2.0.1)Oru ou

2x!)

pho = Pọ+ zr3?u Eh st

2L Jo

trong đó u la độ lệch của sợi dây so với vi tri cân bằng, L là chiều dài sợi dây, h là điện

tích thiết điện, E là module Young của vật liệu câu tạo sợi dây, ø là khối lượng riêng, và

Po là lực căng ban dau Phương trình là phương trình mô tả quá trình dao độngcủa sợi dây đàn hồi có chiều dai L với hai đầu cố định và sự ảnh hưởng của lực căng

tại các điểm trên đó thay đổi theo thời gian.

Khi À = 0, ƒ = g =0,go(f) = gi(f) = 0, = el lu (t) |’), phương trình (1.0.1) trở

thành phương trình sau

EA fh 5

Pure — (1 + inh u (,Ð4) Uxx = 0, (2.0.2)

trong đó u(x,t) là độ dich chuyển theo phương x, Tp là lực căng tại các vị trí của sợidây, E là môđun Young, A là thiết diện của sợi dây, L là chiều đài của sợi dây và ø là

khối lượng riêng của vật liệu cau tạo sợi dây Phương trình được Carrier xem xét

trong bài báo [8], nó mô tả dao động của một sợi dây đàn hồi khi lực căng có thay đổinhỏ Rõ ràng, nếu tính chất của một loại vật liệu khác nhau thay đổi theo x và t thì nó

có thể được mô tả bởi một lớp phương trình thuộc dạng hyperbolic

L

0

Các phương trình (2.0.2), (2.0.3) sau đó đã được tổng quát hóa bởi Larkin thành

phương trình không thuần nhất có dạng sau đây

tụ — M (x, t, ||u (91) Au +&(%,t,u) = (x,t) (2.0.4)

Trong công trình này, tác giả đã chứng minh sự tổn tại nghiệm mạnh toàn cục với

dir liệu đầu lớn, ngoài ra tính tắt dan mũ và tinh trơn của nghiệm trong trường hợp

n = 2 cũng được xem xét.

Vì cả hai công trình của Kirchhoff va Carrier [8] đều cùng mô tả dao động

bé của một sợi dây đàn hồi bị kéo căng nên có khi người ta gọi phương trình củaKirchhoff là phương trình Kirchhoff-Carrier, điều này đã được nêu trong công trình

của Cavalcanti [9] vào năm 1998.

Một trong những nghiên cứu cổ điển có liên quan đến phương trình Kirchhoffđược cho bởi [93] Sau công trình của Lions [52], phương trình Kirchhoff cũng nhưKirchhoff-Carrier nhận được nhiều sự quan tâm của M.M Cavalcanti trong [9]-[12], Y

Ebihara trong [24], M Hosoya trong [36], I Lasieckal trong [48], L.A Medeiros trong

[62], G.P Menzala trong [65], M Milla Miranda trong [71], J.Y Park trong [88], [89], T.N.

Rabello trong va MLL Santos trong [98] Trong hai công trình [63], [64], các tác giả

Medeiros, Limaco va Menezes đã cho một tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học

có liên quan đến mô hình Kirchhoff-Carrier Sự nghiên cứu tổng quát các phương trình

kiểu Kirchhoff-Carrier (2.0.1)-(2.0.4) là một xu hướng tất yếu Nhiều công trình nghiên

cứu liên quan đến các bài toán giá trị biên có dạng này đã được công bồ với nhiều kết

quả thú vị như sự tổn tại toàn cục, tính ổn định, tính tắt dần, tính bùng nổ, khai triểntiệm cận của nghiệm, - :, chang hạn như trong [2], [6], [14], [36], [40], [55], [57], [69],

[751 [74], [79], [92], [105], [104], [106], và các tài liệu được trích dẫn trong đó.

Trong [9], M.M Cavalcanti cùng các cộng sự đã nghiên cứu sự tổn tại của nghiệm

toàn cục và tính tắt dần mũ của nghiệm cho bài toán biên cho phương trình

Kirchhoff-Carrier như sau

yun — M (( Min) Ay — Ay; = ƒ trong Q = O x (0,+00),

y = OtrénT, x (0,+00),

M (( ed) se + 2 (GL) = g trên Tụ x (0, +00),

(0) = Yo, ¥k(0) = y1 trong O,

(2.0.5)

trong đó M € C!(R,), M(A) > Ao > 0, VA = 0; ƒ, Yo, yi là các hàm cho trước, O là

mở bị chặn của RN có biên T = Tọ UT đủ trơn, oy là dao hàm của y theo hướng pháp

vectơ đơn vị v trên biên Iọ hướng ra ngoài.

Năm 2010, Triết và các cộng sự sử dụng thuật giải xấp xỉ tuyến tính kết hợpphương pháp Faedo-Galerkin để chứng minh được sự tổn tại duy nhất nghiệm yếucủa bài toán Robin không thuần nhất cho phương trình sóng Kirchhoff-Carrier sau

0

Hit — ox (x (x, tàu, II Ix.lf) ux) = f(x, t, Uu, Ux, Ut),

ux(0,t) — hou(0,t) = go(t), ux(1,t) + hịu(1,†) = ø1(),

u(x,0) = fig(x), uz(x,0) = (x),

trong do 1, ƒ, 80, 81, ño, ñ là các hàm cho trước va họ, h là các hằng số không âm và

không đồng thời bằng không Một khai triển tiệm cận của nghiệm Bài toán theonhiều tham số bé xuất hiện trong các số hạng phi tuyến cũng được nghiên cứu

Việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm của phương trình sóng Kirchhoff

chứa số hạng đàn hồi nhớt cũng thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà toán học

Chẳng hạn như năm 2015, Jie và Fei đã xét phương trình sóng kiểu Kirchhoff có

chứa số hạng đàn hồi nhớt

rt

ur —M (IVsIf) Au + [ g(t —s)Au (s) ds + uy = |u|? u, (2.0.7)

(x,t) € Ox (0,T), liên kết với điều kiện biên Dirichlet và điều kiện đầu, trong đó

M(s) = mo +bs?, mo > 0,b > 0,+ > 1, s > 0 và ||-|| là chuẩn thông thường của

L?(O) Dưới một số giả thiết về nhân g và các điều kiện đầu, các tác giả đã chứng minh

được tính bùng nổ của nghiệm với năng lượng ban đầu dương tùy ý Sau đó vào năm

2016, Z Yang và Z Gong cũng đã thiết lập một kết quả về tính bùng nổ với nănglượng ban đầu dương tùy ý cho phương trình với mp = 1 và + > 0

Một công trình gần đây (năm 2020) được công bố bởi Araruna và các cộng sự [2] đãkhảo sát phương trình kiểu Carrier chứa số hạng tat dần mạnh —Au; và số hạng phituyến h(u) liên kết với các điều kiện biên Dirchlet thuần nhất

un — M (IIxIỨ) Au — Am, +h(u) = f, (x,t) €Qx (0,T), (2.0.8)

trong đó AM, h va f là các ham cho trước Các tác gia đã chứng minh tinh đặt chỉnh,

tính tắt dan đa thức của năng lượng của hệ trong trường hop hàm M suy biến (M > 0)

va tinh tat dan mũ của năng lượng của hệ trong trường hợp M không suy biến (M > 0)

của phương trình (2.0.8).

Về mặt mô hình toán, ta có thể nói rằng phương trình là một sự tổng quát

tương đối của các phương trình (2.0.1)-(2.0.8) Các kết quả nghiên cứu về các phương

trình có dang tổng quát như trong cả trường hợp một chiều và nhiều chiều vẫn

còn là van dé mở, lam nảy sinh một số van dé cần tiếp tục nghiên cứu

Trong khi đó, (1.0.5)-(1.0.7) là dạng bài toán đàn hồi nhớt, tích phan Volterra trong

phương trình là số hạng nhớ, cũng được gọi là số hạng đàn hồi nhớt Dạng bài

toán này thường phát sinh trong lý thuyết đàn hồi nhớt Chúng ta biết rằng, vật liệu

đàn hồi nhớt là nguyên nhân cho sự giảm chan, đó là do tính chất đặc biệt của nhữngvật liệu để lưu trữ về lịch sử trước đó của chúng và có khả năng lưu trữ và tiêu haonăng lượng cơ học Tính chất động học của các vật liệu đàn hồi nhớt rat quan trọng va

được quan tâm vì những vật liệu này có ứng dụng rộng rãi trong khoa học tự nhiên, ta

có thể tham khảo [1], [Z5], [25], [26], [27], [52], [58], [96], [97], [108], và các tài liệu

trích dẫn trong Min"

2

Trong bài toán (1033 1.07 „ khip = fi = u, ta có ma [m (x,t, u(x,t))] = Uxx và

[ g(t — s) 2s Ín (x,s,„1{ _ Tu g(t — s)wxx (x,s) ds Khi đó, bài toán này trở

0 0

thành bài toán đàn hồi nhớt là số hạng tắt dần mạnh Trong trường hợp này, nhiều

mô hình bài toán có liên quan đã được nghiên cứu (có thể xem [28], [29], [49], [59], [60],[Z0], [51], [84], [101]) Thật vậy, đã có rất nhiều nghiên cứu dành riêng cho phươngtrình sóng đàn hồi nhớt sau đây

+t

ure — Au + [ g(t —s)Au(x,s)ds — ÀAAut + yh (ur) = F(x, tu), (2.0.9)

trong đó, nhân g, số hạng nguồn F là các ham thuộc lớp C! thỏa các giả thiết thíchhợp và h là hàm tuyến tính hoặc phi tuyến theo u; Nói chung, các dạng phổ biến nhất

của số hạng tắt dần phi tuyến và nguồn Z trong phương trình (2.0.9) thường là dạng

m—2

ham mũ, đặc biệt h = |us|"~* uw, và F = |u|? ~* u Trong [13], Cavalcanti cùng các cộng

sự đã chứng minh rằng, khi A = 0, + = 0, F = 0 và liên kết với điều kiện biên phi

tuyến, năng lượng của nghiệm của bài toán tương ứng tiến về 0 khi t — oo Trong

[68], Messaoudi đã xét phương trình (2 với À = 0,+ =0,F = |u|f ~®„ và chỉ ra

rằng, đối với một số lớp hàm g nhất ` và một số điều kiện đầu nào đó, năng lượng

của nghiệm tắt dần giống với tốc độ tắt dần của hàm g, mà không nhất thiết phải tắt

dan mũ hay tắt dần đa thức Trong [67], Messaoudi đã nghiên cứu phương trình (2.0.9)

m2 1, F = b|u|P”Êu, và chứng minh moi nghiệm

trong trường hop A = 0,h = ä ||

yếu với năng lượng đầu âm sé bùng nổ tại thời gian hữu hạn nếu p > m và chứng minhđược sự tôn tại của nghiệm toàn cục nếu 1 > p Sau đó, Kafini và Messaoudi trong[45] cũng đã thu được một kết qua bùng nổ của bài toán Cauchy cho phương trình

đàn hồi nhớt phi tuyến có dang (2.0.9) với m = 2 Trong [66], Mesloub và Boulaaras đã

nghiên cứu phương trình đàn hồi nhớt cho các nhân tat dần tổng quát hon và thiết lậpmột số kết quả tắt dần tổng quát, từ đó tốc độ tắt dần đa thức và tắt dần mũ là những

trường hợp riêng Trong [58], Long cùng các cộng sự đã nghiên cứu dạng đặc biệt của

phương trình với À = 0, =a,h = |u;|?-* u;, nghĩa là các tác giả xét phương

trình đàn hồi nhớt

t

Mặt — Uxx + [ g(t —s)uxx(x,s)ds +0 |u;|?* uy = F(x, t,u), (2.0.10)

liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất Dưới điều kiện Lipschitz địa

phương của hàm nguồn Z, của hàm g và điều kiện đầu thích hop, một kết quả về tồn

tại nghiệm toàn cục được chứng minh và thu được nghiệm tắt dần mũ

Với sự có mặt của số hang tắt dần mạnh —Au; và số hạng tắt dần tuyến tính u;

(m = 2), Li và He đã chứng minh sự tôn tại nghiệm toàn cục và thiết lập một đánhgiá tốc độ tắt dần tổng quát của nghiệm cho bài toán

t

uy — Au+ [ sứ —s)Au(x,s)ds — Au; + uy = |ul? 7 u, (2.0.11)

trong đó hàm g thuộc lớp C! thỏa các điều kiện thích hợp

Trong [33], tác giả đã xét phương trình mà không có sO hang tat dan manh

(A = 0) và số hạng tat dan phi tuyến (+ = 0), nhưng thêm số hạng —A1¿¿, va chi rarằng, với hàm g và điều kiện đầu phù hợp, năng lượng của nghiệm sẽ tắt dần tổngquát Sau đó, Kafini và Mustafa đã mở rộng bài toán được dé xuất bởi X Han và

M Wang trên R", trong đó một số điều kiện đã được thiết lập cho nhân g để đạt

kết quả về sự bùng nổ ở thời gian hữu hạn của nghiệm Với chủ dé khảo sát tính bùng

nổ của nghiệm liên quan đến phương trình (2.0.9), ta có thé tham khảo trong [31], [34],

[Ø1], [105], và các tài liệu được trích dẫn trong đó.

Như đã đề cập ở trên, nhiều kết quả liên quan đến phương trình có dạng (2.0.9) đã

được thảo luận, tuy nhiên, theo sự hiểu biết của chúng tôi, dường như có rất ít công

trình dành cho việc nghiên cứu về bài toán (1.0.5)-(1.0.7) va phuong trinh dao ham

riêng chứa số hạng đàn hôi nhớt phi tuyến, chang han ta có thể xem [18], [19], [37],

và [100] Trong bài báo được xuất bản vào năm 1985 [37], Hrusa đã xét phương trìnhđàn hồi nhớt phi tuyến trong miền một chiều có dạng

Urt(x,t) — CUxx(x,t) + [st —s)(¥ (ux(x,s))), ds = f (x,t), (2.0.12)

và đã thiết lập kết quả về sự tồn tại nghiệm toàn cục và kết quả tat dần mũ cho nghiệm

mạnh khi g(s) = e~Š và ¥ thỏa một số điều kiện Trong [100], Shang và Guo đã chứngminh sự tổn tại, duy nhất và tính chính quy của nghiệm mạnh toàn cục và đưa ra một số

điều kiện về sự không tổn tại của nghiệm toàn cục đối với phương trình giả parabolic

trong miền một chiều với số hạng nhớ phi tuyến sự —8)(ơ(u(x,s),tx(x,s)))„ ds.

Gần đây, Kaddour và Reissig [43] đã chứng minh kết quả về tính đặt chỉnh của nghiệm

toàn cục (theo thời gian) cho nghiệm của bài toán Cauchy như sau

Up — Aut (1+ t) tị = fe —T) 7 |u{r,x)| dt, (t,x) € (0,00) x R", (2.0.13)

u(0,x) = uo(x), w;(0,x) = uy (x), x € R",

trong đó r € (—1,1) vay € (0,1) Hơn nữa, trong với một nghiên cứu khác về

(2.0.13), các tác giả cũng đã chứng minh một kết quả bùng nổ của nghiệm.

Trong các bài báo kể trên, các tác giả đã sử dụng các phương pháp như là phươngpháp điểm bắt động, phương pháp xấp xỉ tuyến tính, phương pháp đơn điệu để khảo

sát tính giải được của các bài toán tương ứng.

Trong suốt nhiều thập kỷ qua, nhiều phương pháp lặp đã được xây dựng để tìm

kiếm nghiệm x* € D C R" của phương trình phi tuyến F(x) = 0 Một trong nhữngphương pháp lặp quen thuộc được dé cập trong nhiều tài liệu để tìm kiếm nghiệm x*

là thuật giải Newton cổ điển

x1) = x) ~ [F/(x(9)]“1F(xŒ®)), k= 0,1,: ,

trong đó F/(xt)) là ma trận Jacobi của hàm F được biết ở bước lặp thứ k Tuy nhiên,

trong thực tế phương pháp lặp cổ điển Newton không thể áp dụng cho mọi trườnghợp Do đó, các dạng biến thể phong phú của nó đã được phát triển trong các tài liệu,

chẳng hạn ta có thể xem [17], [39], [51], [86], và các tài liệu tham khảo trong đó.

Trong [17], bằng cách thêm một bước mới vào phương pháp của Newton, Cordero

cùng đồng sự đã xây dựng lược đồ hai bước như sau với sự hội tụ cấp năm

y = x) — [F'(xt9)J“1F(xŒ)),

xD) = yl) — [xi + &a[Ff(y))]-1F(xf) +013 (Fw) 1A) |

x[F(y®)] Fy),

trong đó a1, a va «3 là những tham s6 duoc chon phù hop va I là ma trận don vi cap

n Ngoài ra, trong bài báo nay, các tác gia đã sử dung sự hội tu bậc p của day {x}

đo tổn tại M > 0 (0 < M < 1 nếu p = 1) va kọ sao cho

Pk > ko (2.0.14)

|x«+9 —x* <M |= — x*

Dua trên những ý tưởng về các phương pháp lặp kể trên, phương pháp lặp cấp cao

theo nghĩa được phát triển để giải quyết một số phương trình sóng phi tuyến,

chẳng hạn, xem [78], [79], va [103].

Nhu vay, phuong trinh là một phương trình sóng có chứa đạo ham riêng cấphai của một hàm phi tuyến 1, số hạng tắt dần mạnh —Au; và tích chập của g nhân với

một đạo hàm cấp hai của một hàm phi tuyến 7 Sự xuất hiện của số hạng phi tuyến có

dang = [w (x,t, u(x,t))] gây nên một số khó khăn nhất định trong việc chứng minh

sự tổn tại nghiệm của bài toán (1.0.5)-(1.0.7) Theo quan sát của chúng tôi, việc nghiên

cứu các phương trình có dạng là một hướng nghiên cứu mở, có rất ít công bố cóliên quan đến nó

Trên cơ sở tham khảo và tiếp nối các ý tưởng, mô hình bài toán và các kỹ thuật họchỏi được từ các công trình nghiên cứu trên thé giới nói chung và trong nước nói riêng,Luận án sẽ hướng đến mục tiêu là nghiên cứu tính giải được và tìm kiếm các tính chấtnghiệm cho hai bài toán (1.0.1)-(1.0.3) và {1.0.5)-{1.0.7) Việc nghiên cứu tập trung vào

các van dé sau:

- Khảo sát sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu.

- Thiết lập khai triển tiệm cận của nghiệm theo một tham số bé xuất hiện trong

bài toán.

- Tìm kiếm các tính chất nghiệm cho bài toán như tính ổn định của nghiệm theo các

dữ kiện cho, tính tắt dần tổng quát của nghiệm khi t — oo

- Thiết lập thuật giải lặp cấp cao cho bài toán

Bằng cách sử dụng các phương pháp của giải tích hàm phi tuyến một cách thích

hợp, luận án đã đạt được mục tiêu nghiên cứu Cau trúc của luận án bao gồm baychương: chương mở đầu (Chương 1), chương tổng quan (Chương 2), chương phương

pháp nghiên cứu (Chương 3), phần nội dung chính sẽ được trình bày ở ba chương(Chương 4 đến Chương 6) và cuối cùng là chương kết luận và kiến nghị (Chương 7).

Kết quả chính của luận án được trình bày chỉ tiết trong các chương (Chương 4 đếnChương 6) với nội dung sơ lược được đề cập như dưới đây

Chương 4, chúng tôi khảo sát bài toán Robin-Dirichlet không thuần nhất cho phương

trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số hang đàn hồi nhớt có dang như {.0.1)-{.0.3).

Trong chương này, đầu tiên sau khi thuần nhất hóa điều kiện biên bằng một phép

tịnh tiến, chúng tôi chứng minh Bài toán (1.0.1)-(1.0.3) có duy nhất nghiệm yếu địa

phương bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với phương pháp xấp xỉ Galerkin và các lý luận về tinh compact Tiếp theo, chúng tôi khảo sát khai triển tiệm

Faedo-10

cận của nghiệm theo một tham số bé e đến cấp N + 1 của bài toán nhiễu

tự — Atte = ác layla tus) + fg (t= s) 2 (alex sux (2,5)] a

= F,[{u](x,t),0<x<1,0<t<T,

Ux(0,t) — hou(0,t) = go(t), u(t) = gilt),

u(x,0) = ño(*), us(x,0) = ñ1(3),

trong đó

Hy (0eN(%/t) = tạ (xut,6(x,Ð), aE)? lex ()I?) 1 = 12,

Flu] (x,t) = flul(x,t) + efilul(x,l),

flu) xt) = ƒ (x,t,,w+ tty |Iu(ĐIỂ, lIts(ĐIỂ, lIw(ĐIỂ), flee (2st) = fa (x,t,m,ms, mu lItĐIỂ, lIs(ĐIỂ, lee() I?)

Ý tưởng khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán nhiễu theo một tham số bé: Giả

sử nghiệm của bài toán biên phi tuyến (P;) nào đó phụ thuộc vào một tham số bé ¢,

|e] < 1 mà ta ký hiệu là

u = u,(x,t), (x,t) €Q CR’.

Tuy nhiên, trở ngại chính ở đây là hau như chúng ta không thể có được công thứctường minh của nghiệm đúng uz Do đó, để thấy được hình dạng nghiệm gan đúngcủa ule, ta sẽ thiết lập khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u, theo một tham số bé ¢, tức

là tìm cách xấp xỉ nghiệm wu, bởi một đa thức theo tham số bé c:

Vấn đề khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán nhiễu theo một hay nhiều tham số

bé cũng đã được nhiều tác giả trong nhóm nghiên cứu của Thầy Nguyễn Thành Long

đặc biệt quan tâm, chang hạn như các công trình [54], [55], [56], [57], [60], [74], (75, [E5], và các tài liệu tham khảo trong đó.

Các kết quả đạt được của Chương 4 mở rộng các kết quả trong bài báo [q]]

Chương 5, chúng tôi khảo sát bài toán Dirichlet cho phương trình sóng chứa số

2

hạng 2, [u (x,t, u(x, t))] và số hạng phi địa phương dang tích chập phi tuyến theo

11

biến thời gian có dạng (1.0.5)-(1.0.7).

Nội dung này đã được công bồ ở bài báo [q3] Trong chương này, trước hết chúng

tôi sẽ thiết lập kết quả về sự tổn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của Bài toán

(1.0.5)-(1.0.7) bằng phương pháp xap x tuyến tính Tuy nhiên, trở ngại ở đây là sự xuất

hiện của số hạng phi tuyến có dạng oo [u (x,t, u(x, t))], chính điều này đã gây ra một

số khó khăn về kỹ thuật tính toán để thu được kết quả tồn tại và duy nhất nghiệm cho

Bài toán (1.0.5)-(1.0.7) Do đó, các kỹ thuật tính toán được sử dụng trong các công trình

trước đây mà chúng tôi có tham khảo, không sử dụng được trong trường hợp này.

Tiếp theo, chúng tôi chứng minh nghiệm thu được ở trên phụ thuộc liên tục vào các

hàm cho trước theo nghĩa thích hợp.

Chủ đề sự phụ thuộc liên tục vào các hàm cho trước đã nhận được nhiều sự chú ýquan trọng kể từ năm 1960 với các công trình của Douglis và John [42] Sau đó, P.Benilan và M.G Crandall [4] đã thảo luận sự phụ thuộc liên tục về mặt phi tuyến của

nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình

Junot) — «(|| ga) > Ú khi yy — Pay với ợ thay cho Py,

trong đó ø„ : R —› R là hàm liên tục, không giảm, ø„„(0) = 0 va um là các nghiệm của bài toán Cauchy (2.0.17) ứng với ø = ø„„ Trong [85], Pan đã chứng minh đánh giá

sau đây cho thấy sự phụ thuộc liên tục của nghiệm cho phương trình parabolic với phituyến theo hàm mũ

co pl

| | |u(x,t,m) — u(x,t,mo)| < C*|m— mol,

0 Jo

trong đó u la nghiệm của bài toán được dé xuất, 0 < m, mo < 1 va C* là một hằng

số Gan đây, Bayraktar và Gir [3] đã thu được kết quả nghiên cứu về sự phụ thuộc

liên tục của nghiệm vào các hệ số phân tán 6 và r và hệ số tiêu tán b của phương trình

Boussinesq

ur — bAu — dAug — rÂu‡ = A(—u julP~*).

Các kết qua tương tự, ta có thể tham khảo và [Z0]

Tiếp nối ý tưởng của các công trình liên quan, chúng tôi sẽ xét sự phụ thuộc liên

tục của nghiệm đối với /, ji, f, g cho Bài toán (1.0.5)-(1.0.7) như sau Cụ thể, ta ký hiệu

12

u = HẦM, jl, ƒ, @) và uj = Up, fj, fir8;) là các nghiệm của Bài toán (1.0.5)-(1.0.7) tuong

ứng với (1, ji, ƒ, 8) và (Hj fj, fi-8j) lần lượt Khi đó neu (pj, fl;, fi, 8) > (M, J, f, 8)

theo nghia

sup max Den, — Dô¡| — 0, khi j — eo,

M>0 |B|<3 C%(Am) sup max ||DPa, — DP a — 0, khij — ~,

Mao Ibl<3 | * r | C°(Am) / (2.0.18)

D* f; — D* x 0, khi j ,

se may PF P*Flleo ayy) 7 kRÍ/— o°

trong đó T* là hằng số dương cô định; Ajy, Ä là các tap compact phụ thuộc vào hằng

sô dương M; D*ƒ là các đạo hàm riêng cấp |ø|, khi đó uj hội tụ mạnh về u trong không

gian hàm phù hợp khi 7 — oo.

Cuối cùng, chúng tôi khảo sát tính tắt dần tổng quát của nghiệm cho Bài toán (1.0.5]

-(1.0.7) tương ứng với = p(t,u), fi =u, ƒ = —Ayur + f(u) 5D3p(t, uid + F(x,t).

Ta chú ý rang, tính chất tắt dan là một dang của dáng điệu tiệm cận/tính ổn định

mà trong đó năng lượng của nghiệm tiến về 0 khi t — co Với chủ dé về đáng điệu tiệm

cận của nghiệm, đã có nhiều kết quả thú vị cho các mô hình có chứa số hạng nhớ liênquan đến (1.0.5}-(1.0.7), chẳng hạn, ta có thể tham khảo [20], [21], [55], [41], [50], (721,

[87] va các tài liệu tham khảo trong đó Ta biết rằng để năng lượng nghiệm tat dan mũ

thì hàm g thỏa điều kiện có dang

~Ši#Œ) < s(t) < =ð›§),

trong đó ế; và é, là các hang số đương, có thé xem trong [5], [11], [53], [58] Hơn nữa,

nếu g thỏa

#Œ) < =£ữ)s0), (2.0.19)

trong đó ế là ham số dương, giảm và khả vi, khi đó tính tắt dan tổng quát đã được

thiết lập, có thể xem trong [25], [68], [73], [90] Gần đây, một số nghiên cứu đã chú

ý đến việc nới lỏng điều kiện (2.0.19) Chẳng hạn, ta có thể thêm khảo Mesloub và

Boulaaras trong [66], Boumaza va Boulaaras trong [6], Conti và Pata trong [16], Zhang

va Xie [109], trong đó hàm g không nhất thiết là hàm giảm Trong chương này, ham g

cũng thỏa (2.0.19) Tuy nhiên, cần thiết để đặt một số điều kiện cho dai lượng phi tuyến

yu, chúng tôi sẽ cho một ví dụ mà trong đó / thỏa một lớp hàm C3 tương đối rộng.

Chương 6, nhằm xây dựng một dãy lặp hội tụ nhanh về nghiệm yếu của bài toán,

trong chương này chúng tôi xét Bài toán (1.0.5)-(1.0.7) ung với f = f (x,t, uw) và một số

13

điều kiện thích hợp Cụ thể, ta xét bài toán sau

2 2

Ur — Auxxt — oo [m (x,t, u(x, t)) + fs (t—s lo [J (x,s,u(x,s))] ds

= f(x,t,u),0<x<1,0<t<T, (2.0.20)

u(0,t) = u(1,t) = 0, u(x,0) = ño(3), us(x,0) = a(x)

Chủ dé này đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu, chẳng han như [76],

[78]-[80], và [104] Trong [103], Trường cùng cộng sự đã khảo sát tính giải được của

phương trình sóng kiểu Kirchhoff-Carrier

un — 1 Ất, ttĐIỄ, ts(ĐIỦ) tax = f (Xetra) ,0< x < 1,0 <<T,

ux(0,£) —hou(0,t) = ux(1,t) +hyu(1,t) =0, (2.0.21)

u(x,0) = ñ(x), t,(x,0) = a(x),

trong đó 1, f, ilo, ñ là các ham số cho trước va hạ > 0, hy > 0 là các hang số cho trước

và ham pi thỏa giả thiết

(iv) |D3y (t,y,z)| < Hạ (1+? +zP~*), V(t,y,z) € RY.

Trong bài báo này, các tác giả đã xây dung một thuật giải lap cấp cao cho bởi

Zu

N 149

;

sie I (Een? ts) 8usx = Ye Sgr (S11) (tn — Hm —1)"

0<x<1,0<t<T, trong đó um thỏa (2.0.21)23„ m > 1 và up = 0 Sau đó, các tác giả

đã chứng minh day {um} hội tu bậc N và thiết lập đánh giá sai số

Trong chương này, chúng tôi điều chỉnh các phương pháp lặp cap cao được sử dung

trong [78], và [103], để chứng minh sự tổn tại và hội tụ bậc N của day lặp liên kết

với bài toán (2.0.20) Ta chú ý thêm rằng, giả thiết (Az) cho số hạng Kirchhoff-Carrier

ul (1, \|e(t) |, I|wx(£) \°) trong bài báo không thể áp dụng cho số hạng phi tuyến

2 2

[m (x,t, u(x,t))] và oo [J (x,t, u(x,t))] trong Bài toán (2.0.20) Khi đó, một phiên

ban sửa đổi của Bổ dé 2.6 trong [82], rằng nếu O là tập đóng của RN và ƒ € C?(O,R)

14

thì tồn tại một hàm liên tục, không giảm ® £:ÌR+ — R, sao cho

ƒ(x)| SB (llxllsv)„ Vx = (i,: ,xw) €O, ||xllạw = xi + + xR, (20.22)

đã được sử dụng.

Hơn nữa, để chứng minh tính bị chặn của nghiệm xấp xỉ Galerkin trong không gian

hàm phù hợp, chúng tôi gặp phải việc đánh giá các bắt đẳng thức tích phân Volterra

phi tuyến, mà các kỹ thuật được sử dụng trong các công trình trên không thể áp dụng

được Khi đó, bất đẳng thức được sử dụng nhằm cải tiến kỹ thuật đánh giá.

Nghiên cứu thuật giải lặp cấp cao phải sử dụng các kỹ thuật đánh giá phức tạp và

công phu và theo như sự hiểu biết của chúng tôi, khảo sát thuật giải lặp cấp cao cho

Bài toán vẫn còn ít kết quả nghiên cứu

15

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Trong chương này, chúng tôi trình bày vắn tắt các công cụ và các phương pháp

nghiên cứu được sử dụng trong toàn bộ luận án.

3.1 Cơ sở lý thuyết

Ngoài các công cụ riêng cho mỗi dạng bài toán sẽ được nêu rõ trong mỗi chương,

để tiện theo dõi, sau đây chúng tôi sẽ nêu các ký hiệu và các định lý, bổ đề quan trọng

được sử dụng trong toàn bộ luận án.

3.1.1 Các không gian ham thong dụng

Ta ký hiệu O = (0,1), Qr = Ox (0,7), T > 0 Chung ta bỏ qua các định nghĩa

của các không gian ham thông dụng: C”(Õ), LP (O), WTM? (O), Wy’? (O), H" (O),

Hj (Q),m = 0,1,2, -,1 < p< ©.

Nếu O = (0,1) và không sợ nhầm lẫn ta có thể bỏ qua O trong các cách viết

các không gian ham và viết gọn lại cho các không gian LP (Q), WTM? (O), Wy’? (O),

HTM (O), HiTM (O) lần lượt là

LP, W"?, Wy”, H" = W"*, H, 1< p< %, m = 0,1,: .

Nếu O 4 (0,1), ta cần viết rõ ký hiệu không gian đi kèm theo miễn O, ví dụ

LP(0,T), W"? (0,T), Wy’? (0,T), H”"(0,T) = WTM*(0,T), Hỹ' (0,T),

L? (Qr), W"”?(Qr), Wo’? (Qr), HTM (Qr) = W"?(Qr), H7 (Qr),

Về định nghĩa các không gian hàm trên có thể xem tài liệu Brézis [7], Lions [113]

Ta cũng ký hiệu (-, -) để chỉ tích vô hướng trong L? và ||: || là chuẩn trong L? sinh bởi

tích vô hướng này Nếu không gian Banach X nhúng liên tục vào L? va nằm trù mật

16

trong L2, ta đồng nhất L2 = (L?)’ (đối ngẫu của L2) Khi đó ta có X › L2 = (L2) Go

X', với các phép nhúng liên tục và nằm trù mật Mặt khác, người ta cũng dùng tích vô

hướng (-,-) trong L? để chỉ cặp tích đối ngẫu (-, :)x: x

Trong toàn bộ luận án, chúng ta sử dụng các không gian hàm H!, H2, HẠ, Hˆn H}

như sau

H' = {veL?:0y €L’},

HÀ = {ve H!: vy, € L^},

H {oc H!: 0(0) = o(1) = 0}, HˆnH {v € Hˆ”:o(0) = ø(1) =0}.

Các không gian này là các không gian Hilbert lần lượt đối với các tích vô hướng vàcác chuẩn sinh bởi các tích vô hướng tương ứng như sau

(0n = (Ux Ox) + (tear Pxx)) [Oller = (leall? + [loxell?)

—-Liên hệ giữa các không gian C°({0,1]), H', Hj, ta có các bổ dé sau mà chứng minhcủa nó có thé tìm thấy trong [7], [113]

Bổ đề 3.1.1 Phép nhúng H1 — C9(|0, 1]) là compact va có

llơllco(oap < V2 loll, Vo € HY.

Bổ dé 3.1.2 Phép nhúng H oy C?([0, 1]) là compact va có

Il? |c0¢(0,1)) < ||ox||, Vo € HÀ.

Trong Luận án, ta cũng sử dụng định lý sau.

Định lý 3.1.3 (Í99], trang 87, Dinh lý 7.7) Giả sử V va H là các không gian Hilbert thực

voi V trù mật trong H va phép nhúng V —› H là compact Gọi a: V x V — R là dang song

tuyến tính đối xứng, liên tục trên V x V va cưỡng bức trên V Khi đó ton tại day số dương

{Aj} va hàm w; € V tương ung uới A; sao cho

a(w;,v) = À¡ (0,0), Vo € Vụ j = 1,2, -.

17

Hơn nữa {w;} là một cơ sở Hilbert của H Ngoài ra, ta còn có {or} cũng là cơ sở Hilbert

Khi đó, ta có các trường hop sau.

1 Nếu 1 < p < © thì đối ngẫu của L?(0,T; X) là LP (0, T; X’) với p tự = 1 Néu

X phản xa thì L? (0, T; X) cũng phản xạ.

2 Đối ngẫu của L!(0,T; X) là L*®(0,T; X’) Chú ý rang các không gian L!(0,T;X)

và L®(0, T; X) là không phản xạ.

3 Nếu X = LP(O) thì LP(0,T;X) = LP(O x (0,T)),1<p< œ

Phân bồ có giá trị véctơ trong không gian Banach

Định nghĩa 3.1.1 Cho X là không gian Banach, ta định nghĩa một phân bố nhậngiá trị trong X là ánh xạ tuyến tính liên tục từ D (0,T) vào X

Tập hợp tat cả các phân bố nhận giá trị trong X được ký hiệu bởi D’(0, T; X), nghĩa

Bổ đề 3.1.4 (Lions [113], trang 7) Nếu ƒ € LP(0,T; X) va ƒ' € LP(0,T;X),1 < p< œ,

thì ƒ bằng hầu khắp noi một hàm liên tục từ |0, T] > X

Bổ dé compact cua Lions

Gia sử Xo, X, X; là các không gian Banach sao cho Xọ > X => Xj là các phép

nhúng liên tục, X; phản xạ với i = 0,1 và phép nhúng Xp + X là compact Ta định

nghĩa không gian W (0,T) như sau

W(0,T) = {e € L?° (0,T; Xọ) : ơ' = “ € LP! (0, Tix)},

với 1 < p; < œ,ï = 0,1 Không gian W(0,T) được trang bị bởi chuẩn

lÌ0|Ìw(o,r) = |ÌøÌL»o (o,r;xạ) + lÌ? Ì L» (ox.x,) ,

khi đó W(0,T) là không gian Banach và phép nhúng W(0,T) —› LP0(0,T; X) là liên

tục.

Khi đó, ta có kết quả sau

Định lý 3.1.5 (Lions [113], trang 57-59) Nếu 1 < po, pi < 00, thì phép nhúng W(0,T) —›

LP°(0,T; X) là compact.

Bổ dé compact của Aubin-Lions

Định lý 3.1.6 (J P Aubin [112]) Cho ba không gian Banach Xo, X va X1 uới Xp C X C

(i) Nếu po < œ thì phép nhúng W(0,T) <> LP9(0,T; X) là compact

(ii) Nếu po = © va py > 1 thì phép nhíng W(0,T) — C(|0, TÌ; X) là compact.

Khi đó, ta có

t

u(t) < Cy, exp (/ C¿(s)/:) , Vt € |0,TỊ.

Jo

Bổ đề 3.1.8 (Ngoc [82]) Néu O là tập đóng của RN va ƒ € C°(O,R) thì tồn tại một ham

liên tục, không giảm ®y : Ry — IRy sao cho

Lf (x)| < Py (llxllsw), Vx = (i,: ,#N) € ©, ||x|px = ap + : +3:

3.2 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án này, ngoài các phương pháp nghiên cứu khoa học nói chung, chúng

tôi sử dụng các phương pháp chuyên sâu thuộc chuyên ngành phương trình đạo hàm

riêng Vì vậy, chúng tôi lựa chọn các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến một

cách thích hợp để giải quyết các bài toán đặt ra trong luận án, chẳng hạn như:

- Phương pháp xấp xỉ tuyến tính

- Phương pháp Faedo-Galerkin kết hợp với phương pháp điểm bắt động và kỹ thuật

đánh giá tiên nghiệm.

- Phương pháp compact.

- Phương pháp lặp cấp cao

- Phương pháp khai triển tiệm cận theo các tham số bé xuất hiện trong bài toán.

- Phương pháp xây dựng phiếm hàm Lyapunov phù hợp

20

Chương 4

Khảo sát bài toán Robin-Dirichlet

không thuần nhất cho phương trình

sóng kiểu Kirchhoff-Carrier chứa số

+ [9b —S)á [mạ (x,s,(x,s), IufS)|Ể, llus(s) I?) wx(xs)] ds

=f (x,t, u ux, ue, IIx(2) ||, IIex(£) 17, Isi(0)J),0 <x<10<t<T,

ux(0,t) — hou(0,t) = go(t), u(1,t) = gi (ft), u(x,0) = fig(x), us(x,0) = (x),

suốt chương này Sau khi thuần nhất hóa điều kiện biên bằng một phép tịnh tiến, Bài

toán dẫn về bài toán biên thuần nhất, dựa vào phương pháp xấp xỉ tuyến tính vàphương pháp xấp xi Faedo-Galerkin, Mục 4.3 được bắt đầu bằng cách thiết lập một dãynghiệm xấp xi của bài toán biên thuần nhất Nhờ vào đánh giá tiên nghiệm, chúng tôi

chứng minh rằng dãy này bị chặn trong các không gian hàm thích hợp Tiếp theo, bằng

21

cách sử dụng phương pháp compact, chúng tôi cũng chứng minh rang dãy trên hội tụ

về nghiệm yếu của bài toán biên thuần nhất Sự duy nhất nghiệm được chứng minh

bằng cách sử dụng bat dang thức Gronwall Trong Mục 4.4, với 1q, Hp € CN*1((0, 1] x

(0, T*] x Rx R2 ),(x,t,z1,z2,Z3) > fw, > 0, với moi (x,f,z1,Za„Z3) € [0,1] x [0,T*] x

R x R2, f e CN*1((0,1] x [0, T*] x R x RỶ) va ƒ¡ € CN((0,1] x [0,T*] x R x R3),

chúng tôi thu được một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu 1; (x,t) theo tham số bé

e đến cấp N + 1 cho Bài toán (4.1.1), mà trong đó f được thay bởi f + ef) Nội dung

chương này mở rộng các kết quả chứa đựng trường hợp go(t) = gi(t) = 0 đã đượccông bồ trong [q1] như là trường hợp riêng

Phần dưới đây là một số không gian hàm và các công cụ có liên quan được dùng

trong chương này.

4.2 Không gian ham và các kết quả chuẩn bi

Ta đặt

V= {e e H!(0,1):ø(1) = 0}, (4.2.1)

và

a(,0) = (ux,0x) + họu (0) ø (0), với mọi u,v € V (4.2.2)

Khi đó, V là không gian con đóng của H! và trên V ba chuẩn ø +> ||0||¿m, 0ø —llox|l và ø ||ø|l„ = a (ø,ø) là tương đương

Mặt khác, V nhúng liên tục và trù mật trong L? Ta đồng nhất L? với (L2)ˆ (đối ngẫu

của L2) và ta có V > L2 = (L?)' — V' Chú ý rằng, ký hiệu (.,-) cũng được sử dụng

để chỉ tích đối ngẫu của V và Ví

Ta có các bổ dé sau đây

Bổ dé 4.1 Cho họ > 0 Khi đó phép nhúng V = C9 (Q) là compact va

Inllcs(œ) < II] < Hell tối mọi 0 EV, 423)

4 Iillm < llt:ll < [ella < VT Fo lolly ớimọi ø€V.

Bổ dé 4.2 Cho ho > 0 Khi đó dang song tuyến tinh a (-,-) được xác định bởi (4.2.2) là

liên tục trên V x V va cưỡng bức trên V, nghĩa là,

(i) |a(u,ø)| <(1+ hạ) |ux|||lox||, vei mọi u,v EV,

' 5 ae (4.2.4)

(ii) a(v,v) > |lox||", voimoi v EV.

Bổ dé 4.3 Cho ho > 0 Khi đó tồn tai cơ sở Hilbert {w;} của L* gồm các ham riêng 10;

22

tương ứng tới cúc trị riêng A; sao cho

4.2.5

(ii) a (wj,v) =A; (0,0) tới mọi € V„ j = 1,2, )

Hơn nữa, diy {t0;/ \/A;} cũng là cơ sở Hilbert của V đối uới tích v6 hướng a (-,-)

Mặt khác, mỗi hàm tu; là nghiệm của bài toán biên

—Aw; = Ajw;, trong O, _ (4.26)

Bổ đề 4.3 được suy ra từ Dinh lý 3.1.3 với H = L? và V, a(-,-) được xác định bởi

(4.2.2).

4.3 Sự tôn tại và duy nhất nghiệm của bài toán

Trong mục này, cho trước T* > 0, với A > 0, họ > 0, Bài toán được xét với

các giả thiết sau

(Hs) py € C1(Í0,1] x [0,T*] x Rx R2);

(He) f €C1([0,1] x [0,T*] x R x RS

9 (x,t) = = [(so(t) + hogi(t)) x + gi(t) — go()]: (4.3.1)

Bằng cách đổi biến ø (x,t) = u (x,t) — ¢ (x,t) , Bai toán (4.1.1) được đưa về bài toán

Robin-Dirichlet thuần nhất như sau

tụ — Avant — ác |Inlp|(,1)] + fg (t=) & (wale x, )0x (2,9)] as

= flol(x,t),0<x<1,0<t<T, (4.3.2)

vx(0,t) — hov(0,t) = v(1,t) = 0, v(x,0) = Go(x), v(x, 0) = ñ1(%),

23

trong đó

1 Le) (xt) = py (x,1,ø (x,t) + Ø(x,Ð), |Ip() + ø()|Ê,

lox(t) + (II), tai0Ì(x,s) = tạ (x,s,9 (x,s) + Ø(x,s), |ø(s) + @(s)Ê,

Ios(s) + ø,()l) , fIpl&,Ð =f (x,t,(x,Ð),0y(x,Ð),0(x,Ð), lo) + OI,

lox(#) + ø;(ĐIỂ, le") + #(91Ê) (4.3.3)

va 80, @1, ño, f1, ho thỏa điều kiện ñox(0) — hoño(0) = 80 (0), fig (1) = 81 (0)

Dinh nghĩa nghiệm yếu Nghiệm yếu của Bai toán là hàm ø € Vr = {ø €

trong đó, với mỗi ø € Vr và y = 1,2, {az[8](f; + -)}o<¡<r là một họ song tuyến tính đối

xứng trên V x V được xác định bởi

ay |[ð] (; 0,0) = (Hy [0] (t) 0x, Wx) + hop, [9] (0,t)v(0)w(0), Vo,wEV,0<t<T.

là không gian Banach đối với chuẩn

lolly, = max{løll.=(or,yaw2)2 [le lsorvar)? lÌP [2z r)}- (4.3.10)

Với mỗi M > 0, ta đặt

W(M,T) = {o € Vr: lolly, < M}, (4310

W,(M,T) = {o € W(M,T) : 0” € L®(0,T;L2)}

Ta sé thiết lập day quy nap tuyến tinh {ø„} như sau:

Trước hết, ta chọn số hạng ban dau vp = 0 và giả sử rằng

Om—1 € Wy(M,T), (4.3.12)

ta liên kết bài toán (4.3.2) với bài toán sau đây:

Tìm ơ„ € W(M,T) (m > 1) thỏa bài toán biến phân tuyến tính

(ofn(t), 20) + Aa(0i,()„t0) + gị”” (1;øm (#) 9)

= là (t—s) as”) (s;0m (s),w) ds + (Fm (t),w), Vw eV, (4.3.13)

0„(0) = G0, 0m„() = Ø1,

25

Khi đó, ta có định lý sau đây

Dinh lý 4.4 Giả sử (Hị)— (Hg) thỏa Khi đó, tồn tại các hằng số M, T > 0 sao cho, uới

øạ = 0, tồn tại một day quy nạp tuyến tính {0m} C W\(M,T) được xác định bởi

(4.3.13)-@318)

Chứng minh Dinh ly 4.4 Ý tưởng chứng minh dựa vào phương pháp xấp xi

Fadeo-Galerkin, trước hết là thiết lập day xấp xi Galerkin {v\*)}, tiếp theo là đánh giá tiên

nghiệm, cuối cùng qua giới hạn nhờ vào lý luận về tính compact, ta thu được vm €

W,(M, T) là nghiệm của bài toán (4.3.13)-(4.3.14) Chi tiết chứng minh như sau:

Bước 1 Xap xi Fadeo-Galerkin Xét cơ sở {w;} trong V được xác định như ở Bổ dé 4.3

Ta tìm nghiệm xấp xi của bài toán (4.3.13)-(4.3.14) dưới dạng

k

với các hệ số ch, j=1, -,k,langhiém của hệ phương trình vi tích phân tuyến tinh