Luận án tiến sĩ Toán học: Một số bài toán Cauchy cho phương trình với đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville

© Với phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến cùng các điều kiện phi địa phương, chúng tôi chỉ ra tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm nhẹ của bài toán được trong một số không gian.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN HOANG LUC

MOT SO BAI TOAN CAUCHY CHO PHUONG TRINH VOI DAO HAM CAPUTO VA RIEMANN-LIOUVILLE

LUAN AN TIEN Si TOAN HOC

TP H6 Chi Minh - 2023

VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH

UNIVERSITY OF SCIENCE

NGUYEN HOANG LUC

SOME CAUCHY PROBLEMS FOR EQUATIONS

WITH CAPUTO AND RIEMANN LIOUVILLE

DERIVATIVES

Doctoral Thesis

Ho Chi Minh City - 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYEN HOANG LUC

MOT SO BAI TOAN CAUCHY CHO PHUONG TRINH

VOI DAO HAM CAPUTO VA RIEMANN-LIOUVILLE

Ngành: Toán giải tích

Mã số Ngành: 9460102

Phản biện 1: PGS TS Mai Đức Thành

Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Dinh Huy

Phan bién 3: PGS TS Nguyén Bich Huy

NGUOI HUONG DAN KHOA HOC

PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn

TP Hồ Chí Minh - 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ toán học của tôi - "Một số bài toán Cauchy

cho phương trình với đạo hàm Caputo và Riemann-Liouville" là công trìnhkhoa học do tôi thực hiện đưới sự hướng dẫn của PGS TS Nguyễn Huy Tuan.

Những kết quả được trình bày trong luận án cùa tôi hoàn toàn trung thực

và không trùng lắp với các công trình nghiên cứu đã công bố trong và ngoài

nước.

Cán bộ hướng dẫn Nghiên cứu sinh

PGS TS Nguyễn Huy Tuan Nguyễn Hoàng Lực

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên, tôi xin gởi lời cám ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy hướng dẫncủa tôi - PGS TS Nguyễn Huy Tuan Nhờ Thay mà tôi được học không nhữngcác kiến thức chuyên môn, mà còn học hỏi được nhiều điều trong cuộc sốngthông qua việc tiếp xúc với Thay va cac anh chi em, ban be trong nhom nghién

cứu cua Thay.

Tôi xin gởi lời cám ơn đến quý Thay, Cô của Khoa Toán - Tin Hoc, TrườngĐại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh đãtận tâm dạy bảo, truyền đạt những kiến thức chuyên môn cũng như đạo đức,lối sống trong những năm học ở nhà trường Tôi cũng xin gởi lời cám ơn đếncác phòng, ban đã hỗ trợ hết sức nhiệt tình trong các thủ tục và phổ biến cácquy chế học vụ

Tôi xin gởi lời cám ơn đến gia đình tôi, đặc biệt là ba mẹ và vợ tôi đã luônủng hộ, tạo điều kiện để tôi được học tập, nghiên cứu một cách thoải mái nhất

và hoàn thành luận án tiến sĩ của mình.

Tôi xin gởi lời cám ơn đến các Thay, Cô của Bộ Môn Toán, Trường Dai HọcNgân Hàng Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện thuận lợi cho tôi

trong quá trình học tập.

Cuối cùng, tôi xin gởi lời cám ơn đến các anh chị em, bạn bè trong nhóm

nghiên cứu của Thầy hướng dẫn, những người đã luôn giúp đỡ tôi tận tìnhtrong suốt những năm học tập cùng nhau

Dù rất cố gắng, những những sai sót trong luận án là rất khó tránh khỏi.

Rất mong nhận được những đóng góp cũng như những chỉ bảo của quý Thay,

Cô, bạn bè, và quý độc giả.

TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN

Tên đề tài luận án: Một số bài toán Cauchy cho phương trình với đạo hàmCaputo và Riemann Liouville

Ngành: Toán giải tích

Mã số Ngành: 9460102

Họ tên nghiên cứu sinh: NGUYỄN HOÀNG LỰC

Khóa đào tạo: 2020

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYEN HUY TUẦN

Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, DHQG.HCM

1 TOM TAT NOI DUNG LUẬN ÁN:

Kết qua của luận án này được tổng hợp từ 4 bai báo đã được công bố trên

các tạp chi: Mathematical Methods in the Applied Sciences, Journal of Fixed

Point Theory and Applications, Advances in Continuous and Discrete Models:

Theory and Modern Applications (Tên cũ: Advances in Difference Equations

) Các kết quả này được chia thành 4 phan chính như sau

e Phần 1: Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Rayleigh-Stokes phi

tuyến

Xét phương trình Rayleigh-Stokes như sau

du — Au — mofAu =F(u), (x,t) € Ox (0,T),

u(x,t) =0, x €aQ, (0.0.1)u(x,0) =uo(Xx), xEQ

Với A là toán tử Laplace, O C IR? (d > 1) là miền bị chặn có biên trơn dQ, và

T > 01a thời gian cho trước, ? là số thực dương ug € L?(O) là dữ liệu ban

đầu, 0* là đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville bậc x € (0,1) được định

nghĩa như sau

ato) = Ea ([« +) *a(x,r)ár),

với T(.) là hàm Gamma.

Trong phần này, bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Rayleigh-Stokesphi tuyến được nghiên cứu trong hai trường hợp, cụ thể là với hàm nguồnLipschitz toàn cục và hàm nguồn Lipschitz địa phương Nhờ vào phép phântích phổ, nguyên lý điểm bat động, và một số không gian hàm thích hợp, chúngtôi thiết lập nghiệm chỉnh toàn cục cho bài toán Hơn nữa, chúng tôi chứngminh được sự tồn tại toàn cục nghiệm nhẹ và tính bùng nổ của của nó

e Phần 2: Bài toán phi địa phương cho phương trình Rayleigh-Stokes

Xét phương trình Rayleigh-Stokes như sau

(0.0.2)

9u — Au — potAu = F(u), (x,t) € Ox (0,T), u(x,t) =0, x € 00,

với điều kiện phi địa phương

+u(x,0) + Bu(x,T) = h(x), xeQ).

df là dao hàm Riemann-Liouville bậc € (0, 1)

A _ 1 9 F w(x,s)

3jm(x,£) = T'(1—.«) ot (/ (t — srt) :

với T(.) là hàm Gamma.

Trong phần này, chúng tôi xem xét phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến

với các điều kiện phi địa phương Sự ton tại, tính duy nhất và tính chính quy

của nghiệm nhẹ của bài toán được nghiên cứu trong một số không gian Khitham số tiến về 0, chúng tôi nghiên cứu thêm sự hội tụ của nghiệm nhẹ

e Phan 3: Bài toán Rayleigh-Stokes phi tuyến với điều kiện tích phân phi địa

Xét bài toán Rayleigh-Stokes như sau

&u(x,0) + & | v(s)u(x,s)ds = g(x), xcO,

với €i,ða > 0, và G+ & > 0 Ở đây u(x,t) là vận tốc chất lưu, py 1a tính nhớt,

F là hàm nguồn, A là toán tử Laplace, O C IR? (d = 1,2,3) là miền bị chặn có

biên trơn 9O, và T > 0 là thời gian cho trước, ø là dữ liệu cuối thuộc Lˆ(O),

9; = 9/9t, và of là đạo hàm cấp phân số Riemann-Liouville bậc a € (0,1) được

định nghĩa như sau

cũng được nghiên cứu trong phần này Để chỉnh hóa nghiệm không chỉnh này, bằng phương pháp chặt cụt Fourier, chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho

bài toán, và khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa này.

e Phan 4: Bài toán thuận cho phương trình giả Parabolic với đạo hàm

Ca-puto.

Xét phương trình dao hàm riêng cấp không nguyên như sau:

DƑ(u + k.Aw) + (—A)Êu = F(t,x,u), (0,T] x Q,

u(t,x) = 0, (0, T] x 9O, (0.0.4)

u(0,x) = uo(x), QO,

trong đó 0 < a < 1, D* là đạo ham Caputo bậc a, xem trong

D*() = Faw [u `.

trong đó Ï' là hàm Gamma.

Trong phần này, chúng tôi xem xét phương trình giả parabolic với đạo hàm

Caputo Chúng tôi nghiên cứu tính tổn tại và tính duy nhất của nghiệm nhẹ.Trường hợp bài toán phi tuyến, chúng tôi khảo sát tính chất nghiệm toàn cục

với dữ liệu đầu ug € L2 Trong trường hợp du liệu đầu up € L1, q # 2, chúng tôi khảo sát kết quả tổn tại địa phương Công cụ chính chúng tôi sử dụng ở đây

là các công cơ bản, định lý điểm bất động Banach và định lý nhúng Sobolev

2 NHUNG KET QUA MỚI CUA LUẬN ÁN:

Nội dung chính của luận án này được tổng hợp từ các công trình đã được đăng

trên các tạp chí uy tín trên thế giới, có nhiều kết quả mới hơn những kết quả trước đó Trong luận án này, các kết quả mới của chúng tôi có thể liệt kê như

sau.

© Phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến được chúng tôi nghiên cứu trong

hai trường hợp: hàm nguồn Lipschitz toàn cục và hàm nguồn Lipschitzđịa phương Chúng tôi thiết lập nghiệm chỉnh toàn cục cho bài toán Hơnnữa, chúng tôi chứng minh được sự tổn tại toàn cục nghiệm nhẹ và tính

bùng nổ của của nó

© Với phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến cùng các điều kiện phi địa

phương, chúng tôi chỉ ra tính duy nhất và tính chính quy của nghiệm nhẹ

của bài toán được trong một số không gian Bên cạnh đó, chúng tôi nghiêncứu thêm sự hội tụ của nghiệm nhẹ khi các tham số tiến vẻ 0

¢ Sự tổn tại và duy nhất cho nghiệm nhẹ của bài toán cho phương trình

Rayleigh-Stokes với điều kiện tích phân phi địa phương đã được chúng

tôi nghiên cứu Tính không chỉnh cho nghiệm nhẹ của bài toán giá trị

nghiệm chỉnh hóa cho bài toán, và khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa này.

e Với phương trình gia parabolic với dao ham Caputo Sự tổn tại và tính duy

nhất của nghiệm nhẹ của bài toán đã được chúng tôi nghiên cứu Trường

hợp bài toán phi tuyến, chúng tôi khảo sát tính chất nghiệm toàn cục với dir liệu đầu up € L2 Trong trường hợp dữ liệu đầu up € L, q # 2, chúng

tôi khảo sát kết quả tổn tại địa phương

3 CÁC UNG DUNG/KHA NANG UNG DỤNG TRONG THỰC TIEN HAY

NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU:

Trong tương lai, chúng tôi sẽ mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau

¢ Hướng 1: Khảo sát sự tổn tại, tính chính quy, sự tồn tại nghiệm cổ điển,

tính tắt dần, tính phân rã, tính bùng nổ của nghiệm cho các bài toán

giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/ điều kiện phi địa phương với các daohàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và không gian

® Hướng 2: Nghiên cứu phương pháp số cho các bài toán với đạo ham cấp

không nguyên.

¢ Hướng 3: Nghiên cứu các các phương trình vi phân - đạo hàm riêng ngẫu

nhiên với các đạo hàm không nguyên kết hợp với các chủ đề trên

Supervisor: Associate Professor NGUYEN HUY TUAN

At: VNUHCM - University of Science

e Part 1: On the initial value problem for the nonlinear fractional

Here A is the Laplacian, Q C IR? (d > 1) is a bounded domain with smooth

is the initial data in L*(Q), the notation 9# is the Riemann-Liouville fractional

derivative of order + € (0,1) defined by [2|B]:

where ÏI'(.) is the Gamma function.

In this part, an initial-boundary value problem for the nonlinear fractional Rayleigh-Stokes equation is studied in two cases, namely when the source term

is globally Lipschitz or locally Lipschitz The time-fractional derivative used in

this work is the classical Riemann-Liouville derivative Thanks to the spectral decomposition, a fixed point argument, and some useful function spaces, we establish global well-posed results for our problem Furthermore, we demon- strate that the mild solution exists globally or blows up in finite time.

e Part 2: On a nonlinear fractional Rayleigh-Stokes equation associated with nonlocal conditions

We consider the Rayleigh-Stokes problem for a heated generalized second

grade fluid with the time fractional derivative

| Ô¿u — Au—potAu = F(u), (x,t) € Ox (0,T), (0.0.6)

u(x,t) =0, x€ 9O,

with the non-local condition

+u(x,0) + Bu(x,T) = h(x), xeQ).

Here A is the Laplacian, QO C R# (d = 1,2,3) is a smooth domain with the

boundary 9Ó, and T > 0 is a given time, h is the final data in Lˆ(O), Oo} =

d/dt, and of is the Riemann-Liouville fractional derivative of order a € (0,1)

defined in [215]:

1 9 F (%,s)

œ —

OMX!) = TỊT—a) aE (¡ (t ech)

where I'(.) is the Gamma function.

In this part, we study a fractional nonlinear Rayleigh-Stokes problem with nonlocal conditions Existence, uniqueness, and regularity of the mild solu- tion of the problem are investigated in some appropriate spaces Furthermore, when the parameter goes to zero, we consider the convergence of the mild so- lution Our analysis relies on Banach’s fixed point theorem.

e Part 3: A nonlinear fractional Rayleigh-Stokes equation under non-local integral conditions

We focus on the Rayleigh-Stokes problem as follows:

9¿u — Au — potAu = F(u), (x,t) € Ox (0,T),

u(x,t) =0, xcoO

(0.0.7)

associated with the non-local integral condition

T

€u(x,0) + G | v(t)u(x,s)ds = g(x), xEQ,

where ¢1,¢2 > 0, and GF + ễ2 > 0 Here u(x,t) is fluid velocity, is viscosity,

F is a source function, A is the Laplacian, Q C R# (4 = 1,2,3) is a smooth

domain with the boundary 0Q, and T > 0 is a given time, g is the final data

in L?(Q), Oo; = O/dt, and of is the Riemann-Liouville fractional derivative of order « € (0,1) defined in [2l]:

Ø#(x,t) = Tũ-n% ( | Cs) as) ,

where I'(.) is the Gamma function.

In this part, we study on the fractional nonlinear Rayleigh-Stokes equation under non-local integral conditions, in which the existence and the uniqueness

of the mild solution to our problem are considered The ill-posedness of the mild solution to the problem recovering the initial value is also investigated To tackle the illposed-ness, a regularized solution is constructed by Fourier trun- cation method, and the convergence rate to the exact solution of this method is

e Part 4: On an initial value problem for time fractional pseudo-parabolic

equation with Caputo derivative

We consider the following time fractional PDE as follows

Di (u+kAu) + (—A)Pu = F(t,x,u), in (0,T]xQ,

u(t,x) =0, on (0,T] x 9O, (0.0.8)

u(0,x) = u(x), in Q,

where 0 < a < 1, D* is Caputo fractional derivative operator of order a When the function v is absolutely continuous in time, the definition in [1] reduces to the traditional form

Dw) = Faw [e 3) as

where I is the Gamma function and Mã 1s the first order integer derivative of

function w(s) with respect to independent variable s.

In this part, we consider a pseudo-parabolic equation with the Caputo tional derivative We study the existence and uniqueness of a class of mild solu-

frac-tions of these equafrac-tions For a nonlinear problem, we first investigate the globalsolution under the initial data ug € L7 In the case of initial data ug € L4, q #2,

we obtain the local existence result Our main tool here is using fundamental tools, namely Banach fixed point theorem and Sobolev embeddings.

2 NOVELTY OF THESIS:

The main content of this dissertation is a synthesis of papers that have been published in prestigious publications around the world, with more new find- ings than old previous ones The following is a summary of our new findings

in this thesis.

® A non-linear Rayleigh-Stokes equation was considered in two cases: the

source term is globally Lipschitz and locally Lipschitz We put forward

global well-posed results for the problem and interpreted that the mild solution exists globally or blow up in finite time.

e With regard to a non-linear Rayleigh-Stokes equation associated non-local

conditions, we presented the uniqueness and regularity of the mild tion to the problem in some proper spaces Furthermore, we investigated the convergence of the mild solution when the parameters approach to

solu-Zero.

se The existence and uniqueness of the mild solution to a Rayleigh-Stokes

equation accompanied by non-local integral was considered The

illposed-ness of the mild solution to the direct problem was also introduced In

addition, we established the regularized solution to the problem, and sented the interpretation for the convergence rate of the mild solution.

pre-e With rpre-esppre-ect to a pspre-eudo-parabolic pre-equation with Caputo dpre-erivativpre-e, wpre-e

gave an introduction to results of the existence and uniqueness of the mild

solution of the problem In the case of the source term is non-linear, we

investigated the global solution with the initial data ug € L* With regard

to the case of initial data ug € L1, q # 2, we presented the local existence result.

3 APPLICATIONS/APPLICABILIT Y/PERSPECTIVE:

In the near future, we will expand our research to include the subsequent

topics:

¢ Topic 1: Investigating the existence, regularity, the existence of classical

solution, and decay, blow up, asymptotic behaviors properties of the lution for boundary value problems/ initial value problems/final value problems/problems with nonlocal condition containing both space-time fractional derivatives.

so-® Topic 2: Considering numerical methods for problems associated with

fractional derivative.

¢ Topic 3: Examining stochastic differential equations /stochastic partial

dif-ferential equations associated with topics above.

Mục lục

i

ii

Trang thong tin luan an tieng Viét iii

Trang thông tin luận án tiếng Anh viii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viet tat xvii

3_ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU 15

3.2.5 Bài toán không chính theo nghĩa Hadamard] 23

2.6 _ Khai triển Fourierl - 24

3.2.9 Định ly điểm bất động Banach

4.1 BÀI TOÁN GIÁ TRI BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH

`" 31

4.1.1 Giới thiệu một số không gian 32

4.1.2 Dạng công thức nghiệm của bài toán (4.1 34

¬ 36

4.1.4 Trường hợp hàm nguồn Lipschitz địa phương| 43

¬ eee 52

Sự ton tại và tính chính quy của nghiệm nhẹ

Sự hội tụ của nghiệm nhẹ khi 6 + 0“

Sự hội tụ của nghiệm nhẹ khi y > 0*

Nghiệm nhẹ cho bài toán Rayleigh-Stokes phi địa phương| 54

4.3 BÀI TOÁN RAYLEIGH-STOKES PHI TUYEN VOI DIEU KIEN

TICH PHAN PHI DIA PHUONG]

4.3.1 Một số kết quả mở đầu

4.3.2 Tính chính quy cho nghiệm nhẹ bài toán trong trường

hợp tuyên tính|

4.3.3 Bài toán khôi phục giá trị ban đầu

VỚI ĐẠO HAM CAPUTO)

441 Mộtsốkýhiệu

4.4.2 Bài toán trong trường hợp tuyên tính

5 KET LUẬN VÀ KIÊN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA NCS

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIET TAT

R : Tập hợp số thực

: Tập hợp số phức

B(X,Y) : Không gian các toán tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y,

trong đó X, Y là các không gian Banach.

C(0,T];X) : Không gian tất cả các hàm liên tục từ [0, T] vào X.

CR.((0,T];X) : Không gian tat cả các hàm v liên tục từ (0, T] vào X thỏa

lløllcg := sup f!Jø)lÏx < ©.

O<t<T

LP(0,T;X) _ : Không gian gồm các lớp tương đương chứa ham đo được

v từ [0, T] vào X đối với chuẩn

T 1/p

esssupp.,slÍ()Ìx P=.

VP®(0,T;O) : Không gian giao định nghĩa bởi

vP(0,T;Q) = LP(0,T; H?(O)) ñL®(0,T;L^(O)),

trang bị chuẩn ||ø||y»= = |llÌlr»(o,r;w>4e)) + |ÌP|ÌL>(o,r;2(o);

với mọi ø € VP(0,T; QO).

wr(0,T;Q) : Không gian tích định nghĩa bởi

wr(0, T;Q) = VP®(0,T;O) x VP*(0,T;O),

trang bị chuẩn ||w|| yp = ||wlly»= + ||ø||yp~„ với mọi

w<=(u,v) thuộc 39?(0,T; QO).

Chương 1

MỞ ĐẦU

Kết quả của luận án này được tổng hợp từ các bài báo [A1, A2, A3, A4] đã

được công bồ trên các tạp chí

® Mathematical Methods in the Applied Sciences (ISI, Q1)

® Journal of Fixed Point Theory and Applications (ISI, O1)

e Advances in Continuous and Discrete Models: Theory and Modern

Ap-plications (Tên cũ: Advances in Difference Equations) (ISI, Q1)

Bài báo [A1] nghiên cứu bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Stokes phi tuyến trong hai trường hợp: hàm nguồn Lipschitz toàn cục và hàmnguồn Lipschitz địa phương Nhờ vào phép phân tích phổ (biểu diễn dangchuỗi trong không gian Hilbert), nguyên lý điểm bất động, và một sO khônggian hàm thích hợp, nghiệm chỉnh toàn cục cho bài toán đã được thiết lập.Hơn nữa, bài báo đã chứng minh được sự tổn tại toàn cục nghiệm nhẹ (mild

Rayleigh-solution) và tính bùng nổ của của nó

Trong bài báo [A2], chúng tôi khảo sát phương trình Rayleigh-Stokes phi

tuyến với các điều kiện phi địa phương Sự tổn tại, tính duy nhất và tính chínhquy của nghiệm nhẹ của bài toán được nghiên cứu trong một số không gian.Khi tham số tiến về 0, sự hội tụ của nghiệm nhẹ cũng đã được khảo sát

Bai báo [A3] khảo sát bài toán Rayleigh-Stokes phi tuyến với điều kiện tíchphân phi địa phương Sự tồn tại và duy nhất cho nghiệm nhẹ của bài toán cho

phương trình Rayleigh-Stokes với điều kiện tích phân phi địa phương đã được

nghiên cứu trong bài báo này Tính không chỉnh cho nghiệm nhẹ của bài toán

giá trị ban đầu cũng được khảo sát Để chỉnh hóa nghiệm không chỉnh này, bằng phương pháp chặt cut Fourier, bài báo đã đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho

bài toán, và khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa này.

Bài báo [A4] khảo sát bài toán thuận cho phương trình giả Parabolic với đạo

ham Caputo Bài báo đã nghiên cứu tinh tôn tại và tính duy nhất của nghiệmnhẹ Trường hợp bài toán phi tuyến, tính chất nghiệm toàn cục với dữ liệu đầu

ug € L2 đã được nghiên cứu Trong trường hợp dữ liệu đầu up € L1, q # 2, bai báo đã khảo sát kết quả tồn tại địa phương Công cụ chính được sử dụng ở đây

là giải tích phi tuyến, định lí điểm bat động Banach và định lí nhúng Sobolev

Bên cạnh đó, Phương trình vi phân - đạo hàm riêng cấp không nguyên đóngmột vai trò quan trọng trong việc mô tả trạng thái của các chất lưu - những chấtkhá phổ biến trong tự nhiên và trong đời sống thường ngày như: mật ong, kemđánh răng, bơ, sôcôla Ngoài ra FPDEs cũng là một công cu để mô tả những

hiện tượng khuếch tán bat quy tắc Do đó, tôi thay đây là một hướng nghiên

cứu rất liên quan đến thực tế

1.2 Đối tượng nghiên cứu

Luận án này tập trung nghiên cứu các bài toán sau đây

* Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến

® Bài toán phi địa phương cho phương trình Rayleigh-Stokes.

* Bài toán Rayleigh-Stokes phi tuyến với điều kiện tích phân phi địa phương

¢ Bài toán thuận cho phương trình gia Parabolic với dao ham Caputo.

1.3 Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực phương trình vi phân - đạohàm riêng, tập trung chính vào các phương trình đạo hàm riêng cấp khôngnguyên Riemann-Liouville và đạo hàm riêng cấp không nguyên Caputo

1.4 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài

Đầu tiên, để tài nghiên cứu các bài toán, mô hình toán học liên quan đếncác van dé liên quan đến các lĩnh vực sinh học, vật lý, hóa học Cho nên, cáckết quả nghiên cứu đạt được góp phần nào đó trong việc giải quyết một số bài

toán ứng dụng trong khoa học và kỹ thuật Bên cạnh đó, việc khảo sát được

tính chính quy, tính ổn định của nghiệm các bài toán này sẽ góp phần tích cựctrong việc xây dựng các mô hình số hay mô hình mô phỏng các loại bài toán

này.

Bên cạnh đó, những kết quả đạt được của dé tài, néu được đăng trên nhữngtạp chí có uy tín trên thé giới, thì nó sẽ góp phan nâng cao chất lượng nghiên

cứu cũng như uy tín của cá nhân nghiên cứu sinh, nhóm nghiên cứu, và trường

Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG TP.HCM.

Ngoài ra, quá trình nghiên cứu dé tài cũng có thể làm phát sinh những

công cụ mới, phương pháp mới có thể ứng dụng trong các bài toán khác Việc

nghiên cứu dé tài cũng có thể nảy sinh các van dé liên quan để những người

theo sau, những học viên cao học, nghiên cứu sinh phát triển

Chương 2

TỔNG QUAN

Giải tích không nguyên khởi đầu ở thé ky XVII từ vẫn dé mà Guillaume

de /Hôpital (1661-1704) đặt ra với Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), dao

` 1/2 , Ros A 2 VÀ ~ ye

ham 4 được xem xét như thé nào Cho đến nay, có nhiều định nghĩa tích

1/2

phân, đạo hàm cấp không nguyên như: Riemann-Liouville, Caputo, Weyl,

Hadamard Trong những năm gần đây, giải tích không nguyên phát triểnrat nhanh chóng và được nhiều nhà khoa học trên thé giới quan tâm: như Ste-fan Grigor evich Samko và cộng sự, Rudolf Gorenflo và cộng sự [4], Kenneth S

Miller và cộng sự [5], Igor Podlubny [3] Va phuong trinh vi phan - dao ham

riéng cap không nguyên dang trở thành một trong những hướng nghiên cứu

quan trọng của toán học.

Về mặt ứng dụng vào khoa học kỹ thuật, cũng như những ứng dụng trong thực tế, đạo hàm và tích phân là hai khái niệm đóng vai trò vô cùng quan trọng

trong việc mô tả các van dé trong tự nhiên và trong khoa học kỹ thuật Các bàitoán liên quan đến thực tế, các hiện tượng trong tự nhiên thường độ mô hình

bởi những phương trình vi phân - đạo hàm riêng mà trong đó đạo hàm và

tích phân đóng vai trò là những nhân tố chính Tuy nhiên, có những vẫn đềkhông thể mô hình được với đạo hàm cấp nguyên như: mô tả tính nhớt đàn

hồi của các chất lưu, các hiện tượng khuếch tán bất quy tắc (the constitutive relationship of fluid models, basic random walk models) May mắn thay, giải

tích không nguyên (đạo hàm không nguyên, tích phân không nguyên, và các

van dé liên quan) đã làm được điều đó

Với of ký hiệu cho dao hàm Riemann-Liouville hay Caputo, bậc a € (0,1)

theo biến thời gian, A là toán tử tuyến tính, không bị chặn, trù mật trên X, và

F là một hàm cho trước Cho X là một không gian Banach, xét phương trình

9#u(£) + Au(t) = F(t,u(t)), O<t<T (2.0.1)

Khi X là một không gian Banach tổng quát, phương trình cùng với điềukiện (0) = uo € X được gọi là bài toán thuận cho phương trình tiến hóa

cấp không nguyên Đầu thé ky XXI, các bài toán này đã được nhiều nhà toán

học quan tâm, tiêu biểu như: Yong Zhou I6], Krishnan Balachandran (71,

Rong-Nian Wang [8]

Khi X là không gian Hilbert hay Sobolev theo biến không gian x € O với

QO C Rể (d > 1), ví dụ như L2(O), H$(O), LP(O), W$P(O) (s € R, p > 1), và

A = L với L là toán tử elliptic xác định đương trên O (xem [9]), phương trình

(2.0.1) trở thành phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên a € (0, 1)

u(x,t) + Lu(x,t) = F(x,t,u(x,t)), x€0,0<t<T (2.0.2)

Phuong trinh được gọi là phương trình khuếch tán với dao ham cấpkhông nguyên Phương trình này cùng với các điều kiện biên (Dirichlet, Neu-mann, Robin, hoặc Wentzell), điều kiện về thời gian (điều kiện đầu, điều kiệncuối), và một số giả thiết trên hàm nguồn F cũng được nhiều nhà toán học

quan tâm như: Yury Luchko [10], Kenichi Sakamoto [9] , Alexandre Nolasco

Carvalho [11], Ciprian G Gal [12]

2.1 Tình hình nghiên cứu trên thé giới

¢ Đối với đạo hàm Riemann-Liouville

- Fetecau trong công bố năm 2001 đã dùng biến đổi Fourier sin để

xác định trường vận tốc tương ứng với dòng chảy của một tam phẳng

chuyển động đột ngột trong chất lưu cấp hai Nghiệm cho phươngtrình Rayleigh-Stokes trong trường hợp này cũng đã được tác giả đưa

— Năm 2006, F Shen đã cũng đã dùng biến đổi Fourier sin và thêm

biến đổi Laplace để nghiên cứu bài toán Rayleigh-Stokes với chất lưu

bậc hai tổng quát

— Zierep năm 2007 đã nghiên cứu về sự cân bằng năng lượng cho

bài toán Rayleigh-Stokes đối với chất lỏng Maxwell kết hợp với điềukiện ban đầu, điều kiện biên

- Đến năm 2009, C Xue trong bài báo đã chỉ ra nghiệm chính xác

cho trường vận tốc và nhiệt độ của bài toán này

— M Khan trong bài báo [16] năm 2010 sử dụng biến đổi Fourier và biến

đổi Laplace để đưa ra nghiệm chính xác cho mô hình dong chảy dao

động của chất lưu Burger với đạo hàm không nguyên

- Trong việc sử dụng phương pháp số để tiếp cận các bài toán liên

quan đến đạo hàm Riemann-Liouville, thì E Bazhlekova là một đại

diện tiêu biểu Trong công trình năm 2015, tác giả này đã dùng

một vài phương pháp số như Galerkin, Euler để nghiên cứu bài toánRayleigh-Stokes với chất lưu bậc hai tổng quát

- Kế đến là M Dehghan năm 2017 đã sử dụng phương pháp phần

tử hữu hạn để nghiên cứu cho phương trình này Bên cạnh đó, tác giảcòn đưa ra một số so sánh giữa phương pháp số này so với một vàiphương pháp số khác

— Vào năm 2017, P Agarwal trong đã nghiên cứu cho việc mở rộng

đạo hàm không nguyên Riemann-Louville.

- Một số kết quả về tính chỉnh toàn cục va địa phương cho phương

trình Rayleigh-Stokes nửa tuyến tính trên IR đã được khảo sát bởi

Jia Wei He trong nam 2021 Bên cạnh đó, nhóm tac giả nay cũng

đưa ra các kết quả về sự kéo dài hoặc bùng nổ của nghiệm

- Trong bài báo năm 2022, Jing Na Wang đã nghiên cứu phương

tại, duy nhất nghiệm, tính phụ tuộc liên tục với dữ liệu đầu vào cũng

như sự kéo dài hay bùng nổ của nghiệm nhẹ bài toán đã được xem

xét trong bài báo này.

© Đối với đạo ham Caputo:

- Trong một công bố năm 2012 về bài toán Cauchy với đạo hàm

Caputo , M Feckan đã chỉ ra một số công thức nghiệm trong một vài

công bố trước đó là chưa đúng và đưa ra công thức nghiệm cho một

số trường hợp

- Phương trình vi phân ngẫu nhiên với đạo hàm không nguyên Caputo

đã duoc khảo sát bởi R.Sakthivel trong công trình [23] năm 2013 Hơn

nữa, tác giả cũng chỉ ra sự tổn tại nghiệm nhẹ cho phương trình viphân ngẫu nhiên nửa tuyến tính với đạo hàm không nguyên Caputo

— Một cải tiến cho đạo ham Caputo đã được Rudolf Gorenflo dé xuất

vào năm 2015 Cụ thể là trong [24], tac gia da dua ra dinh nghia

cho đạo hàm không nguyên Caputo trên một khoảng hữu han trong

không gian Sobolev không nguyên Các kết quả trong công trình này

có thể áp dụng cho việc khảo sát tính chính quy của một số bài toángiá trị ban đầu/ giá trị biên cho một vài phương trình khuếch tán với

đạo hàm Caputo trên không gian Sobolev không nguyên.

- Cùng mối quan tâm với R.Sakthivel, Y Wang trong năm 2016

cũng đã nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên với đạo hàm Caputo Tác

giả đã đạt được các kết quả về sự tổn tại nghiệm cho phương trình

vi phân ngẫu nhiên không nguyên trong không gian Hilbert với hàm

nguồn phi tuyến Với hàm nguôn thỏa điều kiện Lipchitz, tác gia cũng

đã chỉ ra sự ton tại, duy nhất nghiệm cho phương trình vi phân ngẫu

nhiên với đạo hàm không nguyên tổng quát

— Năm 2017, Zhen-QingChen trong bài báo [26] đã trình bày các nghiên

gian không nguyên, cụ thể là đạo hàm Caputo.

— Trong hai năm 2018 va 2019, M Kh Beshtokov đã liên tiếp công bố các

công trình [27], [28], [29] Bài toán trọng tâm của các công trình này là

nghiên cứu các bài toán giá trị biên liên quan đến đạo hàm Caputo

Và các van dé được xem xét trong các công trình này bao gồm sự tồntại, duy nhất nghiệm, tính ổn định va sự hội tu

~ Cũng trong năm 2018, L Li và G J Liu trong công trình [1], đã nghiên

cứu bài toán giá trị ban đầu cho phương trình vi phân đạo hàm riêng

không nguyên tổng quát với việc đưa ra định nghĩa tổng quát cho

đạo hàm không nguyên Caputo Trong công trình này, các tác giả đã

điều chỉnh đạo hàm không nguyên Riemann-Liouville, và giới thiệu

về đạo hàm Caputo tổng quát

- Trong bài báo được đăng năm 2022 [30], Luciano Abadias đã nghiên

cứu bài toán Cauchy với đạo hàm Caputo cùng với hiệu ứng nhớ.

Công trình đã đưa ra các kết quả về nghiệm toàn cục, sự bùng nổ vớihàm nguồn phi tuyến và Lipschitz địa phương

2.2 Tinh hình nghiên cứu trong nước

¢ Đối với đạo ham Riemann-Liouville:

- Lê Xuân Trường trong công bố năm 2013 đã nghiên cứu bài toán

giá trị biên với đạo hàm không nguyên Riemann-Liouville trên không gian Banach tách được.

— Nam 2018, Dang Duc Trọng và các đồng nghiệp đã trình bày nghiên

cứu về tính liên tục cho nghiệm các phương trình Abel và các phương

trình khuếch tán với đạo hàm không nguyên theo biến thời gian trong

bài báo

- Cũng trong năm 2018, Nguyễn Anh Triết và các cộng sự đã nghiên

Trong bài báo này, các tác giả đã chứng minh được bài toán này là

không chỉnh theo nghĩa Hadamard Bằng phương pháp hàm lọc, tác

giả đã đưa ra được nghiệm chỉnh hóa cho bài toán.

— Trong công trình năm 2020, Trần Bảo Ngọc và các đồng tác giả đã

đưa ra các kết quả về sự tổn tại và tính chính quy cho bài toán ngượccho phương trình Rayleigh-Stokes với hàm nguồn phi tuyến

- Cùng mối quan tâm với phương trình Rayleigh-Stokes, Trần Đình Kế

và các cộng sự trong bài báo năm 2022 đã đưa ra nghiên cứu về

bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình Rayleigh-Stokes với

nhiễu phi tuyến Các kết quả chính trong công bồ này là về tính giải

được, tính ổn định và khả vi của nghiệm

- Trong cùng năm 2022, Đỗ Lân và các cộng sự trong cũng đã

nghiên cứu bài toán cho phương trình Rayleigh-Stokes với nhiễu phi

tuyến Các vấn dé được dé cập trong nghiên cứu này liên quan đếntính giải được, tính chính quy, sự ổn định Hơn nữa, với các giả thiết

phù hợp, tác giả đã chứng minh được nghiệm nhẹ của bài toán này

cũng chính là nghiệm cổ điển

© Đối với đạo ham Caputo:

- Năm 2019 trong công trình [37], Dang Đức Trọng và các cộng sự đã

đưa ra các kết quả về sự tổn tại, tính liên tục của nghiệm cho bài toángiá trị cuối cho phương trình khuếch tán với đạo hàm Caputo Trong

trường hợp bài toán không chỉnh, các tác giả cũng đã đưa ra được phương pháp chỉnh hóa cho bài toán.

— Doan Thái Sơn, trong hai công bồ năm 2018 và năm 2020 đã

đưa ra một số kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm cho phương trình

vi phân ngẫu nhiên với đạo hàm không nguyên Caputo bậc a € (5,1).

- Cũng là Doan Thái Son, trong bai báo năm 2019 đã thiết lập và

ngầu nhiên với đạo ham Caputo có hệ số thỏa mãn điều kiện

Lips-chitz.

- Trong công bố năm 2020, Nguyễn Huy Tuan cùng các đồng tác

giả đã trình bày nghiên cứu về bài toán giá trị cuối cho phương trình

giả parabolic trong hai trường hợp hàm nguồn tuyến tính và phi

tuyến Các kết quả liên quan trong công trình nay là về sự tôn tại,duy nhất nghiệm, tính chính quy, sự bùng nổ của nghiệm nhẹ Cũngvới các van dé liên quan này, Nguyễn Huy Tuấn cùng các cộng sự

trong bài báo năm 2021 đã nghiên cứu trên bài toán giá trị ban

đầu cho phương trình khuếch tán vối đạo hàm không nguyên theo

biến thời gian trong cả hai trường hợp hàm nguồn tuyến tính và phi

tuyến.

— Năm 2022, Trần Ngọc Thạch cùng các cộng sự trong đã đưa ra các

kết quả về sự tôn tại, duy nhất, tính chính quy và liên tục cho nghiệm

nhẹ của phương trình giả parabolic ngẫu nhiên với đạo hàm Caputo

kết hợp với nhiễu trắng.

2.3 Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Mục tiêu nghiên cứu của luận án nhằm giúp nghiên cứu sinh hiểu biết thêm

về những kiến thức đã học, học hỏi, trao dồi những kiến thức mới, phát triển

bản thân Hơn nữa, các kết quả đạt được, đặc biệt là các kết quả trình bày trong

luận án, có thể góp thêm vào các thành quả khoa học của nước nhà và thé giới

Luận án hướng tới các mục tiêu chính sau:

© Khảo sát sự tổn tại, duy nhất và tính chính quy của nghiệm một số bài toán

liên quan đến đạo hàm không nguyên Riemann-Liouville và Caputo

s® Nghiên cứu các bài toán liên quan đạo hàm không nguyên

Riemann-Louville với các điều kiện phi địa phương

® Khảo sát sự không ổn định của nghiệm một số bài toán Cauchy với đạo

hàm Reimann-Liouville và Caputo Bên cạnh đó, đưa ra phương pháp

chỉnh hóa với nghiệm không ổn định

2.4 Nội dung nghiên cứu của luận an

Trong luận án này chúng tôi tập trung nghiên cứu các bài toán sau

e Bài toán 1: Bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Rayleigh-Stokes phi

tuyến

Xét phương trình Rayleigh-Stokes như sau

Osu — Au—mosAu = F(u), (x,t) € Ox (0,T),

u(x,t) = 0, x€0Q, (2.4.1)

u(x,0) = uo(x), xEQ.

Với A là toán tử Laplace, OC IR? (d > 1) là miền bị chặn có biên trơn dO, và

T > 0 là thời gian cho trước, ? là số thực dương ug € L?(O) là dữ liệu bandau, of là đạo ham cấp phân số Riemann-Liouville bậc y € (0,1) được định

nghĩa như sau

9£0(x,t) = iia) 2 x +)-*a(x,r)ár) ,

với [(.) là ham Gamma Hàm số F : IR + R sẽ được định nghĩa sau

Trong phần này, bài toán giá trị ban đầu cho phương trình Rayleigh-Stokesphi tuyến được nghiên cứu trong hai trường hợp, cụ thể là với hàm nguồn

Lipschitz toàn cục và hàm nguồn Lipschitz địa phương Nhờ vào phép phân tích phổ, nguyên lý điểm bắt động, và một số không gian hàm thích hợp, chúng

tôi thiết lập nghiệm chỉnh toàn cục cho bài toán Hơn nữa, chúng tôi chứngminh được sự tổn tại toàn cục nghiệm nhẹ va tinh bùng nổ của của nó

e Bài toán 2: Bài toán phi địa phương cho phương trình Rayleigh-Stokes

Xét phương trình Rayleigh-Stokes như sau

au —Au—patAu =E(u),

— (x,t)€ Ax (0,7), (2.4.2)

u(x,t) =0, x €an,

với điều kiện phi địa phương

yu(x,0) + Bu(x,T) = h(x), xe.

of là đạo hàm Riemann-Liouville bậc « € (0,1)

9#u(x,t) = rr h 2 (( ne as),

với T(.) là hàm Gamma.

Trong phần này, chúng tôi xem xét phương trình Rayleigh-Stokes phi tuyến

với các điều kiện phi địa phương Sự tổn tại, tính duy nhất và tính chính quy

của nghiệm nhẹ của bài toán được nghiên cứu trong một số không gian Khitham số tiến về 0, chúng tôi nghiên cứu thêm sự hội tụ của nghiệm nhẹ

e Bài toán 3: Bài toán Rayleigh-Stokes phi tuyến với điều kiện tích phân phi

õj„(x,0)+ & | v(s)u(x,s)ds = g(x), xe,

với G1, > 0, và GF + & > 0 Ở đây u(x,t) là vận tốc chất lưu, p là tính nhớt,

F là hàm nguồn, A là toán tử Laplace, O C IR? (d = 1,2,3) là miền bị chặn có

biên tron 9O, và T > 0 là thời gian cho trước, ø là dữ liệu cuối thuôc L?(Q),

0; = 0/dt, va of là đạo ham cap phân số Riemann-Liouville bậc « € (0,1) được

dinh nghia nhu sau

9#u(x,t) = rar h 2 ( [ ne as),

với Ï'(.) là hàm Gammma.

Trong phan này, chúng tôi nghiên cứu sự tổn tại và duy nhất cho nghiệmnhẹ của bài toán cho phương trình Rayleigh-Stokes với điều kiện tích phân phiđịa phương Tính không chỉnh cho nghiệm nhẹ của bài toán giá trị ban đầucũng được nghiên cứu trong phần này Để chỉnh hóa nghiệm không chỉnh này,bằng phương pháp chặt cụt Fourier, chúng tôi đưa ra nghiệm chỉnh hóa cho

bài toán, và khảo sát sự hội tụ của nghiệm chỉnh hóa này.

e Bài toán 4: Bài toán thuận cho phương trình giả Parabolic với đạo hàm

Caputo.

Xét phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên như sau:

Df (u+kAu) + APu = F(t,x,u), (0,T] x O,

u(t,x) =0, (0, T] x 9O, (2.4.4)

u(0,x) = u(x), QO,

trong đó 0 < a < 1, D* là dao ham Caputo bac a, xem trong

D*w(t) = rasa fh" —

trong đó Ï' là ham Gamma.

Trong phần này, chúng tôi xem xét phương trình giả parabolic với đạo hàm

Caputo Chúng tôi nghiên cứu tính tổn tai và tính duy nhất của nghiệm nhẹ.

Trường hợp bài toán phi tuyến, chúng tôi khảo sát tính chất nghiệm toàn cục

với dữ liệu đầu ug € L7 Trong trường hợp dữ liệu đầu up € L, q # 2, chúng

tôi khảo sát kết quả tồn tại địa phương Công cụ chính chúng tôi sử dụng ở

đây là các công cơ bản, định lí điểm bat động Banach và định lí nhúng Sobolev.

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Chương này trình bày các phương pháp nghiên cứu, cách tiếp cận các vấn

đề nghiên cứu cho các bài toán được xét trong luận án, và các cơ sở lý thuyết

cơ bản được sử dụng trong toàn luận an

3.1 Phương pháp nghiên cứu

3.1.1 Các phương pháp nghiên cứu

Phương pháp hồi cứu va kế thừa số liệu: thu thập, phân tích, xử lý các kết qua

đã có về các nghiên cứu liên quan đến dé tài Từ đó chọn lọc số liệu cũng nhưcác kết quả có giá trị giúp định hướng xây dựng các kết quả nghiên cứu

Phương pháp phân loại va hệ thông hóa ly thuyết: Từ các kết quả đã có củanhững nghiên cứu liên quan đến dé tài, thực hiện hệ thống hoá lý thuyết vađưa ra các giả thuyết dự đoán về nghiệm cho các bài toán được nghiên cứu

trong dé tài Phát triển các phương pháp mới trong việc chỉnh hóa nghiệm,

xây dựng và thiết lập tính chính qui hóa của nghiệm

3.1.2 Tiếp cận nghiên cứu

Luận án tiếp cận việc nghiên cứu như sau

se Để xác định dạng nghiệm tích phân cho các bài toán, luận án sử dụng

khai triển Fourier, các phép biến đổi tích phân Do các bài toán liên quan

biến đổi Laplace và Laplace ngược Bên cạnh đó, cần phải sử dụng thêm

các hàm như hàm Gamma, Mittag-Leffler.

© Để chứng minh sự tổn tại nghiệm tích phân cho các bài toán tng với các

giả thiết phù hợp, luận án sử dụng phương pháp khai triển phổ, định lýđiểm bắt động, định lý ánh xạ co

° Dé thiết lập tính chính quy của nghiệm, luận án sử dụng các bat dang

thức cơ bản, bat đẳng thức Hölder, phép nhúng Sobolev

Với z € IN*, công thức trên trở thành T(z) = (z — 1)! Các tính chất khác của

hàm Gamma có thể tham khảo trong các tài liệu

3.2.1.2 Các hàm số Mittag-Leffler

Với « > 0, 6 € R, hàm số Mittag-Leffler được định nghĩa như sau

k

kề Zz

Eyg(z) = ) — 5a) du T(ka + B)——,zeC (3.2.2)

Một số trường hợp đặc biệt của ham Ey g

“=1 inh

: 7 F21(z) = cosh Vz, Ey 2(z) = ome

Ey 1(z) =e, Ey2(z) = , z2>0.

Với 0 < œ< 1,B€IR,ñc Z., và z thỏa ma < |arg(z)| < 7, dang điệu tiệm cận của hàm E,, g được cho bởi

n —k

Ea,g(z) = x T= ‘ay t O(lz|"?), |z| — 0, (3.2.3)

xem dinh ly 4.3 trong tai liéu [44]

Nên ta có, void <<a < 1,B ER,

1 1 Co

— _<E < Ey g(—z)| <

1+T(1—a)z — wal 2) Š1+tra+a)=z [Exp NS Tye (3.2.4)

với mọi z > 0 Ở đây, Cọ là một hằng số độc lập với z và được sử dụng xuyên

suốt trong luận án Dựa vào (3.2.4), ta thay rằng hàm số z ++ E„(—z),z > 0, tiệm cận với hàm lũy thừa z + Cz~† khi z -› eo Nhu vậy, Ex(—z) có dang

điệu tiệm cận khác han với e~? (hàm e~? không tương đương với một lũy thừa

của z khi z —> ©).

Mệnh đề 3.2.1 Cho các số thực A > 0, 080 < & < 1 Các hàm số t => EzI(—AF")

vat +> Eyq(—At*)) khả vi liên tục uới t > 0 uới

9:ExI(—Af#) = —Af“ TEyx(—Af),

O¢(t* 1 Eq (—At*)) = †^Eyxy_1(—AP).

3.2.2 Tinh phan không nguyên

Tích phân cấp không nguyên được xây dung nhằm mục đích tổng quát hóa

tích phân (cấp nguyên) thông thường Ta có thể diễn đạt điều này như sau

Cho hàm ƒ € L!(a,b), ta định nghĩa toán tử tích phân I bởi If (t) := fi f(s)ds

với moi t € [a,b] va I” := Io I"~' với n € IN* Câu hỏi dat ra là tích phân này

được xác định thé nào nếu n € Rt

Để xây dựng tích phân cấp không nguyên I*, 0 < a < 1, ta cần mệnh désau đây Sau đó, những tính chất quan trọng sẽ được đưa ra cùng với các sosánh với tích phân cấp nguyên

` t

Mệnh đề 3.2.2 Cho f € LÌ(a,b) va B > —1 Khi đó ham t > | (t—s)P Ƒ(s)đs

a

thuộc không gian L\(a,b).

Chứng minh Các tính toán cơ bản chỉ ra

Dinh nghĩa 3.2.1 Cho ham số ƒ € L'(a,b) va số thực « > 0 Tích phân cấp không

nguyên Riemann-Liouville I* được định nghĩa boi

I" f(t) = ra) [ ‘(t—s)*-1f(s)ds, t > 0 (3.2.5)

Định nghĩa trên có thé dé dàng tim thấy ở mục 2.2.2 trong (31, hoac trong cac tai liéu [4)5/45)46) Theo ménh đè|4.2.5]| với ƒ € L!{(a,b),ta có I*f € L*(a,b).

Ta có thể thiết lập một số tính chất tốt hơn cho I" ƒ, chang hạn như tính liên

tục, khả vi, néu hàm ƒ được cho có độ trơn tốt hon

Mệnh đề 3.2.3 Cho a € (0,1) øà 0 < + < min(a;1— ø) Nếu ƒ € L®(a,b), thì

I*f € C?|a,b|.

Chứng minh Xét t,t’ € [a,b], va giả sử a <t < t' <b Ta có

f(t) = FỰ() = Í (Wes = = 9)") lá + [f= 5) 1 F(a

0

Để đánh giá hiệu (t/ — s)*~! — (t—s)*~!, với mọi a,b > 0 và 0 < B < 1 ta nhắc

lại bat đẳng thức |a — b| < |a — b|Ê Từ giả thiết 0 < + < min(ø;1 — a), ta có thể áp dung bat đẳng thức này như sau

a— P— oya— (t/—s)!-*— (t—s)1~*

(tf —s) 1_ (tf —s) 1 ứ= gam — ng —s)?

< (t/—t)'“ _ lử (x9) -1

=> (t — s)1~#(f — t)1~®—T(t — s)T — (t —s) ,

trong đó h := f — † vat — s đều bé hơn hoặc bằng (t' — s) Do đó, với giả thiết

ƒ được cho trong không gian L'(a,b), ta có đánh giá

[ (W-s == 9)) fleas

t +

<1 flimtany Œ— 9) Pts < TH lemony

Việc khẳng định tích phan /[, r (t’ — s)®—1!ƒ(s)ds bị chặn bởi tích của một hằng

số và h7 là rõ ràng Tóm lại, ta thu được điều phải chứng minh

3.2.3 Đạo hàm cấp không nguyên

Định nghĩa 3.2.2 Ham só ƒ : [a,b] —> R được gọi là liên tục tuyét đối trên [a,b]néu voi moi € > 0, ton tại 5 > 0 sao cho: Với mỗi họ { [ak, Đx]},—„ rời nhau đôi một

thỏa } „—1 (by — ay) < 6, ta luôn có

ye |ƒ(bx) — f(a) | < e.

keK

Ký hiệu AC[a, b] là tập hợp tất cả các hàm số liên tục tuyệt đối trên [a, b]

và D là toán tử đạo hàm cấp một thông thường Hai mệnh đề sau đây, về tính

chất cơ bản của lớp hàm AC{a,b], không khó để chứng minh và có thể tìmtrong nhiều tài liệu cơ bản của Giải tích

Mệnh đề 3.2.4 Cho hàm ƒ € ACla,b], va ky hiệu D là toán tử đạo hàm (cap 1)

thông thường Khi đó, ƒ thỏa man các tính chat sau

a Hàm ƒ liên tục trên [a,b].

b Ton tại một ham số ọ € L'(a,b) sao cho f(t) = f(a) + Tẹ(f), Vt € [a,b]

c Hàm f khả vi uới hầu khắp trên [a,b], Df = hầu khắp trên [a,b] Từ đó, Df

thuộc không gian LÌ(n, b), va

f(t) = f(a)+TIoDƒ(, VL€ [a,b].

Định nghĩa 3.2.3 (Đạo ham cap không nguyên Riemann-Liouville) Cho số thuc

a € (0,1) Giả sử I'~* f € AC[a,b] Khi đó, toán tử '!9* định nghia bởi

OF) = DIM = Taya |, —9) FO G26

ơới a < t < b, duoc gọi la dao hàm Riemann-Liouville cấp « không nguyên

Định nghĩa trên có thể đễ dàng tìm thấy ở mục 2.2.3 trong [3], hoặc trong

các tài liệu [4jB|45|46] Trong trường hợp ƒ là hàm hằng, giả sử là f(t) = C với

C là một hằng số cho trước và với mọi £ € [a,b], tính toán cụ thể chỉ ra

C C

rÌAw 1—a & LÔ

= >

do" f(t) = D((Œ~*€)()) TA) ra TW , †>0

Qua vi dụ này ta thấy, đạo hàm ("0"°C)(t) # 0 với t > 0 Day là tính chất khác

biệt cơ bản của đạo ham cấp không nguyên Riemann-Liouville với đạo ham

cấp nguyên thông thường Trong định nghĩa tiếp theo, ta giới thiệu khái niệm

dao ham cấp không nguyên Caputo 0“, xem mục 2.4.1 trong BỊ, hoặc trong các

tài liệu [4jB|45)46] Với đạo ham này, ta sẽ thay ngay 9*C = 0.

Định nghĩa 3.2.4 (Đạo hàm cấp không nguyên Caputo) Cho số trực « € (0,1)

Giả sử u € AC[a, b] Khi đó, toán tử 0° định nghĩa bởi

a" f(t) = I!“ o Df (t) = ow [e 5)“ f(s)ds, (3.2.7)

voi a < t < b, được gọi la dao hàm Caputo cấp « không nguyên

Ta chu ý rằng, thứ tự giữa các toán tử D và I'~* trong hai công thức (3.2.6),

(3.2.7) là ngược nhau Điều này, tất nhiên dẫn đến nhiều tính chất khác nhau

giữa hai loại dao hàm Riemann-Liouville va Caputo Trước hết, dé thay